江苏省镇江市丹徒区2018-2019学年九年级(上)期末考试数学试题含答案
江苏省镇江市2019届九年级上学期数学期末考试试卷及参考答案
江苏省镇江市2019届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题1. 解一元二次方程x ﹣8x ﹣5=0，用配方法可变形为（）A . （x+4）=11B . （x ﹣4）=11C . （x+4）=21D . （x ﹣4）=212. 将抛物线沿y 轴翻折，所得抛物线的函数表达式是（ ）A . B . C . D .3. 下列说法正确的是（）A . 某种彩票的中奖机会是则买100张这种彩票一定会中奖 B .为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 C . 一组数据3，4，5，5，5，6，10的平均数大于中位数 D . 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是4. 如图，A ，D是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A . 68° B . 58° C . 72° D . 56°5. 已知二次函数，点与点 都在该函数的图象上，且 是正整数，若满足的点 有且只有3个，则 的取值范围是（ ）A .B .C .D . 二、填空题6. 已知关于x 的方程 的一个根是0，则 ________.7. 若圆锥的母线长为4cm ，其侧面积 ，则圆锥底面半径为________cm.8. 某公司今年4月份营业额为100万元，6月份营业额达到121万元，该公司营业额的月均增长率为x ，则可列方程为________.9.若关于x 的一元二次方程x +2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为________．10. 某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：成绩听说读写张明95909090若把听、说、读、写的成绩按4：3：2：1计算平均成绩，则张明的平均成绩为________.11. 若二次函数y ＝（m+1）x +4x ﹣16的图象开口向下，则m ＝________.12. 已知二次函数 的顶点为 ，则其图象与y 轴的交点坐标为________.13. 小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆 阴影 区域的概率为________.222222|m|14.已知二次函数，当 时，x 的取值范围是________.15. 如图所示是二次函数y ＝ax +bx+c （a≠0）图象的一部分，对称轴为经过点（1，0）且垂直于x 轴的直线.给出四个结论：①abc ＞0；②当x ＞1时，y 随x 的增大面减小；③4a ﹣2b+c ＞0；④3a+c ＞0.其中正确的结论是________（写出所有正确结论的序号）16. 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为、、 ，点E是 的外接圆上一点，BE 交线段AC 于点D ，若 ，则点D 的坐标为________.三、解答题17. 解方程：（1） x ﹣3x ＝0（2） 2x ﹣4x ﹣5＝0（3） x （x ﹣1）＝0（4） （x ﹣1）＝3x ﹣318. 某校为市体校选拔一名篮球队员教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数.（1） 请你根据图中的数据，填写下表姓名平均分众数极差方差王亮77李刚75（2） 你认为谁的成绩比较稳定，为什么？（3） 若你是教练，你打算选谁参赛？请利用以上数据或图中信息简要说明理由.19. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球这些球除颜色外都相同.（1） 小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和红球是等可能的你同意吗？为什么.（2） 搅匀后从中一次摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球是一红一白的概率；2222（3）在这只袋中再放入若干个白球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出白球的概率为，应再放入多少个白球？20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）.①在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），写出圆心坐标；②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB=∠ACB，写出点D的坐标.21. 二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点，其顶点为D.（1）求这个二次函数的表达式；（2）求的面积.22. 已知京润生物制品厂生产某种产品的年产量不超过800吨，生产该产品每吨所需相关费为10万元，且生产出的产品都能在当年销售完.产品每吨售价y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系如图所示（1）当该产品年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣相关费用）（2）当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的是大毛利润？最大毛利润多少万元.23. 如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD（1）判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径.24. 如图1，有一块直角三角板，其中，，，A、B在x轴上，点A的坐标为，圆M的半径为，圆心M的坐标为，圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒；（1）求点C的坐标；（2）当点M在的内部且与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由.25.已知抛物线，其中，直线l是它的对称轴，把该抛物线沿着x轴水平向左平移个单位长度后，与x轴交于点A、B，在B的左侧，如图1，P为平移后的抛物线上位于第一象限内的一点（1）点A的坐标为；（2）若点P的横坐标为，求出当m为何值时的面积最大，并求出这个最大值；（3）如图2，AP交l于点D，当D为AP的中点时，求证： .参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.。
2018-2019学度苏版初三上年末数学试卷含解析.doc.doc
2018-2019学度苏版初三上年末数学试卷含解析【一】选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分〕1、一个直角三角形的两条直角边分别为a=23，b=36，那么这个直角三角形的面积是 〔C 〕A 、82B 、72C 、92D 、22、假设关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，那么m 的值等 于〔B 〕 A 、1B 、2C 、1或2D 、03、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2680x x -+=的一个根，那么这个三角形的周长是〔C 〕A 、9B 、11C 、13D 、144、过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM 的长为〔A 〕 A 、3cmB 、6cmC 、41cmD 、9cm5、图中∠BOD 的度数是〔B 〕A 、55°B 、110°C 、125°D 、150°6、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，∠A=100°，∠C=30°，那么 ∠DFE 的度数是〔C 〕A 、55°B 、60°C 、65°D 、70°〔第5题〕〔第6题〕7、有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同。
小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，那么口袋中白色球的个数很可能是〔B 〕 A 、6B 、16C 、18D 、248、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB ＝20º，那么∠ACB ，∠DBC分别 为〔B 〕A 、15º与30ºB 、20º与35ºC 、20º与40ºD 、30º与35º9、如下图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走 到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走。
江苏省镇江市丹徒区最新通用版-最新通用版学年九年级上期末数学模拟试卷(含详解解析)
江苏省镇江市丹徒区2018-2019学年九年级（上）期末数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．已知＝，则＝．2．一组数据﹣1，3，7，4的极差是．3．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．4．两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为．5．如图，⊙O的弦AB＝8，OD⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径等于．6．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是．7．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．8．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝a2﹣b2，则方程（2★3）★x ＝9的根为．9．已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC ＝3DE，AC＝6，那么AE＝．10．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN 上．若AB＝4，则CN＝．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有．12．二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m 的取值范围是．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．18分，17分B．20分，17分C．20分，19分D．20分，20分14．下列线段中，能成比例的是（）A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOCC．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA16．函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若﹣2＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x轴上、点C 在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．4D．2﹣4三．解答题（共10小题，满分81分）18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．19．（6分）一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，请你判断关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况．20．（7分）为了倡导“节约用水，从我做起”，鼓楼区政府决定对区直属机关300户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中某些家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户用水量每月均在10﹣14吨范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（不完整）和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）这些家庭月用水量数据的平均数是，众数是，中位数是；（3）根据样本数据，估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．22．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：△BEC∽△ABF；（2）求AF的长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，P A长为半径作⊙P．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．（3）若AB＝4，AC＝3，求出（1）中⊙P的半径．24．（10分）如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m 时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．26．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E 作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝，AK＝，求CN的长．27．（10分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．参考答案一．填空题1．解：由比例的性质，得b＝a．＝＝＝＝，故答案为：．2．解：∵数据﹣1，3，7，4的最大数为7、最小数为﹣1，∴极差为7﹣（﹣1）＝8，故答案为：8．3．解：∵a是方程x2+x﹣2011＝0的实数根，∴a2+a﹣2011＝0，即a2＝﹣a+2011，∴a2+2a+b＝﹣a+2011+2a+b＝a+b+2011，∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝﹣1+2011＝2010．故答案为2010．4．解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积之比为4：9．故答案为：4：95．解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，OD＝3，AD＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5，则圆O的半径为5．故答案为：56．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝6π，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4cm．7．解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．故答案为：．8．解：根据新定义可以列方程：（22﹣32）★x＝9，（﹣5）2﹣x2＝9，25﹣x2＝9，x2＝16，x1＝4，x2＝﹣4．故答案为：x1＝4，x2＝﹣4．9．解：∵DE∥BC，BC＝3DE，∴＝＝，∵AC＝6，∴AE＝2．故答案为2．10．解：在Rt△BCM中，∵AB＝BC＝4，∠CBM＝60°，∠M＝90°，∴∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝2，CM＝BM＝2，∴AM＝4+2＝6，∵四边形AMNP是正方形，∴MN＝MA＝6，∴CN＝MN﹣CM＝6﹣2，故答案为6﹣2．11．解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＞0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0；故①正确；②∵a＜0，c＞0，∴a﹣c＜0，∵b＞0，∴b＞a﹣c，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；④∵对称轴方程x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，故④正确；⑤∵x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故⑤错误．⑥∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，∵c＞0，∴2a+b+c＞0，故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥．故答案为：①③④⑥．12．