高中数学课件：第三章 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 利用简单的线性规划求最值

CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
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(2)z表示直线l：y－ax＝z在y轴上的截距，且直线l与
(1)中所求区域有公共点．∵a>－1，∴当直线l过顶点C时，
z最大，∵C点的坐标为(－3,7)．
∴z的最大值为7＋3a.
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如果－1<a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，z最 小，即z最小值为－1－2a. 如果a>2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，z最小，最小 值为1－3a.
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
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[自主解答]
作出可行域如图：
令z＝0，作直线l：2x＋3y＝0， 当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值 随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y 取得最小值．
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从图中可以看出，顶点B是直线
X＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标
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4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
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[研一题] x≥－3， y≥－4， 设 x、y 满足约束条件 －4x＋3y≤12， 4x＋3y≤36，
[例 1]
zmin＝－1－2a.
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[错因]
这位同学所作平面区域完全正确．遗憾的是
在求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误．,
这种参数与斜率有关的问题，求解时可先作出线性约束条
件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一
般情况下需分类讨论，如本题中可将条件a>－1分为－
1<a≤2和a>2两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求
解的结果才是完美的答案． 返回
[正解]
(1)已知的不等式组等
1≤x＋y≤4， 价于y＋2≥2x－3， 2x－3≥0 1≤x＋y≤4， 或y＋2≥3－2x 2x－3<0
，……
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解得点(x，y)所在的平面区域为图中所示的阴影部
分(含边界)．其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；
的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
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在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
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解：如例3中的图，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值 的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4平行， 此时a＝1.
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2．将目标函数的直线平移时，应注意什么？ 提示：在平移过程中，要特别注意可行域各边的斜 率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判 断最优解的位置．
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3．在线性目标函数z＝x＋y中，目标函数z的最大、最小值
与截距的对应关系是怎样的？
提示：z的最大值对应截距的最大值，z的最小值对应截
距的最小值．
，则目标函
(
)
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解析：作出可行域如图．
x－y＋2＝0， 由 x＋y－8＝0，
解得 M(3,5)， 3 1 由 z＝3x－4y 即 y＝4x－4z，
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3 作出直线 y＝4x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3)． 所以当 x＝3，y＝5 时，zmin＝－11； 当 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
课前预习·巧设计
第 三 章 不 等 式
3.3.2
第一 课时
简单 的线 性规 划问 题
利用 简单 的线 性规 划求 最值
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一
考点二
考点三
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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返回Biblioteka 回[读教材·填要点] 线性规划中的基本概念 名称 意义
答案：A
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[研一题] x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
[例 2]
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的取值范围． x＋1
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[自主解答]
作出可行域如图，并求
出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值|MN| ＝2.
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[错解]
1≤x＋y≤4， (1) y＋2≥|2x－3|
⇔
1≤x＋y≤4， y＋2≥2x－3， 2x－3≥0
1≤x＋y≤4， 或y＋2≥3－2x， 2x－3<0.
点(x，y)所在平面区域如图．
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(2)目标函数z＝y－ax，即l：y＝ax＋z知 求z的最值转化为求y＝ax＋z截距的最值． 分析知：当l过C点时，y＝ax＋z截距最大． 又C(－3,7)， ∴zmax＝7＋3a.同理当l过A(2，－1)时，
下，目
标函数 z＝x＋5y 的最大值为 4，则 m 的值为________．
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1 m 解：画出可行域如图，可知 z＝x＋5y 在点 A( ， ) 1＋m 1＋m 取最大值为 4，解得 m＝3.
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设实数 x，y 满足不等式组
1≤x＋y≤4， y＋2≥|2x－3|.
(1)画出点(x，y)所在平面区域； (2)设 a>－1，在(1)所求的区域内，求函数 z＝y－ax 的最 大值和最小值．
意义 使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解
线性规划 在 线性约束 条件下求线性目标函数的最大
问题 值或最小值问题
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[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
1≤x＋y≤4， 已知变量 x， 满足约束条件 y －2≤x－y≤2，
[例 3]
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，求 a 的取值范围．
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[自主解答]
由约束条件画出可行域(如图所示)为矩
形ABCD(包括边界)．
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点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上
距离的平方．由图象可知可行域内的A点到原点(0,0)的距离
最大，A点为直线x－2y＋7＝0与4x－3y－12＝0的交点．
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x－2y＋7＝0， 解方程组 4x－3y－12＝0，
得到 A 点的坐标为(9,8)，
代入 z＝x2＋y2，得 zmax＝x2＋y2＝81＋64＝145.
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[研一题]
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[通一类] x－2y＋7≥0， 2．已知 x，y 满足条件4x－3y－12≤0， x＋2y－3≥0， 最大值．
求 z＝x2＋y2 的
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解：作出直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12
＝0.x＋2y－3＝0，根据不等式组确定
可行域如图阴影部分．
把z＝x2＋y2看作点(x，y)到原点(0,0)的
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[悟一法] 已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思 维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求 解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
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[通一类] y≥x， 3．(2011· 湖南高考)设 m>1，在约束条件y≤mx， x＋y≤1
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[悟一法] 一般地，设目标函数为z＝ax＋by＋c，当b>0时，把 直线l：ax＋by＝0向上平移，所对应的z随之增大；把l向
下平移时，所对应的z随之减小．当b<0时，结论相反．
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[通一类] x－y＋2≥0， 1．设变量 x、y 满足约束条件x－5y＋10≤0 x＋y－8≤0， 数 z＝3x－4y 的最大值和最小值分别为 A．3，－11 C．11，－3 B．－3，－11 D．11,3
为(－3，－4)；
当把l向上平移时，所对应的z＝ 2x＋3y的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D 时，z＝2x＋3y取得最大值．
返回
顶点 D 是直线－4x＋3y＝12 与直线 4x＋3y＝36 的交点，
－4x＋3y＝12 解方程组 4x＋3y＝36
，得 D(3,8)．
此时，顶点 B(－3，－4)与顶点 D(3,8)为最优解，所以， zmin＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18； zmax＝2×3＋3×8＝30.
约束条件 关于变量x、y的 不等式(组)
线性约 束条件 目标函数 由x，y的 一次 不等式组成的不等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函 数解析式 返回
名称 线性目标
意义 关于x，y的 一次 解析式 满足 线性约束条件 的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合
函数
可行解 可行域
返回
名称 最优解
2
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1 y－－2 (2)z＝2· 表示可行域内任一点(x， y)与定点 Q(－ x－－1 1 7 3 1，－2)连线的斜率的两倍，且 kQA＝4，kQB＝8， 3 7 所以 z 的取值范围为[4，2]．
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[悟一法] y－b (1)若目标函数为形如 z＝ ，可考虑(a，b)与(x，y)两 x－a 点连线的斜率． (2)若目标函数为形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y) 与(a，b)两点距离的平方．
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