§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
电子自旋算符和自旋函数
得：b = c* (或c = b*)
| c |2 0 0 | c |2
0 c* x c 0
x
2
0 c 0 c c 0 c 0
* *
I
| c |2 1
令c = exp[iα ] α 为实，则
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
自旋角动量满足的对易关系是：
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
2
ˆ ˆ ˆ S S iS
(7.2 1)
ˆ ,S ˆ ] iS ˆ [ S x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S iS [ S y , S z ] iS x [ S ˆ ,S ˆ ] iS ˆ y z x
最后得 SZ 的矩阵 形式
1 0 Sz 2 0 1
（7.2-21） （7.2-22）
Pauli算符的矩阵形式 根据定义
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
2
1 0 ˆz 0 1
2 2 2 Sx Sy S z2 . 4
(7.2 3)
2
所以，
3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz 4
2
(7.2 4)
令 S s(s 1) (7.2 5) 2 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 比较，可知s与角量子数 l 相当，我们称s为自旋量子数。但 这里s只能取一个数值，即s=1/2.
S z 1 2 1
2
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
电子的自旋算符与自旋波函数
e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
第21讲6电子自旋单三重态3
ˆ ˆ2 J,J 2 2 =0 ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ2 J,J ,J1 ＝ J1 +J2 +2J1 J2 ,J1 =0 1 = J1 +J 2 ˆ2 ˆ2 ˆ J J J ˆ ,J ˆ ,J ˆ ,J =0 =0 =0 z 1 z 2 z 2
2
1
3 2 ˆ1x 1 s1z s ˆ2 x 1 s 2z 2[s 2 2 2 ˆ1y 1 s1z s ˆ2 y 1 s 2 z s ˆ1z 1 s1z s ˆ2 z 1 s 2 z ] s
2 (1) 2 2 S 2 2 2
• §6.1 • §6.2 • §6.3
提纲
电子自旋 电子的自旋算符和自旋函数 自旋单态和自旋三重态
第21讲 第六章 自旋和角动量
§6.3 自旋单态和自旋三重态 作业：6.8
结束
§6.3 自旋单态和自旋三重态
• 引言 • 研究体系 • 两自旋角动量的耦合—单态和三重态的概 念 • 耦合表象中自旋平方和分量的本征值 返回
jmin = j1 -j2
j=j1 +j2 ,j1 +j2 -1,..., j1 -j2
返回
研究体系
两粒子体系，自旋都是1／2的粒子 哈密顿算符不含自旋 总自旋波函数特点：
s1z ,s2 z s1z s2 z
1 2
等于每一个粒子的自旋波函数的乘积。
返回
两自旋角动量的耦合—单态和三重态的概念
耦合表象中自旋平方和分量的本征值
结论之二：三个对称波函数的区别（三重态） 共性：两个粒子的自旋都平行P265 ˆ 作用在对称波函数上时本征值分别是 S 、 - 、 0 z 1 S 自旋都平行于z轴，方向都朝上； 2 S 自旋都反平行于z轴，方向都朝下； 3 S 自旋虽平行，但与z轴不平行，合成后 的总自旋角动量与z轴垂直，z轴分量为零。
自旋角动量算符
自旋角动量算符是描述电子内禀属性自旋角动量的算符。
自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对应，不能象轨道角动量一样写成r 和p的函数，而是描述电子状态的又一个新的力学量。
自旋角动量算符与轨道角动量算符的对易关系一致，因此可以利用角动量的定义和性质来研究自旋角动量。
自旋角动量的分量算符s^x、s^y、s^z具有和轨道角动量算符分量一样的对易关系，即有[s^i,s^j]=iϵij ks^k。
类似地，我们也可以定义自旋算符s^+=s^x+is^y和s−=s^x−is^y，它们满足的对易关系为[s^+,s−]=2s^z。
同时，自旋算符的本征值σ称为自旋变量，它是算符s^z的本征值的可能取值的集合。
当给定自旋角动量的模量平方s2时，s2=s(s+1)。
由于算符s^z的本征值之差必为一个整数，且当σs可取的最大值为s时，相应地有s^z的本征值可取的最小值为−s。
因此必有2s=n为一个非负整数，故有s的可取值为n/2，即s既可以是一个整数，也可以是一个半整数。
当给定s时，σ的取值可以是s, s−1,..., −s，共有2s+1种可能，这表明自旋为s的粒子的波函数共有2s+1个分量。
两个电子的自旋态和自旋算符