解：∵y＝（x﹣2m）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2m，∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，∴m+1≤2m，解得m≥1，故答案为：m≥1．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，故选：D．14．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．15．解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；B、∵△AOD∽△BOC，∴＝，∴＝，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；C、∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO＝∠ODC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BC•CD＝AC•OA，故此选项错误，符合题意．故选：D．16．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+m＝﹣2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x＝﹣2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，∵﹣2＜x1＜x2，∴y1＞y2．故选：B．17．解：作圆，使∠ADB＝60°，设圆心为P，连结P A、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：∵A（，0），B（3，0），∴E（2，0），又∠ADB＝60°，∴∠APB＝120°，∴PE＝1，P A＝2PE＝2，∴P（2，1），∵C（0，5），∴PC＝＝2，又∵PD＝P A＝2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），∴CD最小值为：2﹣2．故选：B．三．解答题（共10小题，满分81分）18．解：（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．19．解：方程化为一般形式为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0，∴△＝4c2﹣4（a+b）（b﹣a）＝4（c2﹣b2+a2），又∵b，c为一直角三角形的三边，且∠B＝90°，∴b2＝c2+a2，∴△＝0，所以方程有两个相等的实数根．20．解：（1）根据统计图可得出被调查的总户数＝10÷20%＝50（户）；平均用水11吨的用户为：50×40%＝20（户），如图所示：（2）这50 个样本数据的平均数是11.6，众数是11，中位数是11；故答案为；11.6，11，11；（3）样本中不超过12吨的有10+20+5＝35（户），∴鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：300×＝210（户）．21．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为＝．22．解：（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠C＝90°，∴∠BAF＝∠EBC∴△BEC∽△ABF（2）在矩形ABCD中，AB＝10，∴CD＝AB＝10，∵E为DC的中点，∴CE＝5，又BC＝12，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝13，由△ABF∽△BEC得：即：＝，∴解得：AF＝23．解：（1）如图所示．（2）BC与⊙P相切．证明：作PH⊥BC于H，∵P为∠ACB的角平分线上，P A⊥CA，PH⊥CB，∴PH＝P A，P A是⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．（3）在Rt△ABC中，有勾股定理可得：，由S△ABC +S△P AC+S△PBC可得，设PH＝P A＝x，则有，解得：，即⊙P的半径为．24．解：（1）设抛物线形桥洞的函数解析式为y＝ax2+c，把A（3，0），E（0，3）代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+3，由题意得：点C与D的纵坐标为0.5，∴﹣x2+3＝0.5，解得：x1＝，x2＝﹣，∴CD＝+＝（米），则水面的宽度CD为米；（2）当x＝1时，y＝，∵﹣0.5＞1.8，∴这艘游船能从桥洞下通过．25．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4，解得：a＝﹣，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，AD＝﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t＝2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝OB＝4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．26．（1）证明：连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE＝90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD＝90°，∴∠OAG＝∠AKH＝90°，∵OA＝OG，∴∠AGO＝∠OAG，∴∠AGE＝∠AKH，∵∠EKG＝∠AKH，∴∠EKG＝∠AGE，∴KE＝GE．（2）设∠FGB＝α，∵AB是直径，∴∠AGB＝90°，∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣α，∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2α，∵∠FGB＝∠ACH，∴∠ACH＝2α，∴∠ACH＝∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH＝∠E，∴sin∠E＝sin∠ACH＝＝，设AH＝3a，AC＝5a，则CH＝＝4a，tan∠CAH＝＝，∵CA∥FE，∴∠CAK＝∠AGE，∵∠AGE＝∠AKH，∴∠CAK＝∠AKH，∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝4a，tan∠AKH＝＝3，AK＝＝a，∵AK＝，∴a＝，∴a＝1．AC＝5，∵∠BHD＝∠AGB＝90°，∴∠BHD+∠AGB＝180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，∴∠AKH＝∠ABG，∵∠ACN＝∠ABG，∴∠AKH＝∠ACN，∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN＝∠CPN＝90°，在Rt△APN中，tan∠CAH＝＝，设PN＝12b，则AP＝9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN＝＝3，∴CP＝4b，∴AC＝AP+CP＝13b，∵AC＝5，∴13b＝5，∴b＝，∴CN＝＝4b＝．27．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB＝4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC＝135°，∴设BD＝t，则CD＝t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，＝AB•CD＝﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣＝2，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m ＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m 的值为或10+2．。
江苏省镇江市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
江苏省镇江市九年级上学期期末数学试卷 （解析版）一、选择题1．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 3．方程 x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－44．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1 B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－15．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k ＞﹣1且k≠06．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；7．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．26°8．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝12x B ．y ＝2x 2-1C ．y 23x +D ．y ＝x 2＋1x＋1 9．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ） A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：110．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ） A ．4B ．4.5C ．5D ．611．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.512．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>13．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）A ．S 的值增大B ．S 的值减小C ．S 的值先增大，后减小D ．S 的值不变14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度15．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．2二、填空题16．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 17．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．19．如图，AB 、CD 、EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是____．（用“＜”连接）20．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．21．已知圆锥的侧面积为20πcm 2，母线长为5cm ，则圆锥底面半径为______cm ．22．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.23．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．24．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____． 25．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．26．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作O ，CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F ，则CDF ∆的面积为__________．27．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________． 28．如图，将二次函数y ＝12(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．29．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式21220h t t=-++，则火箭升空的最大高度是___m30．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝kx（k＞0）的图像在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.三、解答题31．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：表中数据a＝，b＝，c＝．（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．32．解下列一元二次方程．（1）x2＋x－6＝0；（2）2(x－1)2－8＝0．33．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC=22，AB=4.试判断点D 是不是△ABC 边AB 上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O 中，AB 为直径，且AB=5，AC=4.若点D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，求CD 的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C 为x 轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y 轴上是否存在一点D ，使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，点C 在OP 上，满足∠CBP ＝∠ADB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．35．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝2，∠DPA ＝45°． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．四、压轴题36．问题提出（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．37．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）38．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米24.565.8465.844.562…（1）当t 为何值时，网球高度达到最大值？ （2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．39．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，连GD ．是否存在点P ，使2GDGO=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.40．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.2．C解析：C 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．4．C解析：C【解析】【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．【详解】解：∵函数的对称轴为x=222b mma-=-=-，又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x＞1时，y随x的增大而增大，∴-m≤1，即m≥-1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．D解析：D【解析】∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0．解得：k＞﹣1且k≠0．故选D．考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．6．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【详解】如图：由勾股定理得：22222133AC BC++＝＝，所以cosB=313BCAB＝，sinB=21233AC ACtanBAB BC=＝＝，所以只有选项C正确；故选：C．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E的方程，解方程即可求得答案．【详解】解：如图，连接CO,∵CE＝OB＝CO=OD，∴∠E＝∠1，∠2＝∠D∴∠D=∠2＝∠E+∠1＝2∠E．