零点存在定理的应用
例谈零点存在定理在导数及其应用中的作用
中学数学研究
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例谈零点存在定理在导数及其应用中的作用
福建省龙岩第一中学(364000)刘文娟 林文柱
由于导数在函数的图像、性质及其应用过程中 所具有的基础性、工具性作用，以及在这一过程中对 学生所应具有的将知识迁移到不同情境中的能力、 逻辑推理能力及运算能力等方面有着较高的要求， 近年来，导数及其应用问题已经成为高考的热点问 题.考查的这部分内容在解题策略以及推理论证能 力，理性思维的层次和深度等方面都有一定的要求, 这就给中学数学教学在提炼和总结解题方法，扩大 学生的知识视野，拓宽学生解决问题途径和思维途 径，激发学生求新、求异等方面提出了更高的要求.
上单调递增，丹(％)若有零点，只有唯一的一个.
又 H(8) = 8 -21n8 -4=4 - 61n2 < 0,H(9) =9 -21n9 -4=5 -41n3 > 0,故 3x0 e (8,9),使 得 H(x0) = x0 - 21n%0 -4 = 0.从而 g(光)在(2,x0)
上单调递减，在(光o，+ 00 )上单调递增.因此g(%) 的最小值为g(xo).
*本文系福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题一高中数学讲评课教学有效性研究(课 题编号:DTRSX2017018)的阶段性研究成果.
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中学数学研究
2019年第6期
令 g（久） =Iilv + -^rax2 - x，贝（久）二丄 + 处
2
x
-1 = -- ----- % + 1,令 H（久）=ax' - x + ],贝！| H'd x
/ X0 _ -1 \
Xo (lnx0 + 1) _ %( 2 _ 丿
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
零点定理条件
零点定理条件零点定理（Zero point theorem）是数学中的一个重要定理，它在拓扑学领域具有重要的应用价值。
零点定理关于函数在某个区域内是否存在零点的性质进行了严格的描述，它为我们研究函数的性质和解方程提供了有力的工具。
零点定理的条件是：设X为拓扑空间，Y为Banach空间，f：X→Y 为一个连续映射，如果存在一个紧子集K⊆X，使得f(K)为Y中的一个闭子集，并且对于每一个x∈K，都有f(x)=0，则f在X中存在一个零点。
为了更好地理解零点定理，我们可以通过一个具体的例子进行说明。
假设我们有一个平面上的连续函数f(x,y)，我们想要证明是否存在一个点(x0,y0)，使得f(x0,y0)=0。
根据零点定理的条件，我们需要找到一个紧子集K，使得f(K)是一个闭子集，并且对于K中的每一个点(x,y)，都有f(x,y)=0。
我们可以选择一个圆盘D作为紧子集K，它的边界是一个闭曲线。
然后我们观察f(D)的值，如果f(D)的边界上存在一个点(x0,y0)，使得f(x0,y0)=0，那么我们就找到了一个零点。
这是因为根据连续性的定义，如果f(D)是一个闭子集，那么f(D)中的极限点也属于f(D)，而f(D)的边界上的点(x0,y0)恰好是f(D)的极限点。
通过这个例子，我们可以看到零点定理的条件在实际问题中的应用。
它帮助我们确定了一个函数在给定区域内是否存在零点，从而解决了很多实际问题。
例如，我们可以利用零点定理来证明某个方程在某个区间内存在解，或者证明某个物理模型中存在某种状态。
除了上述例子中的平面函数，零点定理还可以应用于更一般的情况。
只要满足定理的条件，我们就可以利用零点定理来研究函数的性质和解方程。
这使得零点定理成为数学中的一个重要工具，被广泛应用于各个领域。
零点定理是数学中的一个重要定理，它描述了函数在某个区域内是否存在零点的性质。
通过零点定理的条件，我们可以确定一个函数是否有零点，从而解决很多实际问题。
高等数学中的零点定理及其应用
