立体几何求角的方法
立体几何角的问题知识点与题型分类
立体几何的各种角异面直线所成的角 一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做 异面直线所成的角 。
2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、向量法（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式a =><=cos cos θ方法1：利用向量计算。
选取一组基向量，分别算出 ⋅代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a = ),,(222z y x b =222222212121212121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ二、例题例1、如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中， 12A A A B =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 （ ）例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。
方法一：过B 点作 AC方法二：过AC 的中点作BD1平行线 方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；A B1A 1D 1C C D证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B 、,0)C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723||||cos ==⋅=PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 {}οοο60,45,90 。
立体几何角度求解全攻略
立体几何中的角度问题攻略新东方孟祥飞异面直线角：采用平移法，或者向量线面角：（1）当射影线好找时采用定义法，（2）当射影线不好找时建议采用向量法，但是等体积法也是不错的选择二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少平移运算。
（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积转化。
S 中，E，F为中点，求异面直线BE，SF所称角度例题：1.正四面体ABCSEA CFB异面直线角的求法只需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系，所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。
SEPA CPF和SF所成平面角即所求FBSE这样的构建也是不错的选择EQ 和EB 所成角为所求A CQF B求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则EB=3，EQ=23，QB=27 所以32323247343cos =⨯⨯-+=QEB 此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥A BCD -，且,,,)(,>=<+===AC EF f DFCFBE AE λλλαβαλλ>=<BD EF ,λβ，求)(λf 的单调性 A EQB DFC此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值π，其实就是求角EQF 的单调性，而角EQF 为棱AC 和BD 之间角，是为定值的3.正方体1111D C B A ABCD -，E 是1BC 中点，求DE 与ABCD 所成角。
D 1 C 1 A 1 B 1 ED C Q A B线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此题，线面角的定义是射影和斜线的成角，所以我们要先找DE 直线的射影，不难发现DE 的射影即为DQ ，所以所求线面角的平面角即为∠EDQ ，只需求解直角三角形EDQ 即可求出线面角的三角函数值。
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
立体几何中的向量方法求空间角
PQห้องสมุดไป่ตู้ 为二面角 l 的平面角 .
Q
O
n
n
n
2、利用定义，在两个半平面内找垂直棱的向量
小结论：射影面积 cos
S射 S
m
n
求二面角
5 .在长方体中， A B 2 , AA
1
2 , AD 1,
P 是棱 AB 的中点 . (1)AB
1
平面 A1 PD 1， A 1 - D 1 P - B 1的平面角正切值。
四棱锥 P ABCD 中，
AB AC ， PA 平面 ABCD ，且 PA AB ， E 是 PD 的中点 . 求平面 EAC 与平面 ABCD 所成的角 .
2b
2
2a b
2
4 a 2b
线面角
定义法：找直线在平面内的射影（先找线面垂直） 也可利用等体积法求点到面的距离处理 向量法：求平面的法向量和直线的方向向量 l l n a
a,n
a
a,n
a,n
2
2
α
α
a,n
n
a n sin cos a , n a n
D
.
C B A
结果
22 11
二面角
定义法：在棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的垂线， 转化为异面直线所成角或其补角. 三垂线法：利用三垂线定理和逆定理确定平面角
P
PO ，作 OQ 垂直交线，连结 PQ ，
向量法： 1、求两个半平面的法向量，则二面角的平面角为两法向量 夹角或其补角 补角 本角 m m m 补角
空间几何的立体角
空间几何的立体角立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。
参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面之间的交叉线来确定的。
本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其在实际生活和科学研究中的应用。
一、概念在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。
具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。
这样，我们就可以得到不同的立体角。
根据这个定义，可以得出以下结论：1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。
二、计算方法为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的方法：1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。
具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面体的体积。
该体积就是所求立体角的大小。
这种方法需要对几何体的体积计算有一定的理解和掌握。
