详解版：专题01 集合与简易逻辑(讲)
2021年高考数学经典例题 专题一：集合与简易逻辑【含解析】
专题一 集合与简易逻辑一、单选题1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.3．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 【答案】C 【解析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C4．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时， 若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C.5．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x【答案】B 【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.9．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.10．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】b =0 时，f(x)=cosx +bsinx =cosx , f(x)为偶函数； f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x 恒成立， f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx −bsinxcosx +bsinx =cosx −bsinx ，得bsinx =0对任意的x 恒成立，从而b =0.从而“b =0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.11．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.12．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.13．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2AB =-.故选：D.14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（ ）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.15．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径3r m =-若直线l 与圆C 有公共点， 则圆心()1,2到直线的距离332m d m -=≤-13m ≤<，{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A16．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A. 17．已知集合{}0,1,2,4A =，{}2,nB x x n A ==∈，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4【答案】D 【解析】由题知{}1,2,4,16B =,再根据集合交集运算求解即可. 【详解】 因为{}0,1,2,4A =，{}1,2,4,16B =，所以{}1,2,4AB =，故选:D.18． “21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案.【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行， 所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B19．已知命题:p “,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，若,b a b α⊥⊥，则//a α”，命题:q “函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，为R 上的增函数”，下列说法正确的是A ．“p q ⌝∧”为真命题B ．“p q ∧⌝”为真命题C ．“p q ∧” 为真命题D ．“p q ⌝∧⌝” 为真命题【答案】D 【解析】依题意得p 是假命题；因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，得q 是假命题，则可判断正确结果． 【详解】若,b a b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，所以命题p 是假命题；函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当1x =时()011f e ==，当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上不是增函数，故q 是假命题； 所以p ⌝与q ⌝是真命题，故“p q ⌝∧⌝” 为真命题 故选：D ．20．记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．21．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B22．已知M 、N 为R 的子集，若RM N =∅，{}1,2,3N =，则满足题意的M 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据交集、补集的运算的意义，利用韦恩图可得出M ，N 关系，根据子集求解. 【详解】因为M 、N 为R 的子集，且RM N =∅，画出韦恩图如图，可知，M N ⊆， 因为{}1,2,3N =， 故N 的子集有32=8个. 故选：D23． “0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解 【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交，当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离222(1)(1)d a a =<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件， 故选：A24．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2x B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】 分别作出2220212020x y +=，2x y =图象，判断交点个数即可.【详解】依题意：集合A B 中元素的个数即2220212020x y +=，2x y =图象交点个数如图所以一共有两个交点，所以集合A B 中元素的个数为2故选：C25．已知集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，且A B =∅，则实数m 应满足（）A ．1m <B ．1mC ．3m ≥D ．3m >【答案】A【解析】根据集合交集定义即可求解．【详解】 解：∵集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，A B =∅∴1m <，故选：A ．26．命题000:,20p x R x lnx ∃∈+<的否定为（ ）A ．000,20x R x lnx ∃∉+≥B ．000,20x R x lnx ∃∈+>C ．,20x R x lnx ∀∈+>D ．,20x R x lnx ∀∈+≥【答案】D【解析】 根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为,20x R x lnx ∀∈+≥.故选:D.27．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R （ ） A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.28．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D29.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题30．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．31．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.32．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②【解析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④错误；故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
第01讲第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算课件新人教A版课件
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6.描述法及两种表述形式：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法. ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；
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例6 已知A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且 A B，求实数a的取值范围.
解：由已知，得：A ，或{1}，或{2}.
若A ， a 2 4 0, 2 a 2.
若A
{1}，
12
a
2
a 1 40
10.全集定义：如果集合S含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集，记作U.
1/2/2020
湖北省随州市第二中学 操厚亮
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新疆 王新敞
奎屯
二名、称 知识点归纳交集新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
已知: （1）(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}； （2）(CUA)∩B＝{1，9}；（3）A∩B＝{2}.求A、B.
