2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期中考试数学试题
哈尔滨市第六中学2016—2017学年度下学期期中考试
高一数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上）
1．已知向量(1,0)i = ，(0,1)j = ，则与23i j +
垂直的向量是（ ）
（A ）32i j + （B ）23i j -+ （C ）32i j -+ （D ）23i j -
2．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +
平行，则实数λ等于（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）
1
2
（D ）14
3．在数列{}n a 中，对任意n N *
∈，都有120n n a a +-=，则
12
34
22a a a a ++等于（ ）
（A ）2 （B ） 4 （C ）
1
2
（D ）14
4．设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为（ ） （A ）40 m （B ）50 m （C ）60 m （D ）70 m
5．在ABC ∆中，(1,3)AB = ,(3,0)BC =
，则角B 的大小为（ ）
（A ）
6π （B ）3π （C ）23π （D ）56
π
6．ABC ∆的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，13
12
cos =A ，则A B A C ⋅= （ ）
（A ）144 （B ）48 （C ） 24 （D ）13 7．在等差数列}{n a 中，36181,0S S a =<，若n S 最小，则n 的值为（ ） （A ）18 （B ）27 （C ）36 （D ）54 8．下列说法正确的有（ ）
（1）}{n a 和}{n b 都是等差数列，则}{n n b a +为等差数列
（2）}{n a 是等差数列，则23,,,,(,)m m k m k m k a a a a k m N ++++∈ 为等差数列 （3）若}{n a 为等比数列，其中0>n a ，则}{lg n a 为等差数列；
若}{n a 为等差数列，则}2{n a 为等比数列．
（4）若}{n a 为等比数列，则}{2
n a ，|}{|n a 都为等比数列．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
9．已知D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =
，则（ ）
（A ）1433AD AB AC =-+
（B ）1433
AD AB AC =-
（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133
AD AB AC =-
10．ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则ABC ∆ 是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形
11．已知数列}{n a 的前n 项和记为n S ，))(1(3
1
*∈-=
N n a S n n ,则n a =（ ） （A ）1()2n - （B ）1
2n -
（C ）1()2n -- （D ）11()2n --
12．如图在ABC ∆中，120,1,2,BAC AB AC D ∠=︒==为BC 边上一点（含端
点）， (0)DC BD λλ=≥
，则AD BC ⋅ 的最大值为（ ）
（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ）5
二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。
请把答案填在答题卡上指定位置处。
） 13．ABC ∆中，三内角,,A B C 成等差数列，则B =______________
14．已知数列{}n a 的通项公式是2
2()
1()2n n n a n n n
-⎧⎪
=⎨⎪+⎩是奇数是偶数，则它的前4项和为__________．
15．等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n S ，n T ，且
3
9
+-=
n n T S n
n ，则=77b a __________．
16．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）若平面向量,a b 满足||2,||2,()a b a b a ==-⊥
（1）求a 与b
的夹角；
（2）求|2|a b +
．
18．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知16412,7a a a +==
（1）求9a ；
（2）求{}n a 前n 项和n S ．
19．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知cos sin a b C c B =+ （1）求角B 的大小；
（2）若4,3
b C π
==，求ABC ∆的面积．
20．（本小题满分12分）在数列}{n a 中，已知21=a ，1341+-=+n a a n n （1）证明：数列}{n a n -是等比数列； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．
21．（本小题满分12分）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin a b A = （1）求角B 的大小；
（2）求cos sin A C +的取值范围．
22．（本小题满分12分）设数列}{n a 满足)(3
3331
3221*-∈=
+⋅⋅⋅+++N n n
a a a a n n （1）求n a ； （2）设n
n a n
b =
，求数列}{n b 的前n 项和n S ．
高一数学参考答案 1-12C CDBCBB D ABAD 13、60︒ 14、
19.24 15、1
4
16、(6－2，6＋2) 17（1）()
22
cos ,0222cos ,0,cos ,2
a b a a a b a b a b a b -⋅=-<>=∴-<>=∴<>=r r r r r r r r r r r r Q ，又
[],0,a b π<>∈r r ，所以,4
a b π<>=r r ． ……5分
（2）25 ……5分
18（1）11,2a d ==，917a =……6分 （2）2n S n =……6分
19（1）∵a=bcosC+csinB,∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC+sinCsinB ，
∴sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB ，即cosBsinC=sinCsinB ，∵sinC≠0，∴cos sin B B =，
∴sin tan 1cos B B B =
=，()0,B π∈，∴B=.4
π
……6分 （2）由（1）可得512
A B C π
π=--=，
由正弦定理可得：2
22sin sin sin sin 4
a c
b A C B π====，∴26
c =，
∴1
sin 6232
ABC S bc A ∆==+ ……6分
20（1）定义法得公比为4的等比数列 ……6分
（2）41(1)32
n n n n
S -+=+ ……6分
21. 解（1）由a ＝2b sin A ，
根据正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A ，∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠。
∴sin B ＝12，∵△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π
6. ……6分
（2）由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，∴C ＝5π
6－A .，
∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A
＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋3
2
sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，
由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，且C ＝5π6－A .，∴0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π
6
，
又0<A <π2，∴π3<A <π2.∴2π3<A ＋π3<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<3
2， ∴
32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫32，3
2.……6分 22（1）1
3n n
a =……6分 （2）113
()3244
n n n S +=-+ ……6分。
2016-2017年黑龙江省哈尔滨六中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上） 1．（5分）若，则与垂直的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数λ等于（ ）A ．2B ．4C ．D ．3．（5分）在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n +1﹣2a n =0，则等于（ ） A ．2B ．4C ．D ．4．（5分）设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100m ，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A 、B 两点的距离为（ ） A ．40 mB ．50 mC ．60 mD ．70 m5．（5分）在△ABC 中，，，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）△ABC 的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，则=（ ）A ．144B ．48C ．24D ．137．（5分）在等差数列{a n }中，a 1＜0，S 18=S 36，若S n 最小，则n 的值为（ ） A ．18B ．27C ．36D ．548．（5分）下列说法正确的有（ ）（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列 （3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，则为等比数列．（4）若{a n}为等比数列，则，{|a n|}都为等比数列．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+B．=﹣C．=+D．=+10．（5分）△ABC中，若sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．（5分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，，则a n=（）A．B．C．D．12．（5分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，D为BC边上一点（含端点），，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡上指定位置处．）13．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于°．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，则它的前4项和为．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若平面向量满足（1）求与的夹角θ；（2）求．18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a1+a6=12，a4=7（1）求a9；（2）求{a n}前n项和S n．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1（1）证明：数列{a n﹣n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．22．（12分）设数列{a n}满足（1）求a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上）1．（5分）若，则与垂直的向量是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，，则=（2，3）；依次分析选项：对于A、3+2=（3，2），（）•（3+2）=3×2+2×3=12≠0，则3+2与不垂直；不符合题意；对于B、﹣2+3=（﹣2，3），（）•（3+2）=2×（﹣2）+3×3≠0，则﹣2+3与不垂直；不符合题意；对于C、3+2=（﹣3，2），（3+2）•（3+2）=3×（﹣2）+2×3=0，则3+2与垂直，符合题意；对于D、2﹣3=（2，﹣3），（2﹣3）•（3+2）=2×2+3×（﹣3）≠0，则2﹣3与与不垂直，不符合题意；故选：C．