频域分析

第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。

此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。

当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。

本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。

频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。

频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。

第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。

这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。

不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G nj jn =+=+++==∏= (5—3)式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n pp p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。

由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+=（5—4）输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=nj jps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω上式可改写成(利用部分分式法)n n p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++=221121)(ωω (5-5) 上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。

其中a 1和a2是共扼复数。

将式 (5—5)两边取拉氏反变换，可得0)(t e b e b e b e a e a t y t p n t p t p t j t j n ≥+++++=---- 212121)(ωω (5—6)对于稳定的系统，由于极点n p p p ---,,,21 都具有负实部，所以当t →∞时，t p t p t p n e e e ---,,,21 都将衰减到零。

这时输出信号y(t)只由式(5—6)中的第一项和第二项决定，即稳态输出y (∞)为t j t j e a e a y ωω21)(+=∞- (5—7)式(5—7)中的待定系数a 1和a 2可分别由留数定理求得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--+=--=+-+==-=)(2)())(()()(2)())(()(21ωωωωωωωωωωωωj G j U j s j s j s U s G a j G j U j s j s j s U s G a j s j s （5—8） 上式中 G(j ω)和G(-j ω)都是复数，可以用极坐标形式表示为⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=∠--∠)()()()()()()()(ωωωωωωωωj G j j G j j G j e j G e j G j G e j G j G （5—9）将式(5—8)、式(5—9)代入式(5—7)得[][])t Ysin( )G(j t )j G U e e j)j G U e e j G jUe e j G j U y ))G(j t j ) G(J t j t j j G j t j j G j ϕωωωωωωωωωωωωωωω+=∠+=-=+-=∞∠+-∠+∠--∠-sin (21()(2)(2)(()()()( (5-10)式中)G(j )j G U Y ωϕω∠==,(式(5-10)表明，线性定常系统在正弦输人信号t U t u ωsin )(=的作用下，稳态输出信号y (∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号y (∞)的振幅Y 是输入信号振幅U 的)(ωj G 倍，相位移为)G(j ωϕ∠=，且都是角频率ω的函数。

相位移ϕ为正时，表示输出信号y (∞)的相位超前输人信号)(t u 的相位；相位移ϕ为负时，表示输出信号y (∞)的相位迟后输入信号)(t u 的相位。

如果改变输入信号)(t u 的频率ω，则)(ωj G 和)G(j ω∠也随之改变。

线性定常系统在正弦输入时，稳态输出y (∞)与输入)(t u 的振幅比)j G U Yω(=和相位移)G(j ωϕ∠=随频率ω而变化的函数关系，分别称为幅频特性和相频特性。

并分别用M(ω)和ϕ(ω)表示，即)()(()(ωωϕωωj G )j G M ∠==)(ωM 和)(ωϕ合起来称为系统的频率特性。

由式(5-9)可知，)(ωj G 和)G(j ω∠可以由G(j ω)来统一表示，即)()()((ωϕωωωωj j G j e M e )G(j )j G ==∠ (5-11))j G ω(还可以用直角坐标形式来表示)jI()R()j G ωωω+=(式中 )(ωR —)j G ω(的实部，它也是ω的函数，称为实频特性；)(ωI —)j G ω(的虚部，同样也是ω的函数，称为虚频特性。

从上分析可知，若将传递函数中的s 以j ω代替，就得到频率特性。

即：ωωj s s G j G ==)()(，可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统(或环节)都是成立的。

所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j ω置换其中的s ，就可以得到该系统(或环节)的频率特性。

反过来看，如果能用实验方法获得系统(或元部件)的频率特性，又给确定系统(或元部件)的传递函数提供了依据。

系统频率特性的表示方法很多，其本质上都是一样的，只是表示形式不同而已。

工程上用频率法研究控制系统时，主要采用的是图解法。

因为图解法可方便、迅速地获得问题的近似解。

每一种图解法都是基于某一形式的坐标图表示法。

频率特性图示方法是描述频率ω从∞→0变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线，由于采用的坐标系不同可分为两类图示法或常用的三种曲线：即极坐标图示法和对数坐标图示法或幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线和对数幅相频率特性曲线。

