2017年九年级数学上册 22.2 第5课时 判定两个直角三角形相似课件 (新版)沪科版
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九年级数学上册22.2第5课时判定两个直角三角形相似教案1沪科版
第5课时判定两个直角三角形相似1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；（重点）2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解；3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力;(难点)4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．一、情境导入1．到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？答：（1)两角对应相等的两个三角形相似；（2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3)三边对应成比例的两个三角形相似．2．判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例．还有没有其他的方法证明直角三角形相似？二、合作探究探究点一：判定两个直角三角形相似【类型一】判定两个直角三角形相似的特殊方法如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4,AC＝5。
在R t△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6,A′B′＝10。
求证：△ABC∽△B′C′A′。
解析：先求两直角三角形的斜边AC和A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比．证明:在Rt△ABC中,BC＝错误!＝错误!＝3，∴BCA′C ′＝错误!＝错误!.∵错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!。
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′。
【类型二】网格图中的直角三角形相似如图,下列四个三角形中，与△ABC相似的是( )解析：根据网格的特点,利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则AB＝错误!＝错误!，BC＝错误!＝错误!，AC ＝22＋22＝22，∴AB∶AC∶BC＝错误!∶2错误!∶错误!＝1∶2∶错误!，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三角形不是直角三角形,∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2,B选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．方法总结:以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．探究点二：直角三角形相似的计算如图,在△ABC中,∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P 从B出发沿BC以2cm/s的速度向C 移动，点Q从C出发,以1cm/s的速度向A移动,若P、Q分别从B、C同时出发,设运动时间为t s,当t为何值时,△CPQ与△CBA相似？解析：分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况,利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以错误!＝错误!，即错误!＝错误!,解得t＝4.8；当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB,所以错误!＝错误!,即错误!＝错误!，解得t＝错误!。
直角三角形相似课件
中等难度习题解析
总结词
提高解题技巧
详细描述
涉及一些较为复杂的计算问题等。
总结词
强化综合应用
详细描述
通过一些综合性的题目，让学生综合运用相似性质和判定定理解决复 杂问题，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。
高难度习题解析
总结词
随着科技的发展，直角三角形相 似原理将在更多领域得到应用和
推广。
教育方式的创新
随着教育技术的发展，将出现更 多创新的教育方式和方法，以帮 助学生更好地学习和掌握直角三
角形相似的知识。
如何更好地学习和掌握直角三角形相似的知识
理解基本概念
首先需要深入理解直角三角形 相似的基本概念和原理，包括 相似的定义、性质和判定方法
直角三角形相似ppt课件
目 录
• 直角三角形相似的基本概念 • 直角三角形相似的性质 • 直角三角形相似的应用 • 直角三角形相似的习题与解析 • 总结与展望
01
直角三角形相似的基本概 念
相似三角形的定义
相似三角形
两个三角形对应角相等，对应边 成比例，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边的比值，即相 似比。
相似三角形的性质
对应角相等
两个相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
两个相似三角形的对应边成比例，即相似比。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。
相似三角形的判定方法
01
02
03
角角判定
两个三角形有两个对应角 相等，则这两个三角形相 似。
边边判定
两个三角形有三边对应成 比例，则这两个三角形相 似。
如果一个直角三角形的两个锐角与另 一个直角三角形的两个锐角对应相等 ，那么这两个直角三角形相似。
22.2第5课时直角三角形相似的判定课件
故当 AB＝3 时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
小林给出的解法你认为正确吗？为什么？若不正确，请给
出正确的解答过程．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过 程如下： 分两种情况考虑： (1)在 Rt△ABC 和 Rt△ACD 中， 若 Rt△ABC∽Rt△ACD，则AACB＝AADC， ∴AB6 ＝ 26，解得 AB＝3.
判定 思路
顶角相等， 等腰三角形，找一对底角相等，
底和腰对应成比例
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
几 种 常 见 的 图
注：对于第5条双垂图中有：①AB2＝BD·BC； 形 ②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD.