∴∠3＝∠E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A. y＝12x是正比例函数，不符合题意；B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；C. y23xD. y＝x2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．9．B解析：B【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5，即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．11．C解析：C【解析】【分析】 因为OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理可得OP 、DQ 、PQ 的长度，又因为CP //DQ ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE ∽DQE ，可得CP DQ =PE EQ，设PE=x ，则EQ=14-x ，解得x 的取值，OE= OP-PE ，则OE 的长度可得．【详解】解：∵在⊙O 中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP ⊥AB ，QD ⊥AB ， ∴OCP 和ODQ 为直角三角形，根据勾股定理：，，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP ⊥AB ，QD ⊥AB ，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP //DQ ，且C 、D 连线交AB 于点E ，∴∠PCE=∠EDQ ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE ∽DQE ，故CP DQ =PE EQ， 设PE=x ，则EQ=14-x ，∴68=x 14-x，解得x=6， ∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C ．【点睛】 本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE 与DQE 相似，并得出线段的比例关系．12．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．13．D解析：D【解析】【分析】作PB ⊥OA 于B ，如图，根据垂径定理得到OB =AB ，则S △POB =S △PAB ，再根据反比例函数k 的几何意义得到S △POB =12|k |，所以S =2k ，为定值． 【详解】作PB ⊥OA 于B ，如图，则OB =AB ，∴S △POB =S △PAB ． ∵S △POB =12|k |，∴S =2k ，∴S 的值为定值． 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．D解析：D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．15．D解析：D【解析】【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD AB，∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC＝BD AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，×1．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．二、填空题16．a＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．解析：a＞0．【解析】试题分析：∵方程20x a+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．17．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=15 2AB= ,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=15 2MN,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=13 2BC=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=14 2AC,∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=5 ,∴由勾股定理得，CN=25,∴sin∠DEC=255 CNCE.故答案为：25.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.18．115°【解析】【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连解析：115°【解析】【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．r3 ＜r2 ＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径∴r3 ＜r2 ＜r1故答案为：r解析：r3＜r2＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径∴r3＜r2＜r1故答案为：r3＜r2＜r1【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.20．【解析】 如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，∴sinA=.解析：5 【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=221+1=2，AB=223+1=10，∴sinA=2510BD AB ==.21．4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积解析：4【解析】【分析】由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：2405S l r π===8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得822l r πππ===4cm ． 故答案为：4．【点睛】 本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．22．3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．23．25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x，，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合解析：25%【解析】【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案.【详解】设每次降价的百分比为x ， 280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去）故答案为：25%.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1±x ）2=后量，即可解答此类问题.24．5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这解析：5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为5．【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.25．【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为．【点睛】此题主要解析：1 3【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是31 93 ，故答案为13．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式. 26．【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x解析：32【解析】【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．【详解】解：∵CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt △CDF 中,由勾股定理得:DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=12,则DF=32∴CDF ∆的面积为13222⨯⨯=32 故答案为32． 【点睛】 本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．27．=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：=31.5故答案为：=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的解析：()2561x -=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．根据题意，得： ()2561x -=31.5故答案为：()2561x -=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 28．y=0.5(x-2)+5【解析】解：∵函数y=（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B （4，3），过A 作AC解析：y=0.5(x-2)2+5【解析】解：∵函数y =12（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m =12（1﹣2）2+1=112，n =12（4﹣2）2+1=3，∴A （1，112），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则C （4，112），∴AC =4﹣1=3．∵曲线段AB 扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=12，∴AA ′=4，即将函数y =12（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y =12（x ﹣2）2+5．故答案为y =0.5（x ﹣2）2+5．点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA ′是解题的关键．29．56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵==，∵，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故解析：56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵21220h t t =-++=2(23636)120t t -+-+-=2(6)56t --+，∵10a =-<，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故答案为：56．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．30．或【解析】【分析】过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt△ADB 中，AD=m ，BD= 解析：9y x =或16y x = 【解析】【分析】过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为7，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt △ADB 中，AD=m ，BD=7-m ，根据勾股定理列方程即可求出m 的值，进而可得A 点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.【详解】过A作AD垂直于x轴，设A点坐标为（m，n），∵A在直线y=x上，∴m=n，∵AC长的最大值为7，∴AC过圆心B交⊙B于C，∴AB=7-2=5，在Rt△ADB中，AD=m，BD=7-m，AB=5，∴m2+(7-m)2=52，解得：m=3或m=4，∵A点在反比例函数y＝kx（k＞0）的图像上，∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16，∴该反比例函数的表达式为：9yx=或16yx=，故答案为9yx=或16yx=【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC的最长值是通过圆心的直线是解题关键.三、解答题31．解：（1）a＝135，b＝134.5，c＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定．【解析】【分析】（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据；（2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果．【详解】解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135，中位数为1341352+=134.5； 根据方差公式:s 2=()()()()()2222211321351341355135135213613513713510⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦=1.6，∴a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6； （2）①从众数看，一班一分钟跳绳135的人数最多，二班一分钟跳绳134的人数最多；所以一班的成绩好于二班；②从中位数看，一班一分钟跳绳135以上的人数比二班多；③从方差看，S 2一＜S 2二；一班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，二班速度最快的选手比一班多一人；⑤一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当.【点睛】此题是一道实际问题，不仅考查了统计平均数、中位数、众数和方差的定义，更考查了同学们应用知识解决问题的发散思维能力．32．（1）123;2x x =-=；（2）123;1x x ==-【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方方程；（2）用直接开平方法解一元二次方程.【详解】解：（1）x 2＋x －6＝0；(3)(2)0x x +-=∴123;2x x =-=（2）2(x －1)2－8＝0．22(1)8x -=2(1)4x -=12x -=±∴123;1x x ==-【点睛】本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键.33．（1）是，理由见解析；（2）125；（3）D （0,42）或D （0,6） 【解析】【分析】（1）依据边长AC=AB=4，D 是边AB 的中点，得到AC 2=AD AB ，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B ；(2)由点D 是△ABC 的“理想点”，得到∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A ，分两种情况证明均得到。
2018-2019第一学期九年级数学期末考试试卷(有答案)
