2016垂径定理 切线【教师版】
人教版初三数学：垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
《垂径定理》PPT课件
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①
a 2
2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB 是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE， 那么可用几何语言表述为：
AE BE
CD是直径
CD⊥AB
AD BD
AC
BC
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可 以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知1－讲
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥ CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
知1－练
1 [中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
知1－练
2 【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. 91 cm
C．6 cm D．2 cm
3 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC
的长为( )
华师大版九下数学27.第2课时垂径定理教学课件
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D． C E
O
D
B
例1 如图，两个圆都 以点O为圆心，小圆的 弦CD与大圆的弦AB在 同一条直线上。你认为 AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
O
A C G DB
例2 一条排水管的截面如图所示．排水 管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面 圆心O到水面的距离OC ．
思路：由垂径定理可得M、N分别 是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
A
M ．N
O
B
C
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计 算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直 角三角形是研究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重
合．
⌒⌒ ⌒⌒
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦，并且平分弦所 对的弧．
垂径定理的几何语言
A
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
义务教育教科书（华师）九年级数学
下第册 27章 圆
27.1 圆的认识
——垂径定理
1．若将一等腰三角形沿着底 边上的高对折， 将会产生什 么结果?
２．如果以这个等腰三角形的顶 点为圆心，腰长为半径作圆，得 到的圆是否是轴对称图形呢？
1．结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在 的直线都是对称轴．
北师大版九年级数学课件-垂径定理
4.如圖(1)所示，水準放置的一個油管的截面半徑為13
cm，其中有油部分油面寬AB為24 cm，求截面上有油部
分氏定理即可求出OC的長,進而可求出CD的值.
解:如圖(2)所示，連接OA.根據垂徑定理,得AC=BC=12 cm.
在Rt△OAC中，OA=13 cm，AC=12 cm.
九年級數學·下 新課標[北師]
第三章 圓
學習新知
檢測回饋
學習新知
如右圖所示，“圓材埋壁”是我國古代 數學著作《九章算術》中的問題：“今有圓 材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一 寸，鋸道長一尺,問徑幾何.”用幾何語言可表
述為:CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD於E，
CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為多少?
【問題】 當弦AB⊥CD時,你能得出哪些相等的線段? 相等的弧?相等的角?
垂徑定理
【做一做】 如右圖所示，AB是☉O的一
條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為M.
問題1 此圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什麼?
這個圖是軸對稱圖形,對稱軸是直徑CD所在的直線.
問題2 你能發現圖中有哪些等量關係?說一說你的理由.
垂徑定理的注意事項: (1)條件中的“弦”可以是直徑; (2)結論中的“弧”指平分弦所對的劣弧、優弧.
符號語言:∵CD是圓的直徑,CD⊥AB於M,∴AM=BM, AC BC，AD BD.
垂徑定理的證明
如右圖所示,已知AB是☉O的一條弦,CD
是☉O的一條直徑,並且CD⊥AB,垂足為
M.求證AM=BM, AC BC，AD BD.
已知其中的兩個結論就可以推導出其他的兩個結論.
如右圖所示,一條公路的轉彎處是一段圓弧(即
圖中 CD ，點O是 CD 所在圓的圓心)，其中 CD=600 m，E為 CD 上一點，且OE⊥CD，垂
垂径定理与切线长定理
P
D
牛刀再试
变式2：已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点 分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切 线，交PA、PB于E、F点，连接OA、OB、OQ、 OE、OF.若∠P=50°，则∠EOF= 65 度.
E Q P
A O
F
牛刀再试
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、 B，Q为AB上一点，过Q点作⊙ O的切线，交PA、 PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 易证EQ=EA,FQ=FB, PA=PB
①切线长定理的应用； ②利用勾股定理列出方程进行计算.
知识链接
三角形内心与外心
内切圆
外切圆 外心
●
B
内心
B
O
三条角平分 三条垂直平 线的交点 分线的交点
●
O
A
C 内心到三边 外心到三个顶 A
的距离相等 点的距离相等
C
练一练
1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=150°， 则∠A= 75 度 .
E Q P
A O B F
∴ PE+EQ=PA=12
PF+FQ=PB=PA=12
∴ △P顶点A、C分别 在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆 心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线 段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，已知 DF=DC. （1）求证：DF是半圆P的切线； （2）求线段DF所在直线的解析式.
O C
①构造以半径、弦心距、弦长的一半为边 的直角三角形; ②利用勾股定理或列出方程进行计算.
