第8章 成本最小化与成本曲线
第8章 成本最小化与成本曲线
第8章 生产者行为:供给和决策一、本章要点概念（注：*表示中级水平的微观经济学概念，在原教材中没有讲述，但将在补充内容中加以介绍）总成本；固定成本；可变成本；平均成本；平均固定成本；平均可变成本；边际成本；机会成本；短期供给曲线；长期行业供给曲线；外部经济；成本函数*；生产者剩余*；经济租金*；条件要素需求*；要素需求*原理（注：序号m.n ，m 代表第几节，n 代表原理的序号）1.1短期里，成本可区分为固定成本和可变成本。
固定成本不随产量的变化而变化，而可变成本随产量变化而变化。
总成本是固定成本和可变成本的和。
1.2平均成本、平均可变成本以及边际成本都随产量先下降后上升。
边际成本曲线依次穿过平均可变成本和平均成本曲线的最低点。
2.1短期里，当某种产品的市场价格P 低于企业生产该产品的最低平均成本时，企业将停止营业。
停止营业点（短期平均可变成本曲线与短期边际成本曲线的交点）右边部分的边际成本曲线就是短期供给曲线。
3.1行业长期供给曲线是在供给与需求共同发生变化的过程中形成的。
如果外部经济效应占主导，则长期行业供给曲线向右下倾斜。
如果外部经济效应不占主导，则行业长期供给曲线向右上倾斜。
二、补充材料1成本最小化与成本函数假设存在两种生产要素1x 和2x ，价格分别为1w 和2w 。
对于既定的产量y ，厂商希望找到一个最经济的途径去生产，即成本最小化。
这个问题可以表述为：2211,min 21x w x w x x +使得y x x f =),(21求解上述最小化问题，并且用λ表示约束条件的拉格朗日乘子。
我们得到它的一阶条件yx x f f w f w x x ==-=-),(0021'2'121λλ如果知道生产函数的具体形式，那么我们就能够解出要素需求*1x 和*2x ，它们是关于要素价格1w 、2w 和产量y 的函数。
我们把这种要素选择记为*1x =),,(211y w w x 和*2x =),,(212y w w x ，这就是所谓的有条件的要素需求或派生的要素需求。
范里安微观经济学成本最小化Cost Minimization
成本最小化
当厂商面对给定的投入要素价格 w = (w1,w2,…,wn) ， 总成本函数可以写成 c(w1,…,wn,y)。
成本最小化问题
假设厂商使用两中要素来生产一种产品 生产函数为：
y = f(x1,x2). 产出水平y 0 给定。 给定价格水平w1 和w2, 投入束(x1,x2)的 成本为：w1x1 + w2x2.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y m in { 4 x 1 ,x 2 }
条件要素需求函数为：
x*1(w1,w2,y)4y 且 x * 2(w 1,w 2,y)y.
厂商的总成本函数为： c(w 1,w 2,y)w 1x* 1(w 1,w 2,y) w 2x* 2(w 1,w 2,y)
平均总成本
对于正的产出水平y, 厂商生产y单位产出 的平均总成本为：
A C (w 1,w 2,y)c(w 1,y w 2,y).
