回归方程参数估计的方差
二元线性回归模型及参数估计
要估计二元线性回归模型 Yi = β0 + β1X1i + β2 X 2i + µi 中的 常用的方法仍然是普通最小二乘法 参数 β 0 、 β 1 、 β 2 ，常用的方法仍然是 普通最小二乘法 常用的方法仍然是 普通最小二乘法。
i=1 设根据给定一组样本数据（ Y i， X 1i， X 2i）， ，2 ，…， n ， 设根据给定一组样本数据 采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为
ˆ 差（即 ∆X j = SXj） ，则被解释变量 Y 变化β ∗ 个标准差（即 j
ˆ ∆Y = β ∗ SY ） 。 j
ˆ∗ ˆ∗ β1 =1.02， β2 = 0.24，则表示：解释变量 X1 变化 1 个 例如
标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变 量 X2 变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 0.24 个标 准差。因此，可以说，Y 对于 X1 变化的敏感程度远大于 Y 对于 X2 变化的敏感程度。
1．偏回归系数的估计 ．
对于二元线性回归模型：
Yi = β 0 + β1X1i + β 2 X 2i + µi ， i=1， 2， … ， n
其中的参数 β 0 、 β 1 、 β 2 称为偏回归系数。
，
所谓偏回归系数， 所谓偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前 偏回归系数 的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时， 的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释 变量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值， 变量变化一个单位而使被解释变量 平均改变的数值，即某一 平均改变的数值 解释变量对被解释变量Y的影响程度。 解释变量对被解释变量 的影响程度。 的影响程度
计量经济学的2.2 一元线性回归模型的参数估计
基于样本数据，所得到的总体回归函数的一个估 计函数称为样本回归函数。
问题：当我们设定总体回归模型的函数形式后， 如何通过样本数据得到总体回归函数的一个估计 （即样本回归函数）？--参数估计问题
E (Y | X i ) 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i
Xi确定
作此假设的理由：当我们把PRF表述为 时，我们假定了X和u(后者代表所有被省略的变量的影 响)对Y有各自的（并且可加的)影响。但若X和u是相关 25 的，就不可能评估它们各自对Y的影响。
线性回归模型的基本假设（4）
假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 意为：ui服从正态分布且相互独立。因为对两个正态 分布的变量来说，零协方差或零相关意为这两个变量 独立。 作该假设的理由：i代表回归模型中末明显引进的许多解释
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
3
回归分析的主要目的是要通过样本回归函 数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函 数（模型）PRF。
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i ui
同方差假设表明：对应于不同X值的全部Y值具有同 样的重要性。
22
线性回归模型的基本假设（2-3）
假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不自相关 性(不序列相关)： (2.3) 不自相关： Cov(i, j|Xi, Xj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 或记为 Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 意为：相关系数为0， i, j非线性相关。 几何意义如下
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。
它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。
本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。
一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。
它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。
在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。
双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。
多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。
方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。
通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。
方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。
二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。
简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。
多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)
