格子Boltzmann方法的原理及应用--第10章
格子波兹曼方法
格子波兹曼方法
格子波兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）是一种广泛应用于计算流
体力学领域的数值方法。
它基于分子动力学模型，通过离散化空间网格和时间步长来模拟复杂的流体流动问题。
格子波兹曼方法通过将流体宏观物理量离散化到网格上的节点，使用分布函数
描述流体粒子的运动。
流体粒子在相邻节点之间以一种特定的方式进行碰撞和传播，模拟流体的宏观行为。
格子波兹曼方法相对于传统的Navier-Stokes方程求解方法具有多个优势。
首先，它因其并行化的能力而广泛应用于高性能计算中。
其次，LBM的离散化框架使得
它在处理具有复杂边界条件和多相流问题时更加灵活。
此外，LBM对于非连续和
非均匀流体介质的模拟效果也相对较好。
格子波兹曼方法在各个领域都有广泛的应用。
在流体力学领域，LBM被用于
模拟自由表面流动、湍流现象和多孔介质中的流动行为。
在微观领域，LBM也被
用于模拟微观流体力学现象，例如微管流动和纳米颗粒悬浮体的输运行为。
除了流体力学领域，格子波兹曼方法还被应用于其他科学领域。
例如，它被用
于模拟热传导、传质过程、相变以及复杂物质的输运现象。
此外，LBM还被用于
模拟生物流体力学、地下水流动、大气动力学和地震波传播等问题。
综上所述，格子波兹曼方法是一个高效且灵活的数值方法，用于模拟复杂的流
体流动问题。
它在计算流体力学领域以及其他科学领域都有广泛的应用前景。
这种方法的进一步发展和应用将有助于我们更好地理解和预测流体行为，并解决相关领域的实际问题。
格子玻尔兹曼方法
格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它通过模拟流体微观粒子在格子空间上的运动来描述流体的宏观行为。
相比传统的有限元方法和有限差分方法，格子玻尔兹曼方法具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。
格子玻尔兹曼方法的基本思想是将流体系统离散化为一个个小的流体微团，这些微团在空间网格上运动，并通过碰撞和迁移过程来模拟流体宏观行为。
在每个时间步长内，微团在空间网格上按照一定的规则进行迁移，并在碰撞过程中遵循玻尔兹曼方程，通过碰撞和迁移过程来模拟流体的宏观行为。
通过在空间网格上迁移和碰撞的过程，可以模拟出流体的宏观运动规律，从而实现对流体流动的模拟和计算。
格子玻尔兹曼方法的优势之一是其较好的并行性能。
由于其基于网格的离散化特性，格子玻尔兹曼方法在并行计算上具有天然的优势，能够有效地利用多核、多节点的计算资源，实现对大规模流体问题的高效模拟。
这使得格子玻尔兹曼方法在计算流体力学领域得到了广泛的应用，特别是在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势。
另外，格子玻尔兹曼方法在处理复杂边界条件和多相流问题上也具有一定的优势。
由于其基于微观粒子动力学的特性，格子玻尔兹曼方法能够比较灵活地处理复杂的边界条件，如固体边界、移动边界等，同时也能够较为方便地模拟多相流体的运动，包括气液两相流、多组分流体等，这使得格子玻尔兹曼方法在工程领域的应用具有广阔的前景。
总的来说，格子玻尔兹曼方法作为一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，具有较好的并行性能和适应性，特别适用于多孔介质流动、复杂边界条件下的流动以及多相流等问题的模拟。
它在大规模流体模拟和高性能计算方面具有很大的优势，同时也能够比较灵活地处理复杂的边界条件和多相流问题，因此在工程领域具有广泛的应用前景。
格子玻尔兹曼方法的发展将为流体力学领域的研究和工程应用带来新的机遇和挑战。
关于多分布格子boltzmann模型的书
一、概述在统计物理学中，格子Boltzmann模型是一种用于研究粒子在晶格上动力学行为的模型。
在正常的Boltzmann统计力学中，粒子的分布是随机的，而多分布格子Boltzmann模型则引入了多个分布函数，用于描述粒子在不同的晶格上的分布情况。
本文将着重介绍多分布格子Boltzmann模型的相关理论和应用。
二、多分布格子Boltzmann模型的基本概念1. 格子Boltzmann模型的基本原理格子Boltzmann模型最早由硅谷大学的研究者提出，其基本原理是将晶格看作是一个离散的空间，粒子在晶格上的位置和动量也是离散的。
而多分布格子Boltzmann模型则是在每一个晶格上引入一个分布函数，用于描述该格子上粒子的分布情况。
2. 多分布格子Boltzmann模型的表达式多分布格子Boltzmann模型的表达式可以写成如下形式：\[ f_i(\mathbf{r},t) =\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ijk}\phi_{ik}(\mathbf{r},t)\]其中，\( f_i(\mathbf{r},t) \)表示晶格i上粒子的分布函数，\( \alpha_{ijk}\)为一个系数，\( \phi_{ik}(\mathbf{r},t) \)为关于晶格i 上粒子的分布函数。
通过引入多个分布函数，我们可以更准确地描述粒子在不同晶格上的动力学行为。
