Logistic混沌映射[1]
Logistic映射是一维离散混沌系统
1基于混沌的序列密码加密方法1.1混沌系统的特点混沌现象是在非线性动力学系统中出现的确定性的、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始状态具有极其敏感的依赖性，即初始状态只有微小差别的两个同构混沌系统在较短的时间后就会产生两组完全不同的、互不相关的混沌序列值。
混沌信号具有天然的随机性，特别是经过一定处理后的混沌信号具有非常大的周期和优良的随机性，完全可以用来产生符合安全性要求的序列密码。
更重要的是，通过混沌系统对初始状态和参数的敏感依赖性，可以提供数量众多的密钥。
根据混沌系统的上述特点，可以用其产生序列密码。
经过合理设计的混沌序列密码加密算法不会随着对符合要求的密钥流数量的提高而复杂化。
1.2 基于Logistic映射的混沌序列密码加密算法Logistic映射是一维离散混沌系统，运算速度快，方程反复迭代可以产生较好的混沌序列。
产生的混沌序列对初始状态和系统参数极其敏感。
Logistic映射的定义为：X(n) = F[x(n-1)] = u*x(n-1)*(1-x(n-1))其中，控制参数u介于（0，4），x（n）在（0，1）之间，Logistic映射的大量研究已经表明，当u达到极限值，即u=3.5699456时，系统的稳态解周期为∞。
当3.5699456<u ≤4时，Logistic映射呈现混沌状态，所以为了实现混沌态，在实际应用时，u的取值范围应设定为：3.5699456<u≤41.3 混沌序列产生定义XML字符串长度记为|X|，系统交互次数为N。
S为|X|及N变为小数后得乘积。
例如|X|=352，N=8，则S=0.352*0.8u=3.569946+S/2 (保证u<4); X0=S多次迭代F[x(n-1)]式,就得到一个序列值X i(i=0,1,2,3,4…n)，取X i小数点后第j到j+k 位，就可以得到一个n*(k+1)位的加密密钥。
4种混沌映射的特点
4种混沌映射的特点
混沌映射是一种重要的非线性动力学系统，具有复杂的动力学特性，已经被广泛应用于许多领域。
本文介绍了四种常见的混沌映射及其特点。
1. Logistic映射
Logistic映射是一种广泛应用于混沌理论研究中的典型非线性动力学系统。
它的特点是简单易行，具有双稳态和混沌行为，是研究混沌现象的经典示例。
2. Henon映射
Henon映射是一种双参数混沌映射，它的特点是具有分形结构、非周期性、高度敏感依赖于初值和参数，并且在参数空间中形成了复杂的混沌吸引子。
3. Lorenz映射
Lorenz映射是一种具有吸引子的三维非线性动力学系统，它的特点是具有强的混沌行为和灵敏的初始条件依赖性，常被用于模拟大气和海洋中的流体运动。
4. Ikeda映射
Ikeda映射是一种典型的非线性动力学系统，它的特点是具有高度敏感的初值和参数、分形结构和复杂的混沌吸引子，常被用于研究光学系统中的非线性动力学现象。
以上是四种典型的混沌映射及其特点。
混沌映射在科学研究、信息加密、密码学、图像处理等领域有着广泛的应用价值，未来将会有
更多的研究和应用。
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
logistic混沌加密原理
logistic混沌加密原理Logistic混沌加密原理是一种基于混沌理论的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
Logistic混沌加密原理的基本思想是通过对明文进行混沌变换，使其变得随机和不可预测，从而达到加密的目的。
Logistic混沌加密原理的核心是Logistic映射函数，它是一种非线性的动态系统，可以产生复杂的混沌序列。
Logistic映射函数的公式为：Xn+1 = r * Xn * (1 - Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，r是一个常数，通常取值在3.57到4之间。
通过不断迭代，Logistic映射函数可以产生一个随机的、不可预测的序列，这个序列被称为Logistic混沌序列。
Logistic混沌加密原理的加密过程如下：1. 初始化：选择一个初始值X0和一个密钥K，将X0作为明文的一部分，K作为加密密钥。
2. 生成密钥流：使用Logistic映射函数生成一个随机的、不可预测的密钥流，将其与明文进行异或运算，得到密文。
3. 解密：使用相同的初始值X0和密钥K，使用Logistic映射函数生成相同的密钥流，将其与密文进行异或运算，得到明文。
Logistic混沌加密原理具有以下优点：1. 安全性高：Logistic混沌序列具有随机性和不可预测性，使得攻击者无法破解密文。
2. 速度快：Logistic混沌加密算法的加密和解密速度都很快，适用于实时加密和解密。
3. 灵活性强：Logistic混沌加密算法可以根据需要选择不同的参数，以适应不同的加密需求。
4. 实现简单：Logistic混沌加密算法的实现非常简单，只需要进行一些基本的数学运算即可。
总之，Logistic混沌加密原理是一种非常有效的加密算法，它利用混沌系统的不可预测性和复杂性来保护数据的安全性。
在实际应用中，Logistic混沌加密算法可以用于保护敏感数据的安全，例如网络通信、金融交易等领域。
logistic映射混沌加密算法
logistic映射混沌加密算法混沌理论是一种非线性动力学系统的研究方法，其核心思想是通过微小的初始条件差异引起系统的巨大变化，表现出复杂、随机且不可预测的行为。
混沌理论在信息安全领域具有重要的应用，其中logistic映射混沌加密算法是一种常用的加密方法。
logistic映射是一种简单而有效的动力学系统，其公式为Xn+1 = r*Xn*(1-Xn)，其中Xn表示第n个时间点的状态值，r为控制参数，通常取值在0到4之间。
通过迭代计算，logistic映射可以产生一系列的状态值，这些值呈现出混沌的特性。
logistic映射混沌加密算法的基本思想是将待加密的数据与logistic映射的状态值进行异或运算，以增加数据的随机性和不可预测性。
