上海市金山中学09-10学年高一下学期阶段质量检测(数学含答桉)

上海金山中学2009学年高一第二学期阶段质量检测试卷
数学
考试时间：90分钟 满分100分
一、填空题：（每题3分,共36分）
⒈ 若4
sin ,(,)5
2
π
ααπ=∈，则αcos =____________________．
⒉ 已知2
1
)tan(=
+απ，则α2sin =____________________． ⒊ 方程515
log (1)log (3)1x x +--=的解是____________________．
⒋ 函数)
3cos()23cos(
x x y --=ππ最小正周期是_________________． ⒌ 将函数x y 2sin 3=的图像向左平移8
π
个单位得到图像的解析式为____________________．
⒍ 函数x x y cos 3sin -=的的单调递增区间为____________________．
⒎ 已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，当04x <≤时，()f x 的图像如图所示。

那么
()sin 0f x x ⋅>的解集是____________________．
第7题图 第8题图 ⒏ 已知函数sin(),(0,0,||)2
y A x A π
ωϕωϕ=+ > > <的图像如图所示，则该函数的解析式为
方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100， 直角三角形中较小的锐角为α，tan
2
α
=________．
⒑ 已知函数x x x f s i n 2s i n
21)(2
+-=，若)43,4(0ππ∈x ，且5
23)(0=x f ，则)3
(0π
+
x f =____________．
⒒ 如图，半径为1的圆与直线l 相交于A 、B 两个不同的点，设x AOB =∠，当直 线l 平行移动时，则圆被直线扫过部分（图中阴影部分）的面积s 关于x 的函数
)(x s =____________________．
⒓ 教
科
书
中
有
如
下
的
对
数
运
算
性
质
：
log ()log log a a a MN M N =+(0,1,0,0)a a M N >≠>>．已知()f x 、()g x 互为反函数
)(R x ∈，若函数)(x g 有性质：对于任意的实数n m ,，有)()()(n g m g mn g +=，通过
类比的思想，猜想函数)(x f 性质：___________________________________________．
二、选择题：（每题4分,共16分） ⒔
若
角
α
是第二象限的角，则
2
α
是
（ ）
（A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角 （C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角 ⒕
“
2()
4
k k Z π
απ=+ ∈”是“t a n α=”成立的
（ ）
(A) 既不充分也不必要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充要条件 （D ）充分非必要条件
⒖ 已知函数x x g 2
sin )(=，21)
2
1()(|
|+
-=x x h ， 则]2
,2[),()()(π
π-∈+=x x h x g x s 的最大值、
l
B
A
O x
最小值
为 （ ）
（A ）最大值为
22123π⎪⎭⎫ ⎝⎛-、最小值为21- （B ）最大值为2
2123π
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-、最小值为
π22
3
- （C ）最大值为21-
、最小值为π
223- （D ）最大值为4211π
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-、最小值为21- ⒗ 设函数x y sin =定义域为],[b a ，值域为]2
1
,1[-，则以下四个结论正确的是 （ ）
①a b -的最小值为
32π; ②a b -的最大值为3
4π; ③a 不可能等于)(6
2Z k k ∈-
π
π; ④b 不可能等于)(6
2Z k k ∈-
π
π.
（A ）①、②、③、④ (B) ②、③、④ （C ）①、②、③ (D) ①、②、④
三、解答题（本大题共48分） ⒘ （8分）已知3cos()45π
α-=， (,)2
π
απ∈，求cos 2α的值．
⒙ （8分）已知函数)(log )(x a ka a x f -=（其中0,1>>k a ），且函数)(x f 的定义域是集
合}1|{≤x x 的子集，求实数k 的取值范围．
⒚ （8分）已知ABC ∆的外接圆半径为
25，且3
cos cos cos 5
a B
b A C +=，求
c 边的长．
⒛ （
10分）某船在海面A 处测得灯塔D 与A 相距30
方向；测得灯塔B 与A 相距海里，且在北偏西75
方向，船由A 向正北方向航行到C 处，测得灯塔B 在南偏西60
方向，这时灯塔D 与C 相距多少海里？D 在C 的什么方向？
东
D
C
A
B
21．（14分）已知函数)2
sin 2sin
1(log )(42
x
x x f a -+=，其中10<<a ． ⑴ 判定函数)(x f 的奇偶性；
⑵ 函数)(x f 是否周期函数？若是，最小正周期是多少？ ⑶ 试写出函数)(x f 的单调区间和最大值、最小值； ⑷ 当21=a 时，试研究关于x 的方程b x f =)(在]4
3,
2[π
π-上的解的个数．
2009学年第二学期阶段质量检测试卷
高一数学答案及评分标准
一、填空题：（每小题3分，满分36分）
二、选择题：（每小题4分，满分16分）
三、解答题：（本题满分48分，解答本题必须写出必要步骤，且在规定处答题）
17、（本题满分8分） 解法一：),2
(
ππ
α∈ ， )4
,43(4
π
παπ
--
∈-∴
34
cos(),sin()4
5
4
5
ππαα-=∴-=- 2分
)]4
(
2sin[)]4
(
22
cos[
2cos απ
απ
π
α-=--=∴ 2分
=)4cos(
)4sin(
2απ
απ
-- 2分
=25
24
53)54(2-=⨯-⨯ 2分
解法二：5
3
)cos (sin 22)4
cos(
=+=
-αααπ
2分 5
23cos sin =
+∴αα 25
7
cos sin 22sin -
==∴ααα0< ),2
(
ππ
α∈∴，5
2
4cos sin 21sin cos -
=--=-∴αααα 2分 )sin (cos )sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+⋅-=-=∴ 2分
=25
24
523)524(-=⨯-
2分
19、（本题满分8分）
解：设ABC ∆的外接圆半径为R ，则B R b A R a sin 2,sin 2==
C B A B A R cos 5
3
)sin cos cos (sin 2=+∴ 2分 C R B A cos 53
21)sin(⨯=
+ =C sin C R cos 53
21⨯ 2分
043
103tan >==
R C 1分 53
sin =C 1分
∴25
12
sin 2==C R c 2分
函数)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈+],)2
1(,[ππ
(注:区间两端开或闭均可, Z k ∈不扣分 ) 1分 函数)(x f 的最大值为0； 1分 函数)(x f 的最小值为4
5
log a
1分 （4）由数形结合得，当0>b 或4
5
log 2
1
<b 时，方程无解； 1分 当0=b 时方程有一个解； 1分 当45log 2
1
=b 或)0,89
(log 21∈b 时方程有2个解; 1分 当]89
log ,45(log 2
12
1
∈b 时方程有3个解. 1分 (注:以上区间的开闭错或讨论不全,均不给分)。