2．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数λ等于（）A．2B．4C．D．【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得λ=μ=；故选：C．3．（5分）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n+1﹣2a n=0，则等于（）A．2B．4C．D．﹣2a n=0得a n+1=2a n，即=2，【解答】解：由a n+1则数列{a n}是公比q=2的等比数列，则===，故选：D．4．（5分）设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，∠BAC=60°，∠ACB=30°，则A、B两点的距离为（）A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m【解答】解：由已知得到示意图为，已知AC=100m，∠BAC=60°，∠ACB=30°，所以∠ABC=90°，所以AB=AC=50m；故选：B．5．（5分）在△ABC中，，，则角B的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到，又，所以cosB=，则角B的大小为；故选：C ．6．（5分）△ABC 的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，则=（ ）A ．144B ．48C ．24D ．13【解答】解：因为在△ABC 中，，所以sinA=．因为S △ABC =bcsinA=10，bc=42， 则=||×||cosA=bccosA=42×=48；故选：B ．7．（5分）在等差数列{a n }中，a 1＜0，S 18=S 36，若S n 最小，则n 的值为（ ） A ．18B ．27C ．36D ．54【解答】解：由S 18=S 36，得a 19+a 20+…+a 35+a 36=0， 即9（a 27+a 28）=0，即a 27+a 28=0， 则2a 1+53d=0，即d=﹣a 1＞0， 则a n =a 1+（n ﹣1）d=a 1﹣a 1（n ﹣1），由a n =a 1﹣a 1（n ﹣1）≤0，得1﹣（n ﹣1）≥0，得2n ≤55，得n ≤=27，即当n ≤27时，a n ＜0， 则要使S n 最小，则n=27， 故选：B ．8．（5分）下列说法正确的有（ ）（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列 （3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，则为等比数列．（4）若{a n }为等比数列，则，{|a n |}都为等比数列．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：（1）{a n }和{b n }都是等差数列，则{a n +b n }为等差数列，正确，{a n +b n }的首项为：a 1+b 1，公差为：原数列的公差的和．（2）{a n }是等差数列，则a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，…（k ，m ∈N +）为等差数列，正确，原数列的公差为d ，则新数列中：a m +k =a m +kd ．可得2a m +k =a m +a m +2k ，2a m +2k =a m +k +a m +2k ，所以数列是等差数列．（3）若{a n }为等比数列，其中a n ＞0，则{lga n }为等差数列；若{a n }为等差数列，则为等比数列．由指数函数与对数式的运算法则可知，判断是正确的；（4）若{a n }为等比数列，则，{|a n |}都为等比数列．正确，新数列的公比分别为原数列公比的平方和公比的绝对值． 故选：D ．9．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，=3，则（ ）A ．=﹣+B ．=﹣C ．=+ D ．=+【解答】解：； ∴；∴．故选：A ．10．（5分）△ABC 中，若sin （A +B ）sin （A ﹣B ）=sin 2C ，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：∵sin （A +B ）•sin （A ﹣B ）=sin 2C ， 则sin （A +B ）sin （A ﹣B ）=sin 2（A +B ） ∵sin （A +B ）≠0∴sin （A ﹣B ）=sin （A +B ）展开整理可得，sinAcosB ﹣sinBcosA=sinAcosB +sinBcosA 即sinBcosA=0 ∴cosA=0 ∵0＜A ＜π∴A=，故三角形为直角三角形故选：B．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和记为S n，，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=﹣．n=1时，a1=S1=，解得a1=．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为﹣．则a n=．故选：A．12．（5分）如图在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，D为BC边上一点（含端点），，则的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，∴•=||•||cos120°=﹣1，∵=﹣，，∴=+=﹣=﹣（﹣）=+，∴=（+）（﹣）=﹣+•=﹣﹣==﹣2+≤﹣2+7=5，故则的最大值为5，故选：D．二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡上指定位置处．）13．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于60°．【解答】解：∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，∴，∴3B=180°，∴B=60°．故答案为：60°．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=，则它的前4项和为．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n=，可得a1=，a2=，a3=，a4=，则它的前4项和为：=．故答案为：．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．同理：，可得：．那么：则=．故答案为：．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若平面向量满足（1）求与的夹角θ；（2）求．【解答】解：（1）；∴；∴；∴；又θ∈[0，π]；∴；（2）=8+8+4=20；∴．18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a1+a6=12，a4=7（1）求a9；（2）求{a n}前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a6=12，a4=7，∴2a1+5d=12，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a9=1+8×2=17．（2）S n=n+=n2．∴．19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵a=bcosC+csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即cosBsinC=sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB=sinB，∴，B∈（0，π），∴B=．…（6分）（2）由（1）可得，由正弦定理可得：，∴，∴．…（12分）20．（12分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1（1）证明：数列{a n﹣n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=4a n﹣3n+1，可得：a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），a1﹣【解答】（1）证明：由a n+11=1．∴数列{a n﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4．（2）解：由（1）可得：a n﹣n=4n﹣1，即a n=n+4n﹣1，∴S n=+．即．21．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．22．（12分）设数列{a n}满足（1）求a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{a n}满足，n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2•a n﹣1=．∴3n﹣1a n=，解得a n=．n=1时，a1=，页满足上式．∴．（2）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和S n=3+2•32+3•33+…+n•3n，3S n=32=2•33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1．∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1．∴．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案
哈尔滨市第六中学2016—2017学年度下学期期中考试高二文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用0。
5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整，字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复数z＝ii-3+2+的共轭复数是( ）A ．2+i B ．2－i C ．－1+i D ．－1－i2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数"正确的反设为（ ）A ．a ,b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ,c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数3．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040, 那么判断框中应填入 ( ）A ．6k <？B ．7k <？C ．6k >？D ．7k >?4．设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列四个命题：① 若b a ⊥,α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；② 若α//a ，β⊥a ，则βα⊥;③ 若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ； ④ 若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥。
其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．45 . 在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD∆是以BAD∠为钝角的三角形的概率为（ )A ．16B ．13C ．12D ．236 . 22221(0,0)yx a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=7．函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是（ ）8．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( )A ． 1(,)3+∞B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,]3-∞9 。
黑龙江省哈尔滨六中2016-2017学年高一(下)3月段考数学试卷