规模报酬与平均总成本
厂商技术的规模报酬决定着平均成本如何 随着产出改变。 厂商暂时生产y’单位产出。 假如厂商生产2y’单位产出，厂商的平均成 本会如何变化？
不变规模报酬与平均总成本
假如厂商的技术为不变规模报酬，那么 产出加倍时要求要素投入也加倍。
不变规模报酬与平均总成本
假如厂商的技术为不变规模报酬，那么 产出加倍时要求要素投入也加倍。 总成本也加倍。
不变规模报酬与平均总成本
假如厂商的技术为不变规模报酬，那么 产出加倍时要求要素投入也加倍。 总成本也加倍。 平均总成本不变。
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y(x * 1)1 /3(x * 2)2/3
(b)
w1 w2
x*2 2 x *1
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第8章--成本函数)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第8章--成本函数)尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第8章成本函数课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．在一篇著名的论文里（J. Viner：“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC曲线，并令其与U形AC线的切点也分别是每一条SAC 线的最低点。
绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。
在这一辩论中，你将支持哪一方？ 答：支持绘图员一方。
理由如下：假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线iSAC ，其中1,2,...,i n =，使得它们和U 形的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SAC 的最低点。
如果ix 是AC 线的最低点，那么过该点作i SAC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。
同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于ix 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。
可是i SAC 和AC 相切于点ix 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。
因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是iSAC 的最低点。
但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SAC 的最低点。
2．假定一厂商生产两种不同的产品，数量分别为1q ，2q 。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第8章 成本函数)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第8章 成本函数 课后习题详解跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．在一篇著名的论文里（J. Viner ：“Cost Curves and Supply Curves ”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3 （September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SAC 曲线，并令其与U 形AC 线的切点也分别是每一条SAC 线的最低点。
绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。
在这一辩论中，你将支持哪一方？答：支持绘图员一方。
理由如下：假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线i SAC ，其中1,2,...,i n =，使得它们和U 形的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SAC 的最低点。
如果i x 是AC 线的最低点，那么过该点作i SAC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。
同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于i x 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。
可是i SAC 和AC 相切于点i x 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。
因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是i SAC 的最低点。
