2018年苏教版数学选修4-44.2.2 第1课时 直线和圆的极坐标方程
高二数学选修4-4 ~4.2.2(1)直线的极坐标方程 ppt
（1）当直线L过极点，即
1 0时，
则直线L的极坐标方程为_________;
) O (P)
x
L
（2）当直线L过P点且垂直于极轴时（如图示），
∟
cos a 则直线L的极坐标方程为______________;
（3）当直线L过点
1 P
A
M
ห้องสมุดไป่ตู้
O
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除 点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知: OP 1 xOP 1 设直线L与极轴交于点A, 则 在MOP
OMP , OPM ( 1 )
4
5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4
练一练：
坐标方程。
5 易得 ( 0) 4 2、求过极点，倾角为 的直线的极 4
坐标方程。 5 或
4 4
问题分析：
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较 起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要 用两条射线组合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全 体实数.则上面的直线的极坐标方程可以表示为:
4
( R) 或
5 ( R) 4
例题2求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于 极轴的直线L的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ O A x 在 Rt MOA 中有:
由正弦定理得
1 sin[ ( 1 )] sin( )
高中数学(苏教版 选修4-4)教师用书4.2.2 第1课时 直线和圆的极坐标方程
常见曲线的极坐标方程第课时直线和圆的极坐标方程．会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程．．进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．．进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美．[基础·初探]．直线的极坐标方程若直线经过点(ρ，θ)，且直线的倾斜角为α，则此直线的极坐标方程为ρ(θ－α)＝ρ(θ－α)．几种常见直线的极坐标方程：图--．圆的极坐标方程若圆心的坐标为(ρ，θ)，圆的半径为，则圆的极坐标方程为ρ－ρρ(θ－θ)＋ρ－＝.几种常见圆的极坐标方程图--[思考·探究]．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】()由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；()由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；()由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：【自主解答】()如图所示，在所求直线上任意取点(ρ，θ)，过作⊥于，连.∵，∴＝·＝，在△中，＝θ，即ρθ＝，所以，过平行于极轴的直线方程为ρθ＝.图图()如图所示，在所求直线上任取一点(ρ，θ)，∵，∴＝，∠＝，由已知∠＝，所以∠＝－＝，∴∠＝π－＝.。
直线与圆的极坐标方程公式
直线与圆的极坐标方程公式在数学中，直线和圆是非常常见的几何图形。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示直线和圆的方程，使得问题的解析更加方便和直观。
本文将介绍直线和圆在极坐标系下的方程公式。
直线的极坐标方程在极坐标系下，直线的方程通常被表示为极坐标参数等于常数的形式。
一个通用的直线方程为：r = p·cos(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，p 表示直线到原点的距离，θ 表示角度，α 表示直线的偏转角度。
具体地，当直线与极坐标系的x 轴的交点不在原点时，直线的方程可以表示为：r = p·cos(θ − α) + d·sin(θ − α)·cot(α)其中，d 表示直线与极坐标系的 x 轴的交点到原点的距离。
圆的极坐标方程在极坐标系下，圆的方程可以表示为极坐标径向距离等于常数的形式。
一个通用的圆方程为：r = a + b·sin(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，a 表示圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离，b表示圆的半径，θ 表示角度，α 表示圆的旋转角度。
需要注意的是，当圆心位于极坐标系的 x 轴上时，圆的方程可以简化为：r = a + b·sin(θ)应用示例现在我们来看一些直线和圆的极坐标方程的应用示例。
直线的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一条直线，该直线与极坐标系的x 轴的交点到原点的距离为4，直线的方向与极坐标系的 x 轴的正方向呈45度角。
那么，直线的极坐标方程可以表示为：r = 4·cos(θ − 45°) + 4·sin(θ − 45°)·cot(45°)圆的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一个圆，该圆的圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离为3，圆的半径为2，圆的旋转角度为30度。
那么，圆的极坐标方程可以表示为：r = 3 + 2·sin(θ − 30°)通过这些示例，我们可以更好地理解直线和圆在极坐标系下的方程公式的应用。
江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修4-4教学案4.2.2常见曲线的极坐标方程(无答案)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（97）常见曲线的极坐标方程教学目标：了解极坐标系中直线和圆的方程，进一步领会求曲线的极坐标方程的方法教学重难点极坐标方程的求法及极坐标方程的简单应用典型例题：过点M(,)且直线l的倾斜角为α，求直线l的极坐标方程例1：若直线lρθ00M(,)，且圆的半径为r，求圆的极坐标方程例2：若圆心坐标为ρθ00例3：如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.例4：从极点O 引定圆2cos ρθ=的弦OP ，延长OP 到Q ，使23OP PQ =，求点Q 的轨迹方程.课堂小结：1、 由极坐标的特征可知，与距离、角度有关的动点的轨迹方程问题宜用极坐标法2、 极坐标方程的建立.常涉及到解三角形的基本知识课堂练习：1、 写出下列曲线的极坐标方程.（1）经过极点，且倾斜角为6π的直线 （2）经过点A (2,)4π,且垂直于极轴的直线（3）以(2,0)为圆心，2为半径的圆 （4）以(5,)π为圆心，且过极点的圆江苏省泰兴中学高二数学课后作业（97）班级：_______ 姓名：____________ 学号：1、圆sin )ρθθ+的圆心的极坐标是2、直线cos()1θαρθα=-=与的位置关系是3、一个圆的圆心的极坐标为3(2,)2π，半径为2,该圆的方程为4、若直线的极坐标方程为sin()42πρθ+=，则极点到该直线的距离为_________ 5.极坐标中，过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A,B 两点，则|AB|＝______6.在极坐标中，过点3(1,)88ππ的直线的倾斜角为__________ 7.极坐标方程2sin ρθρ=表示的曲线是______________________8.直线0sin 1θρθ==与直线的位置是9.求极坐标方程cos 0ρθθ-=所表示的圆的半径.10.写出下列曲线的极坐标方程（1）过点(3,)3π-，且平行与极轴的直线 （2）以)4π为圆心，1为半径的圆11.求下列曲线的极坐标方程(1)过点（4,0），且倾斜角是34π的直线 (2)以(4,)2π为圆心，4为半径的圆12.在极坐标系中，作出曲线6cos()3πρθ=-的图形.13.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3,)6π，半径r=3（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若Q 在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ：QP=3：2，求动点P 的轨迹方程.14.自极点O 作射线与直线cos 4ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12,OM OP ⋅=求点P 的轨迹方程.。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.2曲线的极坐标方程