2018～2019学年度第一学期九年级数学期末教学质量检测试卷查考答案及评分标准1．C ； 2.B ； 3.B ； 4.C ； 5.D ； 6.C ； 7.D ； 8.B ； 9.C ；10．A.11.m=1； 12.3π；13.25°；14.65； 15.2＋； 16.－1或2或1； 17.50°；18.②④.19．(1)x 1＝－2＋，x 2＝－2－. (2)x 1＝2，x 2＝－1.20.解：(1)小明小军共有20种等可能的结果；(5分)(2) 在20种结果中，两支笔颜色相同的结果有8种，∴小明获胜的概率为P ＝208＝52，小军获胜的概率为P ＝2012＝53.(10分)21.解：（1）如图1，C 1（1，﹣2）；(3分)（2）如图2，C 2（﹣1，1）；(6分)（3）如图3，B 3（﹣3，﹣4）.(10分)22. (1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC.(5分)(2)如图所示，连接BD ，∵AB 为直径，∴BD ⊥AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a)2.在Rt △CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(2)2－a 2.∴42－(4－a)2＝(2)2－a 2，整理得a ＝23，即CD ＝23.(10分)23.证明：（1）如图所示，连接AC ，AC ′，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥CC ′，∵将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，得到矩形AB ′C ′D ′，∴AC ＝AC ′，∴BC ＝BC ′.(6分)(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠ABC ′＝90°，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，得到矩形AB ′C ′D ′，∴AD ＝AD ′，∵BC ＝BC ′，∴BC ′＝AD ′，在△AD ′E 与△C ′BE 中， AD ′＝BC ′，∠AED ′＝∠BEC ′，∴△AD ′E ≌△C ′BE ，∴BE ＝D ′E ，设AE ＝x ，则D ′E ＝2－x ，在Rt △AD ′E 中，∠D ′＝90°，由勾股定理，得x 2－(2－x)2＝1，解得x ＝45，∴AE ＝45. (12分)24.(1)设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x ，根据题意，得：500(1＋x)2＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍)答：2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%.(6分)（2）根据题意，得720a －720×100%≤15%，解得a ≤828，又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，故a 的取值范围为720＜a ≤828.(12分)25.（1）证明：如图所示，连接OC ，∵直线y ＝33x ＋2与y 轴相交于点E ，∴点E 的坐标为(0，2)，即OE ＝2.又∵点B的坐标为(0，4)，∴OB ＝4，∴BE ＝OE ＝2，又∵OA 是⊙P 的直径，∴∠ACO ＝90°，即OC ⊥AB ，∴OE ＝CE.(6分)(2)直线CD 是⊙P 的切线．证明：连接PC ，PE ，由(1)可知OE ＝CE.在△POE 和△PCE 中， OE ＝CE ，PE ＝PE ，∴△POE ≌△PCE ，∴∠POE ＝∠PCE.又∵x 轴⊥y 轴，∴∠POE ＝∠PCE ＝90°，∴PC ⊥CE ，即PC ⊥CD.又∵直线CD 经过半径PC 的外端点C ，∴直线CD 是⊙P 的切线．∵对y ＝33x ＋2，当y ＝0时，x ＝－6，即OD ＝6，在Rt △DOE 中，DE ＝＝＝4，∴CD ＝DE ＋EC ＝DE ＋OE＝4＋2＝6.设⊙P 的半径为r ，则在Rt △PCD 中，由勾股定理知PC 2＋CD 2＝PD 2，即 r 2＋(6)2＝(6＋r)2，解得r ＝6，即⊙P 半径的值为6.(12分)26..解：(1)∵点A (4，0)在抛物线y 1＝－x 2＋413x ＋c 上， ∴－42＋413×4＋c ＝0，解得c ＝3，∴抛物线解析式为y 1＝－x 2＋413x ＋3， 第26题解图∵点B 是抛物线y 1与y 轴的交点，∴点B 的坐标为(0，3)．(4分)(2)根据图可知，当x ＞4或x ＜0时，y 1<y 2；(8分)(3)取AB 的中点为C ，∵点A (4，0)，点B (0，3)，∴点C (2，23)，过点C 作CE ⊥AB ，交x 轴于E ，交y 轴于F .在Rt △ABO 中，AO ＝4，BO ＝3，∴AB ＝5，∵C 是AB 的中点，∴AC ＝25，∵∠ACE ＝∠AOB ＝90°，∠EAC ＝∠BAO ， ∴△AEC ∽△ABO ，∴AB AE ＝AO AC ，即5AE ＝2，解得AE ＝825，∴OE ＝OA －AE ＝4－825＝87，此时点P 与点E 重合，坐标为(87，0)．∵∠FBC ＝∠ABO ，∠FCB ＝∠AOB ， ∴△ABO ∽△FBC ，∴AB BF ＝BO BC ，即53＋OF ＝2，解得OF ＝67，∴此时点P 的坐标为(0，－67)．(14分)。
2018—2019学年上期期末考试九年级数学参考答案
2018—2019学年上期期末考试九年级数学 参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1.A2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.C9.C 10.A二、填空题(每小题3分，共15分) 11.43； 12.15°； 13.k >0且k ≠1； 14.39； 15.178817或三、解答题（75分）16.解：（1﹣）÷=•=• =， ……………………………………………………4分a (a +1)=0的解为120, 1.a a ==- ……………………………………………………6分因为0,a ≠所以 当a =﹣1时，原式==． ………………………………………………8分17.解：（1）80， 0.2；…………………………………………………………4分（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：36° ； ……………………………6分（3）2000×0.25=500（人）；答：估计该校2000名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数为500人.… 9分18. （1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC . ………………………………1分 ∵D 为AC 的中点，∴AD=CD . ………………………………………………………2分 在△ADE 和△CDF 中，∵，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）.∴DE=DF .∴四边形AFCE 是平行四边形； …………………………………5分（2）① 8； …………………………………7分② t =165或163. …………………………………………………9分 19.解：(1)设DF 的延长线交AB 于点G , BG=x 米，因为∠BFG =45°，所以FG=BG=x 米， ……………………………………2分∵∠BDG =40°，∴DG =tan 0.84BG x BDG =∠. ………3分 ∵DG ﹣FG=DF ， ∴0.84x ﹣x =53.…………5分 解得，x =278.25.…………7分278.25+1.5=279.75 280（米）．………8分答： 郑州会展宾馆的高度约为280米．………………………9分20.解：（1）过点B 作BF ⊥x 轴于点F .∵∠BCA =90°，∴∠BCF +∠ACO =90°.又∵∠CAO +∠ACO =90°，∴∠BCF =∠CAO .∵90BFC COA ∠=∠=，BC=AC ．∴BFC ∆≌COA ∆．∴CF=OA=2， BF=OC=1．∴点B 的坐标为（﹣3，1）．…………………………………………4分 将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：1=3-k ， 解得：k =﹣3， 故可得反比例函数解析式为y =x3-； …………………………6分 (2) 结合点B 的坐标及图象，可得当x ＜0时，kx +b xm -＜0的解集为：﹣3＜x ＜0． ………………………9分21.解：（1）设甲种笔记本的进价为m 元/本，则乙种笔记本的进价为n 元/本，根据题意得10,4(2)3(1)47.m n m n +=⎧⎨+++=⎩…………………2分 解得6,4.m n =⎧⎨=⎩ 答：甲种笔记本的进价为6元/本，乙种笔记本的进价为4元/本．………4分（2）设购入甲种笔记本a 本，则购入乙种笔记本（60﹣a ）本．根据题意得：64(60)296a a +-≤．解得28a ≤．设利润为y 元，则2(60)y a a =+- ， y 60a =+．因为k =1，所以y 随a 的增大而增大，所以当a =28时利润最大．………………………………7分（3）设把两种笔记本的价格都提高x 元的总利润为w 元，根据题意得：w =（2+x ）（350﹣50x ）+（1+x ）（150﹣40x ）=﹣90（x ﹣2）2+1210，…………………………8分∵在w =﹣90（x ﹣2）2+1210中，a =﹣90＜0，∴当x =2时，w 取最大值，最大值为1210．答：当x 定为2元时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大，最大利润为1210元． ……………………………………10分22. （1）证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°， ∴AB=AC =3，AD=AE =2，∠DAB =∠CAE ．∴△ADB ≌△AEC ．∴∠ABD =∠ACE ． …………………………………4分（2）（1）中结论成立，理由：在Rt △ABC 中，∠ABC =30°，∴AB =3AC ．在Rt △ADE 中，∠ADE =30°，∴AD=3AE ， ∴ACAE AB AD =. ∵∠BAC=∠DAE =90°，∴∠BAD=∠CAE ．∴△ADB ∽△AEC ．∴∠ABD=∠ACE ． ……………………………8分（3）PB 的长为13或13． ………………………………10分23.（1）将A （-2，0）、C （-4，4）代入y =﹣21x 2+bx +c 中， 得：220844b c b c --+=⎧⎨--+=⎩，解得：58b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为y =﹣21x 2﹣5x ﹣8．……………………………4分 (2) 当y =0时，有﹣21x 2-5x ﹣8=0， 解得：x 1=-2，x 2=-8，∴点B 的坐标为（-8，0）．设BC 的解析式为y=kx +a （k ≠0），将B （-8，0）、C （-4，4）代入y =kx +a 中，得：44,80.k a k a -+=⎧⎨-+=⎩解得：1,8.k a =⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为y =x +8．…………………………6分设点E 的坐标为（m ，m +8），则点D 的坐标为（m +2， m +10），点G 的坐标为［m+2，﹣21(m+2)2-5(m+2)﹣8］，点F 的坐标为(m ，﹣21m 2-5m ﹣8)． ∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴DG=EF ，即﹣21(m+2)2-5(m+2)﹣8﹣（m +10）=﹣21m 2-5m ﹣8-（m +8）． 解得：7,m =- m +8=1 . ………………… 8分∴点E 的坐标为（7-，1）．当图中四边形DEFG 是平行四边形时，此时直尺左边边缘与直线BC的交点E的刻度是1 ．……………9分（3）（-4，6）或（-4，﹣6）．…………………………11分。
2018-2019学年江苏省镇江市九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省镇江市九年级（上）期末数学试卷一.填空（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）1．（2分）已知关于x的方程x2+x+a﹣1＝0的一个根是0，则a＝．2．（2分）若圆锥的母线长为4cm，其侧面积12πcm2，则圆锥底面半径为cm．3．（2分）某公司今年4月份营业额为100万元，6月份营业额达到121万元，该公司营业额的月均增长率为x，则可列方程为．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．5．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：若把听、说、读、写的成绩按4：3：2：1计算平均成绩，则张明的平均成绩为．6．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝°．7．（2分）若二次函数y＝（m+1）x|m|+4x﹣16的图象开口向下，则m＝．8．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点为（1，﹣2），则其图象与y轴的交点坐标为．9．（2分）小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为．10．（2分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当y＞8时，x的取值范围是．11．（2分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为经过点（1，0）且垂直于x轴的直线．给出四个结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）12．（2分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC＝45°，则点D 的坐标为．二.选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）13．（3分）解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（）A．（x﹣4）2＝21B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x+4）2＝11 14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+7沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+6x﹣11B．y＝x2+6x+7C．y＝﹣x2+6x+7D．y＝x2﹣6x+1115．（3分）下列说法正确的是（）A．某种彩票的中奖机会是1%则买100张这种彩票一定会中奖B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式C．一组数据3，4，5，5，5，6，10的平均数大于中位数D．同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是16．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°17．（3分）已知二次函数y＝x2﹣bx+c，点A（1，y1）与点B（1+t，y2）都在该函数的图象上，且t是正整数，若满足y1＞y2的点B有且只有3个，则b的取值范围是（）A．4＜b≤5B．5＜b≤6C．4≤b＜5D．5≤b＜6三.解答题18．（20分）解方程（1）x2﹣3x＝0（2）2x2﹣4x﹣5＝0（3）x（x﹣1）＝0（4）（x﹣1）2＝3x﹣319．（7分）某校为市体校选拔一名篮球队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，右图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．（1）请你根据图中的数据，填写下表（2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？（3）若你是教练，你打算选谁参赛？请利用以上数据或图中信息简要说明理由．20．（7分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球这些球除颜色外都相同（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和红球是等可能的你同意吗？为什么．（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球是一红一白的概率；（3）在这只袋中再放入若干个白球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出白球的概率为，应再放入多少个白球？21．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为；（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为．22．（7分）二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B两点，与y 轴交于点C（0，5），其顶点为D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求△BCD的面积．23．（7分）已知京润生物制品厂生产某种产品的年产量不超过800吨，生产该产品每吨所需相关费为10万元，且生产出的产品都能在当年销售完．产品每吨售价y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系如图所示（1）当该产品年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣相关费用）（2）当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润？最大毛利润多少万元．24．