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）3月段考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案一律用2B铅笔涂在答题卡上）1．已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0 B．0≤k＜4 C．0≤k≤4 D．0＜k＜42．函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1）B．（0，10，1）D．3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．64．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0 B．1，2﹣2，﹣1 C．D．a，b2，31，2 C．0，1，故选B．【点评】注意利用x2≥0（x∈R）．3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．4．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0上的单调性可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，再由f（x）图象上的特殊点可作出f（x）在R上的草图，根据图象可解得不等式．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0 B．1，2递增，则有﹣0，解得，a≥0，再由x＞1为增，则a＞1，再由增函数的定义，可知：1a﹣2≤a1﹣a，解得，a≤2．则有1＜a≤2．故选A．【点评】本题考查分段函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．6．已知函数f（x）=在（﹣1，1）上是单调递增的，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣11，21，+∞）【考点】二次函数的性质．【分析】令g（x）=x2﹣2ax+3，若函数f（x）=在（﹣1，1）上是单调递增，则函数g（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，且恒大于等于0，进而得到a的取值范围．【解答】解：令g（x）=x2﹣2ax+3，∵函数f（x）=在（﹣1，1）上是单调递增，则函数g（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，且恒大于等于0，∴a≤﹣1且g（﹣1）≥0，∴a≤﹣1且4+2a≥0，∴﹣2≤a≤﹣1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，其中根据复合函数的单调性和函数有意义的原则，得到函数g（x）=x2﹣2ax+3，在区间（﹣1，1）内单调递增，且恒大于等于0，是解答的关键．7．若2cos2α=sin（﹣α），且α∈（，π），则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=﹣，或cosα﹣sinα=0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=﹣，则有1+sin2α=，sin2α=．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．8．已知＜β＜απ，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由α和β的范围分别求出α+β和α﹣β的范围，然后由cos（α﹣β）和sin（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，把所求的式子中的角2α变为（α﹣β）+（α+β），利用两角和的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴，，又，，∴，．∴sin2α=sin=．故选B【点评】此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的范围及角度的变换．9．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．10．的值为（）A．B．C．2 D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用正切化正弦、余弦，然后同分，利用两角和的正弦函数、二倍角公式化简，最后利用诱导公式求出结果．【解答】解：==故选D【点评】本题是基础题，考查三角函数的公式的灵活运应，考查计算能力，基本知识的掌握的熟练程度．11．为得到函数y=﹣sin2x的图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）=﹣sin（2x﹣+π）=﹣sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=﹣sin=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a=25f（0.22），b=f（1），c=﹣log53×f（log5），则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=，利用对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，可得g（x）在（0，+∞）上单调递减，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】解：设g（x）=，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵a=25f（0.22）=g（0.22），b=f（1）=g（1），c=﹣log53×f（log5）=g（log5），log5＜0＜0.22＜1，∴c＞a＞b．故选：B．【点评】本题考查大小比较，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．请把答案填在答题卡上指定位置处．）13．设函数f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间上单调，且，则f（x）的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意求得x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心，由此求得f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+ϕ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间上单调，则=≥﹣，∴0＜ω≤3．∵，∴x==，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，∴==﹣=，解得ω=2∈（0，3，，，+kπ，+kπ+kπ， +kπ+kπ， +kπa，b0，+∞）上是单调性建立方程组，进行求解即可．【解答】解：因为f（x）=|2x﹣1|的值域为，所以b＞a≥0，而函数f（x）=|2x﹣1|在a，b2，31，22，31，2（）2﹣2（）+12，32，31，21，21，2（）2﹣2（）+11，2．…（12分）【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想和换元法的合理运用．18．（12分）（2017春•香坊区校级月考）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和的正弦函数求出三角函数值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用两角和与差的余弦函数以及二倍角公式化简求解即可．【解答】解：（1）α∈（0，），满足sinα+cosα=．可得2（sinα+cosα）=．可得sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）由（1）可得cos2（α+）=1﹣2=，sin2（α+）=2×=．cos（2α+）=cos=cos2（α+）cos+sin2（α+）sin==．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．19．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．20．（12分）（2014春•宿城区校级期末）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．求：（1）tan2α的值；（2）β的大小．【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由cosα=，求出sinα，tanα，再求tan2α的值；（2）利用cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β），可求β的大小．【解答】解：，．…（2分），…（4分）．…（6分）．因为cos（α﹣β）=，所以sin（α﹣β）=，所以cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=，所以β=．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，利用cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）是关键．21．（12分）（2016秋•连城县校级期中）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在上的最大值和最小值；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；（2）上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值；（3）由题意等价于﹣2＜f（x）﹣m＜2在上恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m在上恒成立，根据（2）可得实数m的取值范围．【解答】解：函数．化简得：f（x）=﹣cos2x．=1+sin2x﹣cos2x．=2sin（2x﹣）+1．故得．最小值正周期T==π．（2）由（1）可得．∵，∴，∴，故得f（x）max=3，f（x）min=2．（3）不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，等价于﹣2＜f（x）﹣m＜2在上恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m在上恒成立，由（2）可知函数f（x）在上f（x）max=3，f（x）min=2．∴解得：1＜m＜4．故得实数m的取值范围为（1，4）．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．恒成立问题转化为不等式来求解，属于中档题．22．（12分）（2016春•沈阳校级期末）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间（Ⅱ）若sin2x+af（x+）+1＞6cos4x对任意x∈（﹣，）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出f（x+）的值，带到题设中去，化简，求函数在x∈（﹣，）的最值，即可恒成立，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1，可得：f（x）=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）由（k∈Z），解得：所以：f（x）的单调增区间为（Ⅱ）由题意：当时，原不等式等价于a•2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，即恒成立令=∵，当x=0时，cosx取得最大值，即cosx=1时，那么g（x）也取得最大值为．因此，．【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的化简能力和综合运用能力，利用三角函数的由界限求最值和参数问题．属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高一6月阶段检测数学试题(解析版)
哈六中2019届高一下学期6月阶段检测数学试题考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.在中，三边之比，则角（）A. B. C. D.【答案】B【解析】所以角。