3. 多分布格子Boltzmann模型的演化方程多分布格子Boltzmann模型的演化方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial f_i}{\partial t} + \mathbf{v}_i \cdot \nabla f_i = \frac{1}{\tau_i}(f_{i, eq} - f_i) \]其中，\( f_{i, eq} \)为平衡态分布函数，\( \tau_i \)为弛豫时间。
这个方程描述了不同晶格上粒子的分布函数随时间的演化情况，是多分布格子Boltzmann模型的关键之一。
格子Boltzmann方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流
201020446(2) 北京师范大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Normal University (Natural Science ) 139 格子Boltzmann 方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流3张立换 康秀英 吉驭嫔(北京师范大学物理学系,100875,北京)摘要 将格子Boltzmann 方法应用到二维轴对称余弦狭窄血管模型,模拟比较加入脉动后流场速度、压强和剪切应力分布,并详细分析了不同狭窄模型、Reynolds 数和Womersley 数对血液流动规律的影响,从而为研究血管壁病变和动脉硬化形成机制提供了有用的理论参考.关键词 格子Boltzmann 方法;Reynolds 数;Womersley 数;脉动流;动脉狭窄3北京师范大学青年科学基金资助项目通信作者收稿日期:2009205219 格子Boltzmann 方法(lattice Boltzmann met hod ,简称LBM )是20世纪80年代迅速发展起来的一种新的流体动力学数值模拟方法[122].与以宏观连续方程的离散化为基础的传统数值方法不同,LBM 从微观层次出发,采用统计物理方法得出流体的宏观特性,而且在可操作性方面,它计算方便,编程易于实现,边界易于处理等优点已经得到广泛地证实.由于心血管疾病多集中于具有复杂几何形状和具有复杂流动特性的区域,流动区域和剪切应力的分布对理解、诊断和治疗这种疾病有很重要的作用.近年来,LBM 在血液动力学方面的应用越来越受到重视[326].本文的主要工作是用格子Boltzmann 方法模拟二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性.首先对狭窄血管内定常流特性进行了研究,模拟比较不同狭窄模型和不同Reynolds 数对管壁切应力、压强和压力梯度分布的影响.然后对二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性进行了研究,模拟比较在改变Reynolds 数、Womersley 数时动脉血流的流动特性,找到动脉血流的非定常性对狭窄血管中流场速度、压强和剪切应力分布的影响,从而对常见的心血管疾病发展机制给出物理解释,为进一步分析动脉粥样硬化的形成、发展及其影响提供新的研究方法和理论参考.1 二维轴对称狭窄血管内定常流特性的研究111 管壁几何模型 假定血管的狭窄处为轴对称,如图1所示,狭窄形状采用常用的余弦形状,即y =h2[1+co sπL(x -x 0)],(1)图1 二维轴对称余弦狭窄模型 其中h 是狭窄的最大高度,对应于x =x 0处,L 是狭窄总长度的一半,L x 是血管段的长度,L y 是狭窄发生前的血管宽度.112 数值计算 模拟中,计算网格选为N x ×N y =300×40,狭窄中心处为x 0=121,通过调整h 和L 来控制血管狭窄程度.血管出入口采用压强边界条件[7],管壁边界采用Mei 改进的曲线边界条件[8].为了研究不同狭窄情况下管壁的切应力、压强和压强梯度的变化规律,我们选择3个不同的狭窄模型,如表1.表1 不同的狭窄模型狭窄模型M1M2M3狭窄高度h L y /8L y /4L y /4狭窄长度2L16h 8h 16h 在保证Reynolds 数(Re =ρUL y μ=UL yν,ν=μ/ρ为流体运动学黏滞系数,U 为入口附近的平均速度)一定时,计算得3种模型管壁切应力、压强和压强梯度见 140 北京师范大学学报(自然科学版)第46卷 图2～4.Re =114,狭窄中心x 0=121.图2 3种狭窄模型下管壁切应力分布 从图2中可以看出,管壁切应力振荡的负峰值在靠近狭窄中心(x 0=121)的上游,这个峰值达到一定值后,该部位血管内皮组织易发生机械应力损伤.当狭窄长度一定时,狭窄高度越大,切应力的负峰值越大,如图2中的M1和M2;当狭窄高度一定时,狭窄长度越短,切应力的负峰值越大,如图2中的M2和M3.同时也可以看出在狭窄处的下游切应力变小,特别是M2,血液容易在此处发生流体分离.模拟得到狭窄区域的压强和压强梯度分布如图3和4所示.在相同狭窄长度下,狭窄高度越大,血管狭窄上游压强下降越大,下游压强上升越大,同时狭窄区域前后的压强落差越大,如图3中的M1和M2.另一方面,在相同狭窄高度下,狭窄长度越长,血管狭窄上游压强下降越大,同时狭窄区域前后的压强落差越大,如图3中的M2和M3.