Logistic映射的混沌行为
Logistic 映射的混沌行为
摘要：Logistic 映射是非常重要的混沌系统，我们编写了与之相关的计算程序，利用程序的计算结果讨论了非线性系统走向混沌的两种道路，并通过Logistic
映射的动力学行为解释了混沌的本质。
关键词：Logistic 映射；混沌；李亚普诺夫指数
引言
本文将通过对Logistic 映射的分析研究，揭示混沌产生的动力学机制，并揭示混沌现象中普遍成立的规律。
1838年，Verhulst 建立了生物种群的繁衍模型[1]。
即)1()1()1(1n n n n n x ax x x r x -=-+=+ (1)
(1)式被称为虫口模型，也称为单参数的Logistic 映射模型。
线性项ax 代表虫口数的平均增长率，而非线性项)0(2>-a ax 体现环境资源对种群繁衍的制约因素。
通过设定初值0x 并研究数值序列12,,,,n x x x 的变化规律，我们就得到了种群繁衍的规律，计算发现，Logistic 映射的渐进行为与a 的取值密切相关。
1、Logistic 映射动力学行为的复杂性
如果1<a ，则种群个体总数迅速衰减，最终迭代结果01=+n x 。
从生态意义上来讲，虽然初始物种的数量保持一定的规模，但由于受到外界环境的制约，最终走向了物种灭亡的道路,如图1所示。
n x n
当1.2=a 时，虽然种群的起始数量较少，但经过数代的繁衍，种群数量逐渐庞大并趋于稳定,如图2所示。
而当8.2=a 时，迭代出现震荡现象，但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态,如图3所示。
图1 ,种群灭绝 8.0=a 图2 ，种群数量稳定 1.2=a
图3 8.2=a ，种群数量稳定 图4 ，种群数量出现周期二行为
当3>a 时，Logistic 映射开始出现周期振荡现象，当1.3=a 时，迭代结果在两个值
之间交替出现，意味着物种繁衍出现了大小年情况，此时，Logistic 映射进入周期二轨道, 如图4所示。
当a 的值进一步增大时，迭代出现的振荡起伏会出现更为复杂的现象，当52.3=a 时，迭代值每四次会出现重复现象，Logistic 映射进入周期四轨道,如图5所示。
图5 52.3=a ，种群数量出现周期四行为 图6 ，种群数量出现周期八行为 当55.3=a 时，Logistic 映射进入周期八轨道。
随着a 值的增加，Logistic 映射还会
出现更长的周期轨道。
Logistic 映射随着a 的增加轨道周期加倍的现象称为倍周期分叉现象, 如图6所示。
特别需要指出的是，存在一个特殊的a 值即569945672.3=∞a ，当∞>a a 时， Logistic 映射进入混沌区域, 如图7所示。
图7 9.3=a ，种群数量出现混沌现象
1.3=
a 55.3=a
2、Logistic 映射模型进入混沌状态的倍周期分叉机制
Logistic 映射模型从形式上来看是非常简单的，但由于非线性项的作用，其数值序列的渐进行为非常复杂，为了找出其非线性行为的规律性，我们首先下面研究Logistic 映射的倍周期分叉图。
图8 Logistic 映射的倍周期分叉图
从图8可以看出，随着a 值的增加，方程的动力学行为依次出现周期2、周期4、周期8、周期16……的振荡解，这种周期逐渐加倍的现象我们称之为倍周期分叉。
而当a ＞3.5699时，系统的这种周期行为逐渐丧失，其迭代结果不再反复交替出现，而是进入了混沌状态，
此时系统的动力学行为变得复杂，迭代行为出现了随机性[2]，以至于Logistic 映射的倍周
期分叉图的大部分区域被填满。
倍周期分叉图具有自相似特性，如果我们缩小倍周期分叉图的横坐标取值范围，缩小计算步长，就可以将周期窗口放大，经过放大分叉图与其整体结构
具有相似性，这种自相似可以无限嵌套循环[3]。
通过改变系统参量的取值，系统以倍周期
分叉的方式进入混沌状态，称之为进入混沌的第一种模式：即由稳定不动点→周期二→周期四→……无限倍周期→混沌状态。
在倍周期分叉进入混沌的道路上，存在普适行为。
若果定义任意相邻两次分叉的差值，令，通过计算可以得到：
该常数就是Feigenbaum 常数，在混沌系统中出现了常数，意味着我们找到了某种规律，其实，该常数是倍周期分叉的规律，只要发现了第一次分叉，就可以准确预测下一次发生分叉现象的时机。
同时，分叉图表明混沌现象存在自相似结构[4]，该常数的发现则是自相似结构存在的有力证据，该常数就是相似比的极限值。
3、Logistic 映射模型进入混沌状态的阵发性机制
系统还存在第二种通向混沌的方式，近似周期运动→改变参量→阵发性混沌→阵发性混
沌越来越频繁→近似的周期运动越来越少→进入混沌，我们称之为是阵发性混沌[5]。