本题选择B选项.2.直线，直线，若，则实数（）A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A【解析】由题意得 ,当a=2时，两直线重合，舍去，所以选A3.设向量若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，故选C.4.已知数列为等差数列，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵为等差数列，，∴，解得．∴，故选A.5.在中，边所对的角分别为，若满足，则此三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】由正弦定理得sinA=2sinBcosC，即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，即B=C，则三角形为等腰三角形，本题选择A选项.6.与直线关于定点对称的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线关于点对称，可以设对称的直线上关于点对称的点，则对称点的坐标满足对称直线：2x-y+3=0的方程，然后代入已知直线的方程：2x-y+3=0即得对称的直线方程．解：设对称的直线方程上的一点的坐标为（x，y）．则其关于点M（-1，2）对称的点的坐标为（-2-x，4-y），∵（-2-x，4-y）在直线2x-y+3=0上，∴2（-2-x）-（4-y）+3=0，即：2x-y+5=0．故选C．7.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．考点：等差数列与等比数列的性质．视频8.若对任意的，都有为常数），则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若对任意的x∈[−1,2],都有x2−2x+a⩽0(a为常数)⇔对任意的x∈[−1,2],a⩽−x2+2x(a为常数)，令f(x)=−x2+2x,x∈[−1,2]，由f(x)的对称轴x=1,得：f(x)在[−1,1)递增,在(1,2]递减，∴f(x)min=f(−1)=−3，∴a⩽−3，本题选择A选项.9.已知点在表示的区域内（包含边界），且目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵目标函数z=ax+y，∴y=−ax+z故目标函数值Z是直线族y=−ax+z的截距当直线族y=−ax+z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个此时，，即本题选择B选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.10.已知实数满足，则直线必过定点，这个定点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵a+2b=1，∴a=1-2b.∵直线ax+3y+b=0，∴(1-2b)x+3y+b=0，即b(1-2x)+(x+3y)=0.∴直线必过点 .本题选择D选项.点睛：求定点定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．11.已知，，且，则的最小值为A. B.C. D.【答案】A【解析】∵设a>0，b>1，a+b=2，∴,当且仅当2时取等号，∴的最小值为 .本题选择A选项.点睛：应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12.设数列的前项和，若，且，则等于（）A. 5048B. 5050C. 10098D. 10100【答案】D【解析】试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以，故选C．考点：数列求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知＝1，＝2，与的夹角为，那么．【答案】【解析】试题分析：，．考点：1向量的数量积；2向量的模．14.已知直线过点，且在轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线的斜率的取值范围是__________【答案】（-1，1）【解析】设直线l的方程为：y−1=k(x−1)，化为：y=kx+1−k，由题意可得：0<1−k<2，解得−1<k<1.∴直线l的斜率的取值范围为(−1,1).15.已知实数满足关系，则的取值范围为__________【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得的取值范围为.16.在直角中，是内的一点，且，若，则的最大值为__________【答案】【解析】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.将已知条件两边平方得.三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17.解关于的不等式，（其中为常数且）【答案】当时不等式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为【解析】试题分析：利用题意分类讨论可得：当时不等式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为试题解析：（其中为常数且），则有：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为18.在中，顶点，角的内角平分线所在直线方程为边上的高线所在直线方程为，求边所在直线的方程【答案】【解析】试题分析：首先求得关于对称点，然后求得点B的坐标为，据此可得边所在直线的方程是.试题解析：关于对称得到点，在直线上，设由在直线上可知直线的方程19.已知数列中，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)整理所给的递推公式即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论，分组求和结合错位相减可得前n项和.试题解析：（1）数列的递推公式整理可得：，则：是首项为2公比为2的等比数列.（2）由题意可得：。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高一数学下学期期中试题
哈尔滨市第六中学2015—2016学年度下学期期中考试高一数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设x R ∈，向量)1,(x a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则b a +＝（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．102.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．23- C ．14 D ．14- 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若23b =，120B =o ,30C =o,则a =（ ）A ．2B ．2C ．3D ．14．设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．2- C ．21D. 12-5．在等比数列{}n a 中，若5791113243a a a a a =，则21113a a 的值为（ ）A ． 1-B ．1C ．2D ．3 6．ABC ∆中，3c =，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．如果数列}{n a 中，满足123121,,,,-n n a a a a a a a Λ是首项为1公比为3的等比数列，则100a 等于（ ） A ．1003B.903 C.49503D.505038．某船开始看见灯塔在南偏东30o方向，后来船沿南偏东60o的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船）A ．153km B.30km C ．15km D.152km km 9．向量c b a ,,满足0=++c b a ，b a ⊥，c b a ⊥-)(, ac cb ba M ++=, 则M =（ ）A ．3 B. 32 C ．222+ D ． 3212+10．ABC ∆中，点E 为边AB 的中点，点F 为边AC 的中点，BF 交CE 于点G ，AF y AE x AG +=,则x y +等于（ ） A ．32 B ．1 C ．43 D ．2311.定义np p p n+++Λ21为n 个正数n p p p ,,,21Λ的“均倒数”．若已知数列}{n a 的前n 项的“均倒数”为131n +，又26n n a b +=，则1223910111b b b b b b +++L L =( ) A ．111 B ．1110 C ． 109 D ．121112．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知点)2,1(A ，)1,1(-B ，)1,2(--C ，)4,3(D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为_____14.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，510S =，416n n a a -+=，若60n S =，则n 的值为_____ 15. 已知如图，在△ABC 中，2A π∠=，2AB =，4AC =，12AF AB =u u u r u u u r ，12CE CA =u u u r u u u r ，14BD BC =u u u r u u u r ，则DE DF ⋅u u u r u u u r的值为_______．16．给出下列命题：① B A B A ABC B A sin sin ,>>∆，则的内角，且是; ② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r ，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心；则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤） 17．（满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18、（满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (1)求角A ； （2）设B B ⋅==求),1,2(),2cos ,(sin 的最大值.19．（满分12分）设向量(sin sin())2m x x π=+u r ，(cos(),sin )2n x x π=-r ，函数()f x m n =⋅u r r （1）求)(x f 的单调增区间，并求)(x f 在区间]6,4[ππ-上的最小值. （2）在ABC ∆中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，若23)()(=-+A f A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边长a .20．（满分12分）已知函数2()1)(0)f x x =≥，数列{}n a 满足：11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满足：321)23n b b b b n N n*++++=∈L（1）求证数列}1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式和它的前n 项和n T .21．（满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+u r , //m n u r r（1）求角A ；（2）若a =求b c +的取值范围．22.（满分12分）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围.2018届高一下学期期中考试数学试题参考答案二．填空题： 13、 14、12； 15.、14-； 16、①④ 三、解答题：17.解：解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=，解得12a d ==2,(1)n n a n S n n ==+——————————————————————————————5分（2）323n n n b a ==⋅ 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列， 则13(13)23313n n n T +-==--———————————————————————————10分18．解：（1）Qsin sin sin a c B b c A C-=-+，222a cb bc ∴-=- ， 1cos ,(0,)2A A π∴=∈Q 3A π∴=————————————————————————6分（2）22sin cos 22sin 2sin 1m n B B B B ⋅=+=-++u r r当1sin 2B =时，即6B π=时，max 3()2m n ⋅=u r r —————————————————12分19.（1）1()sin(2)62fx x π=-+单调增区间[,],63k k k Z ππππ-+∈ 2,,2[,],46636x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦当6x π=-，min 1()2f x =-———————————6分（2）23)()(=-+A f A f ，1cos 22A ∴=-，(0,)2A π∈，3A π=1sin82S bc A bc ===22222cos ()325,5a b c bc A b c bc a =+-=+-=∴=———————————————12分20．解：（1111)==12=}1∴是以2为首项，以2为公比的等比数列 12n =，2(21)n n a ∴=-————4分（2）3212123n n b b b b n++++=-L L 1312121(2)231n n bb b b n n --++++=-≥-L12(2)n nb n n-∴=≥，12(2)n n b n n -∴=≥， 11b =符合上式， 12()n n b n n N -*∴=∈—————————————————————————————8分（3）(1)21nn T n =-+——————————————————————————————12分21. （1）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由余弦定理 得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A = ∵()0,πA ∈,∴π3A =（2）由余弦定理得2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin b B =,2sin c C =∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 2B B B =++⨯π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．所以b c +∈22．解：（1）1n =时，211111122a a a a =+∴= 21112211211121222n n n n n n nn n n n S a a a a a a a S a a+++--⎧=+⎪⎪⇒=-+-⎨⎪=+⎪⎩ 111()()02n n n n a a a a --⇒+--= 1102n n n a a a ->∴-=Q∴{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列 12n a n ∴=———————————4分（2）1n n b b n --=21321123(2)(1)(1)22n nn n b b b b n n n n b b b b b n --=⎧⎪-=+-+⎪⇒-=⇒=⎨⎪⎪-=⎩M————————————————6分 12112()(1)1n b n n n n ==-++，11111122(1)2(1)223111n n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++L ——9分 224(1)(4)5n n n n n λ≥=++++ 当且仅当2n =时，245n n++有最大值29，29λ∴≥ ———12分。