解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}
∴ CU(A∪B)＝ {4，6，8}
∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}
UB
1,9
2
A
3,5,7
4，6，8
∴B＝ [(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则 记作A B（B A）
8.真子集的定义：如果A B，并且 A ≠B，则 集合A是集合B的真子集.
集 合与简易逻辑1.1集 合
集合与简易逻辑1.1集合关键信息项：1、集合的定义2、集合的元素3、集合的表示方法4、集合的分类5、集合的运算11 集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。
这些对象称为该集合的元素。
集合通常用大写字母表示，如 A、B、C 等。
111 集合中元素的特性1、确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一，不存在模棱两可的情况。
2、互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的任何两个元素都不能相同。
3、无序性：集合中的元素没有顺序之分，例如集合{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是同一个集合。
112 集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，例如{1, 2, 3}。
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，例如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。
12 集合的分类1、有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。
2、无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。
3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
121 常见的数集1、自然数集：包括 0 和正整数，记作 N。
2、正整数集：记作 N+ 或 N。
3、整数集：记作 Z。
4、有理数集：记作 Q。
5、实数集：记作 R。
13 集合的运算1、交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A ∩ B。
2、并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，记作 A ∪ B。
3、补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集 A 在全集 U 中的补集，记作∁UA。
131 集合运算的性质1、交集的性质：A ∩ A ＝ AA ∩ ∅＝∅A ∩B ＝B ∩ A若 A ⊆ B，则A ∩ B ＝ A2、并集的性质：A ∪ A ＝ AA ∪∅＝ AA ∪B ＝ B ∪ A若 A ⊆ B，则 A ∪ B ＝ B3、补集的性质：A ∪（∁UA) ＝ UA ∩ （∁UA) ＝∅∁U(∁UA) ＝ A132 集合运算的应用集合运算在数学、计算机科学、统计学等领域都有广泛的应用。
【精品】集合与简易逻辑
【关键字】精品第一节集合1、有关集合的记号：∈，，N，N*，Z，Q，R，Z+，R-，等.2、集合分有限集与无限集.3、集合的表示法：列举法、描述法(公式描述或语言描述)、图示法.4、集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.5、子集设集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为AB(或BA).6、真子集设集合A、B，如果AB,且AB(即B中含有A中不含有的元素)，则集合A叫做集合B的真子集，记为AB ；7、子集、真子集的性质：(1)AA(即任何一个集合是它本身的子集)；(2)A(其中叫做空集，即空集是任何集合的子集)；(3)A(A 不是空集，即空集为任何非空集合的真子集)；(4)传递性：若AB，且BC，则 A B(5)集合相等：AB，且BAA=B；(6)集合的子集个数公有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.8、全集在研究某一问题的过程中，所有集合都包含于某一个集合，这个集合就叫做全集（在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一个）.9、补集记全集为U，在全集中，由所有不包含于全集U的元素组成的集合叫做全集U中集合A的补集(简称A补)，记为CUA .10、全集和补集的性质(1)AU，CUAU；(2)CU(CUA)= A，称A与CUA 互补；(3)CU= U，CUU= (与U互补)；(4)在全集U中，若CUA=B，则CUB=A，称集合A与B 互补11、交集由所有A、B中公有的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|xA，且xB}.12、并集由所有A、B中的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B={x|xA，或xB}.13、交集和并集的性质：(1)A∩A=A，A∪A=A；(2)A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；(3)A∩= ；A∪= A ；(4)A∩B A，A∩B B；A A∪B，B A∪B，A∩BA∪B；(5)若A∩B=A，则A B，反之亦然；若A∪B=A，则BA，反之亦然；(6)CU(A∩B)=CU A ∪ CUB，CU(A∪B)= CU A∩ CUB (对偶律)；(7)若将集合A的元素的个数记为card(A)，则card(A)、card(B)、card(A∩B)、card(A∪B)之间有下列关系(经研究找出结论，即容斥原理)：.练习：1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．4．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．5.设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．6．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．7．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．8．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．9．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．