4.2 曲线的极坐标方程1．极坐标方程与曲线在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． 3．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是ρ＝r ；(2)圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是ρ＝2a cos θ. 预习交流1．求曲线的极坐标方程的步骤是什么？提示：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项有哪些？ 提示：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．一、极坐标方程和直角坐标方程的互化将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化． (1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cos θ；(4)ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1，化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0.化圆的直角坐标方程x 2＋y 2－2ax ＝0(a ≠0)为极坐标方程．解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2ax ＝0得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2aρcos θ＝0，即ρ＝2a cos θ(a ≠0)．所以所求极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)．极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．二、求直线的极坐标方程设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程． 思路分析：设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM .解：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，π4MOP θ∠=-，π2OPM ∠=， 所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即πcos 24ρθ-=，即πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.求过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的方程．解：如图，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，∴|OM|cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝2.显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，∴所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连接OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．三、求圆的极坐标方程求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP，PA，在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C的极坐标方程．从极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程并把它化为直角坐标方程．解：方法一：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r＝|OC|＝4，连接CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．∴动点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.∵ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x，故(x－2)2＋y2＝4为所求的直角坐标方程．方法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．N点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1(*)．∵M是ON的中点，∴112,,ρρθθ=⎧⎨=⎩将它代入(*)式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. ∵ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，故(x －2)2＋y 2＝4为所求的直角坐标方程．在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．1．在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________． 答案：ρsin θ＝2(ρ≥0)解析：如图，设P (ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点，在Rt △OMP 中，()πcos 202ρθρ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，即ρsin θ＝2(ρ≥0)．2．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是__________． 答案：两条射线y ＝±x (x ≥0)解析：∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ.两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x .又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x ≥0. ∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．3．在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是__________． 答案：ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π) 解析：如图所示，圆与射线OP 的交点为π2,2P a ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆上任取一点M (ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得π2cos 2sin 2a a ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(0≤θ≤π)．4．直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________．答案：ρ＝4sin θ 解析：x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.5．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.2.2 常见曲线的极坐标方程》
§常见曲线的极坐标方程江苏省苏州实验中学朱仁林苏教版教科书〔选修4-4〕数学第二章第二节教材分析选修4-4专题是解析几何初步、平面向量与三角函数等内容的综合应用和进一步深化，掌握常见曲线的极坐标方程，了解曲线的多种表现形式，对于数形结合会有更深的体会。