但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SAC 的最低点。
2．假定一厂商生产两种不同的产品，数量分别为1q ，2q 。
该厂商的总成本为：()12,C q q 。
东北师范大学微观经济学精品课件成本最小化和成本函数
MC是TVC曲线对 应点导数值的轨迹，
也是TC曲线导数值 的轨迹，因为TFC是 常数。
Chapter 1
TVC
MC Q
37
比较MC与AC、AVC的交点
C
MC曲线首先经过
AVC的最低点。然后
SAC
再与AC的最低点相交
Chapter 1
MC
AVC Q
38
三、短期产量曲线与短期成本 曲线之间的关系
Chapter 1
18
正常利润：厂商对自己所提供的企业家才能 的报酬的支付。正常利润是隐成本的一个 组成部分。
※经济利润不包括正常利润。当厂商的经济 利润为0时，厂商仍然得到了全部的正常利 润。经济利润也被称为超额利润。
※正常利润是让一个厂商所有者继续留在原 产业从事生产经营必须的最低报酬。
Chapter 1
A
Q1
C2
C1
L2 L1
Chapter 1
劳动每年
4
成本最小化
要使成本最小化:
MPL w MPK r
Pl Pk MPl MPk
Chapter 1
5
成本最小化
一般化:
f1 / p1 f2 / p2 f3 / p3 fn / pn
Chapter 1
6
第一节 成本概念
33
②由TVC AVC
AVC是TVC曲线上 点与原点连线的斜 率值的点的轨迹。
B点是AVC的最低 点。
C
A。
O QCh1apter 1
TVC
B。
AVC
Q
Q2
34
③由TC AC
AC是TC曲线上 的点与原点连线斜 率值的轨迹。
8章 生产与成本
K
C2
C1
L
3、选择投入品
成本的决定一方面决 定于投入要素的价格 和数量，另一方面也 决定于企业的产量。 借助于等产量线和成 本线进行分析 在等产量线与成本线 的切点处，两种投入 要素的投入量（L1， K1）正好是生产Q时 成本最小的投入。
K
MRTSKL（-ΔK/ ΔL）=w/r
K1
A
Q1
L
L1
例，令生产函数Q=20K ½ L 1/2，假设 公司在短期经营中使用16单位资产
公司的短期生产函数？ K=16 短期生产函数：Q=80 L1/2 劳动的平均产量函数是AP=80L-1/2 劳动的边际产量函数是MP=Q’=40L -1/2 说明在各劳动使用水平上，边际产量递减 ln MP =ln40-1/2lnL L针对MP的弹性为-1/2
α+β>1, 报酬递增； α+β=1, 报酬不变； 0<α+β<1, 报酬递减
随着要素投入规模的增加，在技术水平不 变时，产出一般都存在由规模报酬递增到 规模报酬递减的过程
用等产量线表示，如 果等产量线之间的产 量差是相等的话，等 产量线间的距离越近 ，表示产出增加相同 程度投入要素较少， 是规模递增；如果距 离越远，规模递减； 不变，等规模报酬。
f(tx1,tx2)=tkf(x1,x2), 其中，k是一个常数 ，t是任何正实数，则这个生产函数就是 k次齐次的 k>1，两个投入因子随因子t增加，产出 随因子tk增加，规模报酬递增 k=1，规模报酬不变 0<k<1，规模报酬递减
柯布—道格拉斯生产函数
Q=AL αK β A（tL) α (tK) β=Atα+βL αK β
成本最小化经济原理分析
代入第三个一阶条件, 得到 :
( ay )a ( by )b y
w1
w2
1
解出 (aabb w1a w2b y1ab ) ab
与x1
ay w1
,
x2
by w2
建立联立方程组, 解出要素需求函数:
x1 ( w1 ,
w2
,
y)
(
a b
)
b ab
b
w1ab
b
w2ab
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
成本最小化
Cobb-Douglas 的例子
厂商成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y) w 2x*2( w1, w 2, y)
Cost Minimization
1
本章要点
成本最小化 规模报酬和成本函数
关键词：成本函数
研究思路
我们的目标是研究利润最大化的厂商的行 为。在上一章（第19章），我们从直接 分析利润最大化问题开始，着手分析了竞 争环境下利润最大化的厂商的行为。
可以换一种间接的思考方法，把利润最大 化问题分割为两部分：首先，考虑既定产 量下的成本最小化问题（第20、21章）； 然后，再研究最有利可图的产量水平（第 22章）。
假定厂商现在产量为2y’ ，平均成本如何变 化？
平均成本
对一个产出为正数的厂商而言，生产y产 量产品的平均成本为：
4x1 = x2
x2* = y’
x1* = y’/4
第六章—成本最小化和成本函数——小
第一节成本最小化
等成本线的变动给定产量的成本最小化问题
Capital
per Q
1
is an isoquant
for output Q
1.在成本最小化的条件下，
k
k
比较：在最优消费条件下
要素相对价格与生产技术的选择第二节、成本函数
产过程的短期成本函数单元。
求该生入为在短期内，资本固定投200L
K k MP 2=第三节、边际成本
总成本：固定成本：FC
可变成本：VC(Q)
2.
2.
有两种以上可变投入：边际产量递减并不一定