压强梯度在狭窄区域波动加图3 管壁上压强分布(Re =114),p 0是狭窄发生前的压强,u 0是x =20处的中心流速 图4 管壁上的压强梯度分布(Re =114) 剧,压强梯度波动最大的是狭窄模型M2(图4),其对应的切应力负峰值也为最大值,狭窄部位管壁切应力与压强梯度的变化规律具有相似性.选择模型M2,比较管壁切应力和狭窄附近的流场分布随Re 的变化规律,如图5和6.从图5中可以看出,狭窄模型一定时,随着Re 的增加,管壁切应力增大,在狭窄区域的下游,切应力的增加相对减小,这是由于出现了流体分离,如图6的流场分布.图6显示了模型M2在不同Re 下狭窄附近的流场分布,可以看出,随着Re 的增大,在狭窄下游管壁处出现流动分离区,且Re 越大,流动分离区越大.113 分析与结论 通过改变参数,我们获得了大量有关狭窄血管中的流场的信息.模拟结果表明,血管局部图5 管壁切应力随Reynolds 数的变化曲线(狭窄模型M2) 第2期张立换等:格子Boltzmann方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流141图6 不同Re下的流场分布(M2,Re=114、215、318)狭窄会对血液的流动状态产生明显的影响,从而带来一系列的生理和病理方面的复杂变化.例如,动脉硬化斑块主要发生在几何形状急剧变化和高Re流动状态的血管内.在动脉硬化斑块发展的初期,血管狭窄度比较小,对于黏度是常数的血液流体,其Re比较小,无流动分离,管壁切应力可能达到临界应力值,对狭窄上游血管壁内皮细胞造成损伤,使壁面进一步异常增生,导致血管狭窄度增加,进而导致此处流动Re的增加.当血管狭窄增大到一定值时,在狭窄下游管壁附近就会有流动分离区形成,在该区域内血液会发生滞留,血液中的血小板和纤维蛋白就会沉积,并在血管壁处形成网络结构致使血液中的脂质颗粒沉积,而最终导致动脉粥样硬化现象的出现.同时,狭窄度较大时,对应的压力梯度的值也会较大,也可以反映病变血管的异常血液流动情况.2 二维轴对称狭窄血管内脉动流的流动特性选择模型M2为研究对象,模拟中选取周期T=10000,流动的Womersley数(α=L y2ων,ω=2πf=2π/T是脉动的角频率)为α=31357,入口压强随时间周期性变化,即p(0,t)=Δp cosωt+p out,Δp为一常量,出口压强pout设为定值,图7显示一个周期8个不同时刻的脉动流管道中心中轴线上的压强分布.从图7中可以看出,中轴线上的压强不是线性变化,在靠近狭窄部位压强下降幅度明显增加,在最大狭窄处附近压强出现极小值,狭窄下游压强又逐渐回升,远离狭窄后,压强变化逐渐恢复类直管变化趋势,并且压强随时间的波动存在一定的滞后,如图中1/8T和7/8T,2/8T和6/8T以及3/8T和5/8T不完全重合.狭窄中心x0=121,狭窄长度为78.图7 iT/8时刻中轴线上的压强分布 142 北京师范大学学报(自然科学版)第46卷 脉动流前半周期的流场分布如图8所示.从图中可以看出,在T/4时刻,在狭窄下游管壁附近开始出现流动分离区,且分离区逐渐扩大,如3T/8时刻,接着又缓慢消失,如T/2时刻,流体平滑地流过凸包.图8 脉动流在前半周期内不同时刻的流场分布 需要注意的是心脏的周期性泵血作用使动脉中的血液以脉动的形式流动,动脉中血液流动的参量———压强、流量等流动参数也会随时间变化,虽然动脉中血液的流动是脉动流而不是定常流,但动脉中血流的方向平均来说却是始终不变的,即总是从动脉流向毛细血管,再流向静脉.因此,可以把由心脏收缩和舒张所引起的动脉中的脉动流看作是一定常流分量与一振荡分量的叠加,即在图8所示的流场分布中叠加上一个定常流,最终倒流的出现时间将非常短暂,且流速很小.对应于一个周期中的不同时刻,我们发现,管壁切应力的随时间的波动也存在一定的滞后.如图9给出前半周期的切应力分布.3 结束语我们讨论了二维余弦狭窄血管中血液流动的切应力、流场速度、压强和压强梯度在不同狭窄模型和不同图9 前半周期内管壁切应力的变化曲线Re下的分布规律,所得结论与用其他实验,理论和数值模拟得到的结论相同[9211],但用LBM方法编程简单,参数易于选择,从分布函数就可以得到所有主要宏 第2期张立换等:格子Boltzmann方法模拟二维轴对称狭窄血管内的脉动流143观量,证实了LBM在此模型下的适用性.考虑到血液流动的脉动性,研究了一个脉动周期中流场的变化特点,并与定常流动比较,分析其差异.由于Womersley数的选择在血流参数范围内,故认为上述结论具有参考性.值得注意的是,流动分离区并不同于定常流动所述那样在管壁处停留,而是随着时间的演化,流动分离区间歇性的出现,如对α=710797的流场分布模拟显示,与α=31357的不同点是流动分离区在管壁附近产生后,随着时间的推移,又会向管轴附近发展.