学生可以体会从实际问题中抽象出数学的过程，培养数学问题的兴趣和能力。
教学目标一、知识目标理解并掌握常见曲线〔直线与圆〕的极坐标方程。
掌握特殊位置的直线与圆的极坐标方程。
二、能力目标利用数形结合思想，研究曲线的极坐标方程三、情感目标类比平面直角坐标系的曲线方程的构建，熟练运用数形结合思想，培养学生结合旧知探究新知的能力。
学生感悟学科内知识的联系，体会世界是辩证联系的。
教学重点掌握直线与圆的极坐标方程，并能根据条件求出直线与圆的极坐标方程。
教学难点掌握直线与圆的极坐标方程的推导过程教学方法与教学手段一、教学方法类比平面直角坐标系的建系并求曲线方程的方法，让学生能够自我发现，如何建立极坐标系求曲线的极坐标方程。
二、教学手段多媒体辅助教学教学过程一、复习引入：在之前的学习过程中，我们学习了曲线的极坐标方程的意义，那么极坐标方程的意义是什么呢？求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？极坐标方程的意义：一条曲线上，任意一点都有一个极坐标适合方程，并且，极坐标适合方程的点都在曲线上，那么，这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
求曲线极坐标方程的步骤：建系，设点，列式，化简，证明。
一般最后一步证明可以不写在答案中。
情境问题：在平面直角坐标系中，你可以根据哪些条件求出直线与圆的方程？可能的答复：关于直线：学生甲：可以通过直线的两个点的坐标求。
学生乙：直线的斜率和截距，可以求直线方程学生丙：直线的斜率，和直线上的一个点的坐标，可以求直线方程。
关于圆：学生丁：圆的圆心坐标和半径，可以求圆的方程。
学生戊：圆上三点的坐标，可以求圆的方程。
请学生丁举例，曾经是如何根据这些条件推导出圆的方程的？〔提示，数形结合〕学生丁：画图〔建系〕，设点，列式〔根据点到圆心的距离等于半径〕，整理。
苏教版高中数学选修知识讲解极坐标方程
极坐标方程 ： ：【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 轴旋转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）（其中n 为整数）． 一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标（1）同一个点：如极坐标系中点4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）都表示点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示． 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,6π⎛⎫⎪⎝⎭、4,3π⎛⎫⎪⎝⎭、4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆．（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-），关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，πθ-）．（4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则12||PP =特例：当12θθ=，1212||||P P ρρ-=-． 要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.要点诠释：由222x y ρ=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)yx xθ=≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan yxθ=按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值；（2）当x=0，y ＞0时，可取2πθ=；（3）当x=0，y ＜0时，可取32πθ=． 要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线C 的极坐标方程．在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρθ=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；若()()ρθρπθ=-，则图形关于射线2πθ=所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称．3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得2cos a ρθ=．坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=．也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2， 即 x 2+y 2=2ax ．由坐标变换公式得 22cos a ρρθ=， 即 2cos a ρθ=．这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程2cos a ρθ=的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）．4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θα=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）．特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θα=（ρ∈R ），或θαπ=+（ρ∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OM OA θ=． 即cos a ρθ=，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=ρ，2AOM πθ∠=-，在直角三角形AOM 中，我们有||cos ||2OM OA πθ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭． ∴cos 2a πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ． 【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【思路点拨】 根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知： A （5，0），2,6B π⎛⎫⎪⎝⎭，4,2C π⎛⎫⎪⎝⎭，35,4D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，E （2，π），45,3F π⎛⎫⎪⎝⎭，53.5,3G π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与2,6π⎛⎫⎪⎝⎭不表示极坐标中同一个点的是（ ）．A ．112,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．132,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．232,6π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 。
圆的极坐标方程
D
6
,
4
为圆心，1
为半径的圆.
D
2,
2
，且过极点的圆的极坐标方程.
O
Q
P,
C
x D
O
x
4sin
P,
Q
4sin
典型例题
例 1 依据所给的极坐标方程，写出圆心坐标和半径.
（1）已知圆的极坐标方程为 10cos ，
则圆心是 5,0 ，半径为 5
.
（2）已知圆的极坐标方程为 10cos ，
（2）以
B
8,
2
为圆心，且过极点的圆.
解 （1）由题意，圆心在 A3,0 ，半径为 3.
因此，所求圆的极坐标方程是 6cos .
（2）由题意，圆心在
B
8,
2
，半径为
8.
因此，所求圆的极坐标方程是 16sin .
反馈训练 1
按下列条件写出圆的极坐标方程：
点的圆的极坐标方程 2a cos
圆心为（b， ），过极
2
点的圆的极坐标方程 2bsin
作业
按下列条件写出圆的极坐标方程：
（1）以 A5,0 为圆心，且过极点的圆；
（2）以
B
பைடு நூலகம்
7,
2
为圆心，且过极点的圆；
（3）以 C 10, 为圆心，且过极点的圆；
（4）以
则圆心是5,0 ，半径为 5 .