10．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝______11．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．第二节简易逻辑1、逻辑联结词：或、且、非，引进符号，分别为“∨、∧、﹁”.2、用逻辑联结词将简单命题组成复合命题的三种形式：p∨q、p∧q、﹁p.3原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ6(1)提出反设：针对要证结论提出反设(即要证结论的“否”)；(2)找到矛盾：从反设出发，经过推理，得出矛盾(与已知矛盾，或与已知定理、公理矛盾，或自相矛盾)，由矛盾判定假设不成立，从而肯定欲证结论的正确性.7.充分必要条件的四种形态：(1)若p⇒q，且q⇒p，则称p和q 充要条件，记为p⇔q；(2)若p⇒q，但q⇒p，则称p是q的充分不必要条件；(3)若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的必要不充分条件；(4)若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p 、q 间无因果关系，那么p(q)既不是q(p)的充分条件，又不是q(p)的必要条件.8、证明充要条件的两种情况：要证p 是q 的充要条件(1)分开证明，两步到位：1o 证充分性(即由p ⇒q)；2o 证必要性(即由q ⇒p)；由1o 、2o 知，p 是q 的充要条件.(2)等价转化，一步到位：p ⇔s ⇔t ⇔u ⇔v ⇔…r ⇔q ，则p 是q 的充要条件.求充要条件 要求q 成立的充要条件：先由q 推出p ，从而知p 是q 的必要条件；再证充分性，即由p 推出q.综上知q 成立的充要条件是p.习题1.如果命题“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，那么p 、q( ) A 都是真命题 B 都是假命题C 中至少有一个假命题D 中必为一真一假2.要用反证法证明“某数是偶数，且不能被6整除”，提出的反设应是假设 ( )(A)某数是偶数，且能被6整除 (B)某数不是偶数，且能被6整除(C)某数不是偶数,且不能被6整除 (D)某数不是偶数，或能被6整除3.设p ：031>-+x x ，q ：1|1|>-x ，则﹁p 是﹁q 的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件4.关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件是( )(A)1≤a (B)10≤<a (C)1<a (D)1≤a ，且0≠a5.用反证法证明“ab ≠0”所提出的反设可以是：①ab=0；②a 、b 都为0；③a 、b 中至多有一个为0；④a 、b 中至少有一个为0，其中错误的是 _____________此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
集合与简易逻辑1.1集合(一)
集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一) 第一章集合与简易逻辑2 1.1集合(一)课题§1.1集合(一) 教学目标1、理解集合的概念和性质。
2、了解元素与集合的表示方法。
3、熟记有关数集。
4、培养学生认识事物的能力。
教学重点集合概念、性质教学难点集合概念的理解教学设备投影仪、多媒体一、新课引入在初中数学学习过程中，我们就已经开始接触“集合”。
例如：1、在初中代数里，①、由所有自然数组成的自然数集；所有整数组成的整数集等等；②、对于一元一次不等式2x-1 3来说，所有大于2的实数都是它的解，因此我们称该不等式的解集为x 2，表明这个不等式的解是由所有大于2的数组成的集合；③、大于1小于10的所有偶数。
2．在初中几何里，①、把垂直平分线看作是到线段两端点距离相等的点的集合；②、将角平分线看作是到角的两边距离相等的点的集合；③、把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。
在生活中，我们也在不知不觉中与“集合”打交道。
例如：①、高一（3）班全体男同学；②、某位同学的所有文具；③、中国的四大发明。
二、进行新课通过以上实例，我们可以归纳出：1、集合的定义（1）集合（集）：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）。
进一步指出：集合的表示：一般用大括号表示集合，{元素，元素，…元素}，那么上几例可表示为……集合还可用一个大写的拉丁字母表示，如：a={1，3，5，7，9} 常见数集的专用符号：非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。
记作n 正整数集：非负整数集内排除0的集。
记作n*或n+ 整数集：全体整数的集合。
记作z 有理数集：全体有理数的集合。
记作q 实数集：全体实数的集合。
记作r 注：①、自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
②、非负整数集内排除0的集。
记作n*或n+ 。
q、z、r等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z* 请同学们熟记上述符号及其意义。
01第一章集合与简易逻辑【讲义】
（1）若 x A ( B C ) ，则 x A ，且 x B 或 x C ，所以 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
即 x ( A B ) ( A C ) ；反之， x ( A B ) ( A C ) ，则 x ( A B ) 或 x ( A C ) ，
An I ，且 Ai A j
(1 i , j n,i
这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。
定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理 6 抽屉原理：将 mn 1 个元素放入 n(n 1) 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
j ) ，则 m1
个元素，也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素；将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽
y和 x y 4k 2 ，
2．利用子集的定义证明集合相等，先证 A B ，再证 B A ，则 A=B。
例 2 设 A， B 是两个集合，又设集合 M 满足
A M B M A B, A B M A B ，求集合 M （用 A，B 表示）。 【解】先证 ( A B ) M ，若 x ( A B ) ，因为 A M A B ，所以 x A M , x