与定常流情况下在Re达到300后才出现明显的分离区不同,对于脉动流,在Re较小时,就已经可以观察到明显的流动分离区了.4 参考文献[1] Qian Y H,d’Humieres D,lallemand ttice B GKmodels for Navier2Stokes equation[J].Europhys Lett, 1992,17:479[2] Chen H,Chen S,Matthaeus W H.Recovery of theNavier2Stokes using a lattice2gas Boltzmann method[J].Phys Rev A,1992,45:R5339[3] Artoli A M,Kandhai D,Hoef sloot H ttice B GKsimulations of flow in a symmetric bif urcation[J].FutureG eneration Computer Systems,2004,20:909[4] Boyd J,Buick J,Cosgrove J A,et al.Application of thelattice Boltzmann model to simulated stenosis growth in a two2dimensional carotid artery[J].Phys Med Biol,2005, 50:4783[5] Li H B,Fang H P,Lin Z ttice Boltzmannsimulation on particle suspensions in a two2dimensional symmetric stenotic artery[J].Phys Rev E,2004,69: 031919[6] 康秀英,刘大禾,周静,等.用格子Boltzmann方法模拟动脉分叉流场[J].北京师范大学学报:自然科学版,2005, 41(4):364[7] Z ou Q,He X.On pressure amd velocity boundaryconditions for the lattice Boltzmann B GK model[J].Phys Fluids,1997,9(6):1591[8] Mei R,L uo L S,L uo Shyy W.An accurate curvedboundary treatment in the lattice Boltzmann method[J].J Comput Phys,1999,155:307[9] 姚力,李大治.刚性轴对称狭窄血管内压强及其梯度的研究[J].应用数学和力学,2006,27(3):311[10] 刘国涛,王先菊,艾保全,等.狭窄动脉血管中Poiseuille流动对管壁切应力的影响[J].中山大学学报:自然科学版,2004,4(6):29[11] 秦杰,刘辉,孙利众,等.刚性狭窄管内血流压力分布的研究[J].生物力学,1989,4(6);57SIMU LATING B LOOD FLOW IN A TWO2DIMENSIONALSYMMETRIC STENOTIC ARTER Y BYTHE LATTICE BOL TZMANN METH ODZHAN G Lihuan KAN G Xiuying J I Yupin(Depart ment of Physics,Beijing Normal University,100875,Beijing,China)Abstract In t his st udy t he lattice Boltzmann met hod has been applied to a two2dimensional symmet ric stenotic artery.The velocity,p ressure and shear st ress distribution of blood flow were simulated and compared when p ulsatio n over t he blood was added.We have observed t he impact of blood flow when changing t he steno sis struct ure,Reynolds number and Womersley number.These data provide a p hysical explanation for blood vessel lesions and arterio sclero sis.K ey w ords lattice Boltzmann met hod;Reynolds number;Womersley number;p ulsating blood;steno sed artery。
格子玻尔兹曼方法
格子玻尔兹曼方法格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种基于微观粒子动力学的计算流体力学方法，它是由Lattice Gas Automata（LGA）经过演化和发展而来的。
LBM是一种离散的方法，它通过在空间网格上模拟分子碰撞和传输过程来描述流体的宏观运动。
与传统的有限差分法、有限体积法相比，LBM具有计算效率高、并行性好、适应复杂边界条件等优点，因此在流体力学领域得到了广泛的应用。
LBM的基本思想是将流体系统离散化，将连续的流体宏观运动转化为离散的微观碰撞和传输过程。
在LBM中，流体被看作是由大量微观粒子组成的，这些微观粒子在空间网格上按照一定的规则进行碰撞和传输。
通过对微观粒子的运动状态进行统计，可以得到流体的宏观性质，如密度、速度等。
LBM的核心是格子玻尔兹曼方程（Lattice Boltzmann Equation，简称LBE），它描述了微观粒子在空间网格上的运动规律。
在LBM中，流体的宏观性质由分布函数来描述，分布函数是表示在某一时刻某一空间点上流体微观粒子的分布情况。
在每个时间步内，分布函数按照一定的规则进行碰撞和传输，通过迭代计算可以得到流体在空间网格上的演化过程。