黑龙江省哈尔滨六中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷文科 含解析 精品
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数3．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD是以∠BAD为钝角的三角形的概率为（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B． C． D．8．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，）9．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B． C．D．（2，2）10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．180 C．72 D．14411．已知e是自然对数的底数，若函数f（x）=e x﹣x+a的图象始终在x轴的上方，则实数a 的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．12．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线；若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．15．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c= ．16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上的点M（1，2）到其焦点的距离，则实数b= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．（1）求异面直线BC与SD所成角的大小；（2）求直线SC与平面SAB所成角的正切值；（3）求三棱锥D﹣SBC的体积．19．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R），（1）若函数f（x）过点（﹣1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程是y+2=0，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求实数t的最小值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1．（Ⅰ）求椭圆年C的方程；（Ⅱ）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．21．已知函数f（x）=2ax﹣+4lnx在x=1与处都取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对x∈[，e]时，f（x）≥c恒成立，求实数c的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复数z=的共轭复数是（ ）A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi 的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i ．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i ． 故选D ．2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】找出题中的题设，然后根据反证法的定义对其进行否定． 【解答】解：∵结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数” 可得题设为：a ，b ，c 中恰有一个偶数∴反设的内容是 假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数． 故选B ．3．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=8，此时执行输出S=5040，结束循环，从而判断框中应填入的关于k的条件．【解答】解：由题意可知输出结果为S=720，通过第一次循环得到S=1×2=2，k=3，通过第二次循环得到S=1×2×3=6，k=4，通过第三次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，通过第六次循环得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，此时执行输出S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为k＞7？．故选D．4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α，可由线面平行的条件进行证明； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β可由面面垂直的判定定理进行判断；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α，本题可由面面垂直的性质进行判断； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α，a ⊥b ，a ⊥α，可得出此b ∥α或b ⊂α，再b ⊄α，可得b ∥α由是真命题；②若a ∥α，a ⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c ⊥β，故可得出α⊥β，是真命题；③若a ⊥β，α⊥β，由图形即可得出a ∥α或a ⊂α，是正确命题；④由a ⊥b ，a ⊥α可推出b ∥α或b ⊂α，再有b ⊥β，可得出α⊥β，故是真命题． 故选D ．5．在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 是以∠BAD 为钝角的三角形的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CF ：几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为6的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，根据等可能事件的概率得到结果根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解；由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为6的一条线段，∵∠BAD 为钝角，这种情况的边界是∠BAD=90°的时候，此时BD=4 ∴这种情况下，必有4＜BD ＜6．∴概率P==，故选：B ．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．7．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减，根据图形可得f′（x）＜0，即可判断答案．【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，故选：D8．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．9．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（）A．（0，0）B． C．D．（2，2）【考点】K6：抛物线的定义．【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，把y=2代入抛物线y2=2x 解得x值，即得M的坐标．【解答】解：由题意得 F（，0），准线方程为 x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把 y=2代入抛物线y2=2x 得 x=2，故点M的坐标是（2，2），故选D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．180 C．72 D．144【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，然后借助于正方体和棱锥的体积得答案．【解答】解：由三视图可知，原几何体是棱长为6的正方体四周去掉四个三棱锥，如图，该几何体的体积为．故选：B．11．已知e是自然对数的底数，若函数f（x）=e x﹣x+a的图象始终在x轴的上方，则实数a 的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】将问题转化为f（x）=e x﹣x+a＞0对一切实数x恒成立，求出函数的导数f′（x），利用导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时a的范围，即a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣x+a的图象始终在x轴的上方，∴f（x）=e x﹣x+a＞0对一切实数x恒成立，∴f（x）min＞0，∵f′（x）=e x﹣1，令f′（x）=0，求得x=0，当x＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值为f（0）=1+a，∴1+a＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞），故选：A．12．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为×=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线；若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是2＜m＜3 ．【考点】2E：复合命题的真假；K3：椭圆的标准方程．【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，从而得到p为真命题时m的范围；由：（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线得（m﹣1）（m﹣3）＜0，从而得到q为真命题时m的范围．再由p∧q为真命题知p，q都是真命题，联立不等式组解出m即可．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得2＜m＜4，即命题q为：2＜m＜4．∵（m﹣1）x2+（m﹣3）y2=1表示双曲线，∴（m﹣1）（m﹣3）＜0，解得1＜m＜3，即命题q：1＜m＜3．由p∧q为真命题得：p为真，q为真．∴，解得2＜m＜3．故答案为：2＜m＜3．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=015．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c= ±2 ．【考点】3O：函数的图象；52：函数零点的判定定理．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值，∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0，∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故答案为：±2．16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于抛物线y2=2px上的点M（1，2）到其焦点的距离，则实数b= 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线y2=2px上点M（1，2）求出p，通过已知条件求出b即可．【解答】解：点M（1，2）在抛物线y2=2px上，所以p=2，所以抛物线为y2=4x，又y2=4x的焦点到其准线的距离为2．双曲线的焦点（c，0）到其渐近线x+=0的距离：=b=2，由题意可知b=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）记每户居民的平均损失为元，利用该组区间中点值作代表计算平均值即可；（2）计算损失超过6000元的居民共有6户，其中损失超过8000元的居民有3户，现从这6户中随机抽出2户，计算抽出的2户居民损失均超过8000元的概率值；（3）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）记每户居民的平均损失为元，则：=×2000=3360；（2）损失超过6000元的居民共有50×0.00003×=6（户），其中损失超过8000元的居民有3户，现从这6户中随机抽出2户，则抽出的2户居民损失均超过8000元的概率为P===；（3）根据题意填写列联表，如图所示：计算，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．