2012高中数学 3-2第1课时一元二次不等式及其解法精品课件同步导学 新人教A版必修5
(4)原不等式可化为 x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0， 故原不等式的解集为{x|x＝5}．
•
解关于x的不等式 解关于 的不等式x2＋ax－2a2＜0. 的不等式 －
• [规范作答 规范作答] 规范作答
• 4．解下列不等式： ．解下列不等式： • (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2. － ＞ ； － ； － • 解析 ： 解析： ＞3， ， • ∴不等式的解集是{x|x＜－ 或x＞3}． ＜－5或 ＞ ． 不等式的解集是 ＜－ • (2)x2＞2x－1⇔x2－2x＋1＞0⇔(x－1)2＞0⇔x≠1， － ⇔ ＋ ＞ ⇔ － ⇔ ， • ∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}． 不等式的解集是 ∈ ． • (3)x2＜2x－2⇔x2－2x＋2＜0. － ⇔ ＋ ＜ • ∵∆＝(－2)2－4×2＝－ ＜0， ＝－4＜ ， ＝－ × ＝－ • ∴方程x2－2x＋2＝0无解． 无解． 方程 ＋ ＝ 无解 • ∴不等式x2＜2x－2的解集是∅. 的解集是∅ 不等式 － 的解集是 (1)x2 ＋ 2x－15＞0⇔(x＋5)(x－ 3)＞0⇔x＜－ 或 x ＜－5或 － ＞ ⇔ ＋ － ＞ ⇔ ＜－
• 当0＜a＜1时，a＞a2， ＜ ＜ 时 ＞ • 所以原不等式的解集为 所以原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； ＜ ＞ ； • 当a＝1时，a＝a2＝1， ＝ 时 ＝ ， • 所以原不等式的解集为 所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； ∈ 且 ； • 当a＞1时，a＜a2， ＞ 时 ＜ • 所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． ＜ 或 ＞ ． 所以原不等式的解集为 • (2)(ⅰ)当a＝0时， 原不等式可化为 － 2x＋4＞0，解得 ＜ 2 ⅰ 当 ＝ 时 原不等式可化为－ ＋ ＞ ， 解得x＜ ，所以原不等式的解集为{x|x＜2}； 所以原不等式的解集为 ＜ ； • (ⅱ)当a＞0时，原不等式可化为 －2)(x－2)＞0， ⅱ 当 ＞ 时 原不等式可化为(ax－ － －5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0 的两根是 x＝－1 或 x＝6， ∴原不等式的解集为{x|x<－1 或 x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
1 1 2 ∴x＝ .∴4x －4x＋1≤0 的解集为xx＝2 . 2
)
• 解析： 不等式 －2)(x＋3)＞0的解集是 －∞，－3)∪(2， 解析： 不等式(x－ 的解集是(－ ， ＋ ＞ 的解集是 ∪ ， ＋∞)，故选 ，故选C. • 答案： C 答案：
• 3．设集合 ＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有 ．设集合A＝ 中有______个元 － ＋ ， 中有 个元 素． • 解析： (x－1)2＜3x＋7⇔x2－5x－6＜0⇔－1＜x＜6， 解析： － ＋ ⇔ － ＜ ⇔ ＜ ＜ ， • ∴A＝{x|－1＜x＜6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}， ＝ － ＜ ＜ ， ＝ ， • ∴A∩Z中有 个元素． 中有6个元素 中有 个元素． • 答案： 6 答案：
)
③④符合一元二次不等式的定义； 对于① ③④ 符合一元二次不等式的定义；对于 ① ， 当 m 符合一元二次不等式的定义
是指数不等式． ＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不等式． ＝ 时 不是一元二次不等式； • 答案： B 答案：