但对于第6条中仅有AC2＝CD·BC
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定 反思
图22－2－14
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
[解析] 要说明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形， 观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B ＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例 即可．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°. 又∵C 是线段 BD 的中点，BD＝4， ∴BC＝CD＝2，∴CE＝ CD2＋DE2＝ 5. ∵AC＝2 5，BC＝2， ∴AC∶CE＝BC∶DE＝2∶1， ∴Rt△ABC∽Rt△CDE.
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
解：(1)Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.理由如下：
∵AA′CC′＝174＝2，BB′CC′＝63＝2，∴AA′CC′＝BB′CC′. 又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.
沪科版九年级数学上册课件：第22章 相似形22.2.5直角三角形相似的判定
解：证明：∵△CAB与△DEF都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝ ∠DEF＝∠F＝45°，而∠CEB＝∠DEF＋∠FEB＝∠A＋∠ACE， ∴∠ACE＝∠FEB，∴△ACE∽△BEG
18．(10分)如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延 长线于点E，交AB于点F.
求证：(1)△BAE∽△ACE； (2)AB2∶AC2＝BE∶CE.
11．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝3， AC＝3 5，则 AB 长为( B )
A．12 B．15 C．9 5 D．3＋3 5
12．如图，△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，一定能确定△ABC 为直角三角形 的条件的个数是( D )
①∠1＝∠A；②CADD＝CDDB；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5；⑤AC·BD ＝BC·CD
【综合应用】 19．(12分)(1)把两个含有45°角的直角三角形板如图1放置，点D在BC 上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE. (2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE， AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题(每小题4分，共16分) 13．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB，则_△__A__B_C__∽__△__D__B_E．
14．如图，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝4，AC＝6，当AD＝____9时， AC平分∠BAD.
15．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点， 若AG＝1，BF＝2，∠GHale Waihona Puke F＝90°，则GF的长为____． 3
18．(10分)如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延 长线于点E，交AB于点F.
求证：(1)△BAE∽△ACE； (2)AB2∶AC2＝BE∶CE.
11．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝3， AC＝3 5，则 AB 长为( B )
A．12 B．15 C．9 5 D．3＋3 5
12．如图，△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，一定能确定△ABC 为直角三角形 的条件的个数是( D )
①∠1＝∠A；②CADD＝CDDB；③∠B＋∠2＝90°；④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5；⑤AC·BD ＝BC·CD
【综合应用】 19．(12分)(1)把两个含有45°角的直角三角形板如图1放置，点D在BC 上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE. (2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE， AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题(每小题4分，共16分) 13．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，DE⊥AB，则_△__A__B_C__∽__△__D__B_E．
14．如图，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝4，AC＝6，当AD＝____9时， AC平分∠BAD.