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD（1）判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．25．（9分）如图1，有一块直角三角板，其中AB＝16，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，A、B在x轴上，点A的坐标为（20，0），圆M的半径为3，圆心M的坐标为（﹣5，3），圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使∠EMF＝90°？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．26．（10分）已知抛物线y＝（x+1）（x﹣m），其中m＞0，直线l是它的对称轴，把该抛物线沿着x轴水平向左平移个单位长度后，与x轴交于点A、B，（A在B的左侧），如图1，P为平移后的抛物线上位于第一象限内的一点（1）点A的坐标为；（2）若点P的横坐标为，求出当m为何值时△ABP的面积最大，并求出这个最大值；（3）如图2，AP交l于点D，当D为AP的中点时，求证：∠PAB＝45°．2018-2019学年江苏省镇江市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）1．（2分）已知关于x的方程x2+x+a﹣1＝0的一个根是0，则a＝1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+x+a﹣1＝0可求出a的值．【解答】解：把x＝0代入x2+x+a﹣1＝0得a﹣1＝0，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2分）若圆锥的母线长为4cm，其侧面积12πcm2，则圆锥底面半径为3cm．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设底面半径为r，12π＝πr×4，解得r＝3cm．故答案为：3．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是圆锥侧面积的灵活运用．3．（2分）某公司今年4月份营业额为100万元，6月份营业额达到121万元，该公司营业额的月均增长率为x，则可列方程为100（1+x）2＝121．【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，结合4月、6月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该公司营业额的月均增长率为x，根据题意，得100（1+x）2＝121．故答案为：100（1+x）2＝121．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．4．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△＝0，此题难度不大．5．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：若把听、说、读、写的成绩按4：3：2：1计算平均成绩，则张明的平均成绩为92．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：张明的平均成绩为＝92，故答案为：92．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．6．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝50°．【分析】利用圆周角定理计算即可．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BOC＝100°，∴∠BAC＝50°，故答案为50【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．（2分）若二次函数y＝（m+1）x|m|+4x﹣16的图象开口向下，则m＝﹣2．【分析】由二次函数的定义可知|m|＝2，由抛物线的开口向下可知m+1＜0，从而可求得m的值．【解答】解：∵二次函数y＝（m+1）x|m|+4x﹣16的图象开口向下，∴，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义与性质，掌握二次函数的定义和性质是解题的关键．8．（2分）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点为（1，﹣2），则其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．【分析】先根据抛物线顶点坐标求出b和c的值，再求出x＝0时y的值即可得出答案．【解答】解：根据题意知，解得：，所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，∴此二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的顶点坐标公式．9．（2分）小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为π．【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．【解答】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°， ∵正方形的边长为6，∴AB ＝×6＝3， ∵⊙O 是内切圆，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，∴BO ＝AB tan30°＝3×＝，则正三角形的面积是×62＝9，而圆的半径是，面积是π•（）2＝3π，因此概率是＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查几何概率，用到的知识点为：边长为a 的正三角形的面积为：a 2，求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．10．（2分）已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3，当y ＞8时，x 的取值范围是 x ＜﹣1或x ＞5 ． 【分析】先求出y ＝8时x 的值，再利用二次函数的值求解可得． 【解答】解：当y ＝8时，x 2﹣4x +3＝8， 解得x 1＝﹣1，x 2＝5， ∵a ＝1＞0，∴当y ＞8时，x ＜﹣1或x ＞5， 故答案为：x ＜﹣1或x ＞5．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系．11．（2分）如图所示是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为经过点（1，0）且垂直于x 轴的直线．给出四个结论：①abc ＞0；②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；③4a ﹣2b +c ＞0；④3a +c ＞0．其中正确的结论是 ②④ （写出所有正确结论的序号）【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②由图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；③当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③错误；④∵＝1，∴2a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0，故④正确；故答案为：②④．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．12．（2分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC＝45°，则点D的坐标为（，0）．【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA＝OB＝2，OC＝4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据圆周角定理得到∠BEC＝∠BAC ＝45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC＝CE，根据全等三角形的性质得到E （2，﹣4），待定系数法得到直线BE的解析式为y＝﹣3x+2，于是得到结论．【解答】解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠BEC＝∠BAC＝45°，∵∠DBC＝45°，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC＝CE，∵∠CBO+∠BCO＝∠BOC+∠ECF＝90°，∴∠OBC＝∠FCE，在△OBC与△FCE中，，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF＝OB＝2，EF＝OC＝4，∴OF＝2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+2，当y＝0时，x＝，∴D（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．二.选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）13．（3分）解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（）A．（x﹣4）2＝21B．（x﹣4）2＝11C．（x+4）2＝21D．（x+4）2＝11【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：∵x2﹣8x＝5，∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+7沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+6x﹣11B．y＝x2+6x+7C．y＝﹣x2+6x+7D．y＝x2﹣6x+11【分析】先把y＝x2﹣6x+7配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣2），再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2），然后利用顶点式写出变换后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣2），∵点（3，﹣2）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2），∴抛物线y＝x2﹣6x+7沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是y＝（x+3）2﹣2，即y ＝x2+6x+7．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．15．（3分）下列说法正确的是（）A．某种彩票的中奖机会是1%则买100张这种彩票一定会中奖B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式C．一组数据3，4，5，5，5，6，10的平均数大于中位数D．同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是【分析】根据抽样调查、概率的定义和求法、中位数的定义进行判断即可．【解答】解：A、某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，故本选项错误；B、为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项错误；C、数据3，4，5，5，5，6，10的平均数是：（3+4+5+5+5+6+10）÷7＝，中位数是5，平均数大于中位数，故本选项正确；D、同时抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面朝上且另一枚反面朝上的概率是＝，故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了概率、抽样调查、众数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．16．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于（）A．68°B．58°C．72°D．56°【分析】根据圆周角定理求出∠AOC即可解决问题．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝34°，∴∠AOC＝68°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣68°）＝56°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）已知二次函数y＝x2﹣bx+c，点A（1，y1）与点B（1+t，y2）都在该函数的图象上，且t是正整数，若满足y1＞y2的点B有且只有3个，则b的取值范围是（）A．4＜b≤5B．5＜b≤6C．4≤b＜5D．5≤b＜6【分析】根据二次函数图象上的两点到对称轴距离相同则它们的函数值相同，且要满足B 点有且只有三个【解答】解：由解析式得二次函数开口向上且对称轴为x＝，∵t是正整数，满足y1＞y2的点B有且只有3个，∴t═3即B（4，y2）．设图象上与A（1，y1）函数值相同的点的坐标为（x0，y3）．有4＜x0≤5，而（1+x0）÷2＝∴x0＝b﹣1即4＜b﹣1≤5，∴5＜b≤6．故选：B．【点评】主要考查二次函数的图象性质，会利用函数值相同的两点横坐标与对称轴的关系，及不等式的求解三.解答题18．（20分）解方程（1）x2﹣3x＝0（2）2x2﹣4x﹣5＝0（3）x（x﹣1）＝0（4）（x﹣1）2＝3x﹣3【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）先变形得到（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±所以x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1；（4）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，x＝1或x﹣4＝0，所以x1＝1，x2＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．19．（7分）某校为市体校选拔一名篮球队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，右图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．（1）请你根据图中的数据，填写下表（2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？（3）若你是教练，你打算选谁参赛？请利用以上数据或图中信息简要说明理由．【分析】（1）根据极差，众数，方差的定义即可解决问题；（2）利用方差判断即可．（3）从平均数，众数，方差，发展趋势分别分析即可解决问题．【解答】解：（1）王亮的极差＝8﹣6＝2．李刚的整数为7，平均数＝＝7，方差＝[（4﹣7）2+0+0+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2.8，故答案为：2，7，2.8．（2）王亮的方差小，成绩比较稳定．（3）从平均数，众数看，两人的成绩差不多．从方差看：选王亮．因为王亮的方差小，成绩比较稳定．从发展趋势看：选李刚，因为李刚的成绩越来越好．【点评】本题考查方差，众数，极差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（7分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球这些球除颜色外都相同（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和红球是等可能的你同意吗？为什么．（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球是一红一白的概率；（3）在这只袋中再放入若干个白球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出白球的概率为，应再放入多少个白球？【分析】（1）根据概率公式分别求出摸出的球是红球和白球的概率即可作出判断；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球是一红一白的情况，再利用概率公式即可求得答案．（3）设应再放入x个白球，根据“摸出白球的概率为”列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）不同意，∵袋子中装有2个红球和1个白球，∴任意摸出一个球，是红球的概率为，是白球的概率为，故摸出白球和红球的可能性不相等．