当边际成本高于平均成本时，平均成本为递增函
第四节、长期成本
A
从扩展线到长期成本曲线从扩展线到短期成本曲线
成本
x
f
平均总成本C
第五节、多车间任务安排2个车间，成本分别为。
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第8章 生产者行为:供给和决策一、本章要点概念（注：*表示中级水平的微观经济学概念，在原教材中没有讲述，但将在补充内容中加以介绍）总成本；固定成本；可变成本；平均成本；平均固定成本；平均可变成本；边际成本；机会成本；短期供给曲线；长期行业供给曲线；外部经济；成本函数*；生产者剩余*；经济租金*；条件要素需求*；要素需求*原理（注：序号m.n ，m 代表第几节，n 代表原理的序号）1.1短期里，成本可区分为固定成本和可变成本。
固定成本不随产量的变化而变化，而可变成本随产量变化而变化。
总成本是固定成本和可变成本的和。
1.2平均成本、平均可变成本以及边际成本都随产量先下降后上升。
边际成本曲线依次穿过平均可变成本和平均成本曲线的最低点。
2.1短期里，当某种产品的市场价格P 低于企业生产该产品的最低平均成本时，企业将停止营业。
停止营业点（短期平均可变成本曲线与短期边际成本曲线的交点）右边部分的边际成本曲线就是短期供给曲线。
3.1行业长期供给曲线是在供给与需求共同发生变化的过程中形成的。
如果外部经济效应占主导，则长期行业供给曲线向右下倾斜。
如果外部经济效应不占主导，则行业长期供给曲线向右上倾斜。
二、补充材料1成本最小化与成本函数假设存在两种生产要素1x 和2x ，价格分别为1w 和2w 。
对于既定的产量y ，厂商希望找到一个最经济的途径去生产，即成本最小化。
这个问题可以表述为：2211,min 21x w x w x x +使得y x x f =),(21求解上述最小化问题，并且用λ表示约束条件的拉格朗日乘子。
我们得到它的一阶条件yx x f f w f w x x ==-=-),(0021'2'121λλ如果知道生产函数的具体形式，那么我们就能够解出要素需求*1x 和*2x ，它们是关于要素价格1w 、2w 和产量y 的函数。
我们把这种要素选择记为*1x =),,(211y w w x 和*2x =),,(212y w w x ，这就是所谓的有条件的要素需求或派生的要素需求。
它度量的是，在厂商生产某个既定产量y 的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素使用量之间的关系。
解出要素需求*1x 和*2x 后，我们就可以得到厂商的成本函数),,(),,(),,(21222111*22*1211y w w x w y w w x w x w x w y w w c +=+=它表示在一定的要素价格水平下，厂商生产某个产量所需要的最低成本。
根据以前的定义，我们知道'11x x f MP = '22x x f MP =再根据上述最优化问题的一阶条件可以得出λ==2121x x MP wMP w 与利润最大化的条件对比，我们发现成本最小化是利润最大化的必要条件。
直观上说，厂商总是希望在任何产量水平上都尽可能地压缩成本。
如果没有达到成本最小化，那么厂商可以在原来的产量水平上，通过压缩成本来增加利润。
上式中的λ为成本最小化时的边际成本，请读者思考一下为什么。
答案请参考补充习题6的答案。
从图形上看，成本最小化是既定产量水平的等产量线与最低的等成本线的切点（当通常情况下出现非边界解时）。
2总成本、平均成本以及边际成本的关系在总成本、平均成本以及边际成本之间也存在着类似于上一章的总产量、平均产量以及边际产量之间的关系，我们用图8.1来说明这种关系。
注意，边际成本MC 事实上就是总成本曲线的斜率，当产量在0到Q 1之间时，边际成本是递减的，对应于总成本曲线的斜率趋于平缓，在Q 1处达到斜率的最小值，即MC 曲线的最低点，继续增加产量将使得边际成本递增，TC 曲线变得陡峭，相应地，MC 曲线开始上升。
而平均可变成本A VC 事实上是VC 曲线上的点与原点连线的斜率，在Q 2处取得最小值（此时与原点连线恰与VC 曲线相切）。
在产量为0到Q 2之间时，VC 曲线上的点与原点连线的斜率是逐渐减小的，因此A VC 曲线在这一段是下降的。
同时，在这一段产量上VC 曲线任意一点的斜率是小于它与原点连线的斜率的，因此MC 曲线位于A VC 曲线下方。
而当产量大于Q 2以后，情况正好相反，因此A VC 曲线开始上升，而MC 曲线也穿过A VC 曲线位于其上方。
AC 曲线的情况也类似。
上面的分析完全是基于经典的图形关系，但为什么会有这种图形关系，或者说这种形式化分析背后的经济学含义却是读者应该更为关心的。
其中，特别需要的是，为什么VC 曲线的形状是像图中这样的？这条曲线的形状定了，其他曲线的形状就相应定了。
“三个和尚”的故事是一个非常好的帮助读者理解VC 曲线的素材。
在这个故事里，庙和井都是固定成本，但和尚的人数（和努力投入）是可变成本。
当和尚的人数从1增加到2时，两个人之间出现了分工合作，这就是所谓的“一个和尚担水吃，两个和尚挑水吃”。
可以想象，当挑水数量从一人用水量到二人用水量的增加，边际（努力投入）成本是递减的。
当和尚人数从2增加到3时，他们之间出现了相互之间的“搭便车”，都不愿意去挑水，反而“三个和尚没水吃”。
同样可以想象，如果要克服这一问题，就需要额外增加几个和尚之间的谈判成本、制度成本、监督成本等等。