LBM的计算过程可以并行化，因此在计算效率上具有明显的优势。
LBM的另一个优点是它对复杂边界条件的处理能力强。
由于LBM是基于离散网格的方法，因此可以比较容易地处理复杂的边界条件，如曲面边界、移动边界等。
这使得LBM在模拟复杂流体系统时具有一定的优势。
除此之外，LBM还有一些其他的优点，如对多相流、多孔介质流动等复杂流体现象的模拟能力强，对于非稳态流动和湍流流动的模拟也有一定的优势。
总之，格子玻尔兹曼方法作为一种新兴的计算流体力学方法，具有诸多优点，逐渐得到了流体力学领域的广泛关注和应用。
随着计算机硬件性能的不断提升，LBM的应用前景将更加广阔，相信它会在流体力学领域发挥越来越重要的作用。
嵌段聚合物微相分离后期相区粗化过程的格子Boltzmann研究
嵌段聚合物微相分离后期相区粗化过程的格子Boltzmann研究利用嵌段共聚物的微相分离形成有序图案,正在成为制造纳米器件和模板的一种新手段,对其有序或部分有序结构的预测、设计和控制己成为当前新材料领域关注的焦点,因此,对微相分离的动力学研究也具有明确的现实意义.由于不同单体间存在化学键的连接,嵌段聚合物发生微相分离时的动力学过程,尤其在微相分离的后期阶段,与聚合物共混物有很大不同.当共混物熔体进入亚稳相分离(spinodal decomposition,SD)分相的后期阶段,相区域的后期增长随时间的增加具有幂指数规律,而其具体的增长指数则决定于相区域的增长机理[1].对于嵌段聚合物发生的微相分离,到目前为止,其微相分离后期的标度率仍存在较大争议[2~4].格子Boltzmann方法(LBM)是一种用来模拟流体或流体中物理现象的数值方法,格子Boltzmann方法的基本思想是结合必要的微观或介观过程的物理性质建立简化的动力学模型,使其宏观性质的均值符合宏观连续性方程[5].与传统的基于宏观连续性方程的流体力学计算方法相比,格子Boltzmann方法基于微观模型和介观动力学方程,更适于与微观模型或介观理论结合,并且已经被成功地应用到二元流体相区粗化过程的标度研究中[6~8].在前面的工作中,应用格子Boltzmann模型,我们探讨了二元聚合物共混物的分相后期,相区尺寸随时间的增长指数与高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数的关系[9].对于嵌段共聚物,以往的模型由于种种原因,多采用维象的参数,或者忽略流体效应,故这方面的研究甚为缺乏.本文采用与自洽场理论相结合的格子Boltzmann模型,对嵌段聚合物微相分离后期的相区粗化过程进行了模拟.对于多相流体的LBM模拟,以自由能形式的计算方法应用最为广泛.自由能形式的格子Boltzmann方法[10]通过引入合适的自由能形式可以达到正确的热力学平衡,并且能够对高分子共混体系的相行为进行综合描述.在前面的工作中,由于采用了Flory-Huggins的自由能函数形式,只能对共混体系进行模拟.本文通过自洽场理论的引入,实现了针对嵌段共聚物的模拟.到目前为止,自洽场理论已发展为系统、完整的理论,其不仅能够考虑高分子链的结构,提供链段密度的空间分布和相结构等热力学信息,而且在平均场层次上,也是最为精确的理论[11].应用本文所提出的模型,研究嵌段聚合物微相分离后期的相区粗化过程,对于微相分离后期的标度关系的理解,能够提供有益的补充.由于本模型不再采用维象的参数,研究高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数对微相分离后期标度的影响将有利于加深对微相分离动力学过程的认识.1 模拟方法对于流体的模拟,在微观、介观、宏观尺度上可分别用牛顿力学、统计物理和描述动量守恒的Navier-Stokes方程描述. LBM可视为连续的Boltzmann输运方程的一种差分求解形式.LBM的演化方程为[12]:fi(x+eiΔt,t+Δt)=fi(x,t)-(fi(x,t)-feqi(x,t))/τ(1)式中,fi(x,t)是t时刻、x位置以ei速度运动的粒子数;ei为i方向的单位速度向量,由不同的速度离散模型决定[12];Δt为时间步;τ=λ/Δt为与流体黏度有关的无量纲松弛时间参数,动态黏度η与τ的关系为η=(2τ-1)/6.常用的二维条件下的速度离散模型有D2Q6,D2Q7和D2Q9模型[10].这里我们采用D2Q9模型,D表示维数,Q后面的数字表示离散得到的速度方向的个数.D2Q9模型将空间离散成正方形格子,与D2Q6模型的三角型格子相比应用更加广泛.其速度离散为9个方向的单位速度向量,分别为:ei=(0,0)Δx/Δti= 0(cos[(i-1)π/2],sin[(i-1)π/2])Δx/Δti=1→42(cos[(i-5)π/2+π/4],sin[(i-5)π/2+π/4])Δx/Δti= 5→8(2)其中,Δx为格子长度.为提高模拟的数值稳定性,我们采用了Qian提出的FP(fractional propagationscheme)格式[13],FP格式中的演化方程改进为:f′i(x,t)=fi(x,t)-(fi(x,t)-feqi(x,t))/τ(3)fi(x,+eiΔt,t+Δt)=f′i(x,t)+θ(f′i(x-eiΔt,t)-f′i(x,t)) (4)此时,动态黏度η与τ的关系为η=θ2Δx2(τ+1/(2θ)-1)/3Δt,而θ与动态黏度η有关,较小的θ可以提高模拟的数值稳定性.