混沌区域并非一片无规律可循，而是有不断出现的白色空白区域，称为周期窗口。
当81+=a 时，倍周期分叉图出现了空白区域，意味着混沌行为突然消失，迭代结果在三个
a 1n n n a a a -∆=-1
n n a a δ+∆=∆lim 4.66920160910299096718532038n n δδ→∞==
值之间交替出现，系统出现周期三的稳定状态，动力学行为再次出现随机行为，系统重新进
入混沌状态，这和李天岩预言的“周期三意味着混沌”相吻合[6]。
n x n
图9周期三窗口及阵发性混沌
结论：
混沌系统的长期不可预报性来源于系统自身，混沌系统长期行为的随机性就是混沌系统的初值敏感性[7]。
长期以来存在随机性和确定性的争论，混沌的研究则架起了二者之间桥梁，一个完全遵从确定性演化规则的混沌系统，其运动行为长期却表现出随机性，甚至是完全随机性，因此，我们生活的这个世界是确定性和随机性的有机统一，确定性和随机性这一看似矛盾的两个方面在混沌系统中和谐共存。
The chaotic behavior of Logistic mapping
Abstract ：The Logistic mapping is an important chaotic system ， the calculation
program was compiled for d iscussing the two road chaos to nonlinear systems ，
The nature of chaos is explained by dynamical behavior of Logistic mapping 。
关键词：Logistic mapping ；chaos ；Lyapunov index
参考资料:
[1] H. O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe Chaos and fractals New frontiers of science
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[7] 黄荣生.混沌及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2000。
Logistic映射是一维离散混沌系统
1基于混沌的序列密码加密方法1.1混沌系统的特点混沌现象是在非线性动力学系统中出现的确定性的、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始状态具有极其敏感的依赖性，即初始状态只有微小差别的两个同构混沌系统在较短的时间后就会产生两组完全不同的、互不相关的混沌序列值。
混沌信号具有天然的随机性，特别是经过一定处理后的混沌信号具有非常大的周期和优良的随机性，完全可以用来产生符合安全性要求的序列密码。
更重要的是，通过混沌系统对初始状态和参数的敏感依赖性，可以提供数量众多的密钥。
根据混沌系统的上述特点，可以用其产生序列密码。
经过合理设计的混沌序列密码加密算法不会随着对符合要求的密钥流数量的提高而复杂化。
1.2 基于Logistic映射的混沌序列密码加密算法Logistic映射是一维离散混沌系统，运算速度快，方程反复迭代可以产生较好的混沌序列。
产生的混沌序列对初始状态和系统参数极其敏感。
Logistic映射的定义为：X(n) = F[x(n-1)] = u*x(n-1)*(1-x(n-1))其中，控制参数u介于（0，4），x（n）在（0，1）之间，Logistic映射的大量研究已经表明，当u达到极限值，即u=3.5699456时，系统的稳态解周期为∞。
当3.5699456<u ≤4时，Logistic映射呈现混沌状态，所以为了实现混沌态，在实际应用时，u的取值范围应设定为：3.5699456<u≤41.3 混沌序列产生定义XML字符串长度记为|X|，系统交互次数为N。
S为|X|及N变为小数后得乘积。
例如|X|=352，N=8，则S=0.352*0.8u=3.569946+S/2 (保证u<4); X0=S多次迭代F[x(n-1)]式,就得到一个序列值X i(i=0,1,2,3,4…n)，取X i小数点后第j到j+k 位，就可以得到一个n*(k+1)位的加密密钥。
4种混沌映射的特点
4种混沌映射的特点
混沌映射是一种重要的非线性动力学系统，具有复杂的动力学特性，已经被广泛应用于许多领域。
本文介绍了四种常见的混沌映射及其特点。
1. Logistic映射
Logistic映射是一种广泛应用于混沌理论研究中的典型非线性动力学系统。
它的特点是简单易行，具有双稳态和混沌行为，是研究混沌现象的经典示例。
2. Henon映射
