Logistic映射的混沌行为
Logistic映射是一维离散混沌系统
1基于混沌的序列密码加密方法1.1混沌系统的特点混沌现象是在非线性动力学系统中出现的确定性的、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始状态具有极其敏感的依赖性，即初始状态只有微小差别的两个同构混沌系统在较短的时间后就会产生两组完全不同的、互不相关的混沌序列值。
混沌信号具有天然的随机性，特别是经过一定处理后的混沌信号具有非常大的周期和优良的随机性，完全可以用来产生符合安全性要求的序列密码。
更重要的是，通过混沌系统对初始状态和参数的敏感依赖性，可以提供数量众多的密钥。
根据混沌系统的上述特点，可以用其产生序列密码。
经过合理设计的混沌序列密码加密算法不会随着对符合要求的密钥流数量的提高而复杂化。
1.2 基于Logistic映射的混沌序列密码加密算法Logistic映射是一维离散混沌系统，运算速度快，方程反复迭代可以产生较好的混沌序列。
产生的混沌序列对初始状态和系统参数极其敏感。
Logistic映射的定义为：X(n) = F[x(n-1)] = u*x(n-1)*(1-x(n-1))其中，控制参数u介于（0，4），x（n）在（0，1）之间，Logistic映射的大量研究已经表明，当u达到极限值，即u=3.5699456时，系统的稳态解周期为∞。
当3.5699456<u ≤4时，Logistic映射呈现混沌状态，所以为了实现混沌态，在实际应用时，u的取值范围应设定为：3.5699456<u≤41.3 混沌序列产生定义XML字符串长度记为|X|，系统交互次数为N。
S为|X|及N变为小数后得乘积。
例如|X|=352，N=8，则S=0.352*0.8u=3.569946+S/2 (保证u<4); X0=S多次迭代F[x(n-1)]式,就得到一个序列值X i(i=0,1,2,3,4…n)，取X i小数点后第j到j+k 位，就可以得到一个n*(k+1)位的加密密钥。
4种混沌映射的特点
4种混沌映射的特点
混沌映射是一种重要的非线性动力学系统，具有复杂的动力学特性，已经被广泛应用于许多领域。
本文介绍了四种常见的混沌映射及其特点。
1. Logistic映射
Logistic映射是一种广泛应用于混沌理论研究中的典型非线性动力学系统。
它的特点是简单易行，具有双稳态和混沌行为，是研究混沌现象的经典示例。
2. Henon映射
Henon映射是一种双参数混沌映射，它的特点是具有分形结构、非周期性、高度敏感依赖于初值和参数，并且在参数空间中形成了复杂的混沌吸引子。
3. Lorenz映射
Lorenz映射是一种具有吸引子的三维非线性动力学系统，它的特点是具有强的混沌行为和灵敏的初始条件依赖性，常被用于模拟大气和海洋中的流体运动。
4. Ikeda映射
Ikeda映射是一种典型的非线性动力学系统，它的特点是具有高度敏感的初值和参数、分形结构和复杂的混沌吸引子，常被用于研究光学系统中的非线性动力学现象。
以上是四种典型的混沌映射及其特点。
混沌映射在科学研究、信息加密、密码学、图像处理等领域有着广泛的应用价值，未来将会有
更多的研究和应用。
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
logistic混沌加密原理
logistic混沌加密原理Logistic混沌加密原理是一种基于混沌理论的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
Logistic混沌加密原理的基本思想是通过对明文进行混沌变换，使其变得随机和不可预测，从而达到加密的目的。
Logistic混沌加密原理的核心是Logistic映射函数，它是一种非线性的动态系统，可以产生复杂的混沌序列。
Logistic映射函数的公式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，r是一个常数，通常取值在3.57到4之间。
通过不断迭代，Logistic映射函数可以产生一个随机的、不可预测的序列，这个序列被称为Logistic混沌序列。
Logistic混沌加密原理的加密过程如下：1. 初始化：选择一个初始值X0和一个密钥K，将X0作为明文的一部分，K作为加密密钥。
2. 生成密钥流：使用Logistic映射函数生成一个随机的、不可预测的密钥流，将其与明文进行异或运算，得到密文。
3. 解密：使用相同的初始值X0和密钥K，使用Logistic映射函数生成相同的密钥流，将其与密文进行异或运算，得到明文。
Logistic混沌加密原理具有以下优点：1. 安全性高：Logistic混沌序列具有随机性和不可预测性，使得攻击者无法破解密文。