15．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点， 若AG＝1，BF＝2，∠GHale Waihona Puke F＝90°，则GF的长为____． 3
九年级数学《直角三角形相似判定》课件
求证：ACB 900
3、如图,已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， 当BD与a，b 之间满足怎样的关系时，图中两个三角形相似？
第2题
A
a
C
b
第3题 B
D
∟
课堂小结
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形 相似的方法对直角三角形同样适用。
3.对于两个三角形相似，注意有几种对应方式。要多 角度看问题。
(3)几何语言：
C C ' 900 , AB A'B' BC B'C '
ABC∽ A'B'C '
C
A'
∟
B C'
B'
当堂检测
1、下列说法中正确的有哪些 所有的直角三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似； 有一个锐角相等的两个直角三角形相似；有两边对应成比例 的两个直角三角形相似
2、如图，已知CD为ABC的高，ACCD BC AD,
１ 学教新课
自学并思考
1、已知两个直角三角形斜边、一直角边对应 成比例，该如何证明这两个直角三角形相似 呢？
2、直角三角形相似判定的几何语言该如何书 写？
3、直角三角形相似的判定共有哪些？
疑探交流
根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上面的问题，先组议，后对议
１ 自学练习
在RtABC与RtA'B'C'中，C C' 900， 当具有下列条件时是否相似，为什么？ （1）AB 10cm, AC 8cm, A'B' 15cm, B'C' 9cm (2) AB 5cm, AC 4cm, A'C' 12cm, B'C' 9cm
3、如图,已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， 当BD与a，b 之间满足怎样的关系时，图中两个三角形相似？
第2题
A
a
C
b
第3题 B
D
∟
课堂小结
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形 相似的方法对直角三角形同样适用。
3.对于两个三角形相似，注意有几种对应方式。要多 角度看问题。
(3)几何语言：
C C ' 900 , AB A'B' BC B'C '
ABC∽ A'B'C '
C
A'
∟
B C'
B'
当堂检测
1、下列说法中正确的有哪些 所有的直角三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似； 有一个锐角相等的两个直角三角形相似；有两边对应成比例 的两个直角三角形相似
2、如图，已知CD为ABC的高，ACCD BC AD,
１ 学教新课
自学并思考
1、已知两个直角三角形斜边、一直角边对应 成比例，该如何证明这两个直角三角形相似 呢？
2、直角三角形相似判定的几何语言该如何书 写？
3、直角三角形相似的判定共有哪些？
疑探交流
根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上面的问题，先组议，后对议
１ 自学练习
在RtABC与RtA'B'C'中，C C' 900， 当具有下列条件时是否相似，为什么？ （1）AB 10cm, AC 8cm, A'B' 15cm, B'C' 9cm (2) AB 5cm, AC 4cm, A'C' 12cm, B'C' 9cm
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△ADC : △A' D' C', ∠C ∠C' . 又Q∠BAC ∠B'A'C' =90o， △ABC : △A'B'C' .
课堂小结
相似图形三角形的判定方法： ✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 两角分别相等 （AA） ✓ 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） ✓ 三边对应成比 （SSS） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
BC
BC
∴ AB AC kBC k
B
C
AB AC BC
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.
归纳
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两 个直角三角形相似.
A
B
C
B1
几何语言
A1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果 AB BC k, A1B1 B1C1
证明：在Rt△ABC中，BC= AC2 - AB2 = 3
∴
BC A'C '
=
3 6
=
1 .
2
AC 5 1
Q
A' B'
= 10
=
, 2
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，
∴
BC A'C '
=
AC A' B' .
∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
例2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( B )
AC CB
=
CB BD
时，△ABC∽△CDB.
即b =
a
a2 , BD = .
a BD
b
当 AC = CB 时，△ABC∽△BDC.
CB CD
即b =
a
a2 , CD = .
a CD
b
BD2 =a2
-
a4 b2
,
BD
=
a b
b2 - a2 .
当堂练习
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°.依据 下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理 由. 解:（（11））∵∠A∠=A25=°25，°∠，B∠′=C6=59°0；°，
∴ ∠B=65°， ∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
（2）∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
AC A'C'
3 6
1 BC 2 , B'C'
4 8
1, 2
AC A'C'
BC B'C'
【解析】根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度， 求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1， 则 AB= 2, BC= 10, AC=2 2, 所以AB:BC:AC=1:2: 5.
在Rt△ABC中，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三 角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2，B选 项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两 直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．
22.2 相似三角形的判定
第5课时 判定两个直角三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习课堂小结Fra bibliotek学习目标
1.掌握直角三角形相似的判定；（重点） 2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.(难点)
导入新课
回顾与思考 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或
45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们 一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的 HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？
那么△ABC∽△A1B1C1. C1
典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在 Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′.
分析：先求两直角三角形的斜边AC和 A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比．
方法总结
以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图 形的三角形的三边之比，这是解题的关键．
例3 如图，∠ABC＝∠CDB=90°，CB＝a，AC＝b.问当BD与a，
b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形
与以C，D，B为顶点的三角形相似？
解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，
当
.