高等数学中的零点定理及其应用数学是一门基础学科，应用广泛，与各领域有着密不可分的联系。
其中，高等数学是各个领域中不可或缺的一门学科。
而零点定理是高等数学中非常重要和基础的一个部分，涉及到多个学科的交叉应用。
本文将主要介绍零点定理的概念、分类和应用。
一、零点定理的概念和分类零点定理是指在某些函数中，存在某些特殊值(称为零点)，使得函数在这些点处取值为零。
具体地说，若函数$f(x)$在点$x_0$处为零，则称$x_0$是$f(x)$的一个零点。
零点定理就是研究函数的零点及其性质的理论。
根据不同的函数类型和性质，零点定理可分为常微分方程的零点定理、复变函数的零点定理、二次型的零点定理、拓扑定理的零点定理等等。
这里重点介绍前三种。
1、常微分方程的零点定理设$y'=f(x,y)$是一个初值问题的解，其中$f$在闭区间$D=\{(x,y)\in R^2|a\leq x\leq b,\alpha\leq y\leq \beta\}$上连续，如果有一连续函数$G(x)$，使得$f$在$D$上满足$f(x,y)G(x)\leq0(\alpha\leq y\leq \beta)$，则$y'=f(x,y)$在区间$[a,b]$上必然有解，并且至少有一个零解。
2、复变函数的零点定理对于一函数$f(z)$，如果它在圆$|z|=R$内是连续的，假定$f(z)$在圆周上连续并且$f(z)$在圆内没有零点，则$f(z)$在圆周上至少有一个零点。
3、二次型的零点定理设$n$元二次型为$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j $，其中$a_{ij}$为常数，且$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中不含常数项。
则它的正惯性等于零点距的个数，负惯性等于负的零点距的个数。
二、零点定理的应用零点定理在诸多领域中都有广泛的应用。
下面就以实例的形式逐一介绍：1、求函数零点先将原函数化简成$f(x)=0$的形式，就可以利用零点定理来计算零点了。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数与方程之零点定理应用
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解析： 因为函数f ( x )＝ax－b(b ≠ 0)的零点是3， 将它代入函数g ( x )＝bx 2＋3ax中，
则此零点所在区间是 ( C． 2 ) (1, A． 4 ) ( 3,
2.已知函数f ( x )＝x3－x－1仅有一个正零点， B． ) ( 2,3 D． ) ( 0,1
因为 |1.375－1.3125 | ＝0.0625 < 0.1，所以函数的 故函数零点的近似值为1.3125.
零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，
评析：1.求函数零点的近似值的关键是判断二 分法求值过程中，区间长度是否小于精确度ξ， 当区间长度小于精确度ξ时，运算结束，而此 时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点 的另一个值． 2．“精确度”与“精确到”是两个不同的概念， 精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只 需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似 值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的 近似解．
f(1.5)＝0.625 f(1.4375)＝0.162
f(1.40625)＝－0.054
解析： 由于f (1.4375 )＝0.162 > 0， f (1.40625 )＝－0.054 < 0， 且 |1.40625－1.4375 | ＝0.03125 < 0.1， 所以由二分法可知 其根在区间(1.40625,1.4375 ) 上，故选C.