回归分析与协方差分析
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称 为Y0的1-α预测区间。 若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据 Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0， 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立，
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放 弃原假设H0，式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x 与Y的观测值的决定系数。
2 i
i
yi ;
(2)计算l xx , l xy , l yy ;
(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。
与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE， 称为剩余平方和。
ˆ和 Y ˆ 看作是统计量， 将a、b和SSE以及 Y i 它们的表达式分别为 n
a Y bx , b
( x
i 1
i
2 ˆ ˆ i 之间的偏差 ( y i y i ) 是y i 与y i 1
n
通过回归已经达到了最小值，称为剩余平 方和，记作SSE。
n i 1
2 ˆ 而 ( y i y ) 表示n个ˆ y i 与y之间的差异，
ˆ i 所造成的， 是将x i 代入回归方程得到 y 称为回归平方和，记作SSR。
回归方程参数估计的方差
回归方程参数估计的方差
摘要：
一、回归方程参数估计的方差简介
二、回归方程参数估计的方差的计算方法
三、回归方程参数估计的方差的意义及应用
四、总结
正文：
回归方程参数估计的方差是一个重要的统计学概念，它在回归分析中起着关键作用。
回归分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，我们通常会根据样本数据来估计回归方程的参数。
而估计出来的参数值会存在误差，这些误差可以用方差来描述。
回归方程参数估计的方差，就是我们用来衡量这些误差大小的量。
回归方程参数估计的方差主要有两种计算方法。
一种是根据参数的定义直接计算，这种方法适用于参数的分布已知的情况。
另一种是利用样本数据来估计，这种方法更常用，因为参数的分布通常是不知的。
利用样本数据估计参数方差的常见方法有矩估计法和最大似然估计法。
回归方程参数估计的方差有两个重要意义。
首先，方差可以用来衡量参数估计的精确程度。
方差越小，参数估计越精确。
其次，方差还可以用来进行假设检验。
例如，我们可以通过比较参数估计的方差和临界值，来判断参数是否显著。
回归方程参数估计的方差在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在经济学
中，我们可以用回归方程参数估计的方差来衡量价格、利率等变量的变化对经济增长的影响。
在医学研究中，我们可以用回归方程参数估计的方差来分析药物剂量、治疗时间等变量对疗效的影响。
总的来说，回归方程参数估计的方差是回归分析中一个重要的概念，它对参数估计的精确度和假设检验都有着重要影响。
2第二节 回归模型的参数估计
（2）输入统计资料： 在EViews软件的命令窗口键入数据输入/编辑命令： DATA Y X 将显示一个数组窗口，此时可以按全屏幕编辑方式输 入每个变量的统计资料； （3）估计回归模型参数： 在数组窗口中点击Procs\Make Equation。 在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键入LS命 令来估计模型。 命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量
（1）建立工作文件： ）建立工作文件：
先启动EViews软件（单击“开始”按钮→ 程序” 先启动EViews软件（单击“开始”按钮→“程序” → EViews软件 3” 单击“ 3.1”) ,出现Eviews软件 出现Eviews “Eviews 3 →单击“Eviews 3.1 ) ,出现Eviews软件 窗口,如下图所示: 窗口,如下图所示:
时间频率 年度 半年 季度 月度 起始期 周 日 非时序数据 终止期
图 2-3 工作文件对话框
选择时间频率为Annual（年度数据） 选择时间频率为Annual（年度数据），再分别点 Annual 击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85 98。 85和 击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85和98。 然后点击OK 将在EViews OK， EViews软件的主显示窗口显示 然后点击OK，将在EViews软件的主显示窗口显示 相应的工作文件窗口。 相应的工作文件窗口。
（ 3 ） 一致性：这是估计量的一个大样本性质，如果随着 一致性： 这是估计量的一个大样本性质， ˆ 样本容量的增加， 越来越接近于真值， 样本容量的增加 ， 估计量 β 越来越接近于真值 ， 则称 ˆ 的一致估计。严格地说， 是依概率收敛于β, β,即 β为β的一致估计。严格地说，ˆ是依概率收敛于β,即： β
在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键 EViews软件的命令窗口中， 软件的命令窗口中 LS命令来估计模型 命令格式为： 命令来估计模型。 入LS命令来估计模型。命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量 其中， 表示常数项；例如： 其中，C表示常数项；例如： LS Y C X
方差分析 线性回归
1 线性回归1.1 原理分析要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。