2. 速度快：Logistic混沌加密算法的加密和解密速度都很快，适用于实时加密和解密。
3. 灵活性强：Logistic混沌加密算法可以根据需要选择不同的参数，以适应不同的加密需求。
4. 实现简单：Logistic混沌加密算法的实现非常简单，只需要进行一些基本的数学运算即可。
总之，Logistic混沌加密原理是一种非常有效的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
在实际应用中，Logistic混沌加密算法可以用于保护敏感数据的安全，例如网络通信、金融交易等领域。
logistic映射混沌加密算法
logistic映射混沌加密算法混沌理论是一种非线性动力学系统的研究方法，其核心思想是通过微小的初始条件差异引起系统的巨大变化，表现出复杂、随机且不可预测的行为。
混沌理论在信息安全领域具有重要的应用，其中logistic映射混沌加密算法是一种常用的加密方法。
logistic映射是一种简单而有效的动力学系统，其公式为Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn表示第n个时间点的状态值，r为控制参数，通常取值在0到4之间。
通过迭代计算，logistic映射可以产生一系列的状态值，这些值呈现出混沌的特性。
logistic映射混沌加密算法的基本思想是将待加密的数据与logistic映射的状态值进行异或运算，以增加数据的随机性和不可预测性。
具体加密过程如下：1. 初始化：设置初始状态X0和控制参数r的值，选择合适的初始状态和控制参数是保证加密效果的关键。
2. 生成密钥流：通过迭代计算logistic映射的状态值，得到一系列的随机数作为密钥流。
密钥流的长度取决于需要加密的数据长度。
3. 加密：将待加密的数据与密钥流进行异或运算，生成密文。
异或运算的特点是相同位上的数字相同则结果为0，不同则结果为1，这样可以实现简单而高效的加密过程。
4. 解密：使用相同的初始状态和控制参数，再次生成密钥流，将密文与密钥流进行异或运算，得到原始数据。
logistic映射混沌加密算法具有以下特点：1. 高度随机性：由于logistic映射本身的混沌性质，生成的密钥流具有高度随机性，使得加密后的数据无法被破解。
2. 非线性变换：logistic映射混沌加密算法采用非线性的异或运算，使得加密后的数据与原始数据之间的关系变得非常复杂，增加了破解的难度。
3. 实时性：logistic映射混沌加密算法具有较高的加密速度，适用于对大量数据进行实时加密和解密的场景。
4. 简单性：logistic映射混沌加密算法的实现较为简单，只需要进行简单的数学运算，不需要复杂的计算和存储。
2第二章 Logistic 映射和混沌
x0 = 0.4 µ = 4.0
图 2.8a
x0 = 0.4001 µ = 4.0
图 2.8b
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
10
20
10
20
Logistic 映射
n
30
40
50
n
30
40
50
Logistic 映射
4、迭代的几何表示
在 µ = 0.5 ，µ = 2.0 和 µ = 3.2 三种情况下迭代过程的
C. 周期4解 周期4出现时，初值轨迹构成的序列为： x 0 , x1, x 2 ," , x a , x b , x c , x d , x a , x b , x c , x d ,"
周期4解 x 满足： x = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
无论如何，上式可以简化为：
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
n
0
100 200 300 400 500
图 2.7 µ = 4.0, x0 = 0.9系统演化
Logistic 映射
当 µ = 4.0 时，系统最终状态两个特点：
a、给定初值，即使迭代步数 n 足够大，系统最 终的演化状态不确定；
b、初始条件敏感：即初始条件有微小的差别， 迭代一定次数后，系统状态有很大的差别。（如下 图，两初值分别为 x 0 = 0.4000 , 0.4001）。
df (x) ⋅ df (x) < 1 dx X=XA dx X=XB
混沌系统分类
混沌系统分类混沌系统是指那些看似无序、无规律、复杂且难以被完全预测的系统。
混沌系统在自然界和人工系统中都有广泛的应用，如气象学、生物学、经济学、物理学等领域。
根据混沌系统的特征和行为，可以将其分为以下几类：1. 离散映射混沌系统离散映射混沌系统是指在离散时间步中，系统状态通过一个离散映射进行更新。