• 2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是 ．不等式 － 的解集是( ＋ ＞ 的解集是 • A．(－3,2) ．－ • B．(2，＋∞) ． ， • C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) ．－ ， ∪ ， • D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) ．－ ， ∪ ，
• [题后感悟 题后感悟] 题后感悟
含参数的不等式的解题步骤为： 含参数的不等式的解题步骤为：
• (1)将二次项系数转化为正数； 将二次项系数转化为正数； 将二次项系数转化为正数 • (2)判断相应方程是否有根 如果可以直接分解因式，可省去 判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式 判断相应方程是否有根 如果可以直接分解因式， 此步)； 此步 ； • (3)根据根的情况写出相应的解集 若方程有相异根，为了写 根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根 根据根的情况写出相应的解集 若方程有相异根， 出解集还要分析根的大小)． 出解集还要分析根的大小 ． • 另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0 另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为 ，这决定不等式是否为二次不等式． 这决定不等式是否为二次不等式．
原不等式可化为(x＋ 原不等式可化为 ＋2a)(x－a)＜0 － ＜
• 对应的一元二次方程的根为 1＝a，x2＝－ ，3分 对应的一元二次方程的根为x ， ＝－2a， 分 • (1)当a＞0时，x1＞x2， 当 ＞ 时 • 不等式的解集为 －2a＜x＜a}.6分 不等式的解集为{x|－ ＜ ＜ 分 • (2)当a＝0时，原不等式化为 2＜0，无解 分 当 ＝ 时 原不等式化为x ，无解.8分 • (3)当a＜0时，x1＜x2， 当 ＜ 时 • 不等式的解集为 不等式的解集为{x|a＜x＜－ ＜ ＜－ ＜－2a}.10分 分 • 综上所述，原不等式的解集为： 综上所述，原不等式的解集为： • a＞0时，{x|－2a＜x＜a} ＞ 时 － ＜ ＜ • a＝0时，∅ ＝ 时 • a＜0时，{x|a＜x＜－ ＜ 时 ＜－2a}12分 ＜ ＜－ 分
b xx＜ a
b xx＞ a
；
当a＜0时，解集是 ＜ 时
；当a＝0，b＞0时，解集是 ∅ ＝ ， ＞ 时
. ；当a＝0，b≤0时，解集是 R ＝ ， 时
• 2．一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪比赛中想使自己 ．一位跳台滑雪运动员在 米级跳台滑雪比赛中想使自己 的飞行距离超过68.00米，若他以自身体重从起滑台起滑，经 米 若他以自身体重从起滑台起滑， 的飞行距离超过 助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米 小时，那么他 千米/小时 助滑道于台端飞起时的初速度最快为 千米 小时， 能否实现自己的目标呢？ 能否实现自己的目标呢？
• 1.解简单的一元二次不等式是本课的热点． 解简单的一元二次不等式是本课的热点． 解简单的一元二次不等式是本课的热点 • 2.常以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题 常以选择题、填空题的形式考查， 常以选择题 中，属低、中档题． 属低、中档题．
• 1．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集是 ．一元一次不等式： ＞ ， ＞ 时
• (1)通过对不等式的变形 ， 使不等式右侧为 ， 使二次项系 通过对不等式的变形， 使不等式右侧为0， 通过对不等式的变形
• 1.求下列不等式的解集． 求下列不等式的解集． 求下列不等式的解集 • (1)－2x2＋3x＋2<0；(2)－2x2＋x－6<0； － ＋ ； － － ； • (3)4x2＋4x＋1>0；(4)x2＋25≤10x. ＋ ；
解析：
2
(1)原不等式可化为 2x2－3x－2>0，
1 ∵2x －3x－2＝0 的两根是 x＝－ 或 x＝2， 2
1 ∴原不等式的解集为x|x>2或x<－2.