Henon映射是一种双参数混沌映射，它的特点是具有分形结构、非周期性、高度敏感依赖于初值和参数，并且在参数空间中形成了复杂的混沌吸引子。
3. Lorenz映射
Lorenz映射是一种具有吸引子的三维非线性动力学系统，它的特点是具有强的混沌行为和灵敏的初始条件依赖性，常被用于模拟大气和海洋中的流体运动。
4. Ikeda映射
Ikeda映射是一种典型的非线性动力学系统，它的特点是具有高度敏感的初值和参数、分形结构和复杂的混沌吸引子，常被用于研究光学系统中的非线性动力学现象。
以上是四种典型的混沌映射及其特点。
混沌映射在科学研究、信息加密、密码学、图像处理等领域有着广泛的应用价值，未来将会有
更多的研究和应用。
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
logistic混沌加密原理
logistic混沌加密原理Logistic混沌加密原理是一种基于混沌理论的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
Logistic混沌加密原理的基本思想是通过对明文进行混沌变换，使其变得随机和不可预测，从而达到加密的目的。
Logistic混沌加密原理的核心是Logistic映射函数，它是一种非线性的动态系统，可以产生复杂的混沌序列。
Logistic映射函数的公式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，r是一个常数，通常取值在3.57到4之间。
通过不断迭代，Logistic映射函数可以产生一个随机的、不可预测的序列，这个序列被称为Logistic混沌序列。
Logistic混沌加密原理的加密过程如下：1. 初始化：选择一个初始值X0和一个密钥K，将X0作为明文的一部分，K作为加密密钥。
2. 生成密钥流：使用Logistic映射函数生成一个随机的、不可预测的密钥流，将其与明文进行异或运算，得到密文。
3. 解密：使用相同的初始值X0和密钥K，使用Logistic映射函数生成相同的密钥流，将其与密文进行异或运算，得到明文。
Logistic混沌加密原理具有以下优点：1. 安全性高：Logistic混沌序列具有随机性和不可预测性，使得攻击者无法破解密文。
2. 速度快：Logistic混沌加密算法的加密和解密速度都很快，适用于实时加密和解密。
3. 灵活性强：Logistic混沌加密算法可以根据需要选择不同的参数，以适应不同的加密需求。
4. 实现简单：Logistic混沌加密算法的实现非常简单，只需要进行一些基本的数学运算即可。
总之，Logistic混沌加密原理是一种非常有效的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
在实际应用中，Logistic混沌加密算法可以用于保护敏感数据的安全，例如网络通信、金融交易等领域。
logistic映射混沌加密算法
logistic映射混沌加密算法混沌理论是一种非线性动力学系统的研究方法，其核心思想是通过微小的初始条件差异引起系统的巨大变化，表现出复杂、随机且不可预测的行为。
混沌理论在信息安全领域具有重要的应用，其中logistic映射混沌加密算法是一种常用的加密方法。
logistic映射是一种简单而有效的动力学系统，其公式为Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn表示第n个时间点的状态值，r为控制参数，通常取值在0到4之间。
通过迭代计算，logistic映射可以产生一系列的状态值，这些值呈现出混沌的特性。
logistic映射混沌加密算法的基本思想是将待加密的数据与logistic映射的状态值进行异或运算，以增加数据的随机性和不可预测性。
具体加密过程如下：1. 初始化：设置初始状态X0和控制参数r的值，选择合适的初始状态和控制参数是保证加密效果的关键。
2. 生成密钥流：通过迭代计算logistic映射的状态值，得到一系列的随机数作为密钥流。
密钥流的长度取决于需要加密的数据长度。
3. 加密：将待加密的数据与密钥流进行异或运算，生成密文。
异或运算的特点是相同位上的数字相同则结果为0，不同则结果为1，这样可以实现简单而高效的加密过程。
4. 解密：使用相同的初始状态和控制参数，再次生成密钥流，将密文与密钥流进行异或运算，得到原始数据。
logistic映射混沌加密算法具有以下特点：1. 高度随机性：由于logistic映射本身的混沌性质，生成的密钥流具有高度随机性，使得加密后的数据无法被破解。
2. 非线性变换：logistic映射混沌加密算法采用非线性的异或运算，使得加密后的数据与原始数据之间的关系变得非常复杂，增加了破解的难度。
3. 实时性：logistic映射混沌加密算法具有较高的加密速度，适用于对大量数据进行实时加密和解密的场景。