乘法原理，子集共有 210 1024 个，非空真子集有 1022 个。
5．配对方法。
例 5 给定集合 I {1,2,3, , n} 的 k 个子集： A1 , A2 , , Ak ，满足任何两个子集的交集非
空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求
k 的值。
【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得
考虑 a n 3 ，有 an 3 a n 2 或 an 3 a n a3 ，即 a 3 3 ，设 an 3 a n 2 ，则
高考数学专题1 集合与简易逻辑
专题1 集合与简易逻辑一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈.二．高考考点1．对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2．对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4．充分条件与必要条件的判定与应用.三．知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.①描述法的规范格式：｛x|p(x),x∈A｝其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.②认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：; ；; ，其中M=｛0，1｝.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(x∈R)点（x,y）在抛物线y=x2－1上集合A是抛物线y=x2-1(x∈R)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(x∈R)，再注意到集合的意义是范围集合B 是二次函数y=x2-1(x∈R)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(x∈R)的值域，故B=｛y|y≥－1｝.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(x∈R)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=｛φ，｛0｝，｛1｝，｛0，1｝｝.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2．集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若x∈A x∈B,则A B（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φ A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即A A.（II）集合的相等：若A B且B A，则A=B.（III）真子集定义：若A B且A≠B；则A B（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，A I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作A，即A=｛x|x∈I,且x A｝.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：φ=U；U=φ；（A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：①由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x ∈A,且x∈B｝;②由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x ∈A,或x∈B｝.（II）认知：上面定义①、②中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“x∈A或x∈B”包括三种情形：x∈A且x B；x∈B且x A；x∈A且x∈B.（III）基本运算性质①“交”的运算性质A∩A=A；A∩φ=φ；A∩B= B∩A；A∩ A =φ；（A∩B）∩C= C∩（A∩B）= A∩B∩C②“并”的运算性质A∪A=A；A∪φ=A；A∪B= B∪A；A∪A=I；（A∪B）∪C=A∪（B∪C）= A∪B∪C③交.并混合运算性质A∪（B∩C）= （A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；A∩（A∪C）=AA∪（A∩B）=A（ IV ）重要性质①A∩B=A A B； A∪B=B A B；②A∩B=（A∪B）；A∪B=（A∩B）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：A∪B=｛x| x∈A或x∈B｝.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于A∪B中的A∩ B；B∩ A；A∩B.不过，A∪B强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q”p或q.它们类似于集合中的（A∪B）=（A）∩（B），(A∩B）=（A）∪（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q；逆命题：若q则p;否命题：若p则q逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若p q则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：①关注前后顺序：若p q则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.②辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.③充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1．判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为｛（x,y）|x=－1或y=2｝;（2）设P=｛x|y=x2｝,Q=｛(x,y)|y=x2｝,则p Q;（3）设，则M N；（4）设，，则集合等于M∪N；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而－1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）==｛（-1，2）｝（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为P∩Q=φ.