(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 ∆＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图象开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图象可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
• 3.2 一元二次不等式及其解法
• 第1课时 一元二次不等式及其解法
• 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型． 会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型． 会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型 • 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、一 通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、 通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数 元二次方程的联系，会解一元二次不等式，会设计求解的程 元二次方程的联系，会解一元二次不等式， 序框图． 序框图．
∆>0
∆＝0 ＝ 两个相等 的实根x 的实根 1、 x2
b xx≠－ 2a
∆<0 没有实数 根ax2＋bx＋ ＋ c>0
两个不相等实根 x1、 x2
{x|x<x1或x>x2}
R
{x|x1<x<x2}
∅
∅
• 1．下列不等式中一元二次不等式的个数为( ．下列不等式中一元二次不等式的个数为 • ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2； ＋ ＋ ＜ ； ＞ ； • ③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0. ＋ ； ＋ ＋ ＋ ＜ • A．1 ． • C．3 ． • 解析 ： 解析： B．2 ． D．4 ．
(3)由－x2＋7x>6，得 x2－7x＋6<0， 而 x2－7x＋6＝0 的两个根是 x＝1 或 x＝6. ∴不等式 x2－7x＋6<0 的解集为{x|1<x<6}．
• (4)原不等式可化为 2－6x＋9<0，即(x－3)2<0， 原不等式可化为x 原不等式可化为 ＋ ， － ， • ∴原不等式的解集为∅. 原不等式的解集为∅ • [题后感悟 题后感悟] 题后感悟 数为正． 数为正． • (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程 对不等式左侧因式分解，若不易分解， 对不等式左侧因式分解 的判别式． 的判别式． • (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无 实根． 实根． • (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 ． • (5)根据图象写出不等式的解集 根据图象写出不等式的解集. 根据图象写出不等式的解集 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
数学：3.2《一元二次不等式及其解法》课件(人教A版必修1)PPT教学课件
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一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的 解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为 正值或负值时自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使 二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象， 这时，函数的零点把x轴分成三个区间
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(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集
是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)， y 不等式ax2+bx+c<0的解集
是(x1，x2). 简单的说是：
x
-3
M(－2，0)，N(3，0)， 1 25 ( ,- ) 24
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观察这个图象，可以看出，抛物线位于x
轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点
的横坐标的集合
y
A={x| x<－2或x>3}是一元二
3
2
次不等式x2－x－6>0的解集。
1
x
抛物线位于x轴下方的点
-2 -1 O 1 2 3 -1
当x∈B时，即－2<x<3时，x+2>0， x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，
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不等式（1）和（2）还可以通过下述方 法求解：
（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)， 所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,
苏教版高中数学必修第一册3.3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法【授课课件】
综上所述，当 a<0 时，原不等式的解集为xx<1a
或x>1；
第1课时 一元二次不等式及 其解法
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为x1<x<1a
；
当 a＝1 时，原不等式的解集为∅；
第1课时 一元二次不等式及 其解法
[跟进训练]
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．解下列不等式． (1)x2－4x＋4>0；
[解] 方程 x2－4x＋4＝0 有两个相同的解 x1＝x2＝2， 根据 y＝x2－4x＋4 的图象，可得原不等式的解集为{x|x≠2}．
．
第1课时 一元二次不等式及 其解法
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类型 2 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】 解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0．
[思路点拨] ①对于二次项的系数 a 是否分 a＝0，a<0，a>0 三 类进行讨论？②当 a≠0 时，是否还要比较两根的大小？
第1课时 一元二次不等式及 其解法
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(2)－x2＋2x－3<0；
[解] 不等式两边同乘以－1，得 x2－2x＋3>0， 方程 x2－2x＋3＝0 中 Δ<0，所以方程 x2－2x＋3＝0 无解． 根据 y＝x2－2x＋3 的图象，可得原不等式的解集为 R．
高中数学《一元二次不等式及其解法》教学课件
(1)
(2)
(3)
图2.3-2
一 一元二次不等式及其解法
2.
当Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点
b 2a
，0
在x轴上，其余部
分都在x轴的上方，如图2.3-2(2)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
，
b 2a
b 2a
，
，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为∅.
一 一元二次不等式及其解法
实数根分别为x1=－
1 2
，x2=1，则一元二次不等式2x2－x－1>0的解集为{x|x<－
1 2
或
x>1}，一元二次不等式2x2－x－1≤0的解集为{x|－ 1 ≤x≤1}. 2
一 一元二次不等式及其解法
例 4 解不等式 2x 5 0. x2
解 原不等式等价于(－2x+5)(x－2)>0，即(2x－5)(x－2)<0 ，
所以
5 2<x< 2.
故原不等式的解集为
x
2
x
5
2
பைடு நூலகம்
.
一 一元二次不等式及其解法
例 5 若对任意的实数x，一元二次不等式 x2+2(1+k)x+3+k>0
恒成立，求实数k的取值范围. 解 由题意知，一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集为R，于是对应二次 函数y=x2+2(1+k)x+3+k的图象开口向上，且恒在x轴上方，所以
y＝x2－4x＋5
(1) 图2.3-5
一 一元二次不等式及其解法
（方法二）方程－x2+4x－5=0没有 实数根，于是函数y=－x2+4x－5的图象 与x轴没有交点，如图2.3-5(2)所示，由 图象得不等式－x2+4x－5＞0的解集为∅.