通过选择适当的平衡分布函数feqi,可得到密度ρ和流速u的动力学方程.对于D2Q9模型,通常采用的平衡分布函数为[2]:feqi=wiρ1+3(ei·u)+92(ei·u)2-32u2i= 0→8 (5)式中,w0=4/9,wi=1/9(i=1→4),wi=1/36(i=5→8).在Swift[10]的自由能LBM中,通过压力张量Pthαβ的引入得到了描述两相流体的动力学方程.但外加的压力张量也带来了LBM模型中f0所占比率的改变,而从LBM模型可知,此比率与温度相关,因而破坏了流体的等温性.本文通过作用力项Fi(x,t)的引入得到对两相流体的描述[9].为描述非理想流体,方程(3)化为:f′i(x,t) = (fi(x,t)-feqi(x,t))/τ+Fi(x,t)(6)其中,Fi(x,t)为两相间由于热力学作用而导致的粒子密度分布函数的改变,对于流体的宏观流动过程,Fi(x,t)表达了两相间相互作用对流动过程的影响.Fi(x,t)的定义如下[7]:∑iFi= 0(7)∑ieiαFi=aα(8)∑ieiαeiβFi= 0 (9)aα=θ(φ αΔμ)-Δq(10)这里,q为Inamuro等针对研究对象的不可压缩性提出的矫正项[14],q的计算可由解如下方程得到:Δ2q=Δθ(φαΔμ) (11)由动量和质量守恒方程可得Fi(x,t)的表达式:Fi= 3ei·ac2(12)对于二元流体,自由能LBM增加了序参量的演化方程,用以描述序参量的扩散过程[8]:g′i(x,t)=gi(x,t)-(gi(x,t)-geqi(x,t))/τg(13)gi(x+eiΔt,t+Δt) =g′i(x,t)+θ(g′i(x-eiΔt,t)-g′i(x,t)) (14)式中,τg为无量纲松弛时间参数;gi通过下式定义:φ=∑igi(15)定义高阶动量如下[10]:∑igeqieiα=φuα(16)∑igeqie1αeiβ=c2ΓΔμδαβ+φuαuβ(17)式中,Γ与流体的迁移率有关,α,β为坐标;μ为化学势;φ为熔体中AB两相的体积分数差.为简化讨论,本文假设两相流体密度相同,此假设不会改变文中所研究的相区增长的特征关系[15].geqi(x,t)的系数可通过描述动量和质量守恒的关系式(15)、(16)和(17)得到:geqi=ξi+ξ′iuαeiα+ξ″iuαuα+ξiuαuβeiαeiβi= 0→8 (18)其中,参数ξ,ξ′,ξ″和ξ分别为:ξ=φ-5ΓΔμ6 i= 0ΓΔμ6 i=1→4ΓΔμ24 i= 5→8ξ′=0i=0φ3c2 i= 1→4φ12c2 i=5→8ξ″=-2φ3c2 i= 0-φ6c2 i=1→4-φ24c2 i= 5→8ξ =0 i= 0-φ2c4 i= 1→4-φ8c4 i= 5→8(19)这里,化学势μ可由具体的自由能形式得到.针对嵌段共聚物,我们采用基于自洽平均场理论的自由能形式[11,16].自洽平均场理论为平均场模型,自洽场即是求解由多体相互作用简化成的外加势场.通过平均场近似,可以把高分子链划分为统计意义上相互独立的子链,目前一般采用高斯链近似,即无规行走的理想链模型,而通过路径积分可以计算不同构型子链的概率分布.令ri和rj分别为第i和j个链节所在位置,路径积分QI(i,ri;j,rj)为端点固定在ri和rj上的子链的统计权重,i代表链段的种类A或B,则在外加势场涨落不大的条件下,它符合以下方程[17]: iQi(0,r0;i,r) =a2I6Δ2-ωUI(r)QI(0,r0;i,r) (20)式中,aI为Kuhn链节长度,是一条粗粒化链的基本单位,ω=1/kBT,kB是玻尔兹曼常数,T是绝对温度,UI(r)为势场,它与化学势的关系为:UI(r)=χ∑I′ρI′(r)-μI(r) (21)其中,χ为两组分的相互作用参数.QI(i,ri;j,rj)的初始条件为:QI(0,r0;i= 0,r) =δ(r-r0) (22)假设所讨论的系统体积为V,采用周期性边界条件,每种高分子链的数目为nI,链长为NI,则链段密度符合以下方程:ρI(r) =nI∫NI0di∫dr0∫drNIQI(0,r0;i,r)QI(i,r;NI,rNI)∫dr0∫d rNIQI(0,r0;NI,rNI)(23)由高分子统计理论的自洽场模型有:F(ρ)=-1βlnΦnn!-∑I∫UI(r)ρI(r)dr+∫χρA(r)ρB(r)dr(24)Φ为外场UI下的高斯链的配分函数[17]:Φ≡Trcexp-ω32ωa2∑Ni=2(Ri-Ri-1)2+∑Ni=1Ui(Ri)(2 5)其中Trc(·) =1ΩV∫N(·)ΠNi=1dRi(26)Ri为描述单体位置的矢量,Ω为归一化系数.自洽场方程的求解可分为实空间的求解方法和谱方法.与实空间的求解方法相比,谱方法计算迅速准确,适于确定热力学稳定相,但要求已知微观相的对称性.Doi等提出的实空间求解方法[16],将自洽场理论推广到软物质体系动态过程的研究.本文采用的是这种实空间的自洽场模型.对于动态问题,需要叠代求解方程(20)~(23)以得到与链节分布相对应的外加势场,再通过扩散方程与流体动力学方程来描述动力学过程.需要注意的是,本文的模型没有考虑随机力的贡献,虽然考虑随机力的条件下有可能会改变最终得到的相区尺寸增长的指数.但对于实空间的模型来说,忽略涨落效应不会影响本文的结论[11].另外,考虑到计算量的关系,模拟在具有周期边界条件的尺寸为128×128的二维格子中进行.