一、幅相频率特性(奈氏图)由以上的介绍可知，若已知系统的传递函数G(s)，那么令s ＝j ω，立即可得频率特性为)j G ω(。

显然，)j G ω(是以频率ω为自变量的一个复变量，该复变量可用复平面[s]上的一个矢量来表示。

矢量的长度为)j G ω(的幅值)(ωj G ；矢量与正实轴间夹角为)j G ω(的相角)G(j ω∠。

那么当频率ω从0变化到∞时，系统或元件的频率特性的值也在不断变化，即)j G ω(这个矢量亦在[s]平面上变化，于是)j G ω(这个矢量的矢端在[s]平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，或称作奈奎斯特图(Nyquist)。

二、对数频率特性(伯德图) 由上面的介绍可知，幅相频率特性是一个以ω为参变量的图形，在定量分析时有一定的不便之处。

因此，在工程上，常常将)(ωM 和)(ωϕ分别表示在两个图上，且由于这两个图在刻度上的特点，被称作对数幅频特性图和对数相频特性图。

1．对数幅频特性为研究问题方便起见，常常将幅频特性)(ωM 用增益L(ω)来表示，其关系为：)(lg 20)(ωωM L = (5—12)在图形中，纵轴按线性刻度，标以增益值；横轴按对数刻度，标以频率ω值，称作对数幅频特性。

2．对数相频特性该图纵轴按均匀刻度，标以)(ωϕ值，单位为度；横轴刻度与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率ω值，称作对数相频特性。

对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图（Bode ） 三、对数幅相频率特性(尼柯尔斯图)将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以)(ωϕ（度）为线性分度的横轴，以)(lg 20)(ωωM L =（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变量绘制的)(ωj G 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（Nichols ）。

本章只介绍奈奎斯特图和伯德图。

第二节 频率特性的极坐标图（Nyquist 图）一、基本概念由于频率特性G(j ω)是复数，所以可以把它看成是复平面中的矢量。

当频率ω为某一定值ωl 时，频率特性G(j ωl )可以用极坐标的形式表示为相角为)(1ωj G ∠(相角)G(j ω∠的符号定义为从正实轴开始，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)，幅值为)(1ωj G 的矢量，如图5—1(a)所示。

与矢量对应的数学表达式为)(111(ωωωj G j e )G(j )j G ∠=当频率ω从零连续变化至∞(或从-∞→0→∞)时，矢量端点A 的位置也随之连续变化并形成轨迹曲线。

如图5—1(a)中G(j ω)曲线所示。

由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图，又称为G(j ω)的幅相频率特性。

如果G(j ωl )以直角坐标形式表示，即)jI()R()j G 111(ωωω+=如图5—1(b)所示的矢量OA 。

同样，在直角坐标图5—1(b)上也可以作出ω从0变化到∞的G(j ω)轨迹曲线。

如果将两个坐标图重叠起来，则在两个坐标图上分别作出的同一G(j ω)曲线也将重合。

因此，习惯上把图5—1(b)的G(j ω)曲线也叫做G(j ω)的极坐标图。

图5—1 频率特性G(j ω)的图示法（a ）G(j ω)的极坐标图示法；（b ）G(j ω)的直角坐标图示法二、典型环节频率特性的极坐标图 由第二章已知，一个控制系统可由若干个典型环节所组成。

要用频率特性的极坐标图示法分析控制系统的性能，首先要掌握典型环节频率特性的极坐标图。

1．比例环节比例环节的传递函数为G(s)＝K所以比例环节的频率特性为G(j ω)＝K 十j0＝0j Ke (5—13)其频率特性极坐标图如图5-2所示。

其中幅值M(ω) ＝K 。

相位移φ(ω)＝00。

并且都与ω无关，它表示输出为输入的K 倍，且相位相同。

图5—2 比例环节频率特性极坐标图2．积分环节积分环节的传递函数为G(s)＝s 1所以积分环节的频率特性为21101)(πωωωωje j j j G -=-== (5—14)其频率特性极坐标图如图5—3所示，它是整个负虚轴，且当ω→∞时，趋向原点0，显然积分环节是一个相位滞后环节[因为φ(ω)＝-900]，每当信号通过一个积分环节，相位将滞后900。