高中数学第三章不等式32一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式． (1)－x2＋5x－6＞0；(2)3x2＋5x－2＞0； (3)3x2＋5x－2≤0；(4)9x2－6x＋1＞0； (5)x2－4x＋5＞0. 【解题探究】本题考查了一元二次不等式的解法，是基 础题．
【解析】(1)不等式可化为x2－5x＋6＜0. 方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3. 由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式 的解集为{x|2＜x＜3}．
B．{x|x>a}
C．xx<1a或x>a
【答案】A
D．xx<1a
【解析
】∵0<a<1，∴
1 a>1
，∴a<
1a，∴
不等式
的解集为
xx>1a或x<a
.
3．函数 y＝ x2＋x－12的定义域是( ) A．{x|x＜－4 或 x＞3} B．{x|－4＜x＜3} C．{x|x≤－4 或 x≥3} D．{x|－4≤x≤3} 【答案】C 【解析】若使 y＝ x2＋x－12有意义，则 x2＋x－12≥0.∴ (x＋4)(x－3)≥0，∴x≤－4 或 x≥3.
1.理解一元二次方程、一元二
次不等式与二次函数的关系． 重点：一元二次方程、一元二
2．掌握图象法解一元二次不 次不等式与二次函数的关系．
等式的方法．
难点：一元二次不等式的解法
3．培养数形结合、分类讨论 及应用.
的思想方法.
1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等 式，称为一元二次不等式．
考试加油。
－2＋1＝－ba， －2×1＝1a，
解得 a＝b＝－12.
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一无二次不等式及其解法课件新人教A版必修5[
第五页，共33页。
(2)画函数y＝f(x)
解不等式 的示意图
f(x)＞0
或f(x)＜0
的步骤 (3)得
f(x)＞0
{x|x＜x1 或x＞x2}
{x∈R |x≠x1}
R
不等
式的 解集
f(x)＜0
{x|x1＜x ＜x2}
∅
∅
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[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＜0 是一元二次不等式．( ) (2) 若 a ＞ 0 ， 则 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ 1 ＞ 0 无 解．( ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1 ＜x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为{x|x1 ＜x＜x2}．( ) (4)不等式 x2－2x＋3＞0 的解集为 R.( )
第二十页，共33页。
又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
[变式训练] 解下列不等式： (1)x2－5x－6＞0； (2)－x2＋7x＞6； (3)(2－x)(x＋3)＜0； (4)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)． 解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，
原不等式的解集为{x|x＜－1 或 x＞6}．
第十九页，共33页。
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为x|x＝94. (5)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0， 因为 Δ＝(－6)2－40＝－4＜0， 所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5-推荐ppt版
求一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与 x 轴的相 关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间 端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
4．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y<0 时 x 的取值范围是________． 解析：由 y<0 得 x2－4x＋3<0， ∴1<的根
有两个不等的实 数根 x 1，x 2
有两个相 等的实数 根 x 1，x 2
没有实 数根
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式 Δ＝b2－4ac
解不等 (2)画函数 y＝f(x)的
式 f(x) 示意图
＞0 或
f(x)＜0 的步骤
(3)得不 等式的
f(x) ＞0
{x|x＜x1 或 x＞ x2}
分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
[典例] 解关于 x 的不等式 ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)． [解析] 原不等式可化为(ax＋1)(x－1)<0， 当 a＝0 时，x<1， 当 a>0 时，x＋1a(x－1)<0， ∴－1a<x<1. 当 a<0 时，1＋1a＝a＋a 1，当 a<－1 时，
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第1课时)目标导学 新人教A版必修5
1．了解一元二次不等式的概念．2．掌握一元二次不等式的解集，会解一元二次不等式． 3．掌握一元二次不等式的解集与其系数的关系．1．一元二次不等式只含有__个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．(1)“只含有一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母，只要明确指出，哪一个是变量，哪一些是参数(定值)就可以．(2)“最高次数是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件的限制．【做一做1】 有下列不等式：①x 2＞0；②－x 2－2x ≤15；③x 3－5x ＋6＞0；④x 2－y ＜0.其中一元二次不等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 ____________ ____________ __________ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集____________ __________ __________步骤是：①利用不等式的性质，将不等式进行同解变形为一般形式ax 2＋bx ＋c ＞0或ax 2＋bx ＋c ≥0或ax 2＋bx ＋c ＜0或ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a __0. ②计算判别式Δ＝__________的值．③当Δ＞0时，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0得两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则 ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜x 1或x ＞x 2}； ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为__________； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}； ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为__________．④当Δ＝0时，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0得两个相等的实根x 1，x 2，则 ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ≠x 1}； ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为____； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为____； ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为________．