同时,为消除尺寸效应的影响,我们对比了格子尺寸分别为1282和2562的模拟结果,从结果上发现,二者在数值上总体差别不大,其原因在于,所模拟的系统相区尺寸已经远小于模拟采用的格子尺寸大小.所以,对于目前的参数条件,大小为1282的格子能够满足计算的要求,考虑到更大尺度所带来的计算量方面的问题,具体的模拟以1282为主.2 结果与讨论2·1结构因子与相区特征尺寸微相分离的动力学过程可用相区尺寸来标度,而相区尺寸的大小可以有不同的量度方式.代写论文不同的量度方法虽然都能反映基本的标度关系,但结果可能略有不同.本文采用结构因子来描述相区尺寸的变化,它具有计算方便,结果准确的优点.将模拟结果得到的相形态利用傅里叶变换可以计算出此时体系的结构因子,具体形式为:S(k,t) =〈φ(k,t)φ(-k,t)〉(27)其中,k=|k|是波矢k在Fourier空间的模,将实空间的结果变换到Fourier空间的结构因子能够提取图象的基本特征,将所得的结构因子进行逆Fourier变换可得到系统的相关长度[18].在此基础上,定义相区尺寸为[19]:R(t) =2π∫S(k,t)dk∫kS(k,t)dk(28)从相区尺寸R(t)随时间的变化就可以得到相态演化的足够信息.采用参数χ=1,NA=NB=10.为验证模拟的准确性,用相区尺寸R(t)随时间的变化作图(如图1),将本模型的模拟结果与动态自洽场的结果进行了比较[16].为简化起见,这里不考虑流体整体的流动,只考虑扩散过程.从模拟结果来看,在只考虑扩散过程的情况下,我们的模型与采用实空间数值解法的动态自洽场结果非常一致.2·2嵌段聚合物微观相分离过程的动力学模拟嵌段聚合物的微相分离与聚合物共混物的宏观相分离不同,由于不同单体间存在化学键的连接,其相分离后期的相区尺寸增长指数目前并没有统一的结论[4].对于微相分离,黏度对相区尺寸后期增长指数的影响与聚合物共混物的宏观相分离不同.图2为不同黏度下体系微相分离的相区增长关系对比,从结果可以看出,曲线的斜率始终小于1/3,而且,曲线间斜率相差不大.与共混物的宏观相分离过程相比[9],流体流动对微观相分离的影响较小,这与采用耗散粒子动力学模拟方法Fig. 1 Evolution of the domain size with parametersθ=0·01,τ=251,χ=1,NA=NB=10得到的结果一致[20].其产生原因在于,对于宏观相分离,相分离后期的增长指数取决于流体流动与扩散作用的竞争.而嵌段聚合物由于不同单体间有化学键相连,限制了单体的运动,微相分离受高分子链中单体相对运动的影响,链的总体移动对微相分离产生的贡献很小,因此,流体流动对微相分离后期相区尺寸增长指数的影响要比宏观相分离为小.Fig. 2 Simulation results of our model for block copolymers withparametersθ=0·1,NA=NB=10嵌段聚合物的链长N和不同单体间的相互作用参数χ是决定其平衡相图的重要因素,对于微观相分离的动力学过程有重要影响.图3为分别改变χ与N的模拟结果.从图中发现,随着χ与N的改变,曲线的位置与高度都发生了变化.在以前的工作中,我们针对二元聚合物共混物,通过由临界现象假设得到的约化空间尺度和时间单位,将采用不同χ或N所得到的模拟结果约化后归一到同一条曲线上,得到了χ与N的改变并不能影响到聚合物共混物相分离后期增长指数的结论[9],并验证了Oono等提出的假设[21].对于嵌段聚合物,同样有必要讨论χ和N对相区尺寸增长指数的影响.前人多采用基于Ginzburg-Landau方程的模型,根据维象参数来约化[22],对于本文采用的基于自洽场理论的自由能形式,由于嵌段共聚物的微相分离难以采用Oono等提出的约化空间尺度和时间单位,我们根据维象参数与χ或N的关系得到了类似的约化单位.微观相分离达到平衡后的相区尺寸要比宏观相分离的尺寸小得多,一般远小于模拟所采用的格子尺寸,因此,适宜采用最终平衡后所得的相区尺寸来对微相分离过程中的相区尺寸进行约化,这是微相分离模拟中较常采用的约化方式[22].因为模型达到平衡所需时间较长,本文采用约化后时间t′=600时的相区尺寸Rt′=600,得到的约化形式如下:R′(t)=R(t)/Rt′=600(29)t′=χ2t(30)Fig. 3 Evolution of the domain size with parametersθ=0·01,τ=251 图4为改变单体间的相互作用参数,同时保持其它参数不变,在128×128的格子上模拟得到的约化结果.由图4可知,当保持其它参数不变,而单独改变χ,约化后的结果基本可以归一到同一条曲线上,这表明嵌段共聚物相区的后期增长机理与单体间的相互作用参数无关,这个结论与共混物体系类似.图5为改变聚合物的链长,同时保持其它参数不变得到的约化模拟结果,由图5发现,所得曲线的斜率并不一致,所以,不可能归一到同一条曲线上,这与其它基于Ginzburg-Landau方程的模型的结果并不一致,但曲线斜率的差别很小.对于一般的嵌段共聚物来说,链长N对微观相分离后期相区尺寸增长指数的影响要远小于流体黏度的影响.事实上,自洽场理论与Landau自由能形式有天然的联系,通过数学分析并在特定条件下,可将自洽场理论基本方程的解转化为Landau自由能形式的方程[23].Landau自由能形式只考虑了一阶相关,可视为忽略了高阶关联的自洽场理论基本方程的一个解.