图与网络分析例题讲解
《运筹学》第8章_图与网络分析
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
第八章 图与网络分析
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学：第2章 图与网络分析 第4节 最大流
v2
13 (5)
6(3)
v5
9 (5)
5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
v7
10 (1)
设 V1 v1 , v2 , v5 ，V2 v3 , v4 , v6 , v7 则截集为
(V1,V2 ) (v1v3 ), (v2 , v4 ), (v5 , v7 ) 截量为24
凡与u方向相同的称为正向弧； 凡与u方向相反的称为反向弧； 其集合分别用u+和u-表示。 f 是一个可行流，如果满足：
0 fi j ci j 0 fi j ci j
(vi , vj ) 即μ+中的每一条弧都是非饱和弧 (vi , vj ) 即μ-中的每一条弧都是非零流弧
则称 u为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。
是一个（V，A，C），vs为始点，vt为终点。如 果把V分成两个非空集合V1 ,V2(V1 V2 ,V1 V2 V )
使vs V1 ,vt V2 ，则所有始点属于V1 ，而终点属于 V2的 弧的集合，称为D的截集,记作 (V1 ,V2。) 截集(V1 ,V2)中所有弧的 容量之和，称为这个截集的截量，记为C(V1,V2) 。
2 ．把节点集V分成VA ：已标号点集
VB ：未标号点集
3．考虑所有这样的弧(vi ，vj) 或(vj，vi ) ，其中vi VA，v j VB
若该弧为
（1）流出未饱弧，那么给vj标号(θj, vi) ，其中： θj=cij-fij
（2）流入非零弧，那么给vj标号(θj, -vi) ，其中： θj=fij 4．重复步骤2，3，直到vt被标号或标号过程无法进行下去 ，则标号结束。
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
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图与网络分析例题讲解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：图与网络分析例题讲解例1求救信号的采集问题紧急呼救电话发挥着极其重要的作用，现在的问题是往往在呼救时当事者大多处于紧张或身体状况不佳的状态，难以清晰表达自己所处位置，给救援工作带来极大的困难，对于有线电话来说，定位相对容易，而对于移动设备由于其可移动性，则确定位置相对比较困难。
一种可行的办法是依赖通信基站，按照移动设备接收附近几个基站信号强弱进行定位。
区域内的某个点接收到各基站的信号强度组成一个向量，该向量唯一标志区域内的一个点。
采用这种方法定位就需要采集区域内各点的信号强度，派遣一辆装载信号采集设备和GPS 的车辆，从研究所出发，依次到达各主要地点采集信号，最后回到研究所提交数据。
考察某大城市的一个特定区域，示意图共5个节点。
主要信号采集点在图中已标出（即图中的节点），如何选择一条最短路线，使得信号采集车辆能够顺利地采集信号并返回研究所。
图的邻接矩阵为：01412710140913512906871360111058110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
0100000100100000000100010H ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解 该问题实际上就是一个TSP （旅行商问题），要求寻找遍历图中所有节点，并返回起点的最短路。
TSP 属于组合优化的范畴，可以采用组合优化的方法求解TSP 。
设ij d 表示,i j 两个城市之间的距离，决策变量是0ij x =或1（0表示不连接，1表示连接），由ij x 组成的邻接矩阵H 是图G 的哈密顿圈等价于H 中每个节点都只有一个入度和一个出度，且去掉任何一个节点H 将不是圈。
此时求解TSP 就等价于求解下面0-1规划问题：,min ij iji j Vz dx ∈=∑1()..1()0,1(,)ij j V ij i Vij x i V s t x j V x i j V ∈∈⎧=∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪=∈⎩∑∑ （1） 对于模型（1）容易用LINGO 软件求解，其程序如下：model : sets :city/1..5/:u; !Hamilton 路标号;link(city,city):distance,x; !邻接矩阵和决策矩阵; endsets data : distance=0 14 12 7 1014 0 9 13 512 9 0 6 87 13 6 0 1110 5 8 11 0;enddatan=@size(city);min=@sum(link:distance*x);@for(city(i):u(i)>=1); !城市编号非负约束;@for(city(k):@sum(city(i)|i#ne#k:x(i,k))=1; !入度为1约束;@sum(city(j)|j#ne#k:x(k,j))=1; !出度为1约束;@for(city(j)|j#gt#1#and#j#ne#k:u(j)>=u(k)+x(k,j)-n*(1-x(k,j))+(n-1)*x(j,k));); !标号约束（除起始点外）; @for(link:@bin(x)); !0-1约束;@for(city(k)|k#gt#1:u(k)<=n-(n-2)*x(1,k); !起点标号约束;u(k)>=1+(n-1)*x(k,1);); !终点标号约束;end例2 装备的合理配置问题设有M套不同型号的装备要配备给M个部队，由于各个部队的基础设施、训练特点等条件的差异，不同的装备在不同的部队所产生的效能是不同的，具体的数据如表1所示。