具体加密过程如下：1. 初始化：设置初始状态X0和控制参数r的值，选择合适的初始状态和控制参数是保证加密效果的关键。
2. 生成密钥流：通过迭代计算logistic映射的状态值，得到一系列的随机数作为密钥流。
密钥流的长度取决于需要加密的数据长度。
3. 加密：将待加密的数据与密钥流进行异或运算，生成密文。
异或运算的特点是相同位上的数字相同则结果为0，不同则结果为1，这样可以实现简单而高效的加密过程。
4. 解密：使用相同的初始状态和控制参数，再次生成密钥流，将密文与密钥流进行异或运算，得到原始数据。
logistic映射混沌加密算法具有以下特点：1. 高度随机性：由于logistic映射本身的混沌性质，生成的密钥流具有高度随机性，使得加密后的数据无法被破解。
2. 非线性变换：logistic映射混沌加密算法采用非线性的异或运算，使得加密后的数据与原始数据之间的关系变得非常复杂，增加了破解的难度。
3. 实时性：logistic映射混沌加密算法具有较高的加密速度，适用于对大量数据进行实时加密和解密的场景。
4. 简单性：logistic映射混沌加密算法的实现较为简单，只需要进行简单的数学运算，不需要复杂的计算和存储。
混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群算法是一种基于混沌映射的粒子群优化算法。
混沌映射，如Logistic 映射，被用于生成随机数序列，以增加算法的随机性和多样性。
该算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，每个粒子仅具有两个属性：速度和位置。
然后通过迭代找到最优解。
在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。
在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。
混沌映射优化粒子群算法的具体步骤如下：
1. 初始化粒子群，包括每个粒子的位置和速度。
2. 采用混沌映射生成随机数序列，用来更新每个粒子的速度和位置。
3. 根据粒子的当前位置和历史最优位置来更新粒子的历史最优位置。
4. 根据所有粒子的历史最优位置来更新全局最优位置。
5. 根据更新后的速度和位置，继续迭代。
该算法具有简单、容易实现并且没有许多参数的调节等优势，已被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域。
2第二章 Logistic 映射和混沌
x0 = 0.4 µ = 4.0
图 2.8a
x0 = 0.4001 µ = 4.0
图 2.8b
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
10
20
10
20
Logistic 映射
n
30
40
50
n
30
40
50
Logistic 映射
4、迭代的几何表示
在 µ = 0.5 ，µ = 2.0 和 µ = 3.2 三种情况下迭代过程的
C. 周期4解 周期4出现时，初值轨迹构成的序列为： x 0 , x1, x 2 ," , x a , x b , x c , x d , x a , x b , x c , x d ,"
周期4解 x 满足： x = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
无论如何，上式可以简化为：
xn
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
n
0
100 200 300 400 500
图 2.7 µ = 4.0, x0 = 0.9系统演化
Logistic 映射
当 µ = 4.0 时，系统最终状态两个特点：
a、给定初值，即使迭代步数 n 足够大，系统最 终的演化状态不确定；
b、初始条件敏感：即初始条件有微小的差别， 迭代一定次数后，系统状态有很大的差别。（如下 图，两初值分别为 x 0 = 0.4000 , 0.4001）。
df (x) ⋅ df (x) < 1 dx X=XA dx X=XB
一种基于Logistic映射的水声混沌信号测距方法
一种基于Logistic映射的水声混沌信号测距方法郭亚静;王黎明;王琳;范浩【摘要】在浅海水声定位系统中,针对传统声呐信号持续时间长、效率低、正交性差的问题,提出了一种抗噪声、快速、窄带的水声混沌信号.通过推导Logistic混沌序列的混沌性和相关特性;并据此将具有混沌特性的相位信息对混沌序列进行调制.理论表明调制后的水声混沌信号具有正的Lyapunov指数、理想的相关性和窄带性.水域数据分析显示,水声混沌信号依旧表现出混沌性和窄带性;并且与同水域实验的m序列相比,定位精度提高了5 cm左右,信号时长缩短了73 ms,为海洋中动态目标的快速定位提供了参考.%In the shallow water acoustic localization systems,a kind of underwater acoustic chaotic signal that is anti-noise,fast and narrowband is proposed for tranditional sonar signal being a long time,low efficiency and poor orthogonality.The chaos and correlation properties of Logistic chaotic sequences are dericed, and the chaotic sequence is modulated by the phase information with chaotic characteristics.The theory shows that chaotic modulated signal of underwater acoustic chaotic signal has a positive Lyapunov exponent, ideal correlation and narrowband.Analysis of water experimental data show that underwater acoustic chaotic signal still puts up chaotic characteristics and narrowband,and compares with the m-sequence that the positioning accuracy improves the 4 cm and the time of signal is shortened 73 ms at the same waters.It provides a reference for the rapid localization of the dynamic target in the ocean.