4. 简单性：logistic映射混沌加密算法的实现较为简单，只需要进行简单的数学运算，不需要复杂的计算和存储。
2第二章 Logistic 映射和混沌
x0 = 0.4 µ = 4.0
图 2.8a
x0 = 0.4001 µ = 4.0
图 2.8b
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
10
20
10
20
Logistic 映射
n
30
40
50
n
30
40
50
Logistic 映射
4、迭代的几何表示
在 µ = 0.5 ，µ = 2.0 和 µ = 3.2 三种情况下迭代过程的
C. 周期4解 周期4出现时，初值轨迹构成的序列为： x 0 , x1, x 2 ," , x a , x b , x c , x d , x a , x b , x c , x d ,"
周期4解 x 满足： x = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
无论如何，上式可以简化为：
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
n
0
100 200 300 400 500
图 2.7 µ = 4.0, x0 = 0.9系统演化
Logistic 映射
当 µ = 4.0 时，系统最终状态两个特点：
a、给定初值，即使迭代步数 n 足够大，系统最 终的演化状态不确定；
b、初始条件敏感：即初始条件有微小的差别， 迭代一定次数后，系统状态有很大的差别。（如下 图，两初值分别为 x 0 = 0.4000 , 0.4001）。
df (x) ⋅ df (x) < 1 dx X=XA dx X=XB
混沌系统分类
混沌系统分类混沌系统是指那些看似无序、无规律、复杂且难以被完全预测的系统。
混沌系统在自然界和人工系统中都有广泛的应用，如气象学、生物学、经济学、物理学等领域。
根据混沌系统的特征和行为，可以将其分为以下几类：1. 离散映射混沌系统离散映射混沌系统是指在离散时间步中，系统状态通过一个离散映射进行更新。
这类系统中最著名的是Logistic映射，其表达式为：x_n+1 = r*x_n*(1-x_n)，其中x_n为系统在第n个时间步的状态，r 为常数。
这个映射可以产生极其复杂的行为，如周期倍增、途中混沌、周期混沌等。
2. 连续系统混沌系统连续系统混沌系统是指系统的状态是连续的，并且通过微分方程系统进行更新。
这类系统中最著名的是Lorenz系统，它可用下列方程组描述：dx/dt = σ(y-x), dy/dt = x(ρ-z)-y, dz/dt = xy-βz，其中x、y、z分别表示系统的三个状态，σ、ρ、β为参数。
该系统表现出极其复杂的行为，如奇异吸引子、周期倍增等。
3. 分数阶混沌系统分数阶混沌系统是指系统的微分方程中含有分数阶导数，这类系统的行为更加复杂。
比如，分数阶Lorenz系统的方程为：_C^0D_t^αx(t) = σ(y-x), _C^0D_t^αy(t) = x(ρ-z)-y, _C^0D_t^αz(t) = xy-βz，其中_C^0D_t^α表示Caputo分数阶导数，α为分数阶指数。
该系统表现出的行为更加丰富，如多重奇异吸引子、混沌吸引子等。
4. 拓扑混沌系统拓扑混沌系统是指系统的结构可以用拓扑学的方法来描述，比如网络拓扑结构。
这类系统中最著名的是Chua电路，它可用下列方程描述：C(dVc/dt) = g(Vb-Vc) - I_1, L(di/dt) = Vc-Va, C(dVb/dt) = g(Vc-Vb) + g(Va-Vb), L(di_1/dt) = Vb-Va-Ri_1，其中Va、Vb、Vc、i、i_1为电路的状态变量，C、L、R、g分别表示电容、电感、电阻和非线性电感。
Logistic混沌映射
Logistic混沌映射引言如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。
而这些特性正符合序列密码的要求。
1989年Robert Matthews 在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。
混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
Logistic映射分析一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。
此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]其中μ∈[0,4]被称为Logistic参数。