（1）求异面直线BC与SD所成角的大小；（2）求直线SC与平面SAB所成角的正切值；（3）求三棱锥D﹣SBC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AD∥BC，知异面直线BC与SD所成角是∠SDA或其补角，由此能求出异面直线BC与SD所成角的大小．（2）推导出SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥面SAB，进而SB是SC在平面SAB上的射影，∠CSB 是SC与底面SAB所成角，由此能求出SC与底面SAB所成角的正切值．（3）三棱锥D﹣SBC的体积：V D﹣SBC=V A﹣SBC=V S﹣ABC，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴异面直线BC与SD所成角是∠SDA或其补角，∵SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥AD，在Rt△SAD中，∵SA=AD，∴∠SDA=45°，∴异面直线BC与SD所成角的大小为45o．（2）∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB，∴SB是SC在平面SAB上的射影，∴∠CSB是SC与底面SAB所成角在Rt△CSB中tan∠CSB=，∴SC与底面SAB所成角的正切值为．（3）∵AD∥BC，∴D到平面SBC的距离与A到平面SBC的距离相等，∵SA⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣SBC的体积：V D﹣SBC=V A﹣SBC=V S﹣ABC===．19．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R），（1）若函数f（x）过点（﹣1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程是y+2=0，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求实数t的最小值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f′（1）=0，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，可得极值点和极值，求出区间处端点的函数值，比较可得最值，由|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，可得t≥f max（x）﹣f min（x），可得t的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）过点（﹣1，2），∴f（﹣1）=﹣a+b﹣c=2，又f′（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y+2=0，∴，∴，解得a=1，b=0，c=﹣3，故f （x）=x3﹣3x；（2）由（1）知f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0解得x=±1，∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，∴在区间上f max（x）=2，f min（x）=﹣18，∴对于区间上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=20，∴t≥20，所以t的最小值是20．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点和两个焦点构成直角三角形，且该三角形的面积为1．（Ⅰ）求椭圆年C的方程；（Ⅱ）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知求得a=c，利用三角形的面积公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设过椭圆右焦点F2的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，与椭圆方程联立得由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．【解答】解：（1）由勾股定理可知：丨PF1丨+丨PF2丨=丨F1F2丨，即2a2=4c2，则a=c，b2=a2﹣c2=c2，S=丨F1F2丨×丨OP丨=×2c×b=1，即b=c=1，∴a=，∴椭圆的标准方程为：；（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点，则，整理得：（t 2+2）y 2+2ty ﹣1=0，由韦达定理，得：y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，∴|y 1﹣y 2|===，∴S△OAB=+=，丨OF 丨•|y 1﹣y 2|=，椭圆C 的内接平行四边形面积为S=4S △OAB =，令m=≥1，则S=f （m ）==，注意到S=f （m ）在时，f （x ）≥c 恒成立，求实数c 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f （x ）的最小值，求出c 的范围即可． 【解答】解：（1），在处都取得极值，，解得：a=﹣，b=﹣1； 经检验符合题意；（2）由（1）可知，，，由f'（x）＞0，得f（x）的单调增区间为[，1]，由f'（x）＜0，得f（x）的单调减区间为，∴x=1是f（x）的极大值点当时， =e﹣﹣5，f（e）=﹣3e++4，而﹣f（e）=4e﹣9﹣＞0，所以＞f（e），即f（x）在上的最小值为+4﹣3e，要使对时，f（x）≥c恒成立，故．22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A、B两点．（1）求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出圆心的直角坐标，即可求圆心的极坐标；（2）直线l与x轴的交点为P，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2+y2=4y，故圆C的普通方程为x2+y2﹣4y=0，所以圆心坐标为（0，2），圆心的极坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）把代入x2+y2﹣4y=0得t2=4，所以点A、B对应的参数分别为t1=2，t2=﹣2令得点P对应的参数为t0=﹣4所以|PA|+|PB|=|t1﹣t0|+|t2﹣t0|=|2+4|+|﹣2+4|=6+2=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）利用不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，去掉绝对值符号，然后求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立，转化为分段函数，然后求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（1）由f（x）≤2得|x﹣a|≤2，解得a﹣2≤x≤a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又不等式f（x）≤2的解集为{x|1≤x≤5}，所以，解得a=3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当a=3时，f（x）=|x﹣3|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设g（x）=f（2x）+f（x+2），则，所以g（x）的最小值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故当不等式f（2x）+f（x+2）≥m对一切实数x恒成立时实数m的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年6月29日。
黑龙江省哈尔滨市第六中学16-17学年度高一下学期第二
黑龙江省哈尔滨市第六中学2016—2017学年度下学期第二次月考高一数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上）1．平面向量，若，则等于（ ）A.4B.C.D.22．在中，若a = 2b sin A ，则∠B 为（ ）A. B. C.或 D.或3．向量 ，向量 ，则的形状为（ ）A.等腰非直角三角形B.等边三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形4．若(2,3),(1,2),(9,4)a b c =-==，且，则的值是（ ）A.7B. C .3 D.5．设的内角所对的边分别为，若cos cos sin b C c B a A +=, 则的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6．中，下述表达式：①sin(A + B )+ sin C ；②cos(B + C )+ cos A ；③，其中表示常数的是 （ ）A. ①和②B. ①和③C. ②和③D. ①②③7．在中，若，则与的关系为（ ）A. B. C. D.8．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足，则=（ ）A. 1∶3B. 3∶1C. 1∶2D. 2∶19．已知向量的夹角为，，若，则为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形10．若||||2||a b a b a +=-=，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D.11．如图,过点的直线与函数的图象交于A ,B 两点，则等于（ ）A.1B.2C.3D.412．已知点为所在平面内一点，边的中点为，若2(1)PD PA CB λ=-+，其中，则点一定在（ ）A.边所在的直线上B.边所在的直线上C.边所在的直线上D.的内部二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。
请把答案填在答题卡上指定位置处。
优质：黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
1．A 【解析】依题意有2204x y -=，解得12y x =±．2．C 【解析】当0c = 时，命题①错误； 当1,1a b ==- 时，命题②错误； 据此排除ABD 选项．本题选择C 选项．3．D 【解析】设椭圆方程为： ()222210y x a b a b+=>> ，由题意可得：222{24 a b c c c a =+== ，解得： 228{ 4a b == ，则椭圆的标准方程为： 22184y x +=．本题选择D 选项．6．A 【解析】∵等差数列{a n }的首项为1,公差不为0．a 2,a 3,a 6成等比数列， ∴a 23=a 2⋅a 6，∴(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),且a 1=1，d ≠0， 解得d =−2，∴{a n }前6项的和为61656242S a d ⨯=+=- ． 本题选择A 选项．点睛：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．7．C 【解析】由题意得()()()323230,32k k k k k -⋅---=≠∴= ，选C ．8．A 【解析】由题意，得24=，即231k =，解得k =，则直线的倾斜角为π6或5π6，故选A ．10．B 【解析】设圆心坐标为(),m m - ，由题意可得：解得：1m = ， 圆的半径为：，据此可得圆的方程为： ()()22112x y -++=． 本题选择B 选项．点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．12．D 【解析】由于2ABF 为锐角三角形，则2212145,tan 12b AF F AF F ac∠<∠=<， 22b ac < ，2222,210a c ac e e -+-， 1e <- 或1e >-，又01e <<11e << ，选D ．【点睛】列出一个关于,,a b c 的等式，可以求离心率；列出一个关于,,a b c 的不等式，可以求离心率的取值范围．本题根据等腰三角形为锐角三角形，只需顶角为锐角，所以顶角的一半小于045，利用正切函数在()00,90是单调增的，列出一个关于,,a b c 的等式，求出离心率．13．7【解析】由题意可得： ()1,3a b m +=-+ ，由向量垂直的充要条件有： ()()11230m -⨯-++⨯= ， 解得： 7m = ．点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0．(3)数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b ． 14．-5【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点()1,1C -处取得最小值325z x y =-=- ．15．110【解析】由题意可得：数列的奇数项、偶数项均为首项为1，公差为1的等差数列，则数列{}n a 的前20项和为20109210111102S ⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭． 16．7【解析】设圆()2231x y ++=和圆()2234x y -+=的圆心分别为（-3，0），（3，0），同时两圆心为椭圆的焦点，所以由椭圆定义得12PF +PF =10。