2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。
通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。
将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。
通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。
这种方法更加直观，易于理解和计算。
三、应用立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。
当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。
折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。
通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。
2. 建筑设计：在建筑设计中，立体角可以用来描述建筑物之间的角度关系。
例如，在城市规划中，我们可以通过计算不同建筑物之间的立体角来优化建筑物的布局，以获得更好的采光和通风效果。
3. 数学研究：立体角作为空间几何的重要概念，被广泛应用于数学研究中。
立体几何公式大全
一、空间向量的基础公式： 数目积r r a br r r ra / /b （ b 0 ）r模 ar r r r夹角（ a 0 ， b 0 ）二、求角和距离公式： 求异面直线 a 与 b所成角：cos求直线 a 与平面所成角：sin向量式 坐标式r r r r a b a b cos= x 1x 2 y 1 y 2 z 1 z 2r r= x xy yz z =0a b 0 21 1 21 2r r 0, 方向同样 ； =( x 1 , y 1, z 1 ) = ( x 2 , y 2 , z 2 )ab （0,方向相反 ） 即： x 1 x 2 ， y 1y 2 ， z 1z 2r r 2 = x 12y 1 2 z 12aar rx 1 x 2 y 1 y 2 z 1z 2cosa b=rrx 12 y 12 z 12 x 2 2 y 2 2 z 22a br rKP115/例 1a bx 1x 2 y 1 y 2 z 1 z 2JP60/ 例 3rrx 12 y 12 z 12 x 22 y 22z 2 2a br r r KP125/例 1a nr r （ n 表示平面 的法向量） a nluruurJP69/ 例 3(2) 二 面 角设 1 为平面 的法向量 n 1 与平面的法向量 n 2 KP127/例 2（ 2）ur uur的大小:的夹角：则 cos 1n 1 n 2：求二面角 步骤：ur uurn 1 n 2一、瞄：瞄一下看二面角是锐角仍是钝角；二、ur求：先求平面的法向量 n 1 与平面的法向uurur uur ur uurn 1 n 2量 n 2 ，尔后用 cos求出 n 1 与 n 21uruurn 1 n 2的夹角1 ；三、定：同锐相等：若是锐角，1 也是锐角， 则 1 ；同钝相等： 若是锐角， 1 也是锐角，则1 ；锐钝互补：若是锐角，1 也是锐角，则180.1点 P到平面的距离 d:uuur rJP71/ 例 2 AP n注：dr1、直线l//平面，求直线 l n与平面的距离 d: 只需在l注：点 A 为平面上的随意上取一点 P 仍旧用此公式；r一点， n 为平面的法向量2、平面// 平面，求平面与平面的距离d: 只需在平面上取一点P 仍旧用此公式；三、求法向量步骤：（ 1）想法向量r rn( x, y, z) ，利用法向量 n 与平面上的两订交直线方向向量垂直数目积为 0 成立两个方程；r （ 2）求出 x 等于多少 z, y等于多少 z; 并令 z=1 从而求出 x,y, 从而获得法向量n ；或许求出 x 等于多少y, z 等于多少 y; 并令 y=1 从而求出 x,z, 从而获得法向量rn；或许求出 y 等于多少x, z等于多少x; 并令 x=1 从而求出y,z, 从而获得法向量rn ；r（ 3）把所求的法向量n 代入方程组查验！r四、法向量 n 的在证明题顶用途:(1)线面平行： l平面r rl / /平面：拜见JP65/例2且l n（证明线面平行问题只需转成去求线的向量与法向量数目积为0 即可）ur uur(2)面面平行： n1/ / n2平面/ /平面：拜见JP65/例2（证明面面平行问题只需转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可）(3)r r r线面垂直： l / /n l 平面：（证明线面垂直问题只需转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可）ur uur(4)面面垂直： n n平面平面：拜见 JP65/ 例 312（证明面面垂直问题只需转成去求两法向量数目积为0 即可）（整理不易，望同学们好好珍惜利用！）。
立体几何求线线角的方法
立体几何求线线角的方法
在立体几何中，求线线角的方法主要有以下几种：
1. 利用垂足定理：当两直线相交时，将垂足抬高成两个相互垂直的直角，然后利用已知条件求解。
2. 利用平行线之间的性质：当两条线平行时，其对应的内角、外角及同位角相等，可以利用这一性质求解线线角。
3. 利用圆内切、外切性质：当两条直线分别与内切圆或外切圆相切时，由于切点与圆心连线垂直，可以利用垂足定理求解。
4. 利用正弦定理、余弦定理：当已知两条直线的夹角和其它边长或角度时，可以利用正弦定理或余弦定理求解线线角。
5. 利用矢量运算：将两条直线表示为矢量形式，然后利用矢量运算求解线线角。
需要注意的是，对于线线角的求解，常常需要已知某些边长、角度或者有关线段的关系，因此在具体问题中，需要利用给定的条件来选择适合的求解方法。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
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立体几何求角的方法
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立体几何中求角是有规律可循的
首先要掌握角度问题的分类
（两条直线所成的角、两条异面直线所成的角；直线（斜线）和平面
所成的角、二面角）
其次要按照相关分类的方法进行求解
公式法
其中向量做法是很好的一种
基本步骤
【看】【找】【作】【解】
【看】
首先要对所做题目当中的基本元素进行观察，看这个要求的角是否是特殊的角（垂直）的，如果直觉是，那就想办法靠相关定理去证明，这样比较简洁，如果感觉不像那就进行下一步；
【找】
在立体图中能够直接找到现成的线连接起来的角，这样便可直接进行角度的计算，这个步骤要按照角的分类和基本元素确定，当然，在计算之前是要根据相关理论进行说明的；
【作】
根据上一步找到的角进行，按照接的分类具体做出这个角，往往涉及到要作垂直线段、做垂面等等；
【解】
在做出的三角形中具体列式求解作出结论。
（联系QQ：707615372）
例如：
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD,且PA＝AD＝DC＝½,AB＝1，M是PB得中点。
﹙1﹚求证：面PAD⊥面PCD
﹙2﹚求直线AC与PB所成角的余弦值
﹙3﹚求面AMC与面BMC所成二面角的大小。