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
2．如图，已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠A=∠A′=90°，AD ，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
解：Q∠ADC ∠A' D' C', CD AC , C' D' A' C'
讲授新课
利用边判定直角三角形相似
在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画
出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的
相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，
你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
A
D
C
B
我们可以发现这两个三角形相似．F
E
探究
A'
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠C=90°,∠C′=90°.
AB AC . ，求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
AB AC
证明：设 AB AC k
AB AC
则AB kAB, AC kAC.
B'
C'
由勾股定理 ，得 A
BC AB2 AC 2 . BC AB2 AC2
∴ BC AB2 AC 2 k 2 AB2 k 2 AC2
BC
课堂小结
相似图形三角形的判定方法： ✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 两角分别相等 （AA） ✓ 两边对应成比例且夹角相等 （SAS） ✓ 三边对应成比 （SSS） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （HL）
BC
BC
∴ AB AC kBC k
B
C
AB AC BC
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.
归纳
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两 个直角三角形相似.
A
B
C
B1
几何语言
A1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
如果 AB BC k, A1B1 B1C1
证明：在Rt△ABC中，BC= AC2 - AB2 = 3
∴
BC A'C '
=
3 6
=
1 .
2
AC 5 1
Q
A' B'
= 10
=
, 2
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，
∴
BC A'C '
=
AC A' B' .
∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
例2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( B )
AC CB
=
CB BD
时，△ABC∽△CDB.
即b =
a
a2 , BD = .
a BD
b
当 AC = CB 时，△ABC∽△BDC.
CB CD
即b =
a
a2 , CD = .
a CD
b
BD2 =a2
-
a4 b2
,
BD
=
a b
b2 - a2 .
当堂练习
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°.依据 下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理 由. 解:（（11））∵∠A∠=A25=°25，°∠，B∠′=C6=59°0；°，
∴ ∠B=65°， ∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
（2）∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
AC A'C'
3 6
1 BC 2 , B'C'
4 8
1, 2
AC A'C'
BC B'C'
【解析】根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度， 求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1， 则 AB= 2, BC= 10, AC=2 2, 所以AB:BC:AC=1:2: 5.
在Rt△ABC中，∴△ABC是直角三角形．∵选项A、D中的三 角形不是直角三角形，∴排除A、D选项；∵AB∶BC＝1∶2，B选 项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C选项中的三角形的两 直角边的边长比为3∶2，∴选项B正确．
22.2 相似三角形的判定
第5课时 判定两个直角三角形相似
导入新课
讲授新课
当堂练习课堂小结Fra bibliotek学习目标
1.掌握直角三角形相似的判定；（重点） 2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.(难点)
导入新课
回顾与思考 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或
45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们 一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的 HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？
那么△ABC∽△A1B1C1. C1
典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在 Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′.
分析：先求两直角三角形的斜边AC和 A′B′的比，再求两直角边BC和A′C′的比．
方法总结
以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图 形的三角形的三边之比，这是解题的关键．
例3 如图，∠ABC＝∠CDB=90°，CB＝a，AC＝b.问当BD与a，
b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形
与以C，D，B为顶点的三角形相似？
解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，
当
.
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
2．如图，已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠A=∠A′=90°，AD ，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
解：Q∠ADC ∠A' D' C', CD AC , C' D' A' C'
讲授新课
利用边判定直角三角形相似
在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画
出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的
相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，
你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
A
D
C
B
我们可以发现这两个三角形相似．F
E
探究
A'
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠C=90°,∠C′=90°.
AB AC . ，求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
AB AC
证明：设 AB AC k
AB AC
则AB kAB, AC kAC.
B'
C'
由勾股定理 ，得 A
BC AB2 AC 2 . BC AB2 AC2
∴ BC AB2 AC 2 k 2 AB2 k 2 AC2
BC