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知M N，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，，则f(x)·g(x)=1(x≠－3且x≠1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，，则有例2．设集合A=｛x|x2+4x=0｝,B=｛x|x2+2(a+1)x+a2－1=0｝（1）若A∩B=B，求a的值；（2）若A∪B=B，求a的值.解：集合A=｛－4，0｝（1）A∩B=B B A即B｛－4，0｝由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0∈B，则有a2－1=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=－1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2=0x=0此时B=｛0｝符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若－4∈B，则有16+2（a+1）(－4)+a2－1=0a2－8a+7=0(a－1)(a－7）=0 a=1或a=7 当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a2－1=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=－12或x=－4此时B=｛－12，－4｝ A.（III）注意到B A，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）2－4(a2－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.（2）集合B中至少有两个元素①而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素②∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若A B，试求实数a的取值范围.解：A=｛x|1<x<3｝=(1,3)注意A B，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立.（1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立，f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3①（2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立.a≤g(x)总成立a≤g min(x) a≤－1 ②∴将①.②联立得－4≤a≤－1.∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝.点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化：（1）当f(x)在给定区间上有最值时a≤f(x)恒成立a≤f min(x)a≥f(x)恒成立a≥f max(x)（2）当f(x)在给定区间上没有最值时a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x<-2或x>10；q：x<1-m或x>1+m(m>0).令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝,则由是q的必要而不充分条件B A或m9∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－2]B.[2,＋∞)C.[-2,2]D.(-2,2)分析：（ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝＋2ax＋4的图像与x轴没有交点，△＝－2＜a＜2∴P: －2＜a＜2 ①又不等式恒成立a小于的最小值②＋≥＝2 ③∴由②、③得 a﹤2即Q: a﹤2（ⅱ）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a﹤2 ④“P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a≤－2或a≥2 ⑤于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2∴实数a的取值范围为（－∞，－2].例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：△＝又由韦达定理得∴当0﹤﹤1时，由②得－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1即 q p ③另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式△＝＝＝1－3﹤0，从而方程无实根∴p q ④于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x）＝，则借助二次函数y＝的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是（）A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1（S2∩S3）C．S1∩S2∩S3=φ D. S1（S2∪S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到A∩B=（A∪B），A∪B=（A∩B）及其延伸，∴S1∩S2∩S3=（S1∪S2∪S3）=I=φ，故选C解法二（特取法）：令S1=｛1，2｝，S2=｛2，3｝，S3=｛1，3｝I=｛1，2，3｝则S1=｛3｝S2=｛1｝S3=｛2｝由此否定A、B；又令S1=S2=S3=｛a｝，则I=｛a｝，S2=S3=φ，由此否定D.故本题应选C2．已知向量集合，则M∩N等于（）A．｛（1，1）｝ B. ｛（1，1），（-2，-2）｝ C .｛（-2，-2）｝ D.φ分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去λ得4x－3y+2=0,∴M=｛(x,y)|4x-3y+2=0,x,y∈R｝.同理=｛(x,y)|5x-4y+2=0,x,y∈R｝∴M∩N==｛（－2，－2）｝，∴本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3．设集合I=｛(x,y)|x∈R,y∈R｝,A=｛(x,y)|2x－y+m>0｝,B=｛(x,y)|x+y－n≤0｝,那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是（）A． m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5分析：由题设知P(2,3) ∈A，且P（2，3）∈ B （※）又B=｛(x,y)|x+y-n>0｝,∴由（※）得，故本题应选A4．