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程 的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根 的个数． 2、结合具体函数的图象，能用二分法求近似解．
1.若函数f ( x )＝ax－b(b ≠ 0)有一个零点3， 那么函数g ( x )＝bx 2＋3ax的零点是
初中数学 一元二次方程的零点定理有什么应用
初中数学一元二次方程的零点定理有什么应用一元二次方程的零点定理在数学和实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域：1. 几何学：一元二次方程的零点定理可以用来解决几何问题。
例如，在平面几何中，可以使用一元二次方程的零点定理来确定抛物线与x 轴的交点，从而确定抛物线的根、顶点、对称轴等重要几何特征。
2. 物理学：一元二次方程的零点定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在自由落体运动中，物体的高度可以用一元二次方程来表示。
通过求解方程的零点，可以计算物体的落地时间和最大高度等相关物理量。
3. 经济学：一元二次方程的零点定理在经济学中也有重要的应用。
例如，在成本和收益分析中，可以使用一元二次方程来描述成本和收益之间的关系。
通过求解方程的零点，可以确定收益最大化或成本最小化的条件。
4. 工程学：一元二次方程的零点定理在工程学中的应用非常广泛。
例如，在电路分析中，可以使用一元二次方程来计算电路中的电流和电压。
通过求解方程的零点，可以确定电路中的稳定状态和临界点。
5. 金融学：一元二次方程的零点定理在金融学中也有重要的应用。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算投资回报率和盈亏平衡点。
通过求解方程的零点，可以确定投资的风险和收益。
6. 数据分析：一元二次方程的零点定理在数据分析中也起到重要的作用。
例如，在拟合曲线和回归分析中，可以使用一元二次方程来拟合数据点。
通过求解方程的零点，可以确定最佳拟合曲线和预测未知数据的值。
总结：一元二次方程的零点定理在几何学、物理学、经济学、工程学、金融学和数据分析等领域中有着广泛的应用。
它可以用来解决几何问题、计算物理量、分析经济关系、设计电路、评估投资风险和拟合数据等。
了解一元二次方程的零点定理及其应用可以帮助我们在实际问题中运用数学知识进行分析和解决。
零点存在性定理
零点存在性定理前⾔函数的零点对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使得f (x )=0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．简⾔之，零点不是点，是实数；零点是函数对应的⽅程f (x )=0的根。
有关零点的⼏个结论(1).若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )⾄多有⼀个零点，也可能没有零点，⽐如f (x )=2x 单调递增，但没有零点。
(2).连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
⽐如函数f (x )=−(x −1)⋅(x −2)，在1<x <2时，函数值f (x )都是正值。
(3).连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如y =x 3在零点x =0处两侧的函数值不同；也可能不变号，如y =x 2在零点x =0处两侧的函数值相同。
重要转化函数y =f (x )=h (x )−g (x )有零点[数的⾓度]⟺函数y =f (x )与x 轴有交点[形的⾓度]⟺⽅程f (x )=0有实根[数的⾓度]⟺函数y =h (x )与函数y =g (x )的图像有交点[形的⾓度]具体应⽤时务必注意对函数f (x )的有效拆分，⽐如函数f (x )=lnx −x +2，拆分为①h (x )=lnx 和g (x )=x −2，或者拆分为②h (x )=lnx −2和g (x )=x ，都⽐拆分为③h (x )=ln x −x 和g (x )=2要强的多。
当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数h (x )的图像，就需要导数参与。
这时候，我们也就能理解有时候选择⽐努⼒更重要。
拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。
零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f (a )⋅f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内⾄少有⼀个零点，即⾄少存在⼀个c ∈(a ，b )，使得f (c )=0，这个c 也就是⽅程f (x )＝0的根．定理的理解需要注意：①零点存在性定理的使⽤有两个条件必须同时具备，其⼀在区间[a ，b ]上连续，其⼆f (a )⋅f (b )<0，缺⼀不可；⽐如，函数f (x )=1x在区间[−1，1]上满⾜f (−1)⋅f (1)<0，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼀条；再⽐如函数f (x )=2x ，在区间[−1，1]上满⾜连续，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼆条；②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。
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第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用
教学过程
一、例题精析 应用迁移 拓展提升
1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5)
3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1]
小结：
5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( )
6.函数的零点个数是_________________
小结：
提示：建议：注意：要求：
二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
9.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。
C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1
(,1)e
内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( )
B.1
12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) <x 2
>x 2 =x 2 D.不能确定
()ln 26f x x x =+-4.求函数的零点个数。
1x
2
1
x ()2
-26
log x x -，
2
x。