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2017(017)005【总页数】6页(P10-14,46)【关键词】浅海水声定位;Logistic映射;相位调制;快速定位【作者】郭亚静;王黎明;王琳;范浩【作者单位】中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原030051;中北大学信息探测与处理技术研究所,太原 030051【正文语种】中文【中图分类】TB566声波是目前在海洋中能够远距离传播的能量辐射形式，而无线电波和光波在海水中传播时都要受到严重的衰减，不利于作为传递信息的载体，因此声呐信号的研究成为提高海洋探测、目标定位、通信质量的手段[1]。
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Logistic混沌映射
引言
如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感，就把这个系统称为是混沌系统。
在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚，今天，伴随着计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程，这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的，并且对于初始值有极敏感的依赖性。
而这些特性正符合序列密码的要求。
1989年Robert Matthews 在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数，其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。
混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射：一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等，在本文中，我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。
Logistic映射分析
一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射，早在20世纪50年代，有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程，来描述种群的变化。
此系统具有极其复杂的动力学行为，在保密通信领域的应用十分广泛，其数学表达公式如下：
Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]
其中μ∈[0,4]被称为Logistic参数。
研究表明，当X∈[0,1] 时，Logistic 映射工作处于混沌状态，也就是说，有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的，而在此范围之外，生成的序列必将收敛于某一个特定的值。
如下图所示：
可以看出，在μ的取值符合3.5699456<μ<=4的条件，特别是比较靠近4时，迭代生成的值是出于一种伪随机分布的状态，而在其他取值时，在经过一定次数的迭代之后，生成的值将收敛到一个特定的数值，这对于我们来说是不可接受的。
下图中描述了X0值一定时，对于不同的μ的取值，迭代可能得到的值：
图中的点即表明了所有可能的X取值范围。
从图中我们可以看出，在μ越接近4的地方，X取值范围越是接近平均分布在整个0到1的区域，因此我们需要选取的Logistic控制参数应该越接近4越好。
在μ的值确定之后，我们再来看看初始值X0对整个系统的影响。
刚才也说过了，混沌系统在初始值发生很小变化时，得到的结构就会大相径庭，在Logis tic混沌映射中也是如此。
上图显示的是X0= 0.663489000和X0= 0.663489001，μ=3.99时两个Logistic序列之差的图像，很明显，在最开始20多次迭代，两者的差很小，近似等于0，但随着迭代次数的增加，两个序列的值显示出一种无规律的情形，两者相差也比较大了。
因此可以看出该系统具有很好的雪崩效应。
我们在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况，使雪崩效应扩大，这样可以具有更好的安全性。
最后我们再来看看Logistic的随机分布特性，一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的。
我们对X0=0.2，μ=3.9999的Logistic混沌映射进行30000次迭代后对其值进行统计，分布情况如下表所示：
从上表中我们可以看出，Logistic映射的迭代序列的分布并不是均匀的，对
于其他的X0取值也有类似的结构。
而且从表中我们还可以看出，其分布是一种
两头大中间小的情形。
虽然分布情况并不是很平均，但是对于一般情形来说，L
ogistic映射序列是可以满足我们的需求的。
而且我们可以对其想办法加以改进，
使之可以获得更好的平均性。