设函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N=｛y|y=f(x),x∈M｝,则使M=N成立的实数对（a,b）有（）A．0个 B 1个 C 2个 D 无数多个分析：从认知集合切入.这里的集合N为函数f(x),(x∈M)的值域.注意到f(x)的表达式中含有|x|，为求f(x)的值域，先将f(x)化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析.∴当x>0时，f(x)<0;当x=0时，f(x)=0；当x<0时，f(x)>0.由此可知，当x≠0时，f(x) (x∈M)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为｛0｝，故不存在a<b使区间[a,b]仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5．函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=｛y|y=f(x),x∈P｝f(M)=｛y|y=f(x),x∈M｝,给出下列四个判断：①若P∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P∩M≠φ，则f(P)∩f(M)≠φ；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)= R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠ R其中正确判断有（）A． 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(x∈P)的值域；f(M)为函数y=f(x)(x∈M)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=｛x|x≥0｝,M=｛x|x<0｝,则f(P)=｛x|x≥0｝, f(M)=｛x|x>0｝此时P∩M=φ，P∪M=R，但f(P)∩f(M) ≠φ，f(P) ∪f(M)≠ R由此判断①.③不正确（2）当P∩M≠φ时，则由函数f(x)的定义知P∩M=｛0｝（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0∈f(P)，0∈f(M)，从而f(P)∩f(M)≠φ.由此判断②正确.（3）当P∪M≠R时，若0P∪M，则由函数f(x)的定义知，0f(P) ∪f(M)若存在非零x0P∪M, (※),易知x0f(P)当x0f(M)时，有x0f(P)∪f(M)；当x0∈f(M)时，则易知－x0∈M.注意到这里－x0≠0，所以－x0P，从而－x0f(P).又∵x0M，∴－x0f(M)，∴－x0f(P)∪f(M) （※※）∴由①.②知当P∪M≠R时，一定有f(P) ∪f(M)≠ R.故判断④正确.点评：认知f(P).f(M)的本质与特殊性，是本题推理和筛选的基础与保障.6．设全集I=R，（1）解关于x的不等式|x－1|+a－1>0(a∈R);（2）设A为（1）中不等式的解集，集合，若（A）∩B恰有3个元素，求a的取值范围.分析：（1）原不等式|x－1|>1－a，运用公式求解须讨论1－a的符号.（2）从确定 A与化简B切入，进而考虑由已知条件导出关于a的不等式（组），归结为不等式（组）的求解问题.解：（1）原不等式|x－1|>1－a当1－a<0，即a>1时，原不等式对任意x∈R成立；当1－a=0，即a=1时，原不等式|x－1|>0x≠1;当1－a>0，即a<1时，原不等式x－1<a－1或x－1>1－ax<a或x>2－a于是综合上述讨论可知，当a>1时，原不等式的解集为R；当a≤1时，原不等式的解集为（－∞，a）∪（2－a,+ ∞）（2）由（1）知，当a>1时，A=φ；当a≤1时, A=｛x|a≤x≤2－a｝注意到==∴∴（A）∩B恰有3个元素A恰含三个整数元素.（A有三个元素的必要条件）(对A=[a,2－a]的右端点的限制)(对A=[a,2－a]的左端点的限制)故得－1<a≤0,∴所求a的取值范围为.点评：不被集合B的表象所迷惑，坚定从化简与认知集合B切入.当问题归结为A恰含三个整数时，寻觅等价的不等式组，既要考虑A含有三个整数的必要条件（宏观的范围控制），又要考虑相关区间的左\右端点的限制条件（微观的左右“卡位”），两方结合导出已知条件的等价不等式组.。
专题一 第一讲 集合与简易逻辑
[理](2011· 沈阳模拟)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1 ＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是 A．2 B．2或3 ( )
C．1或3
D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}
也满足条件．
答案：D
2． (2011· 全国新课标卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有 A．2个 B．4个 ( )
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 显然a＝1时一定有N⊆M，反之则不一定成立， 如a＝－1.故是充分不必要条件． [答案] A
6．(2011•合肥模拟)给定空间中的直线l及平面α.条件“直
线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α
垂直”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件 ( )
的集合共有6个．
[答案] A
[点评] 解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新
定义的本质，推出正确结论，有时还可以通过反例推翻
其中的结论．
1 [理]若x∈A，则工团 ∈A，就称A是伙伴关系集合，集 x
合M＝{－1,0， ，2 ，1,2,3,4}的所有非空子集中具有伙 伴关系的集合的个数为 ( )
[联知识 串点成面] 1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否 命题与逆命题等价． 2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题 p∨q，只要 p，q 至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题 p∧q，只 要 p，q 至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题． 3．“或”命题和“且”命题的否定：命题 p∨q 的否定是綈 p ∧綈 q；命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q.