试问如何分配这批装备，保证每个部队都有一套设备，并且使总的效能最大？表1 装备在不同部队效能表A B C D E F G H I装备部队1 0.14 0.17 0.23 0.55 0.47 0.26 0.19 0.17 0.122 0.37 0.40 0.49 0.09 0.05 0.53 0.42 0.39 0.123 0.59 0.62 0.67 0.22 0.17 0.06 0.03 0.02 0.084 0.11 0.12 0.16 0.06 0.03 0.19 0.14 0.12 0.465 0.12 0.14 0.19 0.24 0.19 0.46 0.37 0.35 0.106 0.10 0.12 0.15 0.06 0.03 0.39 0.33 0.30 0.217 0.11 0.14 0.18 0.47 0.39 0.06 0.03 0.02 0.258 0.63 0.65 0.73 0.07 0.04 0.22 0.17 0.14 0.099 0.29 0.30 0.36 0.05 0.03 0.05 0.02 0.01 0.44解 由题意可以知道，这个问题是属于一标准指派问题，即属于组合优化的范畴，在这里我们来建立组合优化模型，并且相应的方法进行求解。
将各部队关于各种装备的效能（表1）数据用矩阵S 表示，即用99()ij S s ⨯=表示分配装备j 给部队i 产生的效能。
用99()ij X x ⨯=表示决策矩阵，为一个0-1矩阵，即1ij x =表示将装备j 分配给部队i ；0ij x =表示不将装备j 分配给部队i ，则此时可以建立如下的优化规划模型：9911max ij ij i i P x s ===∑∑1(1,2,,9)..1(1,2,,9)0,1(,1,2,,9)ij j V ij i Vij x i s t x j x i j ∈∈⎧==⎪⎪==⎨⎪⎪==⎩∑∑L L L （2） 模型（2）是一个0-1规划模型，可以用LINGO 软件求解，其程序如下：model : sets : army/1..9/; equi/1..9/;assign(army,equi):s,x; endsets data : s=0.14 0.17 0.23 0.55 0.47 0.26 0.19 0.17 0.12 0.37 0.40 0.49 0.09 0.05 0.53 0.42 0.39 0.12 0.59 0.62 0.67 0.22 0.17 0.06 0.03 0.02 0.08 0.11 0.12 0.16 0.06 0.03 0.19 0.14 0.12 0.46 0.12 0.14 0.19 0.24 0.19 0.46 0.37 0.35 0.10 0.10 0.12 0.15 0.06 0.03 0.39 0.33 0.30 0.21 0.11 0.14 0.18 0.47 0.39 0.06 0.03 0.02 0.25 0.63 0.65 0.73 0.07 0.04 0.22 0.17 0.14 0.09 0.29 0.30 0.36 0.05 0.03 0.05 0.02 0.01 0.44; enddatamax =@sum (assign:s*x);@for (army(i):@sum (equi(j):x(i,j))=1); @for (equi(j):@sum (army(i):x(i,j))=1); @for (assign:@bin (x)); end例3 网络的数据传输问题分组交换技术在计算机网络发挥着重要作用，从源节点到目的节点传送文件不再需要固定的一条“虚路径”，而是将文件分割为几个分组，再通过不同的路径传送到目的节点，目的节点在根据分组信息进行重组、还原文件。
分组交换技术具有文件传输时不需要始终占用一条线路，不怕单条线路掉线，多路传提高传输速率等优点。
现在考虑如图2所示的网络，图中连接两个节点间的数字表示两交换机得可用宽带，此时从节点1到节点9的最大传输宽带是多少？解 将此问题视为一个求网络最大流问题，将分组的传输方式用以下矩阵来刻画：111219212229919299f f f f f f F f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O M L其中ij f 表示从节点i 到节点j 的实际传输宽带。
记容量矩阵为2.5 5.6 6.17.13.6 3.44.97.42.47.25.73.8 5.34.53.8 6.77.40C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可以建立线性模型如下：max f V(1)(9)..0(1,9)0f ij ki fj V k V V i f f V i s t i F C ∈∈=⎧⎧⎪⎪-=-=⎪⎨⎨⎪≠⎩⎪⎪≤≤⎩∑∑ （3）例4 出租车的最短行驶路线问题某市的出租车公司为了更好地为乘客服务，向乘客承诺：“出租车走最短的行驶路线，方便快捷。
”乘客上车后只要告知司机目的地，出租车上电脑就可以计算出到达目的地最短的行驶路线。
解 首先将地图视为一个赋权图。
function [d,DD]=dijkstra(D,s)%Dijkstra 最短路算法Matlab 程序用于求从起始点s 到其它各点的最短路 %D 为赋权邻接矩阵%d为s到其它各点最短路径的长度%DD记载了最短路径生成树[m,n]=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd==1))<mfor i=1:mif dd(i)==0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i));endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)==0&&d(i)<dddddd=d(i);endendyy=find(d==ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1))=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;end。