【数学】黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高一下学期6月阶段检测试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2016-2017学年高一下学期6月阶段检测数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1．在ABC ∆中，三边之比::3:5:7a b c =，则角C =（ ）A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π62．直线1:(1)30l a x y -++=，直线2:260l x ay ++=，若12//l l ，则实数a =（ ）A.1-B.2C.1-或2D.不存在3．设向量(1,2),(3,5),(4,),a b c x ==-=若()a b c λλ+=∈R ，则x λ+的值为（ ）A.112-B.112C.292- D.292 4．已知数列{}n a 为等差数列，若1594πa a a ++=，则5sin a 的值为（ ）A.12-B.C. D.12 5．在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、，若满足 2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 .D 等腰或直角三角形6．与直线230x y -+=关于定点(1,2)M -对称的直线方程是（ ）A.210x y -+=B.250x y --=C.250x y -+= D.210x y --= 7．已知数列{}n a 为等比数列，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8978a a a a +=+（ ）A.1B.1-C.3+D.3-8．若对任意的[]1,2x ∈-，都有220(x x a a -+≤为常数），则实数a 的取值范围是（ ）A.(],3-∞-B.(],0-∞C.[)1,+∞D.(],1-∞9．已知点22(5,2),(0,1),(1,),(,)5A B C P x y 在ABC ∆表示的区域内（包含边界），且目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）A.14 B.35 C.175D.1510．已知实数,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点，这个定点的坐标为（ ）A.11(,)62B.11(,)26C.11(,)62-D.11(,)26-11．设0,1a b >>，若2a b +=，则311a b +-的最小值为（ ）A.4+B.8C.D.12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2222312222244123n a a a an n++++=-，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A.5048B.5050C.10098D.10100二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知||1,||2,a b a ==与b 的夹角为π3，那么|4|a b -=__________ 14．已知直线l 过点(1,1)A ，且l 在y 轴上的截距的取值范围为（0,2），则直线l 的斜率的取值范围是__________15．已知实数,x y 满足关系2213x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则12z x y =-的取值范围为__________16．在直角ABC ∆中，π,||1,||2,2A AB AC M ===是ABC ∆内的一点，且1||2AM =，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为__________三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（本小题满分10分）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++≤，（其中a 为常数且0a >）18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，顶点(2,3)A ，角B 的内角平分线所在直线方程为10,x y AB --=边上的高线所在直线方程为20x y +=，求BC 边所在直线的方程19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，112(1)1,1nn n a a a n n++==++ （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的前项和n S20．（本小题满分12分）过点(4,2)P 作直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且点P 在A 与B 之间（1）当3AP PB =时，求直线l 的方程； （2）当AP PB 取得最小值时，求直线l 的方程21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、，sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-=（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值22．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222(3)3()0,n n S n n S n n n -+--+=∈*N ，（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切的正整数n 都有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++【参考答案】一、选择1-5 BACBA 6-10 CAABD 11-12 AC 二、填空题 13．14．7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．(1,1)-16三、解答题17．解：当1a =时不等式的解集为{}1 当1a >时不等式的解集为1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当01a <<时不等式的解集为11,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．解：(2,3)A 关于10x y --=对称得到点'(4,1)A ，'(4,1)A 在直线BC 上，设B(m,n)由10(0,1)3122n m m B n n m =-⎧=⎧⎪⇒⇒--⎨⎨=-=⎩⎪-⎩'(4,1),(0,1)A B -在直线BC 上可知直线BC 的方程220x y --=19．解：（1）求证1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首相为2公比为2的等比数列 （2）2nn a n n =⋅-1(1)2(1)22n n n nS n ++=+--20．解：设(,0)A a (0,),0,0B b a b >>，故:1x yl a b+=，又因为过点(4,2)P 于是有421a b+= （1）(4,2)16(4,2):6160833AP a a PB b l x y b AP PB ⎧=-=⎧⎪⎪⎪=--⇒⇒+-=⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩（2）(4,2)424220(42)()208()16(4,2)AP a a b AP PB a b a b a b b a PB b ⎧=-⎪⇒=+-=++-=+≥⎨=--⎪⎩ 当AP PB 取得最小值时即当421a ba b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，直线l 的方程60x y +-=21．解：（1）()πtan 0,π3C C c =∈⇒=（2）222244423a b ab ab a b ab ab =++⇒-=+≥⇒≤1πsin 23S ab =≤a b =取得 22．解： （1）12a = （2）22222(3)3()0()(3)0()2n n n n n n S n n S n n S n n S S n n a n⎡⎤-+--+=⇒-++=⎣⎦⇒=+⇒=（3）111111()(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n =<=-++-+-+当1n =时，11111(1)63a a =<+ 当2n ≥时，1122111(1)(1)(1)1111111111()()()6235257221211111111()62321322113n n a a a a a a n n n n ++++++<+-+-++--+=+-=-++< 综上：对一切的正整数n 都有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++。
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一下学期期中考试数学试题一、选择题1．已知向量()1,0i=， ()0,1j=，则与23i j+垂直的向量是（ ） A. 32i j+ B. 23i j -+ C. 32i j -+ D. 23i j- 【答案】C【解析】因为向量()1,0i=， ()0,1j=，所以()()()23=2,00,32,3i j ++=，()()()()()()2332120;232320;23320i j i j i j i j i j ij++=≠+-+=≠+-+=，所以23i j+垂直的向量是32i j -+，故选C.2．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b+平行，则实数λ等于（ ） A. 2 B. 4 C. 12D.14【答案】C【解析】因为向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b+平行，所以()2a b k a b λ+=+，可得{12kkλ== ，解得1=2λ ，故选C.3．在数列{}n a 中，对任意*n N ∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A. 2B. 4C. 12D. 14【答案】D【解析】因为数列{}n a 中，对任意*n N ∈，都有120n n a a +-=，所以，数列{}n a 是公比为2q = 的等比数列，()1212234122212244a a a a a a a a q++==++，故选D.4．设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为（ ）A. 40 mB. 50 mC. 60 mD. 70 m 【答案】B【解析】因为∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，所以90A B C ︒∠= ，因此，1s in 30100502A B A C ︒==⨯= （m ），故选B.5．在A B C ∆中， (1,A B =,()3,0B C =，则角B 的大小为（ ）A.6πB.3πC.23π D.56π【答案】C【解析】因为(13A B =,()3,0B C =，所以(13B A =-··c o s o s 130=-3B A BC B A B C B B ===-⨯-，12c o s ,23B B π=-=，故选C.6．A B C ∆的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ， b ， c ， 12c o s 13A =，则AB AC ⋅=（ ）A. 144B. 48C. 24D. 13【答案】B【解析】由12c o s 13A =得5s in 13A =，因为A B C ∆的面积是10，所以115s i n 102213A B A C A A BA C ⋅=⋅⨯= ，可得52A B A C ⋅=，因此124813A B A C A B A C ⋅=⋅⨯=，故选B.7．在等差数列{}n a 中， 118360,a S S <=，若n S 最小，则n 的值为（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 54 【答案】B【解析】因为118360,a S S <=，所以()192021362728...90a a a a a a ++++=+= ，可得123272829...0a a a a a a <<<<<<< …,所以，使n S 最小的n 值为27 ，故选B.8．下列说法正确的有（ ）（1）{}n a 和{}n b 都是等差数列，则{}n n a b +为等差数列 （2）{}n a 是等差数列，则()23,,,,,m m k m k m k a a a a k m N ++++∈为等差数列（3）若{}n a 为等比数列，其中0n a >，则{}lg n a 为等差数列； 若{}n a 为等差数列，则{}2na为等比数列．