第1讲 集合、简易逻辑 公开课课件
变式训练 1 (2010·浙江)设 P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，
则
( B)
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．P⊆∁RQ
D．Q⊆∁RP
解析 Q＝{x|－2<x<2}，∴Q⊆P.
题型二 命题与逻辑联结词
例 2 已知命题 p：所有有理数都是实数；命题 q： 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
解 (1)由 2x2－7x＋3≤0，得12≤x≤3， ∴A＝{x|12≤x≤3}． 当 a＝－4 时，解 x2－4<0，得－2<x<2， ∴B＝{x|－2<x<2}． ∴A∩B＝{x|12≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}． (2)∁RA＝{x|x<12或 x>3}， 当(∁RA)∩B＝B 时，B⊆∁RA.
规律方法总结 1．熟练运用数形结合思想，利用韦恩图、数轴、函
数的图象来帮助分析和理解有关集合之间的关系， 进行集合的运算，训练自己的形象思维能力，从而 进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力． 2．注意利用分类讨论的思想来解决集合之间的关系
和含有参数的问题，如在 A⊆B 的条件下，须考
虑 A＝∅和 A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
集合与简易逻辑
故ξ的分布列为：
11分
13分
【分析点评】
求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．对集合概念和运算的考查 多以选择题和填空题的形式，其难度是中低档的，也有可能与排列组合，解析 几何等问题进行综合考查，特别值得关注的是近两年北京与福建等省份是以解 答题的形式进行综合考查，难度较大．
1.本题主要考查排列与组合、概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算
1
2
解决集合的运算问题，一般要先化简集合以确定集合中的元素，可借助韦恩图、数轴等手段使问题直观化，然后根据题目要求进行求解．
【例3】设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于( ) A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．∅ 解析：B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}＝[－4,0]，则A∩B＝{0}， ∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，x≠0}． 答案：B
第一章 集合与简易逻辑
第1课时 集合的概念与运算
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无序性
描述法
∈
∉
⊆
＝
相等关系
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、 ． 2．集合的表示法：列举法、 、图示法． 提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集． (2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为{1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号 和 表示． 4．集合与集合之间的关系有：包含关系、 、真包含关系，分别用符号 、 、 表示．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a， x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) Байду номын сангаас A．(－∞，－ ] B. C. D．(－∞，－2] 解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－ ，或x＝－2， ＝ . 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅， 知a ≤ － . 答案：A
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专题01 集合与简易逻辑（讲）1．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I U （ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C =I ，所以(){1,2,3,4}A C B =I U .故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =（ ） A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{|560}{|2A x x x x x =-+>=<或3}x >，{|10}{|1}B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞I ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-I .故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B I . 【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧 元素的特征1、利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。
集合的表示 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
集合的关系1、判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒]在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．2、已知两个集合间的关系求参数时的关键点及注意点（1）关键点：将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。
集合元素的特征集合的关系 集合的运算集合表示法（2）注意点：①利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论；②注意区间端点的取舍。
集合的运算1、集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．2、抽象集合的运算：典例4是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题。
解决此类问题的途径有二：一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观。
考查集合的表示：【例1】(2019·湖北省部分重点中学联考)设集合A ＝⎩⎨⎧x |x 24＋y 23＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－2,4)，(2,4)}【答案】B【解析】由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3⎝⎛⎭⎫1－x 24，则1－x 24≥0，解得－2≤x≤2，即A ＝[－2,2]。