线性回归方程式：对应的估计方程式为线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。
a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。
为什么要做这种拟合呢？答案是：为了预测。
比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。
线性回归的拟合过程使用最小二乘法，最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。
为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！残差平方和Q，求最小，方法有很多。
代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，为表示方便，引入一些符号，最终估计参数a与b的结果是：自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。
不妨试一试？从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。
线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。
1.2 误差分析考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到e~N(0,δ^2)中，回归方程重写为y = a + bx + e由此计算估计量a与b的方差结果为，a与b的方差不仅与δ和x的波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关。
在设计观测实验时，x的取值越分散，估计ab的误差就越小，数据量越大，估计量b的效果越好。
这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。
1.3 拟合优度检验及统计量拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度，其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，称为统计量，统计量是样本的函数。
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回归方程参数估计的方差
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法，其中一个重要的任务是通过回归方程来估计自变量和因变量之间的关系。
回归方程中的参数估计的方差反映了这些估计值的可靠性和稳定性。
本文将从理论和计算两方面详细介绍回归方程参数估计的方差。
1. 线性回归方程参数估计的方差
线性回归是回归分析中最常用的方法之一。
对于一个简单的线性回归模型，其回归方程可以表示为：
Y=β0+β1X+ϵ
其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示截距，β1表示斜率，ϵ表示误差项。
回归方程的目标是通过样本数据估计出β0和β1的值。
回归方程参数估计的方差用于评估参数估计值的稳定性。
具体来说，我们需要计算两个方差：
1.1. 截距的方差
截距β0的方差可以通过以下公式进行计算：
Var(β0̂)=σ2[1
n
+
X‾2
∑(X i−X‾)2
n
i=1
]
其中，n表示样本容量，X‾表示自变量X的均值，σ2表示误差项的方差。
1.2. 斜率的方差
斜率β1的方差可以通过以下公式进行计算：
Var(β1̂)=
σ2
∑(X i−X‾)2 n
i=1
同样地，σ2表示误差项的方差。
2. 方差的含义和解释
回归方程参数估计的方差用来衡量参数估计值的可靠性和稳定性。
一个较小的方差意味着参数估计值非常接近真实的参数值，可信度较高。
相反，一个较大的方差意味着参数估计值可能相对不准确，可信度较低。
可以通过计算标准误差（standard error）来得到参数估计值的方差的估计值。
标准误差通常定义为方差的平方根。
标准误差越小，参数估计值越可靠。
3. 参数估计的假设
在回归分析中，参数估计的方差的计算依赖于以下假设：
3.1. 线性关系假设
回归方程假设自变量和因变量之间存在线性关系。
如果这个假设不成立，回归分析的结果可能不准确。
3.2. 正态分布假设
回归分析假设误差项ϵ符合正态分布。
这个假设使得我们可以使用最小二乘法进行参数估计。
3.3. 同方差性假设
回归模型假设误差项ϵ在所有自变量取值处的方差都是相同的。
如果误差项的方差（误差项的离散程度）与自变量的取值有关，回归分析的结果可能不准确。
4. 方差分析表
方差分析表（analysis of variance table）可以用来计算参数估计的方差和标准误差。
方差分析表的典型格式如下：
DF SS MS F P-value
回归k SSR MSR MSR/MSE F值的p值
残差n−k−1SSE MSE
总计n−1SST
其中，DF表示自由度（degree of freedom），SS表示平方和（sum of squares），MS表示均方（mean squares），F表示方差比（variance ratio），P-value表示F值对应的p值。
5. 通过软件计算参数估计的方差和标准误差
在实际应用中，我们通常使用统计软件来计算回归参数估计的方差和标准误差。
例如，在R语言中，可以使用lm()函数拟合线性回归模型，并使用summary()函数查
看参数估计的方差和标准误差。
# 拟合线性回归模型
model <- lm(Y ~ X, data = dataset)
# 查看回归参数估计的方差和标准误差
summary(model)
6. 结论
回归方程参数估计的方差和标准误差是评估参数估计值可靠性和稳定性的重要指标。
通过计算方差和标准误差，我们可以判断参数估计值是否接近真实值，并判断回归模型的拟合效果。
在实际应用中，我们通常使用统计软件来计算这些指标，以辅助决策和推断。