于是，随着挑水数量从二人用水量到三人用水量的增加，边际（努力投入）成本是递增的。
C图 8.13短期成本与长期成本在分析生产者行为时，“长期”与“短期”的区别就在于生产规模是否可以调整。
在短期分析中，生产要素有固定与可变之分，但在长期分析中所有的生产要素都是可变的，企业的生产规模是可以调整的。
因此，厂商的短期成本SC 可以表示为产量Q 以及与产量无关的固定投入K 的函数，()SC ,C Q K =，而长期成本LC 则完全由产量Q 来决定，因为在短期看来固定不变的投入在长期也可以根据产量来做出调整：()()LC ,C Q K Q *=。
长期来看，厂商在生产一定产量的产品时会选择最合适的生产规模，即该产量所对应的短期平均生产成本最小，因此在图形上长期平均成本曲线LAC 就是各短期平均成本曲线的下包络线，如图8.2(a)所示。
注意：SAC 曲线与LAC 曲线的切点一般不是SAC 曲线的最低点，对应于任意一条SAC 曲线最低点处产量的长期成本由LAC 曲线来决定，因为厂商按长期最优规模来生产不仅可以获得产量调整带来的成本下降，还有规模调整上的获益，因此长期成本更低。
不过，长期与短期平均成本曲线之间的包络关系并不适用于边际成本曲线，如图8.2(b)所示。
值得注意的是，SMC 曲线与LAC 曲线的切点处，短期边际成本与长期边际成本是相等的。
(a) (b)图 8.24完全竞争市场上厂商的最优决策厂商的利润是其总收益与总成本之差，因此其最优决策问题可以写成：()()()()()max QQ R Q C Q P Q Q C Q π=-=⋅-其中，R 表示总收益，是产量和价格的乘积，C 仍然表示成本，Q 为最优生产决策的控制变量。
厂商的最优产量Q *应该满足边际收益与边际成本相等的一阶条件：()()MC MR Q Q **=在完全竞争市场上，厂商是产品价格的接收者，产品价格与单个厂商的产量无关，()P Q P =,因此()()MR Q d PQ QP dQ **==。
所以在完全竞争市场上厂商的产量决策Q *应该满足：()MC Q P *=如图8.3所示，给定市场价格P ，则MC 曲线与其交点就确定了企业的最优产量Q *。
此时企业的利润()()AC PQ C QPQQ Q π*****=-=-⋅，如果()AC P Q *>，那么企业的利润即为图中的阴影部分。
当()AC P Q *<时，企业将亏损，但是只要()AVC P Q *>，企业就应该继续运作下去，以弥补固定成本的损失，只有当()AVC P Q*<时，企业才应该退出市场。
这也就意味着，位于A VC 曲线上方的MC 曲线，就是厂商短期内的供给曲线。
图 8.35行业供给与行业均衡先考虑短期的情形。
假设某个行业包含n 家厂商。
令)(p S i 代表厂商i 的供给曲线，那么，行业供给曲线或市场供给曲线就是∑==ni i p S p S 1)()(它是所有厂商供给曲线的横向加总，或者说，行业供给是在某一价格水平上，所有企业愿意而且能够提供的产量总和。
表现在图像上，我们把每一价格水平上的每家厂商供给的数量相加，从而得到一条水平加总的供给曲线，如下图图8.4而短期的行业均衡则是行业供给曲线与市场需求曲线相交的点来决定的。
行业均衡时有一个均衡的市场价格，每个厂商按这个价格来决定自己是否生产以及生产多少。
长期的行业均衡和行业供给的讨论要稍微复杂一些。
和短期一样，长期的行业供给是厂商供给的加总。
但是，如果一个完全竞争行业同时又是没有进入壁垒的，那么我们可以先不考虑长期行业供给而求出长期行业均衡，然后在此基础上得出长期行业供给。
这里，我们假定生产技术具有规模报酬不变的性质，且没有外部经济效应。
基于以上的假设前提下，长期行业均衡价格是由行业的最低平均成本决定的。
为什么呢？首先，一个能够自由进出的行业在长期均衡时利润为零，如果不是这样，就会有新的厂商进入（正利润）或退出（负利润）。
所以均衡时，价格一定等于平均成本。
然后，从完全竞争角度考虑，每个厂商面临的剩余需求为水平什么意思？你是想说，由于每个厂商只占有有一小部分，所以，其面临的需求曲线是水平的？。
所以，加上零利润的要求，由长期边际收益（此时为价格）等于长期边际成本决定的均衡解，必定满足价格、长期平均成本、长期边际成本相等，即LMC LAC P ==而我们知道LMC LAC =处正是LAC 的最低点。
若该行业厂商都是同质的，那么这个均衡价格则是行业的均衡价格。
而此时，无论市场需求如何，行业的所有厂商都将在最低平均成本水平上进行生产，行业最终提供多少产量由市场需求决定。
由此可以看出，行业的长期供给曲线为LAC P min =的那条直线，而行业均衡是由水平的行业供给和向右下倾斜的需求曲线的交点决定，如下图图8.56生产者剩余与消费者剩余类似，我们可以如图8.6所示的阴影部分那样引入生产者剩余PS ，更明确地，生产者剩余可以写成：()PS VC PQ Q **=-显然，生产者剩余与利润满足如下关系：()PS FC Q π*=+这里最好解释一下为什么，我觉得并不“显然”S LDA （均衡点）长期行业供给和行业均衡QP图8.67不变要素和经济租金前面我们都没有考察某种要素总存量有限的情况。
现在我们考虑这样一种情况，就是生产某种产品所必需的某种要素的总量有限。
之前我们说过，长期内单个厂商可以购买或出售不变要素。
但是从经济的全局看，长期内某些生产要素的总供给量也是有限的，如土地、矿产等。