【学案与检测】高中数学-幂函数(解析版)-高中数学考点精讲精练

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2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 3

3.3 幂函数(精练)【题组一幂函数的概念】1．(2021·福建高一期末)若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=，所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D2．(2021·江苏省锡山高级中学高一期末)若幂函数()f x 经过点()3,33，且()8f a =，则a =( )A ．2B ．3C ．128D ．512【答案】A【解析】设()f x x α=，因为幂函数()f x 经过点()3,33，所以(3)(3)33f α==，解得3α=，所以()38f a a ==，解得2a =，故选：A3．(新教材苏教版必修第一册))若函数()21xf x a a =++是幂函数，则a =________．【答案】0或1- 【解析】由函数()21xf x a a =++是幂函数，可得211a a ++=，解得0a =或1a =-，故答案为：0或1-．4．(2021年湖南)若函数()222433mm y m m x+-=-+为幂函数，则实数m 的值为________；当此幂函数在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________．【答案】1或2 1【解析】由幂函数定义知：2331m m -+=，解得：1m =或2；当1m =时，2241m m +-=-，此时幂函数在()0,∞+单调递减；当2m =时，2244m m +-=，此时幂函数在()0,∞+单调递增；∴当幂函数在()0,∞+单调递减时，1m =.故答案为：1或2；1. 【题组二幂函数的三要素】1．(2020·浙江高一课时练习)5个幂函数：①2y x ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是( ) A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .2．(步步高高一数学寒假作业：作业9幂函数)下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x -= C ．53y x = D ．23y x =【答案】D【解析】A 中，13y x =的定义域和值域均为R ；B 中，12y x-=的定义域为()0,∞+，值域为()0,∞+；C 中，53y x =的定义域和值域均为R ；D 中，23y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞，定义域和值域不相同故选：D3．(2021·江苏省)(多选)已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的α的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BD【解析】当1α=-时，11y x x-==，为奇函数，但值域为{}0y y ≠，不满足条件；当1α=时，y x =为奇函数，值域为R ，满足条件；当2α=时，2yx 为偶函数，值域为{}0y y ≥，不满足条件；当3α=时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选BD.4．(2021·湖南高一期末)已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【答案】()12f x x =【解析】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x =.5．(2021·浙江)已知幂函数 f (x ) = x α满足 f (3) = 33，则该幂函数的定义域为___________. 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为f (3) =33，所以333α=，即1233α-=，解得12α=-，所以12()f x x -=，所以函数的定义域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞6．(2021·上海市川沙中学高一期末)幂函数12y x =的定义域为________________. 【答案】[)0,+∞【解析】解：因为12y x x ==，所以0x ≥，所以函数的定义域为[)0,+∞ 故答案为：[)0,+∞ 【题组三幂函数的性质】1(新教材人教版必修第一册))幂函数的图象过点(3， 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[-1，+∞) B ．[0，+∞) C ．(-∞，+∞) D ．(-∞，0)【答案】B【解析】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， 3)，所以f (3)=3α=3=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B2．(2021·务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高一期末)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A ．2()3f x x =B ．()f x x =C ．41()f x x =D ．3()-=f x x【答案】C【解析】幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A ； ()f x x =与3()-=f x x 不是偶函数，排除B ，D.故选:C3．(2021·河北高一期末)已知幂函数()221()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或1【答案】A【解析】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A4．(2021·宁县第二中学高一期末)已知幂函数()223()22()n nf x n n xn -=+-∈Z 在(0,)+∞上是增函数，则n的值为( ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．1和3-【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以2221+-=n n 解得：3n =-或1n =当3n =-时，()18=f x x 在()0,∞+上是增函数，符合题意. 当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，不符合题意.故选：C5．(2021·四川高一期末)已知幂函数()()22222aaf x a a x+=--，满足()f x 在()0,x ∈+∞为减函数，则a 的值为( ) A ．3或1- B ．3 C ．1- D ．3-【答案】C【解析】由于幂函数()()22222aaf x a a x+=--在()0,x ∈+∞为减函数，所以，2222120a a a a ⎧--=⎨+<⎩，解得1a =-.故选：C.6．(2021·河南高一期末)已知幂函数()()()22231aa f x a a xa --=+-∈R 的图象在()0,∞+上单调递减，则实数a 的值是( )A ．1B ．2-C ．1或2-D ．512+ 【答案】A【解析】由幂函数定义得211a a +-=，解得1a =或2a =-.当1a =时，()4f x x -=在()0,∞+上单调递减；当2a =-时，()5f x x =在()0,∞+上单调递增.故选：A7．(2021·山东高一期末)已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．>>>d b c aD ．>>>c b d a【答案】B【解析】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B8(2021·辽宁高一期末)幂函数23y x =的大致图像是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】203>，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D ，故选：B ．9．(2021·宁波中学高一期末)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠ 【答案】B【解析】对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B10．(2021·河南高一期末)下列函数中，在(),1-∞-上是增函数的是( ) A ．3y x =- B ．24y x x =--C ．1x y x=+ D ．2y x =-【答案】C【解析】本题考查函数的单调性.A 项中，函数3y x =-在R 上单调递减，故A 错误；B 项中，二次函数24y x x =--的图像开口向下，对称轴方程为2x =-，故该函数在(],2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减，故B 错误；C 项中，函数1111x y x x==-++，在(),1-∞-和()1,+∞上分别单调递增，故C 正确；D 项中，函数2y x =-在(],2-∞上单调递减，故D 错误. 故选：C11．