（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，摸到的两个球是一红一白的有4种情况，∴两个球是一红一白的概率是＝；（3）设应再放入x个白球，根据题意，得：＝，解得x＝5，经检验x＝5是原分式方程的解，∴应再放入5个白球．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为（5，5）；（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB＝∠ACB，则点D的坐标为（7，0）．【分析】（1）分别作出三角形任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出符合题意的D点位置．【解答】解：（1）如图所示：圆心坐标为：（5，5）；故答案为：（5，5）；（2）如图所示：点D的坐标为（7，0）；故答案为：（7，0）．【点评】此题主要考查了复杂作图以及三角形外接圆与外心，正确得出圆心的位置是解题关键．22．（7分）二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，5），其顶点为D．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求△BCD的面积．【分析】（1）将点A与点C坐标代入计算可得；（2）先求出抛物线的顶点坐标及点B坐标，再利用割补法求解可得．【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，5）代入解析式，得：，解得，∴此二次函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴D（2，9），当y＝0时，﹣x2﹣4x+5＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣5，∴B （﹣5，0），则S △BCD ＝S 梯形OBDE ﹣S △BOC ﹣S △CDE＝×（2+5）×9﹣×5×5﹣×2×4＝﹣﹣4＝15．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质，割补法求三角形的面积．23．（7分）已知京润生物制品厂生产某种产品的年产量不超过800吨，生产该产品每吨所需相关费为10万元，且生产出的产品都能在当年销售完．产品每吨售价y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系如图所示（1）当该产品年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润＝销售额﹣相关费用）（2）当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润？最大毛利润多少万元．【分析】（1）根据题意可以求得产品每吨售价y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式，从而可以列出相应的方程，本题得以解决；（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得当该产品年产量为多少吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润，最大毛利润多少万元．【解答】解：（1）设产品每吨售价y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系是y ＝ax +b ，，得，∴y ＝﹣0.01x +30，（﹣0.01x +30）x ﹣10x ＝7500，解得，x1＝500，x2＝1500（舍去），答：当该产品年产量为500吨时，当年可获得7500万元毛利润；（2）设该厂能获得当年销售的毛利润为w万元，w＝（﹣0.01x+30）x﹣10x＝﹣0.01（x﹣1000）2+10000，∵0≤x≤800，∴当x＝800时，w取得最大值，此时w＝9600，答：当该产品年产量为800吨时，该厂能获得当年销售的最大毛利润，最大毛利润是9600万元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．24．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD（1）判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PD，证明△ABP≌△ADP，根据全等三角形的性质得到∠ABP＝∠ADP＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAC，得到BC＝CE＝3，根据切割线定理计算即可．【解答】解：（1）PB与⊙O相切理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，又AB＝AD，∴AP是线段BD的垂直平分线，∴PB＝PD，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SSS）∴∠ABP＝∠ADP＝90°，∴PB与⊙O相切；（2）∵△ABP≌△ADP，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CE＝3，∵AB＝AD，AC⊥BD，∴BC＝CD＝3，由切割线定理得，DC•DB＝DE•DA，即3×6＝DE×（DE+7），解得，DE＝2，∴DA＝2+7＝9，∴AB＝AD＝9，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查的是切线的判定定理、全等三角形的判定和性质，切割线定理的应用，掌握切线的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（9分）如图1，有一块直角三角板，其中AB＝16，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，A、B在x轴上，点A的坐标为（20，0），圆M的半径为3，圆心M的坐标为（﹣5，3），圆M以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右做平移运动，运动时间为t秒（1）求点C的坐标；（2）当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，求t的值；（3）如图2，点E、F分别是BC、AC的中点，连接EM、FM，在运动过程中，是否存在某一时刻，使∠EMF＝90°？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，OH即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．想办法求出OH 的长即可解决问题．（3）设M（﹣5+t，3），EF＝AB＝8，由∠EMF＝90°，可得EM2+MF2＝EF2，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵A（20，0），AB＝16，∴OA＝10，OB＝4，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝16，∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝8，CH＝BC•sin60°＝4，BH＝BC•cos60°＝4，∴OH＝8，∴C（8，4）．（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．∵MN＝MH＝3，MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH＝∠MBN＝30°，∴BH＝MH＝9，∴点M的运动路径的长为5+4+9＝18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．（3）∵C（8，4），B（4，0），A（20，0），∵CE＝EB，CF＝FA，∴E（6，2），F（14，2），设M（﹣5+t，3），EF＝AB＝8，∵∠EMF＝90°，∴EM2+MF2＝EF2，∴（6+5﹣t）2+（）2+（14+5﹣t）2+（）2＝82，整理得：t2﹣30t+212＝0解得t＝15±．【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（10分）已知抛物线y＝（x+1）（x﹣m），其中m＞0，直线l是它的对称轴，把该抛物线沿着x轴水平向左平移个单位长度后，与x轴交于点A、B，（A在B的左侧），如图1，P为平移后的抛物线上位于第一象限内的一点（1）点A的坐标为（﹣，0）；（2）若点P的横坐标为，求出当m为何值时△ABP的面积最大，并求出这个最大值；（3）如图2，AP交l于点D，当D为AP的中点时，求证：∠PAB＝45°．【分析】（1）设y＝0，可求平移前抛物线与x轴的交点坐标，即可求平移后点A坐标；（2）由题意可求平移后抛物线解析式，即可求点P坐标，由三角形面积公式可求S△ABP＝×（m+1）（4﹣m）＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可求解；（3）过点D作DM⊥AB于M，过点P作PN⊥AB于点N，由题意可求点N坐标，即可求AN＝PN＝m+6，可证∠PAB＝45°．【解答】解：（1）设y＝0，则0＝（x+1）（x﹣m），∴x1＝﹣1，x2＝m，∴抛物线y＝（x+1）（x﹣m）与x轴交点坐标（﹣1，0），（m，0）∵该抛物线沿着x轴水平向左平移个单位长度后，与x轴交于点A、B，∴点A（﹣，0）故答案为：（﹣，0）（2）∵平移后解析式为：y＝（x+1+）（x﹣m+）＝（x+）（x﹣m+）∴当x＝时，y＝4﹣m，＝×（m+1）（4﹣m）＝﹣（m﹣）2+∴S△ABP∴当m＝时，△ABP的面积最大值为，（3）如图，过点D作DM⊥AB于M，过点P作PN⊥AB于点N∴DM∥PN∴，且AD＝DP∴MN＝AM∵点M坐标（，0），点A（﹣，0）∴点N（m+，0）∴AN＝6+m当x＝m+，y＝m+6∴PN＝m+6＝AN∴∠PAB＝45°【点评】本题是二次函数综合题，考查了平移的性质，平行线的性质，二次函数的性质，求点P的坐标是本题的关键．。
江苏省镇江市2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
江苏省镇江市2019届九年级上学期期末数学试卷一、填空题（每题2分，共24分）1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是．2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．5．一组数据1、3、5、7的方差是．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是．7．若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0有一个根为﹣1，则方程的另一根为．8．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=35°，则∠BAD=°．9．若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积=（结果保留π）．10．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=米，则水面宽度CD=米．11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是．12．已知二次函数y=x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是（用含a的代数式表示）．二、选择题（每题3分，共15分）13．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期2019届中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，90分，则他的数学成绩是（）A．89分B．88.5分C．85.5分D．84分14．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm15．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠016．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．17．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2三、解答题18．解下列方程：（1）（x﹣1）2=9（2）x2﹣4x+3=0．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4．（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的度数和的长．20．某校2019届九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：九（1）班：92，93，93，93，93，93，97，98，98，100九（2）班：91，93，93，93，96，97，97，98，98，99（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由．21．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0．（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．23．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．24．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）25．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．26．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1=x2﹣x+n与y2=﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；（3）已知函数y=（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x﹣3）（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，经过点A的直线l：y=ax+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）直接写出点A的坐标、点B的坐标；（2）如图（1），若顶点M的坐标为（1，4），连接BM、AM、BD，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形ADBM的面积；（3）如图（2），连接DM，当a为何值时，直线DM与x轴的夹角为45°？（4）如图（3），点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为时，请直接写出此时E点的坐标．江苏省镇江市2019届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题2分，共24分）1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，则m取值范围是m≠1．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案为：m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．【考点】几何概率．【分析】先确定黑色区域的面积与总圆面面积的比值，此比值即为所求的概率．【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴平移后的解析式为：y=（x﹣1）2﹣2．故答案为：y=（x﹣1）2﹣2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．4．一元二次方程（x﹣4）2=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为12．【考点】解一元二次方程-直接开平方法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】首先利用直接开平方法解出一元二次方程的解，再根据等腰三角形的特点计算出周长即可．【解答】解：（x﹣4）2=0，两边直接开平方得：x﹣4=0，解得：x1=x2=4，等腰三角形的周长为4×3=12，故答案为：12．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，以及等腰三角形的性质，关键是掌握直接开方法求一元二次方程的解．5．一组数据1、3、5、7的方差是5．【考点】方差．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，进行计算即可．【解答】解：数据的平均数=（1+3+5+7）=4，方差s2=[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]=5．则一组数据1、3、5、7的方差是5．故答案为：5．