研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic 映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。
混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析
第24卷第2期2006年3月北京工商大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Techno logy and Business U niversity (N atural Science Editi on )V o l 124N o 12M ar .2006 文章编号:167121513(2006)022*******混沌的复杂度研究方法和L og istic 映射分析王云雄1, 翁贻方1,2, 郑德玲2(11北京工商大学信息工程学院,北京 100037;21北京科技大学信息工程学院,北京 100083)摘 要:研究和评价了混沌复杂度3种定量分析方法——L yap unov 指数、分维、,及其它们之间的内在联系,并研究了一种简单有效的测度熵替代方法——近似熵(app rox i m ate en trop y )方法Λ应用以上方法对L ogistic 映射复杂度进行了分析Λ结果表明L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,分维数与复杂度的函数关系尚难确定,且与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确Λ关键词:混沌;复杂度;L yap unov 指数;分维;测度熵中图分类号:T P 30115;N 94114 文献标识码:A 收稿日期:20051206基金项目:北京市优秀人才培养专项经费资助项目(20041D 0500309)作者简介:王云雄(1982-),男,四川内江人,硕士研究生,主要研究方向为计算机网络管理与信息安全;翁贻方(1954-),女,上海人,教授,主要从事控制理论及应用,混浊同步保密通信与信息加密研究Ζ 在非线性科学的研究领域中一直存在着大量的复杂现象,而传统的理论和分析方法在这些现象面前却无能为力Ζ随着非线性科学的发展,到了20世纪80年代中期,一些以复杂度本身为研究对象的研究才陆陆续续地展开,相关的论文和书籍开始出现Ζ但应当指出的是,对于复杂度来说,目前既没有达成统一的理解,更没有统一的科学定义,可以说,对于复杂度的研究现在还处于起步阶段Ζ混沌,作为非线性动力系统的一个经典复杂现象,近几十年被广泛地应用于保密通信的研究,提出了大量的混沌加密算法Ζ因此,对混沌的复杂度进行深入的研究有着十分重要的意义Ζ一方面,对混沌系统复杂度的分析可以丰富目前尚未系统化的复杂度理论;另一方面,也为混沌加密算法的强度度量提供了新的思路和方法Ζ旨在用非线性动力学的分析方法对混沌的复杂度进行探索性研究,以L ogistic 映射为对象,研究各种定量分析方法的内在联系Ζ1 混沌的定性特征混沌,作为非线性动力系统中的一个既普遍又复杂的系统,具有通常确定性运动所不具备的几何和统计特性:局部不稳定而整体稳定、连续功率谱、奇异吸引子、正的L yap unov 指数、分维、正的测度熵等等Ζ概括地说,混沌具有以下3个主要的定性特征[1]:1)内随机性:混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等,是指混沌现象产生的根源在系统本身Ζ内随机性的另一个含义是局部不稳定性Ζ一般,产生混沌的系统具有内在不稳定性而整体稳定性Ζ混沌态与有序态的不同之处在于,它同时具有整体稳定性和局部不稳定性Ζ所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于初始条件Ζ2)分维特性:混沌态具有分维性质,但其非整数维不是用来描述系统的几何外形,而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征Ζ混沌运动在相空间中的某个区域内无限次的穿越,构成了一个有无穷层次的自相似结构——奇异吸引子Ζ3)普适性和Feigenbaum 常数:混沌是一种无周期的“高级”有序运动Ζ在研究混沌的过程中,可以83发现某种标度的不变性,代替了通常的空间和时间周期性;所谓普适性,是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征,它不依具体的系数以及系统的运动方程而变Ζ2 混沌复杂度的分析方法由于到目前为止对复杂度还没有严格的数学定义,在研究混沌的复杂度时,习惯性地将定量描述混沌性质的一些参数(L yap unov 指数、分维、测度熵等)列入复杂度的度量方法Ζ211 L yapunov 指数L yap unov 指数是混沌过程的一个重要参数,它给出了混沌过程对初始状态的依赖程度Ζ在非混沌系统中,相邻轨道一般是收敛的,或者是以小于指数形式的速率发散的;在混沌系统中,相邻轨道是以指数形式发散的Ζ而正的L yap unov 指数对应本征矢方向上的位移初始点,其发展出来的轨道会呈指数化分离趋势;在负的L yap unov 指数对应本征矢方向上,相空间轨道会相互吸引趋近Ζ因此,在非线性动力系统的研究中经常将正的L yap unov 指数作为混沌是否出现的一个判据Ζ对于连续系统d xd t=f (x (t )),x (t )∈R n .