(3)
S ^ xχS
(1)
=
1 2 1 0
在两电子自旋的相互作用可以忽略的条件下 ,也可以用另一种数学形式来写以上各式 : 把两电子自 旋态矢量 χ( s1 z , s2 z ) 表示为两个二行一列矩阵 ( 一个电子的自旋态矢量 ) 并列写在一起 , 每个电子的各 种自旋算符以二行二列矩阵来表示 . 矩阵式的下标 1 或 2 分别表示对于第一个电子或第二个电子的自 旋态矢量或自旋算符 . 两电子的自旋算符作用于两电子自旋态矢量可以这样运算 : 第一个电子的自旋算 符只作用于第一个电子的自旋态矢量 ,与第二个电子的自旋态矢量无关 ; 第二个电子的自旋算符只作用 于第二个电子的自旋态矢量 ,与第一个电子的自旋态矢量无关 . 在运算以后仍然是两个二行一列矩阵并
…
bm b1
…
a1 bm a2 b1 a2 b2
a1
b1 b2
| A〉 | B 〉=
a2
…
an
…
bm
=
a2 ×
b2
…
bm
=
…
a2 bm a3 b1
( 5)
…
b1 an × b2
…
a n b1
…
bm
…
a n bm
2 两个电子的自旋态和各种自旋算符的矩阵表示式
一个电子的自旋算符 S ^ 1z 或 S ^ 2 z 的本征矢在 S 1 z 或 S 2 z 表象中的表示由下列矩阵式给出 : χ1 ( s1 z ) = 2 χ1 ( s2 z ) = 2
第4期
朱振和 : 两个电子的自旋态和自旋算符
299
χS χS χS
(3) (2)
(1)
( s1 z ) χ1 ( s2 z ) , = χ1 2 2 = χ1 2
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§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
重点：
自旋算符和波函数的引入及意义
（一）自旋算符
与轨道角动量满足同样的对易关系：
（6.2-1a）
分量式为：
（6.2-1b）
及
（6.2-2）
由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即
（6.2-3）
仿照轨道角动量z方向分量算符的本征值用磁量子数示的式子，可以把的本征值表为
（6.2-4）
其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：
所以的本征值是
（6.2-5）
仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成
（6.2-6）
比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数
电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为
（6.2-7）
由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数
（6.2-8）
根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为
（6.2-9）
当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时和对x、y、z的依赖关系是相同时，我们可以把分离变量为：
（6.2-10）
式中是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和的本征态，则本征值方程为
（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即
（6.2-13）
显然，对于本征值为的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自旋为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为
（6.2-14）相似地有
（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示
（6.2-16）则
（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而
（6.2-18）
是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为
（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示
（6.2-20）其共厄矩阵为
（6.2-21）正交归一关系为
（6.2-22）
当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
为了使公式的形式和运算过程简洁，引入泡利算符以代替，它和的关系为
（6.2-23a）或
（6.2-23b）
根据（6.2-1a）及（6.2-1b）式，可知满足下列对关系
（6.2-24a）
或
（6.2-24b）
由（6.2-3）式知的本征值都是，故的本征值都是因而的取值只能为1，即
（6.2-25）由（6.2-24b）及（6.2-25）式容易得到以下关系
（6.2-26）泡利算符可表示为下的矩阵形式：
（6.2-27）。