这类系统中最著名的是Logistic映射，其表达式为：x_n+1 = r*x_n*(1-x_n)，其中x_n为系统在第n个时间步的状态，r 为常数。
这个映射可以产生极其复杂的行为，如周期倍增、途中混沌、周期混沌等。
2. 连续系统混沌系统连续系统混沌系统是指系统的状态是连续的，并且通过微分方程系统进行更新。
这类系统中最著名的是Lorenz系统，它可用下列方程组描述：dx/dt = σ(y-x), dy/dt = x(ρ-z)-y, dz/dt = xy-βz，其中x、y、z分别表示系统的三个状态，σ、ρ、β为参数。
该系统表现出极其复杂的行为，如奇异吸引子、周期倍增等。
3. 分数阶混沌系统分数阶混沌系统是指系统的微分方程中含有分数阶导数，这类系统的行为更加复杂。
比如，分数阶Lorenz系统的方程为：_C^0D_t^αx(t) = σ(y-x), _C^0D_t^αy(t) = x(ρ-z)-y, _C^0D_t^αz(t) = xy-βz，其中_C^0D_t^α表示Caputo分数阶导数，α为分数阶指数。
该系统表现出的行为更加丰富，如多重奇异吸引子、混沌吸引子等。
4. 拓扑混沌系统拓扑混沌系统是指系统的结构可以用拓扑学的方法来描述，比如网络拓扑结构。
这类系统中最著名的是Chua电路，它可用下列方程描述：C(dVc/dt) = g(Vb-Vc) - I_1, L(di/dt) = Vc-Va, C(dVb/dt) = g(Vc-Vb) + g(Va-Vb), L(di_1/dt) = Vb-Va-Ri_1，其中Va、Vb、Vc、i、i_1为电路的状态变量，C、L、R、g分别表示电容、电感、电阻和非线性电感。
Logistic混沌映射
Logistic混沌映射引言如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。
而这些特性正符合序列密码的要求。
1989年Robert Matthews 在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。
混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
Logistic映射分析一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。
此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]其中μ∈[0,4]被称为Logistic参数。
研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic 映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。
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Logistic 映射的混沌行为
摘要：Logistic 映射是非常重要的混沌系统，我们编写了与之相关的计算程序，利用程序的计算结果讨论了非线性系统走向混沌的两种道路，并通过Logistic
映射的动力学行为解释了混沌的本质。
关键词：Logistic 映射；混沌；李亚普诺夫指数
引言
本文将通过对Logistic 映射的分析研究，揭示混沌产生的动力学机制，并揭示混沌现象中普遍成立的规律。
1838年，Verhulst 建立了生物种群的繁衍模型[1]。
即)1()1()1(1n n n n n x ax x x r x -=-+=+ (1)
(1)式被称为虫口模型，也称为单参数的Logistic 映射模型。
线性项ax 代表虫口数的平均增长率，而非线性项)0(2>-a ax 体现环境资源对种群繁衍的制约因素。
通过设定初值0x 并研究数值序列12,,,,n x x x 的变化规律，我们就得到了种群繁衍的规律，计算发现，Logistic 映射的渐进行为与a 的取值密切相关。
1、Logistic 映射动力学行为的复杂性
如果1<a ，则种群个体总数迅速衰减，最终迭代结果01=+n x 。
从生态意义上来讲，虽然初始物种的数量保持一定的规模，但由于受到外界环境的制约，最终走向了物种灭亡的道路,如图1所示。
n x n
当1.2=a 时，虽然种群的起始数量较少，但经过数代的繁衍，种群数量逐渐庞大并趋于稳定,如图2所示。
而当8.2=a 时，迭代出现震荡现象，但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态,如图3所示。
图1 ,种群灭绝 8.0=a 图2 ，种群数量稳定 1.2=a
图3 8.2=a ，种群数量稳定 图4 ，种群数量出现周期二行为
当3>a 时，Logistic 映射开始出现周期振荡现象，当1.3=a 时，迭代结果在两个值