【点评】本题考查了方差的定义，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，∴∠BCD=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．若关于x的方程x2﹣2x﹣a=0有一个根为﹣1，则方程的另一根为3．【考点】根与系数的关系．【分析】设另一根为x，由根与系数的关系得两根之和等于2，解方程求得．【解答】解：由题意方程有一个根为﹣1设另一根为x，则﹣1+x=2，解得x=3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，本题由两根之和等于2进行求解．8．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=35°，则∠BAD=55°．【考点】圆周角定理．【分析】由在⊙O中，AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，又由圆周角定理可得∠B=∠ACD，继而求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=35°，∴∠BAD=90°﹣∠B=55°．故答案为：55．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．注意掌握直径对的圆周角是直角是解此题的关键．9．若一个圆锥的底面半径长是10cm，母线长是18cm，则这个圆锥的侧面积=180π（结果保留π）．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×10π=20π，则×20π×18=180π．故答案为：180π．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O、B，以点O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若AC=米，则水面宽度CD=180米．【考点】二次函数的应用．【专题】推理填空题．【分析】根据桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，AC=米，可知点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式可以求得点C和点D对应的点的横坐标，从而可以求得宽度CD的长度．【解答】解：∵桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣+16，桥拱与桥墩AC的交点C 恰好在水面，有AC⊥x轴，AC=米，∴点C对应的纵坐标为：﹣，将y=﹣代入y=﹣+16，得，解得x1=﹣10，x2=170，宽度CD=170﹣（﹣10）=180米．故答案为：180．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．11．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤4．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】结合图象可得y≥﹣4，即ax2+bx≥﹣4，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=﹣m，则有﹣m≥﹣4，即可解决问题．【解答】解：由图可知：y≥﹣4，即ax2+bx≥﹣4，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=﹣m，∴﹣m≥﹣4，∴m≤4．故答案为：m≤4．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．12．已知二次函数y=x2﹣ax﹣1，若0＜a≤，当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣﹣1＜y＜a（用含a的代数式表示）．【考点】二次函数的性质．【分析】首先进行配方，根据a的取值范围求出函数的最小值，然后结合对称轴的区间范围求出二次函数的最大值．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣ax﹣1，∴y=（x﹣）2﹣﹣1，∴当x=时y有最小值为﹣﹣1，∵二次函数的对称轴是x=，而0＜a≤，∴其对称轴在x轴的正半轴，∴当x=﹣1时有最大值为a，∴当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣﹣1＜y＜a．故答案为﹣﹣1＜y＜a．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据a的取值范围确定对称轴的区间范围，此题有一定的难度．二、选择题（每题3分，共15分）13．某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期2019届中考试成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为90分，85分，90分，则他的数学成绩是（）A．89分B．88.5分C．85.5分D．84分【考点】加权平均数．【分析】根据数学成绩=期末考试成绩×所占的百分比+期2019届中考试成绩×所占的百分比+平时作业成绩×所占的百分比即可求得该学生的数学成绩．【解答】解：该学生的数学成绩：90×70%+85×20%+90×10%=63+17+9=89（分）．答：他的数学成绩是89分．故选：A．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求90，85，90这三个数的平均数，对平均数的理解不正确．14．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC的值为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长即可．【解答】解：连接OA，∵弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=3cm．∵OA=5cm，∴OC===4cm．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．16．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．【解答】解：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．17．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三、解答题18．解下列方程：（1）（x﹣1）2=9（2）x2﹣4x+3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可．（2）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2=9，∴x﹣1=±3，∴x1=4，x2=﹣2；（2）∵x2﹣4x+3=0∴（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=1，x2=3．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4．（1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的度数和的长．【考点】作图—复杂作图；弧长的计算．【分析】（1）直接利用过不在同一直线上的三点作圆的方法得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出∠B的度数，再利用弧长公式得出答案．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）连接CO，∵∠ACB=90°，AC=2，AB=4，∴sinB=，∴∠B=30°，∴CO=BO，∴∠OCB=∠B=30°，∴∠COB=120°，∴劣弧的度数为120°，∵AB=4，∴BO=2，∴的长为：=．【点评】此题主要考查了复杂作图以及弧长公式，正确掌握作三角形外接圆的方法是解题关键．20．某校2019届九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：九（1）班：92，93，93，93，93，93，97，98，98，100九（2）班：91，93，93，93，96，97，97，98，98，99（）直接写出表中、的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）求出九（1）班的平均分确定出m的值，根据众数的定义求出n的值；（2）分别从平均分，方差等方面，写出支持九（2）班成绩好的原因．【解答】解：（1）m=（92+93+93+93+93+93+97+98+98+100）=95；∵93出现了3次，出现的次数最多，∴众数n是93；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；故支持九（2）班成绩好．【点评】此题考查了平均数、众数、方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；众数是一组数据中出现次数最多的数．21．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．【解答】解：这个游戏对双方不公平．（4，3），（4，4）共6种，故小颖获胜的概率为：=，则小丽获胜的概率为：，∵＜，∴这个游戏对双方不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0．（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】①首先判定m不等于0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况；②首先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据方程两根为不相等的正整数根即可求出m的值．【解答】解：①∵一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3=0，∴m≠0，∴△=（m+3）2﹣12m=（m﹣3）2≥0，∴当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；②∵mx2﹣（m+3）x+3=0，∴（x﹣1）（mx﹣3）=0，∴x1=1，x2=，∴当m=1时，x2=3．故当m为1时，方程有两个不相等的正整数根．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．23．如图，O是等边△ABC的外心，BO的延长线和⊙O相交于点D，连接DC，DA，OA，OC．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC 的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=，得出OH=BH=1，OB=2OH=2，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOB ﹣S △AOB 进行计算即可．【解答】（1）证明：如图1所示：∵O 是等边△ABC 的外心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴AD=CD ，∵四边形OADC 为平行四边形，∴四边形OADC 为菱形，∴BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，而∠1=∠5，∴OA=OC ，∠2=∠3，∴OB=OC ，∴点O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，∵四边形OADC 为平行四边形，∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA ，∴AD=OB ，在△BOC 和△CDA 中，，∴△BOC ≌△CDA （SAS ）；（2）解：作OH ⊥AB 于H ，如图2所示，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°，∵OH ⊥AB ，∴BH=AH=AB=，OH=BH=1， OB=2OH=2，∴S 阴影部分=S 扇形AOB ﹣S △AOB=﹣×2×1=π﹣．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂径定理、扇形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．24．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件．（1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？（2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数）【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；（2）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．【解答】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意得：（x﹣5）[32﹣×8（x﹣9）]=140，解得：x1=12，x2=10，答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元；（2）根据题意得；y=（x﹣5）[32﹣（x﹣9）]，即y=﹣4x2+88x﹣340；y=﹣4（x﹣11）2+152，=152元，故当x=11时，y最大答：售价为11元时，利润最大，最大利润是152元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．25．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=8，EB=4，求⊙O的直径．【考点】切线的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）连结OE，如图，利用角平分线定义得到∠1=∠2，加上∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OE∥AF，则可利用AF⊥FG得到OE⊥FG，然后根据切线的判定定理得到直线FG是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，由矩形的性质得∠ABC=90°，AB=CD=8，然后在Rt△OBE 中利用勾股定理得到（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，于是得到⊙O的直径为10．【解答】（1）证明：连结OE，如图，∵AE平分∠FAH，∴∠1=∠2，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE∥AF，∵AF⊥FG，∴OE⊥FG，∴直线FG是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=r，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，AB=CD=8，在Rt△OBE中，OB=8﹣r，BE=4，OE=r，∴（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，∴⊙O的直径为10．【点评】本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．26．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=﹣x2+3x﹣2函数可知a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y1=x2﹣x+n与y2=﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；（3）已知函数y=（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】阅读型；新定义．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；（2）根据“旋转函数”的定义得到﹣=m，﹣3+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（1，0），B（﹣4，0），C（0，﹣2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），则可利用交点式求出经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，再把y=（x﹣1）（x+4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．【解答】（1）解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0，∴a2=1，b2=3，c2=2，∴函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y=x2+3x+2；（2）解：根据题意得﹣=m，﹣3+n=0，解得m=﹣4，n=3，∴（m+n）2019=（﹣4+3）2019=1；（3）证明：当x=0时，y=（x﹣1）（x+4）=﹣2，则C（0，﹣2），当y=0时，（x﹣1）（x+4）=0，解得x1=1，x2=﹣4，则A（1，0），B（﹣4，0），∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2（x+1）（x﹣4），把C1（0，2）代入得a2•1•（﹣4）=2，解得a2=﹣，。
