Z3、圆锥曲线与解析几何a1、抛物线

【易】抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ） A ．18B.18-C.8D.8-【解析】B【易】顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(4,2)P --的抛物线的标准方程是（ ） A ．2y x = B.28x y =-C.28y x =-或2x y =-D.2y x =-或28x y =-【解析】D7.（2010·）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为L ，P 为抛物线上一点，PA L ⊥，A 为垂足，如果直线的斜率为3-，那么PF =( ) A.43 B.8C.83D.16【解析】B188.如图，过抛物线218y x =的焦点且斜率为12-的直线交抛物线与圆()2224x y +-=分别于A .D 和B .C 四点，则AB CD ⋅=（ ） A.4 B. 2C.1D.不能确定【解析】特殊值法A（2014·南昌模拟）已知抛物线()220y px p =>的焦点F 与椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ,且TF 与x 轴垂直,则椭圆的离心率为（ ） A.212-B.21-C.31-D.312- 84. （2015·河南模拟）已知抛物线的24y x =焦点F ，A .B 是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与X 轴的交点是()4,0，则AB 是最大值（ ） A. 2 B.4 C.6 D.10【解答】解：∵抛物线24y x =的焦点()1,0F ，设()11,A x y ()22,B x y ，∵线段AB 的垂直平分线恰过点()4,0M ，∴22MA MB =，即()()2222112244x y x y -+=-+，又2114y x =，224y x =，代入并展开得：2211222161848164x x x x x x +-+=-++，即22121244x x x x -=-，又12x x ≠，124x x +=，∴线段AB 中点的横坐标为()12122x x +=， ∴1242622p p AB AF BF x x ⎛⎫⎛⎫≤+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ 当A ，B ，F 三点共线里取等号 ）即AB 是最大值为6. 故选：C.（ 2015·成都模拟 ）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，直线240x y -+=与C 交于A .B 两点，则sin AFB ∠=（ ）A.45B.35C.34D.55125. （2015·湖南模拟）已知抛物线C ：24y x =，(),0P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=︒，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()4,8B. ()4,+∞C. ()0,4D.()8,+∞【解析】B ，设(,),1,4y yQ x y m x x x m⋅=-=+-144. （2015·河北模拟）已知抛物线C :24y x =上一点P ，若以为圆心P ，PO 为半径作圆与抛物线的准线L 交于不同的两点M .N ，设准线L 与x 轴的交点为A ，则11AM AN+的取值范围是（ ） A. ()0,2 B.()2,+∞C. ()0,22D.()22,+∞【解析】A【解答】解:设20,04y p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆P 的方程为()224220000416y y x y y y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭， 令1x =-,得2202002y y y y -+=, 设()1,1M y -，()1,2N y -，则201212y y y =+，1220y y y +=，22040y ∆=->，202y >，∴1211421200y y AM AN y y y y ++==+, 令()02t y t =>，则42y t t=+在()2,+∞上单调递减，∴()40,22y t t=∈+，∴11AM AN+的取值范围是()0,2. 17. （ 2014· 江北校级模拟）如图,已知半圆的直径20AB =，l 为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点T ，4AT =，半圆上相异两点M .N 与直线l 的距离MP .NQ 满足条件1MP NQMANA==，则AM AN +的值为（ ） A. 22B.20C. 18D.1618. （2013·天水校级三模）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线1C 的离心率为e ，直线L 与双曲线1C 交于A .B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线()220y px p =>上，且M 到抛物线焦点的距离为P ,则l 的斜率为（ ）A.212e -B.21e -C. 212e +D.21e +【解析】A法一：222221(1)y kx mx y a a e =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩，联立得1202221x x km x e k +==-- 又因为002p x y p⎧=⎪⎨⎪=⎩，得212e k -=法二：点差法【解答】解：∵ M 在抛物线()220y px p =>上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则有抛物线的定义可得，2M px p +=， ∴M 的横坐标为2p ，∴,2P M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设 (11)A x y ，，(22)B x y ，， 即有12x x p +=，122y y p +=，则2222111x y a b -=，2222221x y a b-=，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得()()2212212o p x x p y y a b---= ∴直线l 的斜率为22222212112222y y b c a e x x a a ---===-故选A.24. （2013·浙江模拟）已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到轴距离和最小值是（ ） A.171+B.172-C.52+D.171-【解析】B（2011·黑龙江校级一模）已知抛物线()22 0y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A .B 两点，'A .'B 分别为A .B 在l 上的射影，M 为'A 'B 的中点，给出下列命题: ①''A F B F ⊥； ②AM BM ⊥； ③'//A F BM ；④'F A 与AM 的交点在y 轴上； ⑤AB'与A'B 交干原点． 