(2021·江苏南通·高一期末)幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x-==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去；综上，0m =. 故选：A12．(2021·辽宁高一期末)使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为( ) A ．1- B ．23-C ．12-D ．2【答案】B 【解析】A 选项，1y x=是奇函数，不符合题意. B 选项，321y x =为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，符合题意.C 选项，1y x=是非奇非偶函数，不符合题意.D 选项，2y x ，在()0,∞+上递增，不符合题意.故选：B13．(2021·山东高一期末)已知点(),8a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，若()()130f m f m +-<，则实数m 的取值范围为_________．2⎝⎭【解析】因为()()1bf x a x =-为幂函数，所以11a -=，解得a =2所以()b f x x =，又(2,8)在()f x 上，代入解得3b =，所以3()f x x =，为奇函数因为()()130f m f m +-<，所以()(13)(31)f m f m f m <--=-，因为3()f x x =在R 上为单调增函数，所以31m m <-，解得12m >，故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14．(2021·湖南师大附中高一月考)已知幂函数2()(1)m f x m m x =--的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________. 【答案】2【解析】由于()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，()2f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意.当1m =-时，()11x xf x -==，图象关于原点对称，不符合题意. 所以m 的值为2. 故答案为：215．(2021·辽宁庄河高中高一开学考试)若幂函数()222=33mm y m xm ---+的图象不经过坐标轴，则实数m的值为___________. 【答案】1或2【解析】由题意得：2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得：m=1或2，故答案为：1或2.16．(2021·全国高一期末)已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132mma a +>-的实数a 的值构成的集合为________.3⎝⎭【解析】因为函数()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，得1m =或2m =.若1m =，则()2f x x =为偶函数，不合乎题意；若2m =，则()3f x x =为奇函数，合乎题意.所以，2m =.所以不等式可转化为()()22132a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故答案为：2,43⎛⎫⎪⎝⎭.17．(2020·湖北高一期中)已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．【答案】()3,1-【解析】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =，所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-，所以2230k k +-<，故31k -<<. 故答案为：()3,1-.【题组四幂函数的综合运用】1．(新教材苏教版必修第一册)已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求函数()()()11202g x h x h x x ⎛⎫⎡⎫=+-∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，的值域．【答案】(1)0m =；(2)112⎛⎤⎥⎝⎦，．【解析】(1)∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；(2)由(1)可知，()h x x =，则()12g x x x =+-，102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，令12x t -=，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线， ∴当0t =时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤⎥⎝⎦，．2．(2021·山西高一期末)已知函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值；(2)求函数()()12=+-g x h x x 在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】(1)0m =；(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)因为函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =. 即()h x x =或()6h x x =.又因为函数()h x 为奇函数，所以()h x x =，0m =. (2)()()1212g x h x x x x =+-=+-，设12t x =-，因为11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以0,3t ⎡⎤∈⎣⎦，212t x -=. 所以()22111122t y t t -=+=--+，当1t =时，max 1y =，当0t =时，min 12y =，故值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．(2021·赤峰二中高一期末(理))已知幂函数()2()1()kf x k k x k R =--∈，且在区间(0,)+∞内函数图象是上升的．(1)求实数k 的值；(2)若存在实数a ，b 使得函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，求实数a ，b 的值．【答案】(1)2；(2)a ＝0，b ＝1．【解析】(1)()2()1()k f x k k x k R =--∈为幂函数， ∴211k k --=，解得1k =-或2k =，又()f x 在区间(0,)+∞内的函数图象是上升的，0k ∴>，∴k ＝2；(2)∵存在实数a ，b 使得函数()f x 在区间,a b 上的值域为,a b ，且2()f x x =，∴()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即22a a b b ⎧=⎨=⎩， a b <，∴a ＝0，b ＝1．4．(2020·浙江高一课时练习)已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.(1)求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. (2)对于(1)中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；(2)存在，130-. 【解析】(1)由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.(2)存在.理由如下：由(1)知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件. 5．(2021·上海市第二中学高一期末)已知幂函数223()mm y f x x --==(m ∈Z )在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.(1)求()y f x =的解析式； (2)讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)4()y f x x -==；(2)当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析.【解析】(1)因为幂函数223()m m y f x x --==(m Z ∈)在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，(2)4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x xx --=-==-，此时是偶函数，当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=， ()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.6．(2021·深圳市)已知幂函数()223mm y f x x --+==(其中22m -<<，m ∈Z )满足： ①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.。