之间交替出现，意味着物种繁衍出现了大小年情况，此时，Logistic 映射进入周期二轨道, 如图4所示。
当a 的值进一步增大时，迭代出现的振荡起伏会出现更为复杂的现象，当52.3=a 时，迭代值每四次会出现重复现象，Logistic 映射进入周期四轨道,如图5所示。
图5 52.3=a ，种群数量出现周期四行为 图6 ，种群数量出现周期八行为 当55.3=a 时，Logistic 映射进入周期八轨道。
随着a 值的增加，Logistic 映射还会
出现更长的周期轨道。
Logistic 映射随着a 的增加轨道周期加倍的现象称为倍周期分叉现象, 如图6所示。
特别需要指出的是，存在一个特殊的a 值即569945672.3=∞a ，当∞>a a 时， Logistic 映射进入混沌区域, 如图7所示。
图7 9.3=a ，种群数量出现混沌现象
1.3=
a 55.3=a
2、Logistic 映射模型进入混沌状态的倍周期分叉机制
Logistic 映射模型从形式上来看是非常简单的，但由于非线性项的作用，其数值序列的渐进行为非常复杂，为了找出其非线性行为的规律性，我们首先下面研究Logistic 映射的倍周期分叉图。
图8 Logistic 映射的倍周期分叉图
从图8可以看出，随着a 值的增加，方程的动力学行为依次出现周期2、周期4、周期8、周期16……的振荡解，这种周期逐渐加倍的现象我们称之为倍周期分叉。
而当a ＞3.5699时，系统的这种周期行为逐渐丧失，其迭代结果不再反复交替出现，而是进入了混沌状态，
此时系统的动力学行为变得复杂，迭代行为出现了随机性[2]，以至于Logistic 映射的倍周
期分叉图的大部分区域被填满。
倍周期分叉图具有自相似特性，如果我们缩小倍周期分叉图的横坐标取值范围，缩小计算步长，就可以将周期窗口放大，经过放大分叉图与其整体结构
具有相似性，这种自相似可以无限嵌套循环[3]。
通过改变系统参量的取值，系统以倍周期
分叉的方式进入混沌状态，称之为进入混沌的第一种模式：即由稳定不动点→周期二→周期四→……无限倍周期→混沌状态。
在倍周期分叉进入混沌的道路上，存在普适行为。
若果定义任意相邻两次分叉的差值，令，通过计算可以得到：
该常数就是Feigenbaum 常数，在混沌系统中出现了常数，意味着我们找到了某种规律，其实，该常数是倍周期分叉的规律，只要发现了第一次分叉，就可以准确预测下一次发生分叉现象的时机。
同时，分叉图表明混沌现象存在自相似结构[4]，该常数的发现则是自相似结构存在的有力证据，该常数就是相似比的极限值。
3、Logistic 映射模型进入混沌状态的阵发性机制
系统还存在第二种通向混沌的方式，近似周期运动→改变参量→阵发性混沌→阵发性混
沌越来越频繁→近似的周期运动越来越少→进入混沌，我们称之为是阵发性混沌[5]。
混沌区域并非一片无规律可循，而是有不断出现的白色空白区域，称为周期窗口。
当81+=a 时，倍周期分叉图出现了空白区域，意味着混沌行为突然消失，迭代结果在三个
a 1n n n a a a -∆=-1
n n a a δ+∆=∆lim 4.66920160910299096718532038n n δδ→∞==
值之间交替出现，系统出现周期三的稳定状态，动力学行为再次出现随机行为，系统重新进
入混沌状态，这和李天岩预言的“周期三意味着混沌”相吻合[6]。
n x n
图9周期三窗口及阵发性混沌
结论：
混沌系统的长期不可预报性来源于系统自身，混沌系统长期行为的随机性就是混沌系统的初值敏感性[7]。
长期以来存在随机性和确定性的争论，混沌的研究则架起了二者之间桥梁，一个完全遵从确定性演化规则的混沌系统，其运动行为长期却表现出随机性，甚至是完全随机性，因此，我们生活的这个世界是确定性和随机性的有机统一，确定性和随机性这一看似矛盾的两个方面在混沌系统中和谐共存。
The chaotic behavior of Logistic mapping
Abstract ：The Logistic mapping is an important chaotic system ， the calculation
program was compiled for d iscussing the two road chaos to nonlinear systems ，
The nature of chaos is explained by dynamical behavior of Logistic mapping 。
关键词：Logistic mapping ；chaos ；Lyapunov index
参考资料:
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