(1)n 维空间中的一轨道与相邻轨道的初始条件为x 0和x 0+∃x 0,其切向量为W (x 0,t ),则L yap unov 指数可以定义为两相邻轨道的平均指数发散率Κ(x 0,W )=li m t →∞1t ln ‖W (x 0,t )‖‖W (x 0,0)‖;(2)对于离散系统x n +1=f (x n ),x n ∈R n.(3)令A n =[M (x n )M (x n -1)K ・M (x 1)]1 n,其中M (x n )为f (・)的Jacob i 矩阵,同时A n 设的特征值为∆i (n ),则L yap unov 指数可以定义为Κi =li m n →∞1nln ∆i (n ) Ζ(4)其实,前一种定义主要针对L yap unov 指数的几何意义而言,而后一种定义则是针对计算角度来描述的Ζ一维L ogistic 映射为x n +1=Λx n (1-x n ),0≤x ≤1,0<Λ≤4(5)图1表示了L ogistic 映射的L yap unov 指数随参数Λ的变化趋势,其中迭代次数为2000,初值为013Ζ从图1中可见,L ogistic 映射的L yap unov 指数值Κ随着参数Λ变化而发生复杂变化,同时与之对应的是L ogistic 映射的复杂性态的变化:1)Λ∈(0,1]时,Κ从一个负值趋向于0,x 值收a )全局图;b )局部放大图图1 L ogistic 映射的L yapunov 指数敛到不动点0;2)Λ∈(1,3]时,Κ<0,x 收敛到1-1 Λ,其中当Λ=2时,存在一个超稳定点,此时Κ→-∞(由于迭代次数有限,所以在图1中体现为一个有限大的负值);3)Λ∈(3,31571448]时,系统状态为倍周期分叉,Κ处于0→-∞→0的循环过程;4)Λ∈(31571448,3182842]时,系统状态为阵发混沌,这时Κ>0,在某些窗口处,Κ<0;5)Λ∈(319,4]时,系统处于混沌态,Κ>0Ζ可见L yap unov 指数表征了L ogistic 混沌映射的复杂性态Ζ但现在有观点认为,L yap unov 指数不93 第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析能反映介于有序和随机之间的复杂性,更不能用它的数值作为复杂程度大小的度量[2]Ζ这一观点是建立在符号动力学基础上的Ζ一方面,当Λ=4时,也就是满射的时候,L yap unov指数达到最大值0169,虽然这时L ogistic映射具有正的L yap unov指数,符合关于混沌的许多定义,但从符号动力学的观点来看,由于其完全随机性,可以认为它的符号动力学行为是简单的Ζ另一方面,文献[3]的研究结果表明,当L yap unov指数的值为0时,系统行为有可能是非常复杂的Ζ尽管如此,L yap unov指数能准确反映混沌过程对初始状态的依赖程度,而混沌对初始状态的敏感性使混沌的状态难以预测,这正是混沌复杂度的一个表现Ζ212 分维混沌吸引子具有无穷层次的自相似结构,可以用维数来表征它的离散程度Ζ相轨道的自相似结构使得其相轨线不能填满整个相空间,从而形成了混沌系统所特有的分形结构,具有分数维数的特征,因此分数维数也是判断混沌运动的有效手段Ζ设S为N维空间中的子集,M(Ε)是覆盖S所需的边长为Ε的N维立方体的数量,则可以用下式来表示其容量(H au sdo rff)维数,D(S)=li mΕ→0ln M(Ε)ln(1 Ε).