其中真命题的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个D.5个（2015·江西模拟）已知抛物线C ：24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为整数且不超过2015的弦的条数是（ ） A. 4024 B.4023 C. 2012D.2015（2016·沈阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，A ．B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为（ ）A.33B.833C.433D.233（2015·鹰潭二模）已知点()1,0A -，()1,0B 及抛物线24y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值（ ）A. 3B.2C.3 D.2（2015·腾冲县一模）已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则AFO ∆与BFO ∆面积之和的最小值（ ）A.28B.24` C.22D.2【解析】2212121212122,2,2x x y y y y y y y y +=+==-， 1212111()244S y y y y =⋅-≥- （2015·乌鲁木齐模拟）过抛物线()220y px p =>的焦点l 的直线抛物线A ．B ，于交其准线于点C ，若2BC BF = ，3AF =，则抛物线的方程为（ ）A.212y x =B. 29y x =C. 26y x =D. 23y x =（2010·海淀区校级模拟）椭圆1C :22221x y a b+=的左准线为l ,左．右焦点分别为1F ．2F ，抛物线2C 的准线焦点为与的一个交点为P ，线段2PF 的中点为G ，O 是坐标原点，则112OF OG PF PF -的值为（ ）A. 1-B. 1C. 12-D.1213. （2013·杭州模拟）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点A 做圆222x y b +=的切线，切点为B ，延长AB 交抛物线于24y ax =于点，若点B 恰为A ．C 中点，则ba的值为______.【解析】152+，22(2,2)C b a c b --，代入抛物线方程即可 （2015·上饶三模）已知抛物线28y x =为其上一点，点()5,0N ，点M 满足1MN =，0MN MP ⋅= ，则MP的最小值为（ ）A.3B.4C.23D.26【考点】抛物线的简单性质．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义．性质与方程．【分析】由1MN = ，0MN MP ⋅=，可得M 在以()5,0N 为圆心，l 为半径的圆上，MN MP ⊥，即MP 为圆的切线，由勾股定理和两点的距离的公式，结合二次函数的最值，即可得到所求最小值。

【解答】解：由1MN = ，0MN MP ⋅= ，L 为半径的圆上，MN MP ⊥，即MP 为圆的切线，由勾股定理得22221MP NP MNNP =-=-，要求MP 的最小值，只要求NP的最小值．设21,8P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()22222115824864NP n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当28n =即22n =±时，NP 取得得最小值,且为26， 即有MP 取得最小值23（ ） 故选C ．（2015·唐山三模）M 为抛物线28y x =上一点,F 为抛物线的焦点，120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），，则直线MN 的斜率为（ ） A. 13+B. 12+C. 32+D. 22+（2015·衡阳二模）如图曲线1C 是以原点O 为中心，1F ．2F 为焦点的椭圆的一部分．曲线2C 是以O 为顶点，2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线和交点且21AF F ∠为钝角若172AF =，252AF = （Ⅰ）求曲线1C 和2C 的方程； （Ⅱ）设点C 是2C 上一点，若122CF CF =，求12CF F ∆的面积（2015·揭阳校级期中）已知抛物线()()31916y x x =---与x 轴交于A ．B 两点，对称轴与抛物线交于点C ，与x 轴交于点D ，C 的半径为2，G 为C 上一动点，P 为AG 的中点，则的DP 最大值为（ ）A.72B.412C.342D.233 抛物线的几何性质是运用【例8】已知抛物线C 的方程是2162310x y y --+=． （1）求x 与y 与的取值范围；（2）求C 的对称轴方程；（3）求C 的顶点'O 和焦点F 的坐标； （4）求C 的准线l 的方程；（5）当M 是C 上的一点，且M 到的l 距离是13时，求'MO F ∆的周长解答 抛物线C 的方程化为162310x y y --+=化为()()21162y x +=+其中216P =，42p=． （1）因为()220y mx m =>中，0x ≥，y R ∈，所以()()21162y x +=+中, 20x +≥，1y R +∈， 解得 2x ≥- ，y R ∈所以x 的取值范围是{}/2x x ≥-，y 的取值范围是R （2）因为抛物线()220y mx m =>的对称轴方程是0y =，所以抛物线()()21162y x +=+的对称轴方程是10y +=，即1y =-. （3）C 的顶点的坐标满足20,10,x y +=⎧⎨+=⎩即C 的顶点的坐标是()'2,1O --；C 的焦点的坐标满足24,10,x y +=⎧⎨+=⎩，即C 的焦点的坐标()2,1F -.（4）C 的准线l 方程是24x +=-，即6x =-. （5）因为M 到l 的距离为13， 所以 ()613M x --=，7M x =把7M x =代入C 的方程()()21162y x +=+，得 11M y =，13M x =-M 的坐标为()7,11或()7,13-时，'MO F ∆的周长是相等的.()()22'7211115MO =+++=，()'224OF =--=，13FM =（等于M 到准线的距离），所以'MO F ∆的周长是1541332++=2.求在抛物线()20y ax a =>的上方2y ax ≥与抛物线相切于原点的最大的圆的方程. 【解析】假设圆的方程为222()x y b b +-=，联立得到1(2)0y y b a-+=，由于圆和椭圆相切，所以关于y 的方程有两个相同的解，12b a =，则圆的方程为22211()24x y a a+-=。