本模型以自洽场理论为基础,与基于Landau自由能形式的模型相比具有一定的优势,因此,这种由链长N不同所导致的相区尺寸增长指数的微小改变也是可能的.由于篇幅的限制,这种与基于Landau自由能形式模型的模拟结果产生差异的原因,将在后续的文章中讨论.最后,在χN=20的条件下,改变N,得到的模拟结果在图6中给出,结果表明,曲线斜率仍然存在微小的差异,但曲线近似约化到同一条曲线上,这进一步验证了由图5得到的结论,并证实了本文提出的约化方式的有效性.3 结论本文在自由能LBM的基础上,为处理高分子体系,通过自洽场理论的引入,实现了针对嵌段共聚物微相分离行为的模拟.为验证模拟的准确性,采用相区尺寸R随时间的变化作图,将本模型的模拟结果与动态自洽场的结果进行了比较.此外,我们还对对称二嵌段共聚物微相分离后期的相区增长过程进行了模拟,结果表明流体的黏度是影响相区后期增长指数的重要因素.在此基础上,我们探讨了分相后期,相区尺寸随时间的增长指数与高分子链长和Flory-Huggins相互作用参数的关系.结果表明相区的后期增长机理与Flory-Huggins相互作用参数关系不大.此外,随着高分子链长的改变,相区尺寸的增长指数也会有微小的改变,这与前人基于Ginzburg-Landau方程模型的结果不同.产生这种变化的原因将在后续的文章中进一步讨论.。
格子boltzmann方法的原理与应用
格子Boltzmann方法的原理与应用1. 原理介绍格子Boltzmann方法（Lattice Boltzmann Method）是一种基于格子空间的流体模拟方法。
它是通过离散化输运方程，以微分方程的形式描述气体或流体的宏观运动行为，通过在格子点上的分布函数进行更新来模拟流体的动态行为。
格子Boltzmann方法的基本原理可以总结为以下几点：1.分布函数：格子Boltzmann方法中，将流场看作是由离散的分布函数表示的，分布函数描述了在各个速度方向上的分布情况。
通过更新分布函数，模拟流体的宏观行为。
2.离散化模型：为了将连续的流场问题转化为离散的问题，格子Boltzmann方法将流场划分为一个个的格子点，每个格子点上都有一个对应的分布函数。
通过对分布函数进行离散化，实现流场的模拟。
3.背离平衡态：格子Boltzmann方法假设流体运动迅速趋于平衡态，即分布函数以指定的速度在各个方向上收敛到平衡分布。
通过在更新分布函数时引入碰撞过程，模拟流体的运动过程。
4.离散速度模型：分布函数描述了流体在各个速度方向上的分布情况，而格子Boltzmann方法中使用的离散速度模型决定了分布函数的更新方式。
常见的离散速度模型有D2Q9、D3Q15等。
2. 应用领域格子Boltzmann方法作为一种计算流体力学方法，已经在各个领域得到了广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：2.1 流体力学模拟格子Boltzmann方法具有良好的可并行性和模拟精度，适用于复杂流体流动的模拟。
它可以用于模拟包括自由表面流动、多相流动、多物理场耦合等在内的各种复杂流体力学问题。
2.2 细胞生物力学研究格子Boltzmann方法在细胞力学研究中也有广泛应用。
通过模拟流体在细胞表面的流动，可以研究细胞运动、变形和介观流的形成机制。
格子Boltzmann方法在细胞生物力学领域的应用已成为一个重要的研究方向。
2.3 多相流模拟格子Boltzmann方法在多相流动模拟中的应用也非常广泛。
格子boltzmann方法
格子boltzmann方法格子玻尔兹曼方法是一种常用的数值计算方法，它主要用于模拟稀薄气体等流体力学问题。
下面我将从方法原理、模拟过程和应用领域三个方面详细介绍格子玻尔兹曼方法。
首先，格子玻尔兹曼方法基于玻尔兹曼方程和格子Boltzmann方程，通过将连续的物理系统离散化为网格系统进行模拟。
网格系统中的每个格子代表一个微观粒子的状态，而碰撞、传输和外部力的作用通过计算和更新这些格子的状态来实现。
该方法主要包含两个步骤：碰撞和传输。
在碰撞过程中，格子中的粒子通过相互作用和碰撞来改变其速度和方向，从而模拟了分子之间的碰撞过程。
在传输过程中，碰撞后的粒子根据流体的速度场进行移动，从而模拟了背景流场对粒子运动的影响。
其次，在格子玻尔兹曼方法中，模拟的过程可以简化为两个部分：演化和碰撞。
在每个时间步长内，系统首先根据粒子速度和位置的信息计算出相应格点上的分布函数，然后通过碰撞步骤更新这些分布函数以模拟粒子之间的碰撞效应。
通过迭代演化和碰撞步骤，系统的宏观行为可以得到。
格子玻尔兹曼方法中最常用的碰撞操作是BGK碰撞算子，它根据粒子的速度和位置信息计算出新的分布函数，并用该新分布函数代替原来的分布函数。
而在传输过程中，粒子通过碰撞后得到的新速度和方向进行移动。
最后，格子玻尔兹曼方法在流体力学领域具有广泛的应用，特别是在稀薄气体流动、微纳尺度流动和多相流等问题中。
由于其适用于模拟分子尺度和介观尺度流动问题，因此在利用普通的Navier-Stokes方程难以模拟的问题中表现出了良好的效果。
此外，格子玻尔兹曼方法还可以用于模拟流动中的热传导问题、气体分子在多孔介质中的传输问题以及颗粒与流体相互作用等多种复杂流动现象。
近年来，随着计算机性能的不断提高，格子玻尔兹曼方法也得到了快速发展，在模拟大规模真实流体问题方面取得了不错的结果。
总结来说，格子玻尔兹曼方法通过将连续的物理系统离散化为网格系统，模拟粒子碰撞和传输过程，实现了对流体力学问题的数值模拟。