（4）若{}n a 为等比数列，则{}2n a ，{}na 都为等比数列．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】D【解析】对于（1），()()11'n n n n a b a b d d +++-+=+ 为常数， {}n n a b + 为等差数列；对于（2）2...m k m m k m k a a a a k d+++-=-== 为常数，()23,,,,,m m k m k m k a a a a k m N ++++∈为等差数列；对于（3）11lg lg lglg n n n n a a a q a ---== 为常数，{}lg n a 为等差数列数列，112222nn n n a a a da ---==为常数， {}2na 为等比数列；对于（4），2221nn a q a -= 为常数，1n n a q a -= 为常数，所以{}2n a ，{}na 都为等比数列，所以四个说法都正确，故选D.9．设D 为A B C ∆所在平面内一点， 3B C C D=，则（ ） A. 1433A D AB AC =-+B. 1433A D A B A C =-C. 4133A D A B A C =+D. 4133A D A B A C =-【答案】A【解析】试题分析：由题；()11,,,33A D A C C D A CBC B C A C A B AD A C A C A B =+=+=-=+-即可得： 1433A D A B A C =-+【考点】向量加减法的运算及几何意义.10．A B C ∆中，若()()2sin sin sin A B A B C +-=，则A B C ∆ 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】(),sin sin A B C A B Cπ++=∴+= ,又因为()()2sin sin sin A B A B C +-=，所以， ()2sin sin sin C A B C -= ，由于sin 0C ≠ ，所以()s i n s i n A B C -=，又因为,,A B C 是三角形内角，所以,2A B C A B C A A ππ-==+=-⇒=，所以A B C ∆ 是直角三角形，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形；（4）一个内角为直角或三边符合勾股定理.11．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ， ()()*113n nS a n N=-∈,则na=（ ）A. 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 12n - C. 12n⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为()()*113n n S a n N=-∈，所以()1111111,32Sa a a =-=⇒=-可排除选项C 、D ； ()22122111,34S a a a a =-=+⇒=可排除选项B ，故选A.【 方法点睛】本题主要考查数列的通项公式、特殊值法解选择题，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等. 12．如图在A B C ∆中， 120,1,2,B A C A B A C D ∠=︒==为B C 边上一点（含端点），()0D C B D λλ=≥，则A D B C ⋅的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D 【解析】·12c osA B A C︒=⨯=- ,()11A D A C C D A C C B A C A B A Cλλλλ=+=+=+-++ 111A C A B λλλ=+++ ,()221115·111111A D B C A C A B A C A BA C A BA C AB λλλλλλλλλ-⎛⎫∴⋅=+-=-+=⎪++++++⎝⎭，因为0λ≥，所以551λ≤+，即A D B C ⋅的最大值为5 .【 方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、平面向量的数量积公式、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．二、填空题13．A B C ∆中，三内角,,A B C 成等差数列，则B =______________ 【答案】60︒【解析】因为三角形三内角,,A B C成等差数列，所以2180A C B B B ︒︒+==-⇒=，故答案为60︒.14．已知数列{}n a 的通项公式是()()22{12nn n a n n n-=+是奇数是偶数，则它的前4项和为__________． 【答案】19.24【解析】由通项公式可得，131234221111112,,2,22228824424a a a a --========⨯+⨯+ ，所以，它的前4项和为41111192882424S =+++=，故答案为1924.15．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且93n nS n T n -=+，则77a b =__________．【答案】14【解析】由等差数列的性质可得，11371311371313139121334132a a a Sb b b T +⨯-====++⨯ ，故答案为14.16．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得s in s in B C B E EC=∠∠，即oo2s in 30s in 75B E =，解得B EAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，s in s in B F B C F C BB FC =∠∠，即oo2s in 30s in 75B F =，解得AB 的取值范.【考点】正余弦定理；数形结合思想三、解答题17．若平面向量,a b 满足()2,2,a b a ba ==-⊥（1）求a 与b 的夹角；（2）求2a b +．【答案】（1）,4a b π=（2）【解析】试题分析：（1）()a b a -⊥可得()·=0a b a - ，再根据平面向量的数量积运算，计算向量a 与b 的夹角即可；（2）()222a b a b +=+，，根据已知，利用平面向量的数量积公式即可得结果.试题解析：（1）()22c o s ,0222c o s ,0,c o s ,2a b a aa b a b a ba b-⋅=-=∴-=∴=，又[],0,a b π∈，所以,4a b π=．（2）2222244816a b ab a b ab+=+⋅+=+=+=18．在等差数列{}n a 中，已知16412,7a a a +== （1）求9a ；（2）求{}n a 前n 项和n S ．【答案】（1）917a = （2）2n S n =【解析】试题分析：（1）由题意知163412a a a a +=+= ，由47a = ，知35a = ，所以92,21,17n d a n a ==-= ；（2）直接利用等差数列的前n 项和公式求得n S .试题解析：（1）11,2a d ==， 917a = （2）()21n S n n n n =+-=19．A B C ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知cos sin a b C c B =+ （1）求角B 的大小；（2）若4,3b C π==，求A B C ∆的面积．【答案】（1）B=.4π（2）6+【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将已知等式化简，再根据两角和正弦函数公式及变形，求出tan B 的值，结合B 为三角形的内角即可算出角B 的大小；（2）三角形内角和定理可求得角A ，利用正弦定理求出c 的值，再由三角形的面积公式得到结果. 试题解析：（1）∵a=bcosC+csinB,∴由正弦定理可得:sinA=sinBcosC+sinCsinB ， ∴sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB ，∵sinC≠0，∴co s sin B B =， ∴s in ta n 1c o s B B B==， ()0,B π∈，∴B=（2）由（1）可得512A B C ππ=--=，由正弦定理可得：2s in s in s in s in4a cb ACBπ====c =∴1sin 62A B C S b c A ∆==+20．在数列{}n a 中，已知12a =， 1431n n a a n +=-+ （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析（2）()14132nn n nS +-=+【解析】试题分析：（1）由1431n n a a n +=-+可得()()()114311444n nnna n an na n a n +-+=-+-+=-=- ，从而可证；（2）由（1）可求n a ，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求n S .试题解析：（1）()()11143114,110n n n n a a n a n a n a ++=-+⇒-+=--=≠，所以数列{}n a n -是公比为4的等比数列（2）44nnn n a n a n -=⇒=+⇒ ()14132nn n nS +-=+【方法点晴】本题主要考查递推公式及等比数列的定义和利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21．设锐角三角形A B C 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2sin a b A =． （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围． 【答案】解：（1）由已知12s in ,s in s in s in 2a b a b A B AB==⇒=又，又B 为锐角030B ∴=（2）原式()()30,1803015015012232212230B C A Ac o s A s in C c o s A s in A c o s A c o s A in Ac o s A in Ac o s A s in A o s A =∴=--=-∴+=+-=++=+⎫=+⎪⎪⎝⎭=-()090{609015090130223.22A A A c o s A c o s A s in C <<⇒<<<-<<-<⎛⎫∴+ ⎪ ⎪⎝⎭范围为【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理求出sin B 的值，再根据角B 是锐角，即可求出角B 的大小；（2）根据（1）的结论，首先用角A 表示出角C ，再将cos cos A C +化为()sin a x b ωφ++的形式，并确定准x ωφ+的取值范围，进而得到()sin x ωφ+的范围，从而可求得()sin a x b ωϕ++的取值范围，最终得到所需结论．试题解析：（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（2）c o s s in c o s s in c o s s in in 663A C A A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由为锐角三角形知，所以．由此有3232A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭， 所以的取值范围为3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【考点】1、正弦定理；2、辅助角公式．22．设数列{}n a 满足()21*1233333n n n a a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈（1）求n a ； （2）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】1）13n na =（2）1133244n n n S +⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）由2112333 (33)n n n a a a a -++++=⇒ ，当2n ≥ 时，221231133 (3)3n n n a a a a ---++++=，两式作差求出数列{}n a 的通项；（2）由（1）的结论可知数列{}n b 的通项.再用错位相减法求和即可. 试题解析：（1）()212212312311333333233n n n n n n a a a a a a a a n----+++⋅⋅⋅+=⇒+++⋅⋅⋅+=≥()()1111113222333n n n n nna n a n a a -∴=≥⇒=≥=∴=（2）3nn nn b n a ==⋅，223113233,313233n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯()211313233332313nn n n n n S n S n ++--=+++-⨯⇒-=-⨯-1133244n n nS +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【易错点晴】本题主要考等比数列的定义及通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。