⑤当Δ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根，则ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R ； ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为__； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为； ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为____．【做一做2－1】 不等式x ＞x 2的解集是( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．R【做一做2－2】 不等式x 2＋6x ＋10＜0的解集是( )A ．B ．RC ．{x |x ＞5}D ．{x |x ＜2}【做一做2－3】 不等式－x 2＋x －2＜0的解集为__________．答案：1．一 2 【做一做1】 B2．(1){x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x≠－b2a} R {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅ (2)①＞ ②b 2－4ac ③{x |x ≤x 1或x ≥x 2} {x |x 1≤x ≤x 2} ④R ∅ {x |x ＝x 1} ⑤R ∅【做一做2－1】 C 【做一做2－2】 A 【做一做2－3】 R1．一元二次不等式的解集与其系数的关系剖析：(1)如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |n ＜x ＜m }(n ＜m )，或一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是{x |n ≤x ≤m }(n ＜m )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a .如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |x ＜n 或x ＞m }(n ＜m )，或一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是{x |x ≤n 或x ≥m }(n ＜m )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a .(2)如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；如果一元二次不等式ax2＋bx ＋c ≥0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0.如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0；如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac ≤0.(3)如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac ≤0；如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0；如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.2．利用二次函数的图象解一元二次不等式剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x 轴上方的点的纵坐标大于0，位于x 轴上的点的纵坐标等于0，位于x 轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象上位于x 轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＞0的解集，二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋c 的图象上位于x 轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＜0的解集．所以可以用二次函数的图象来解一元二次不等式．当然，对于任意函数y ＝f (x )，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f (x )＞0或f (x )＜0.题型一 解一元二次不等式 【例题1】 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23＞0；(2)－12x 2＋3x －5＞0；(3)4x 2－18x ＋814≤0.分析：一看a (二次项系数)，二算Δ，三写解集． 反思：解一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 题型二 已知一元二次不等式的解集求参数的值【例题2】 不等式ax 2＋bx ＋2≤0的解集是{x |x ≤－1或x ≥2}，求a ，b 的值．分析：－1和2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，借助于一元二次方程根与系数的关系，求出a 与b 的值．反思：已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤：(1)确定x 2的系数a ≠0；(2)明确不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0，或≥0，或≤0)的解集的“端点”(如本题中解集的端点是－1和2)是相应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根；(3)借助一元二次方程根与系数的关系，列出关于参数的方程(组)，解得参数的值．题型三 易错辨析【例题3】 解不等式x －3x ＋7＜0.错解：原不等式两边同乘以x ＋7，得x －3＜0， ∴原不等式的解集是{x |x ＜3}．错因分析：分母中含有未知数x ，符号未知，解题时不能直接去掉，而错解中在此出现错误．答案：【例题1】 解：(1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0.∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫1－33<x <1＋33.(2)不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0， ∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x 2－72x ＋81≤0，即(4x －9)2≤0，∴4x －9＝0，∴x ＝94.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝94.【例题2】 解：由ax 2＋bx ＋2≤0的解集是{x |x ≤－1或x ≥2}，知a ＜0，且ax 2＋bx＋2＝0的两根分别是x 1＝－1，x 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝1，2a ＝－2，∴a ＝－1，b ＝1.【例题3】 正解：方法一：化为两个一元一次不等式组来解．∵x －3x ＋7＜0⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x ＋7<0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －3<0，x ＋7>0x ∈或－7＜x ＜3－7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x |－7＜x ＜3}． 方法二：化为一元二次不等式来解． ∵x －3x ＋7＜0(x －3)(x ＋7)＜0－7＜x ＜3， ∴原不等式的解集是{x |－7＜x ＜3}．1不等式12x x -+＞0的解集是( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |x ＜－1或x ＞2}D ．{x |－1＜x ＜2}2 (2011·江苏南京一模)函数y ＝22x x -的定义域是__________．3若集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则A ∩B 为__________．4 (2011·广东广州二模)若关于x 的不等式m (x －1)＞x 2－x 的解集为{x |1＜x ＜2}，则实数m 的值为__________．5已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有12-＜x ＜13，解不等式qx 2＋px ＋1＞0.答案：1．A 2.[0,2] 3.{x |1＜x ＜2} 4.25．解：∵不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， ∴方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为12-和13. ∴p ＝111236⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，q ＝111236-⨯=-.∴不等式qx 2＋px ＋1＞0，即为211166x x --＜0.∴所求不等式的解集为{x |－2＜x ＜3}．。