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江苏省镇江市丹徒区2018-2019学年九年级（上）期末考试数学试卷一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．已知＝，则＝．2．一组数据﹣1，3，7，4的极差是．3．设a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．4．两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为．5．如图，⊙O的弦AB＝8，OD⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径等于．6．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是．7．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．8．在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b＝a2﹣b2，则方程（2★3）★x＝9的根为．9．已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，如果BC＝3DE，AC＝6，那么AE＝．10．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a﹣c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有．12．二次函数y＝（x﹣2m）2+1，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．18分，17分B．20分，17分C．20分，19分D．20分，20分14．下列线段中，能成比例的是（）A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm 15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC 平分∠DAB，且∠DAC＝∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOCC．CD＝BC D．BC•CD＝AC•OA16．函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若﹣2＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1、y2的大小不确定17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B在x 轴上、点C在y轴上，点A、B、C的坐标分别为A（，0），B（3，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为（）A．2B．2﹣2 C．4 D．2﹣4三．解答题（共10小题，满分81分）18．（8分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．19．（6分）一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，请你判断关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况．20．（7分）为了倡导“节约用水，从我做起”，鼓楼区政府决定对区直属机关300户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中某些家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户用水量每月均在10﹣14吨范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（不完整）和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）这些家庭月用水量数据的平均数是，众数是，中位数是；（3）根据样本数据，估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？21．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．22．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：△BEC∽△ABF；（2）求AF的长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．（3）若AB＝4，AC＝3，求出（1）中⊙P的半径．24．（10分）如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB＝6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．26．（10分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝，AK＝，求CN的长．27．（10分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．参考答案一．填空题1．解：由比例的性质，得b＝a．＝＝＝＝，故答案为：．2．解：∵数据﹣1，3，7，4的最大数为7、最小数为﹣1，∴极差为7﹣（﹣1）＝8，故答案为：8．3．解：∵a是方程x2+x﹣2011＝0的实数根，∴a2+a﹣2011＝0，即a2＝﹣a+2011，∴a2+2a+b＝﹣a+2011+2a+b＝a+b+2011，∵a，b是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝﹣1+2011＝2010．故答案为2010．4．解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积之比为4：9．故答案为：4：95．解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，OD＝3，AD＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5，则圆O的半径为5．故答案为：56．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝6π，解得r＝3，所以圆锥的高＝＝4（cm）．故答案为4cm．7．解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．故答案为：．8．解：根据新定义可以列方程：（22﹣32）★x＝9，（﹣5）2﹣x2＝9，25﹣x2＝9，x2＝16，x1＝4，x2＝﹣4．故答案为：x1＝4，x2＝﹣4．9．解：∵DE∥BC，BC＝3DE，∴＝＝，∵AC＝6，∴AE＝2．故答案为2．10．解：在Rt△BCM中，∵AB＝BC＝4，∠CBM＝60°，∠M＝90°，∴∠BCM＝30°，∴BM＝BC＝2，CM＝BM＝2，∴AM＝4+2＝6，∵四边形AMNP是正方形，∴MN＝MA＝6，∴CN＝MN﹣CM＝6﹣2，故答案为6﹣2．11．解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＞0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0；故①正确；②∵a＜0，c＞0，∴a﹣c＜0，∵b＞0，∴b＞a﹣c，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；④∵对称轴方程x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴﹣b+c＜0，∴2c＜3b，故④正确；⑤∵x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故⑤错误．⑥∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，∵c＞0，∴2a+b+c＞0，故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥．故答案为：①③④⑥．12．解：∵y＝（x﹣2m）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2m，∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，∴m+1≤2m，解得m≥1，故答案为：m≥1．二．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）13．解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，故选：D．14．解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；D、∵3×18＝6×9，故此选项正确；故选：D．15．解：A、∵∠DAC＝∠DBC，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；B、∵△AOD∽△BOC，∴＝，∴＝，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；C、∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO＝∠ODC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BC•CD＝AC•OA，故此选项错误，符合题意．故选：D．16．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+m＝﹣2（x+2）2+m+8，∴对称轴是x＝﹣2，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，∵﹣2＜x1＜x2，∴y1＞y2．故选：B．17．解：作圆，使∠ADB＝60°，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如图所示：∵A（，0），B（3，0），∴E（2，0），又∠ADB＝60°，∴∠APB＝120°，∴PE＝1，PA＝2PE＝2，∴P（2，1），∵C（0，5），∴PC＝＝2，又∵PD＝PA＝2，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP），∴CD最小值为：2﹣2．故选：B．三．解答题（共10小题，满分81分）18．解：（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．19．解：方程化为一般形式为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0，∴△＝4c2﹣4（a+b）（b﹣a）＝4（c2﹣b2+a2），又∵b，c为一直角三角形的三边，且∠B＝90°，∴b2＝c2+a2，∴△＝0，所以方程有两个相等的实数根．20．解：（1）根据统计图可得出被调查的总户数＝10÷20%＝50（户）；平均用水11吨的用户为：50×40%＝20（户），如图所示：（2）这50 个样本数据的平均数是11.6，众数是11，中位数是11；故答案为；11.6，11，11；（3）样本中不超过12吨的有10+20+5＝35（户），∴鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：300×＝210（户）．21．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为＝．22．解：（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠C＝90°，∴∠BAF＝∠EBC∴△BEC∽△ABF（2）在矩形ABCD中，AB＝10，∴CD＝AB＝10，∵E为DC的中点，∴CE＝5，又BC＝12，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝13，由△ABF∽△BEC得：即：＝，∴解得：AF＝23．解：（1）如图所示．（2）BC与⊙P相切．证明：作PH⊥BC于H，∵P为∠ACB的角平分线上，PA⊥CA，PH⊥CB，∴PH＝PA，PA是⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．（3）在Rt△ABC中，有勾股定理可得：，由S△ABC+S△PAC+S△PBC可得，设PH＝PA＝x，则有，解得：，即⊙P的半径为．24．解：（1）设抛物线形桥洞的函数解析式为y＝ax2+c，把A（3，0），E（0，3）代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+3，由题意得：点C与D的纵坐标为0.5，∴﹣x2+3＝0.5，解得：x1＝，x2＝﹣，∴CD＝+＝（米），则水面的宽度CD为米；（2）当x＝1时，y＝，∵﹣0.5＞1.8，∴这艘游船能从桥洞下通过．25．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，AD＝4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a＝4，解得：a＝﹣，抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，AD＝﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t＝2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝OB＝4，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．26．（1）证明：连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE＝90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD＝90°，∴∠OAG＝∠AKH＝90°，∵OA＝OG，∴∠AGE＝∠AKH，∵∠EKG＝∠AKH，∴∠EKG＝∠AGE，∴KE＝GE．（2）设∠FGB＝α，∵AB是直径，∴∠AGB＝90°，∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣α，∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2α，∵∠FGB＝∠ACH，∴∠ACH＝2α，∴∠ACH＝∠E，∴CA∥FE．（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH＝∠E，∴sin∠E＝sin∠ACH＝＝，设AH＝3a，AC＝5a，则CH＝＝4a，tan∠CAH＝＝，∵CA∥FE，∴∠CAK＝∠AGE，∴∠CAK＝∠AKH，∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝4a，tan∠AKH＝＝3，AK＝＝a，∵AK＝，∴a＝，∴a＝1．AC＝5，∵∠BHD＝∠AGB＝90°，∴∠BHD+∠AGB＝180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，∴∠AKH＝∠ABG，∵∠ACN＝∠ABG，∴∠AKH＝∠ACN，∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN＝∠CPN＝90°，在Rt△APN中，tan∠CAH＝＝，设PN＝12b，则AP＝9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN＝＝3，∴CP＝4b，∴AC＝AP+CP＝13b，∵AC＝5，∴13b＝5，∴b＝，∴CN＝＝4b＝．27．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB＝4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC＝135°，∴设BD＝t，则CD＝t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴S△ABC＝AB•CD＝﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣＝2，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．。