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

2024年新高一数学初升高衔接《幂函数》含答案解析

第12讲幂函数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x 的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点 1 幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．知识点 2 幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当11,2,312α=-，时，可得到五个幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数y x=2y x=3y x =12y x=1y x -=定义域R RR [0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 值域R[0,)+∞R[0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在(0,)+∞上递增，在(,0]-∞上递减增函数增函数在(,0)-∞和(0,)+∞上递减过定点点(1,1)3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．知识点 3 作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。

2020_2021学年新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.3幂函数学案含解析新人教A版必修一

3.3幂函数学习目标核心素养1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y＝x 12的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的数学素养.给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数．②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． ③如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数．④如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a ＝S 12，这里a 是S 的函数． ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 m ，那么他骑车的平均速度v ＝t －1m/s ，这里v 是t 的函数．问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x 表示，因变量用y 表示，则对应的函数关系式分别是什么？(2)判断一个函数是幂函数的依据是什么？提示：(1)①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝x 12，⑤y ＝x －1. (2)依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式．1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( )(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )(3)当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数．( )(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( ) [答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－1C[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]3．已知f (x )＝(m ＋1)x m 2＋2是幂函数，则m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．0D [由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2.] 4．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________. 12 [由f (2)＝22可知2α＝22，即α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.]幂函数的概念【例1】已知y ＝(m 2＋2m －2)x ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x αα为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.[跟进训练]1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．]幂函数的图象及应用【例2】 (教材P 91练习T 1改编)点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．解决幂函数图象问题应把握的两个原则1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴简记为指大图高.2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x3来判断.[跟进训练]2.(1)若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c(2)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D(1)B (2)B [(1)令a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.(2)y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移1个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.]幂函数性质的综合应用1．幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解．[解](1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.(2)0.9－12＝⎝⎛⎭⎪⎫10912， 1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，∴1.212>⎝⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)⎝⎛⎭⎪⎫250.5与⎝⎛⎭⎪⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝⎛⎭⎪⎫－35－1.[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，所以⎝⎛⎭⎪⎫250.5.>⎝⎛⎭⎪⎫130.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝⎛⎭⎪⎫－35－1.比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.1．理解1个概念——幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式． 2．掌握1个规律——幂函数图象的变化规律幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的幂的指数由大变小．3．会用3个性质——幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．1．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3B [设f (x )＝x α，则2α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.选B.]2．函数y ＝x 54的图象是( )A B C DC [∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.]3．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)x 1a －2为幂函数，则实数a 的值为( ) A ．－1或2 B ．－2或1 C ．－1D ．1C [因为f (x )＝(a 2－a －1)x 1a －2为幂函数，所以a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1.又a －2≠0，所以a ＝－1.]4．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是________．－18 [因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y 最小值＝(－2)－3＝1－23＝－18.]5．比较下列各组数的大小： (1)3－52与3.1－52；(2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35.[解] (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35 <0，所以4.125>3.8－23>(－1.9)－35.。