由y ＝x 2≥0，可知B ＝[0，＋∞)。
所以A ∩B ＝[0,2]，故选B 。
【例2】(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】集合A 表示单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，根据图象容易判断有两个交点，所以选择B 。
也可以利用联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，消去y ，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22，所以交点坐标分别是⎝⎛⎭⎫－22，－22，⎝⎛⎭⎫22，22，故选B 。
【例3】（2019·辽宁高考模拟（理））设集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】先求出集合，然后再求出即可．∵，，∴．故选C ．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征． 考查元素的特征：【例1】已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，则2 017a 的值为_________。
【解析】对集合A 中的元素分情况讨论，当a ＋2＝1时，a ＝－1，此时有(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当(a ＋1)2＝1时，a ＝0或a ＝－2，当a ＝－2，则a 2＋3a ＋3＝1，舍去，经验证a ＝0时满足；当a 2＋3a ＋3＝1时，a ＝－1或a ＝－2，由上知均不满足，故a ＝0，则2 017a ＝1。
【例2】设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．【解析】∵5∈A ，∴a 2＋2a －3＝5，解之得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，当a ＝－4时，|a ＋3|＝1.又∵5∉B ，∴a ＝－4. 考查集合的关系：【例1】（2019·广东高考模拟（文））若集合(){}{10,A x x x B y y =+≥==，则（ ）A ．AB =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B R ⋃=【答案】C【解析】先化简集合A,B ，再判断得解.由题得{|01}A x x x =≥≤-或，{|0}B y y =≥，所以B A ⊆. 【点睛】本题主要考查集合的化简和关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 【例2】（2019·辽宁高考模拟（理））已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A.{1}B.C.{1,1}-D.【答案】C【解析】将选项中的元素逐一验证，排除错误选项，由此得出正确选项.若1m =，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除B,D 两个选项.若1m =-，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除A 选项.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查选择题的解法——排除法，属于基础题.考查集合的运算：【例1】（2019·湖北高考模拟（理））已知全集U =R ，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，则()()U U C A C B ⋂（ ）A.()1,1-B.(]0,1C.()1,0-D.(]1,0-【答案】D【解析】根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果.由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤，∴()()(]1,0U U C A C B =-I .【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题.【例2】（2019·湖北高考模拟（理））已知集合{|32}M x x =-<<，1|42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭„，则（ ） A ．(2,2)M N ⋂=- B ．(3,2)M N ⋂=-- C ．[2,)M N ⋃=-+∞D ．(3,)M N ⋃=-+∞【答案】D【解析】根据指数不等式的解法得到N {}=|2x x ≥-，再由集合的并集的概念得到结果.集合{|32}M x x =-<<，1|42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭„{}=|2x x ≥-，由集合的并集的概念得()3,M N ⋃=-+∞.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法.一、因忽视集合中元素的互异性而致误【例1】已知全集U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }和它的子集A ＝{1，|2x －1|}，如果集合A 在U 中的补集为{0}，求实数x 的值。
【解析】因为U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }，且集合A 在U 中的补集为{0}，所以0∈U ，x 3＋3x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，x 3＝－2。
当x ＝0时，A ＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去； 当x ＝－2时，A ＝{1,5}⊆U ，不符合题意，故舍去； 当x ＝－1时，A ＝{1,3}⊆U ，符合题意。
综上所述，实数x 的值为－1。
二、忽视代表元素而致误【例2】设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2－|x |，x ∈R }，求P ∩Q 。
【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝2－|x |解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以P∩Q ＝{(1,1)，(－1,1)}。
【剖析】上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是y ，而不是点的坐标。
【正解】因为P＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，Q＝{y|y＝2－|x|，x∈R}＝{y|y≤2}，所以P∩Q＝{y|y≥0}∩{y|y≤2}＝{y|0≤y≤2}。
三、因忽视区间端点而致误【例3】已知集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|a<x<a＋4}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围。