(6)如果一个吸引子的维数D(S)为分数,则可判断其为混沌Ζ但是H au sdo rff分维数的计算十分困难, Grassberg和P rocaccia于1983年提出了GP算法来计算另一种分维数D c(S),也就是关联维数D c(S)=li mΕ→0ln C(Ε)lnΕ;(7)C(Ε)=li mn→01n2∑ni,j=1H(Ε- X i-X j );(8)其中,H(・)是H eaviside阶跃函数Ζ这种方法的局限性在于,虽然可以通过判断计算出的维数是否为分数进而确定该系统是否为混沌,却无法从分维的具体数值来度量混沌系统动力学行为的复杂程度Ζ213 测度熵测度熵又称为K2S熵(ko l m ogo rov2sinai),它描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率Ζ其几何意义在于:设区分相空间的轨道只能以固定的精度,则在该精度下,随着轨道向前演化,由于混沌轨道附近的指数分离,原来不能区分的轨道就可以区分离开,也就是“混沌创造信息”Ζ而测度熵正是这种信息的平均产生率Ζ设吸引子为一集合,它被边长为Ε的N 维立方体完全覆盖,对于Ε,设立方体的个数为M(Ε),通过M(Ε)的概率为p i,则测度熵定义为I(Ε)=-∑M(Ε)i=1p i ln P i.(9)基于以上原理,可知信息量与可以区分的不同轨道数目有关,对于混沌运动,其轨道数目N随时间指数增长:N∝e k t,其中常数k为测度熵Ζ在一段时间内可以区分的不同轨道数目N越多,其复杂度越大Ζ而轨道数目N是以测度熵k的指数变化的Ζk越大,随机性越强,被恢复的可能性也越小,复杂度也越高[4]Ζ因此,测度熵可以反映混沌系统的复杂度Ζ但是存在的问题是:测度熵的计算方法K2S熵法需要大量的样本空间,且计算量巨大,实际中较难获得测度熵的具体数值Ζ3 Ap E n复杂度分析算法文献[5]提出了一种以近似熵A p E n来代替测度熵作为判断复杂度大小的方法,其定义和算法如下:1)对于一给定的时间序列Λ(1),Λ(2),…Λ(N),按顺序将其组成一个m维的向量集X(i),即X(i)=[Λ(i),Λ(i+1),…,Λ(i+m-1)],(i=1,2,3,…,N-m+1);(10)2)计算向量X(i)与其余向量X(j)之间的距离d [X(i),X(j)],并将最大值定义为最大反应成分距离d[X(i),X(j)]=m ax[ x(i+k)-x(j+k) ],(k=[0,m-1]).(11)3)定义一个阈值r(r>0),对于每一个i值,记录满足条件d[X(i),X(j)]<r的个数Ζ把这个值N-m与的比值定义为C m i(r),C m i(r)={d[X(i),X(j)]<r的数目} (N-m).(12)4)对每一个可能的i值,计算C m i(r)的自然对数,这些对数的平均值定义为<m(r),<m(r)=1N-m+1∑N-m+1i=1ln C m i(r).(13)A p E n可以表示向量集随着m增大产生新模式04北京工商大学学报(自然科学版)2006年3月 的概率,产生新模式的概率越大,A p E n 值就越大,即时间序列的复杂度越大Ζ实际上,N 不可能取无穷大,所以通常只能在N 足够大的时候对A p E n 进行估计,A p E n (m ,r ,N )=<m (r )-<m +1(r ).(14)根据经验,P incu s 建议m 取2,r 取011～012倍原始数据的标准差Ζ只需用很短时间序列(约1000个数据点)就可以估算出可靠的A p E n 值Ζ对于L ogistic 映射x n +1=4x n (1-x n ),0≤x ≤1,取N =5000,m =2,r =0115,得到其A p E n 值约为0169;同时还发现L yap unov 指数值(Λ=4)也为0169Ζ根据P e sin 公式I (Ε)=∑Κi >0Κi.(15)可知,处于混沌状态的L ogistic 映射,其L yap unov 指数和测度熵在数值应该是近似相等的,而A p E n 值就等于测度熵的值Ζ所以,对于L ogistic 映射,A p E n 算法较为准确地计算出了测度熵的值,但其对于高维连续混沌系统的普遍适用性还有待研究Ζ4 结论混沌复杂度研究的L yap unov 指数、分维和测度熵方法,从不同角度给出混沌复杂度的量化值,其中L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,而分维数的值与复杂度的函数关系尚难确定,且分维数与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确ΖA p E n (近似熵)方法是测度熵的一种替代算法,简单可靠,值得深入研究Ζ对L ogistic 映射的复杂度分析验证了上述结论Ζ参考文献:[1] 赵耿,方锦清.现代信息安全与混沌保密通信研究的进展[J ].物理学进展,2003,23(2):212252.[2] 谢惠民.动力系统的复杂性刻划[J ].力学进展,1996,26(3):289302.[3] Keller G .L yapunov exponen ts and comp lex ity fo rin terval m ap s [J ].L ectu re N o tes in M ath ,1991,1486:216226.[4] 蔡觉平,李赞,宋文涛.一种混沌伪随机序列复杂度分析法[J ].物理学报,2003,52(8):18711875.