（3）已则知圆圆心的 是极 5坐, 2标方，程半为径为
10sin
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图4-2-1
2．圆的极坐标方程 若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ
2 －θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几种常见圆的极坐标方程
图422
[思考· 探究] 1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？
【提示】 求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关 系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边 是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化 而来．
2，在Rt△OMH中，MH＝OMsin θ，即ρsin θ＝ θ＝ 2.
π 2，所以，过A2，4平行于极轴的直线方程为ρsin
图1
图2
(2)如图2所示，在所求直线上任取一点M(ρ，θ)，
π π 3π 3π π ∵A 3，3 ，∴OA＝3，∠AOB＝ 3 ，由已知∠ABx＝ 4 ，所以∠OAB＝ 4 － 3
理解极坐标的概念，能进行极坐标与直角坐标的互化，根据条件建立相应曲 线的极坐标方程．
[再练一题] 3．已知圆C1：ρ＝2cos θ，圆C2：ρ2－2 3ρsin θ＋2＝0，试判断这两个圆的位 置关系．
【解】 法一 圆C1是圆心C1(1,0)，半径r1＝1的圆．
2
化圆C2为极坐标系下圆的一般方程为ρ π 得：1 ＝ρ ＋( 3) －2ρ· 3cos(θ－2)．
求直线的极坐标方程
π π 3π 求：(1)过A 2，4 且平行于极轴的直线；(2)过A 3，3 且和极轴成 4
的直线．
【自主解答】 ⊥Ox于H，连OM.
(1)如图1所示，在所求直线上任意取点M(ρ，θ)，过M作MH
π π ∵A2，4，∴MH＝2· sin4＝
3 3 3 ρ(cos θ＋sin θ)＝ 2 ＋2.
π 3π 所以，过A 3，3 且和极轴成 4 的直线方程为
3 3 3 ρ(cos θ＋sin θ)＝ 2 ＋2.
[再练一题] 1．设
π P2，4，直线
3π l 过 P 点且倾斜角为 4 ，求直线 l 的极坐标方程． 【导学号：98990012】
极坐标的应用
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相 切，求实数a的值．
【思路探究】 将圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0化为普通方程后 求解．
【自主解答】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 圆的普通方程为：x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1， 直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的普通方程为：3x＋4y＋a＝0， |3· 1＋4· 0＋a| 又∵圆与直线相切，∴ ＝1， 2 2 3 ＋4 解得：a＝2，或a＝－8.
阶 段 一
阶 段 三
4.2.2 第 1 课时
阶 段 二
常见曲线的极坐标方程 直线和圆的极坐标方程
学 业 分 层 测 评
1．会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程． 2．进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法． 3．进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美．
[基础· 初探] 1．直线的极坐标方程 若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且直线 l 的倾斜角为 α，则此直线的极坐标方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几种常见直线的极坐标方程：
【解】 如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线l上除P点外的任意一点，极点为 O，连接OM，OP，该直线交Ox于点A，
则有OM＝ρ，OP＝2， π π ∠MOP＝|θ－4|，∠OPM＝2， 所以OMcos∠MOP＝OP， π π 即ρcos|θ－4|＝2，即ρcos(θ－4)＝2，显然点P也在这条直线上． π 故所求直线的极坐标方程为ρcos(θ－4)＝2.
5π ＝12， 5π 7π ∴∠OAM＝π－12＝12. 3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ 4 －θ，在△MOA中，根据正弦定理得 ρ 7π. sin12 3 3π ＝ sin 4 －θ
π π 2＋ 6 7π ∵sin12＝sin4＋3＝ 4 . 3π 将sin 4 －θ展开，化简上面的方程，可得
圆的极坐标方程
π (1)求以B3，2为圆心，3为半径的圆． 3π (2)求以极点和点N2， 4 所连线段为直径的圆的极坐标方程．
【自主解答】
π (1)∵圆心为B(3，2)，半径为3.
∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sin θ. (2)如图，设M(ρ，θ)为
圆上任一点， 则有ONcos∠NOM＝OM，
3π 即ρ＝2cos 4 －θ就是所求圆的极坐标方程．
[再练一题] 2．求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．
【解】 如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与
极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP，PA，
在Rt△OPA中，OA＝8，OP＝ρ，∠AOP＝θ， ∴OA· cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C的极坐标方程.
2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？
【提示】 (1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在 规定范围内求值； (2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简； (3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去 乘方程的两端．
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________