D
5、已知：⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长 2 3 分别为 2 2 ， ，则∠BAC的度数为（ C ） ．
垂径定理ppt课件
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
几何中的圆的切线垂径定理
几何中的圆的切线垂径定理几何学中的圆是一个常见的图形，它在很多问题中都扮演着重要的角色。
而切线和垂径则是在处理圆相关问题时经常遇到的概念。
在这篇文章中，我们将探讨几何中的圆的切线垂径定理。
圆的切线是指与圆相切的直线，它与圆的切点处于圆上。
在几何学中，圆的切线有很多性质和定理。
其中，切线垂径定理是讲述圆的切线和半径之间的关系的定理之一。
首先，让我们明确圆的半径和直径的概念。
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
而直径则是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径的长度是圆的半径长度的两倍。
在圆中，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径的关系通过切线垂径定理得以描述。
这个定理主要讲述了切线与半径的垂直关系。
根据切线垂径定理，与圆上一点相切的切线垂直于从圆心到切点的半径。
也就是说，切线和半径是相互垂直的。
这个定理为我们解决一些与圆相关的几何问题提供了便利。
在实际问题中，我们可以利用切线垂径定理来求解一些几何问题。
例如，当需要确定切线的方向与某个点的位置关系时，我们可以根据切线垂径定理判断切线和半径是否垂直，从而确定切线的方向。
另外一个应用场景是求解两个圆相切问题。
当我们需要确定两个圆的切点以及切点与切线的关系时，可以利用切线垂径定理来推导解决方案。
此外，切线垂径定理还可以应用于证明一些有关圆的定理和性质。
通过运用这个定理，我们可以建立一些关于切线和半径的关系，并且进一步推导出其他相关的结论。
总结起来，几何中的圆的切线垂径定理是讲述切线与半径之间的垂直关系的定理。
这个定理在解决圆相关的几何问题中提供了便捷和应用的可能性。
无论是在实际问题中求解切线方向还是证明圆的定理，切线垂径定理都有着重要的作用。
通过运用这个定理，我们可以更好地理解圆的性质和特点，进一步拓展几何学的知识。
本文简要介绍了几何中的圆的切线垂径定理。
在实际问题中，切线垂径定理可以用于求解切线方向和圆的切点问题，也可以用于证明其他的圆的性质和定理。
《垂径定理》优秀ppt课件
拓展问题讨论
引导学生提出与垂径定理 相关的拓展问题，如逆定 理、推广等，并进行讨论 和交流。
25
课堂小测验
2024/1/28
测验题目设计
设计涵盖垂径定理基本概念、性质、证明方法和应用场景的测验 题目。
学生完成测验
让学生在规定时间内完成测验，以检验学生对垂径定理的掌握程 度。
测验结果反馈
及时公布测验结果，并针对学生的答题情况进行点评和指导，帮 助学生查漏补缺，巩固所学知识。
向量运算
利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件 进行推导和证明。
3
垂径定理的向量形式
通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为 $(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
2024/1/28
10
03
垂径定理在几何问题中应 用
2024/1/28
11
求解三角形问题
01
利用垂径定理求解直角三角形
深入研究。
2024/1/28
22
06
总结回顾与课堂互动环节
2024/1/28
23
关键知识点总结回顾
2024/1/28
垂径定理的定义和性质
回顾垂径定理的基本概念，包括直径、垂径、弦等要素的定义和 性质。
垂径定理的证明方法
总结垂径定理的多种证明方法，如构造法、解析法等，并强调不同 方法之间的联系和区别。
通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和
角度。
02
求解三角形面积
结合垂径定理和三角形面积公式，可快速求解三角形面积。
2024/1/28
03
判断三角形形状
通过垂径定理判断三角形边长关系，从而确定三角形形状（如等腰、等
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D
★垂径定理、切线
2016 昌平二模 13．如右图，⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接∠A=30º，则⊙O 的半径为 ． 答案：2 2016 朝阳二模 15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D 的长为10，4
sin 5
BOD ∠=， 则AB 的长为________．
答案：16
2016 海淀二模 7．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点， AB OC ⊥点E ，若=30CDB ∠︒，2OA =，则AB 的长为 A ．．2 D ．4
答案：B
2016 通州二模 6. 如图，AB 为⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，如果CD=2，那么⊙O 的半径长为 A.
7 B. 3 C. 4 D. 5
答案：D
2016西城一模8.量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，90AOB ∠=︒，将点O 放在圆周上，分别确定OA ，OB 与圆的交点C ，D ，读得数据8OC =，9OD =，则此圆的直径约为（ ） A ．17 B ．14 C ．12 D ．10
答案：C
2016海淀一模12. 如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ．若AB=8，OC =3，则⊙O 的半径长为________． 答案：5
2016门头沟一模8．如图，⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，半径OD ⊥弦BC 于D ，如果∠BAC =60°，那么OD 的长是（ ） A ．2
B C ．1 D
答案：C
2016大兴一模8．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于点E .若CD ＝6，OE =4，则⊙O 的直径为（ ）
A . 5
B . 6
C .8
D . 10 答案：D
2016朝阳毕业考8．如图，⊙O 的半径为10，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若AB =12，则OC 的长为（ ）
A ．2
B ．
C ．6
D ．8 答案：D
2016延庆毕业考7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E , CD =6,AE =1, 则⊙O 的直径为
A. 6
B.8
C.10
D.12 答案：C
2016 大兴期末15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，直径CD 的长为 寸. 答案：26
2016 东城期末8. 如图，⊙O 的半径为3，点P 是弦AB 连接OP ，若OP =4， ∠P =30°，则弦AB 的长为
A ．B
．
C D ．2
答案：A
D
P
2016 东城期末13. 已知，AB 是⊙O 的一条直径 ，延长AB 至C 点，
使
AC =3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD 则⊙O 半径的长为 . 答案：1
2016 丰台期末14．排水管的截面为如图所示的⊙O ，半径为5m ， 如果圆心到水面 的距离是3m ，那么水面宽AB =__________ m ． 答案：8
2016 门头沟期末15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，如果CE = 1，
AB = 10，那么直径CD 的长为 .” 答案：26
2016密云期末8．如图，已知PA ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，60P ∠=
8PA =， 那么弦AB 的长是
A ．4
B ．8
C
．
D ．答案：B
2016通州期末4. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ， 如果OC = 3，那么弦AB 的长为（ ）.
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10 答案：A
2016西城期末3．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA
相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为
A ．12
B ．O
C
．D
．
答案：C
2016西城期末16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
小敏的作法如下：
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；
由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．。