线性代数第2版课件-标准正交基和正交矩阵
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线性代数正交规范化ppt课件
x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
… , bn)T 为 Rn 中的两个向量，则 b1
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位
向量，则称该向量组为正交单位向量组.
由正交的定义可知，Rn 中的零向量与任意向量
都正交； 又由内积的性质
内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位
向量，则称该向量组为正交单位向量组.
由正交的定义可知，Rn 中的零向量与任意向量
都正交； 又由内积的性质
内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
第四章2正交矩阵
1 1 n n
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
标准正交基.ppt
第一页，编辑于星期二：四点 十分。
第二页，编辑于星期二：四点 十分。
第三页，编辑于星期二：四点。
第五页，编辑于星期二：四点 十分。
第六页，编辑于星期二：四点 十分。
第七页，编辑于星期二：四点 十分。
第八页，编辑于星期二：四点 十分。
第九页，编辑于星期二：四点 十分。
第十页，编辑于星期二：四点 十分。
第十一页，编辑于星期二：四点 十分。
第十二页，编辑于星期二：四点 十分。
第十三页，编辑于星期二：四点 十分。
第十四页，编辑于星期二：四点 十分。
第十五页，编辑于星期二：四点 十分。
第十六页，编辑于星期二：四点 十分。
第二页，编辑于星期二：四点 十分。
第三页，编辑于星期二：四点。
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第八页，编辑于星期二：四点 十分。
第九页，编辑于星期二：四点 十分。
第十页，编辑于星期二：四点 十分。
第十一页，编辑于星期二：四点 十分。
第十二页，编辑于星期二：四点 十分。
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第十四页，编辑于星期二：四点 十分。
第十五页，编辑于星期二：四点 十分。
第十六页，编辑于星期二：四点 十分。
线性代数课件-正交矩阵
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
线性代数——正交矩阵PPT课件
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
2.6 标准正交基
则称a1 , a2 , … , an 为 向量 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
二、向量的内积
1.Def .
给定Rn中向量
a1 a2 an
n i1
b1 b2 , bn
i j 0
T
1 0 0 1 2 0 0
0 0 , n 1
是两两正交的.
( i j ; i , j 1, 2 , ..., s )
则称向量组1, 2,…,s 为正交向量组. 正交向量组1,2,…,s 中无零向量.
§2.6 R 的标准正交基
n
0
向量空间的基 , 标准正交基 , 内积 , 向量的正交组， 1 基本知识点： Schmidt 正交化方法 , 正交矩阵 . 0 熟练掌握利用 Schmidt 正交化方法变换向量组 . 2 重点：
熟练掌握将向量变换为 单位向量 .
1 0 0 0 1 0 , , , n , 1 2 0 0 1
a1 a2 an
n R ,
都可由 1 , , n 线性表出 .
a1 0 0
0 0 0 a2 a 1 1 a 2 2 a n n an 0
QTQ=
sin
co s sin
1 cos 0
0 1
线性代数2.6标准正交基
1
T
四、正交向量组 =0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
αT β = 0
一般地, 一般地, 在 n 维空间Rn 中 ε 1 = ( 1 0 0 ... 0 )T 维空间R
ε 2 = ( 0 1 0 ... 0 )T
⋮
ε 3 = ( 0 0 1 ... 0)T
ε iT ε j= 0 ε i ε j i ≠ j 时, , 两两正交. 中的单位 单位向量组 Rn 中的单位向量组 ε1,ε2,…,εn 两两正交.
ε 1 , ε 2 ,..., ε n 称为Rn 中的 正交单位向量组. 称为R 正交单位向量组 单位向量组.
§2.6 Rn 的标准正交基 一、基,向量在基下的坐标 定义2.16 任意n 定义2.16 在Rn 中,任意n个线性无关的向量 α1 ,α 2 ,...,α n 称为Rn 的一组基. 称为R 的一组基 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 )T , ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的一组基. 如 的一组基. T ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ) , 称为Rn 的标准基, 自然基. 称为R 标准基, 自然基. 或
a1 a 2 ∈ Rn ∀α = ⋮ an
α和α的内积为 的内积为
α α = ( a1 a2
T
α Tα ≥ 0 α Tα = 0
a1 a n 2 2 2 ... an ) 2 = a1 + a2 +... + an = ∑ ai2 ⋮ i =1 ≥0 an
2 1 2 2 2 n
ka1 ka kα = 2 ⋮ kan
T
四、正交向量组 =0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
αT β = 0
一般地, 一般地, 在 n 维空间Rn 中 ε 1 = ( 1 0 0 ... 0 )T 维空间R
ε 2 = ( 0 1 0 ... 0 )T
⋮
ε 3 = ( 0 0 1 ... 0)T
ε iT ε j= 0 ε i ε j i ≠ j 时, , 两两正交. 中的单位 单位向量组 Rn 中的单位向量组 ε1,ε2,…,εn 两两正交.
ε 1 , ε 2 ,..., ε n 称为Rn 中的 正交单位向量组. 称为R 正交单位向量组 单位向量组.
§2.6 Rn 的标准正交基 一、基,向量在基下的坐标 定义2.16 任意n 定义2.16 在Rn 中,任意n个线性无关的向量 α1 ,α 2 ,...,α n 称为Rn 的一组基. 称为R 的一组基 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 )T , ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的一组基. 如 的一组基. T ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ) , 称为Rn 的标准基, 自然基. 称为R 标准基, 自然基. 或
a1 a 2 ∈ Rn ∀α = ⋮ an
α和α的内积为 的内积为
α α = ( a1 a2
T
α Tα ≥ 0 α Tα = 0
a1 a n 2 2 2 ... an ) 2 = a1 + a2 +... + an = ∑ ai2 ⋮ i =1 ≥0 an
2 1 2 2 2 n
ka1 ka kα = 2 ⋮ kan