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平方根和开平方（提高）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果 x2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根.求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数 . 平方与开平方互为逆运算.

2. 算术平方根的定义

正数a 的两个平方根可以用“ a ”表示，其中 a 表示a 的正平方根（又叫算术平

方根），读作“根号 a ”； a 表示a 的负平方根，读作“负根号 a ”.

要点诠释：当式子 a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即 a ≥0， a ≥0.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（ 1）定义不同；（ 2）结果不同： a 和 a

2．联系：（ 1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3） 0 的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（ 1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平

方根；负数没有平方根．

（ 2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

a a 0

a2 | a | 0 a 0

a a 0

2

a a a 0

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动 1 位 . 例如：62500 250 ，625 25 ， 6.25 2.5 ，0.06250.25 .

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、（2016?

的平方根为± 2，3x+y-1 的平方根为± 4，求， 3x+5y 饶平县期末）已知 x-1

的算术平方根．

【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．

【答案与解析】

解：由 x-1 的平方根为±2，得 x-1=4 ，x=5

由 3x+y-1 的平方根为± 4，得 3x+y-1=16 ，

∵ x=5

∴ 3× 5+y-1=16 ，

解得 y＝ 2，

∴ 3x+5y=25

25 的算是平方根为 5.

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．

举一反三：

【变式】已知 2 a－ 1 与－a＋ 2 是m的平方根，求m的值 .

【答案】 2 a－1 与－a＋2 是m的平方根，所以 2 a－ 1 与－a＋ 2 相等或互为相反数 .

解：①当 2 a－ 1＝－a＋ 2 时，a＝1，所以m＝

2

2 1

2

1

2a 1 1

2

[2 ( 1) 1]2

2

9

②当 2 a－ 1＋（－a＋2）＝ 0 时，a＝－ 1，所以2a 1 3

2、x为何值时，下列各式有意义？

(1) x2；(2) x 4 ；(3) x 1 1 x ；(4) x 1 ．

x 3

【答案与解析】

解： (1) 因为x2 0 ，所以当 x 取任何值时，x2 都有意义．

(2) 由题意可知：x 4 0 ，所以 x 4 时，x 4 有意义．

(3)由题意可知：义．

(4)由题意可知：x 1 0

1 x 1 ．所以 1 x 1 时x 1 1 x 有意1 x

解得：

x 1 0

1且 x 3 ．

x 3

，解得 x

所以当 x 1且 x 3 时

x 1

有意义．x 3

【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2) 当分母中含有字母时，只有当分母不为 0 时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知 b

4 3a 2 2 2 3a

2 ，求 1 1 的算术平方根．

a b

【答案】

解：根据题意，得

3a 2 0,

则 a

2 ，所以 b ＝ 2，∴

1 1 3 1

2 ， 2 3a 0.

3 a b

2

2

∴

1

1 的算术平方根为

1

1

2 ．

a

b

a

b

类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值．

(1)

252 242

32 42 ； (2)

20 1 1 0.36 1 900 ．

4 3 5

【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义 . （ 2）注意运算顺序 .

【答案与解析】

解： (1)

252 242

32 42

49 25 7 5 35 ；

(2)

20

1

1

0.36 1 900

81 1 0.6 1 30

9 0.2 6

1.7 ．

4 3

5 4 3 5

2

【总结升华】 (1) 混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先

后顺序进行． (2) 初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根

据 a 2

a(a

0) 来解．

类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的 x .

（ 1） x 2

361 0;

（ 2） x 1

2

289 ；

2 64 0

（ 3） 9 3x 2 【答案与解析】

解：（ 1）∵ x 2

361 0

∴ x 2 361

∴ x

361

19

2

（ 2）∵

x 1

289

∴ x 1289 ∴x ＋1＝±17

x＝ 16 或x＝－ 18.

（ 3）∵9 3x 2 2

64 0

∴

3x

2 64 2 9

∴ 3x 2 8 3

∴ x 2

或

x 14 9 9

【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

举一反三：

【变式】（ 2015 春 ?乌兰察布校级期中）求x 的值：（ x﹣ 2）2

=4．

【答案】解：∵，

2

∴（ x﹣ 2） =36 ，

∴x﹣ 2=6 或 x﹣ 2=﹣ 6，

解得： x1=8， x2=﹣ 4．

类型四、平方根的综合应用

5、（2014 秋?沙坪坝区校级期末）若x， y 为实数，且满足．求

的值．

【答案与解析】

解：∵+|y﹣ |=0，

∴ x= ， y= ，

2

1 +

2 1

+

1

+

1

= 1=1．

则原式 = 4 1 +4 1 1 =

4 4 2 2 4 2 4

【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x， y，然后代入求值即可 .

举一反三：

【变式】若x2 1 y 1 0 ，求x2011 y2012 的值．

【答案】

解：由 x2 1 y 1 0 ，得x2 1 0 ， y 1 0 ，即x 1 ， y1．

①当 x ＝1，y＝－1时， x2011 y2012 12011 ( 1)2012 2 ．

②当 x ＝－1，y＝－1时， x2011 y2012 ( 1)2011 ( 1)2012 0 ．

6、小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2

的长方形纸片，使它长宽之比为

的长方形纸片 .

【答案与解析】

解：设长方形纸片的长为 3 x ( x＞ 0) 3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求cm ，则宽为2 x cm ，依题意得

3x 2x 300 .

6x2 300 .

x250 .

∵x ＞0，

∴ x50 .

∴长方形纸片的长为 3 50 cm .

∵50 ＞ 49,

∴50 7.

∴ 3 50 21 ,即长方形纸片的长大于20 cm .

由正方形纸片的面积为400 cm2 , 可知其边长为 20 cm ,

∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20 cm 的正方形纸片裁出长方形纸片 .