[5] P incu s S M .A pp rox i m ate en tropy as a m easu re ofsystem comp lex ity [J ].P roceedings of the N ati onal A cadem y of Sciences ,1991,88(6):22972301.STUDY ON THE CHAOS ’COM PL EX IT Y ANALY SISM ETHODOLOG Y AND APPL I CATI ON T O LOGISTI C M APW AN G Yun 2x i ong 1, W EN G Y i 2fang 1,2, ZH EN G D e 2ling2(11Colleg e of Inf or m a tion E ng ineering ,B eij ing T echnology and B usiness U n iversity ,B eij ing 100037,Ch ina ;21S chool of Inf or m a tion E ng ineering ,U n iversity of S cience andT echnology B eij ing ,B eij ing 100083,Ch ina )Abstract :T h ree k inds of chao s’com p lex ity analysis m ethods ,L yap unov exponen t ,fractal and K 2S en trop y ,as w ell as their relati on sh i p ,are investigated .A pp rox i m ate en trop y (A p En )m ethod is also studied .T hey are app lied to analyze the com p lex ity of L ogistic m ap .T he conclu si on is that L yap unov exponen t and K 2S en trop y have app rox i m ately linear relati on w ith com p lex ity ,w h ile it is difficu lt to determ ine the relati on betw een fractal and com p lex ity .Fu rtherm o re the co rrelati on of fractal and L yap unov exponen t ,K 2S en trop y is no t clear now .F inally ,A p En m ethod offers a si m p le and valid analysis m ean to sub stitu te K 2S en trop y .Key words :chao s ;com p lex ity ;L yap unov exponen t ;fractal ;K 2S en trop y(责任编辑:邓清燕)14 第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析。
混沌算法 python
混沌算法 python
混沌算法是一种基于混沌理论的算法，其基本思想是利用混沌系统的特性来解决一些复杂的问题。
在Python中实现混沌算法需要使用到一些数学库，如NumPy和Matplotlib等。
下面是一个简单的Python代码示例，演示了如何使用Logistic映射来生成混沌序列：python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义Logistic映射函数
def logistic(x):
return 4 * x * (1 - x)
# 生成混沌序列
x = 0.5
xs = [x]
for i in range(1000):
x = logistic(x)
xs.append(x)
# 绘制混沌序列的图像
plt.plot(xs)
plt.show()
在这个示例中，我们首先定义了Logistic映射函数，该函数将一个介于0和1之间的数映射到另一个介于0和1之间的数。
然后，我们使用该函数生成了一个混沌序列，该序列由1000个数字组成。
最后，我们使用Matplotlib库将该序列绘制成图像。
需要注意的是，混沌算法的应用非常广泛，不仅可以用于生成混沌序列，还可以用于加密、图像处理、优化问题等领域。
但是，由于混沌算法的复杂性和不确定性，在使用时需要特别小心，避免出现不可预测的结果。