2020高一数学新教材必修1教案学案专题3.3 幂函数(解析版)

标轴都没有交点，则实数 m ( )
A． 1
B．2
C．3
D．2 或 1
(4)（2018·四川石室中学高一期中）已知幂函数 ೿ ೿
的图象关于原点对称，且在 t0 上
是减函数，若
t
，则实数的取值范围是（）
A．몐 0t껐
B．몐 t 0 t 껐
C．몐 0 t 껐
D．몐
0 껐 몐t0t껐
2
【答案】(1)C(2)C(3)A(4)B
1 3
11 2＞ 4
1
2.
34
(2)∵y＝x－1 是(－∞，0)上的减函数，且－2＜－3，∴
－2 3
－1＞
－3 5
－1.
35
6
1
1 1
1
1
1
(3)0.25 4 ＝ 4 4 ＝2 2 ，6.25 4 ＝2.5 2 .
1
1
1
1
1
∵y＝x 2 是[0，＋∞)上的增函数，且 2＜2.5，∴2 2 ＜2.5 2 ，即 0.25 4 ＜6.25 4 .
【解析】设幂函数的解析式为 ೿ .
∵幂函数
몐೿껐的图象过点몐 0 껐，∴
，∴ t，∴该函数的解析式为
೿t.
2．如图所示的曲线是幂函数的值依次为（）
೿ 在第一象限的图象，已知 { 0 0 0 }，相应曲线 0 0 t0 对应
A．，，， C．，，，【答案】B
B．，，， D．，，，
又由函数 f x xn 的图象经过点 2,16 ，即 2n 16 ，所以 n 4 ，则 m n 5 .
7．对幂函数
f
(x)
3
x2
有以下结论

新人教a版高中数学高一必修一2.3《幂函数》word精讲精析

新人教a 版高中数学高一必修一2.3《幂函数》精讲精析学习目标展示（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况。

衔接性知识1. 请画出y x =、2y x =、1y x=的图象 2. 请画出2x y =的图象3. 比较函数()2x f x =与2()g x x =在解析式形式上的不同，并说明哪个是指数函数例1. 比较下面大小：（1） 2.43.14、 2.4π与 2.13.14 （2） 2.64()5、 3.82()3-与 3.83()4-【解析】（1） 2.4y x = 在(0,)+∞上是增函数，且 3.14π>， 2.4 2.43.14π∴> 又 3.14x y = 在(,)-∞+∞上是增函数，且2.4 2.1>， 2.4 2.13.14 3.14∴> 从而 2.4 2.4 2.13.14 3.14π>>（2）由指数函数的性质，得 2.60440()()155<<=， 3.8022()()133->=， 3.8033()()144->= 又 3.8y x -= 在(0,)+∞上减函数，且2334<， 3.8 3.823()()34--∴> 从而有 3.8 3.8 2.6234()()()345-->> 例2. 幂函数221()(33)m m f x m m x--=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。

【解析】因为函数是幂函数，所以2331m m -+=，2320m m ∴-+=，12m m ∴==或当1=m 时，11()f x x x-==，数的图像都不经过原点；当2=m 时，()f x x =，数的图像都经过原点，所以1=m例3. 已知幂函数()f x 的图象过1(8,)4点，试求：（1）()f x 的定义域（2）()f x 的奇偶性（3）()f x 的单调区间． [解析]设()f x x α=，则 ∵()f x x α=的图象过1(8,)4点，∴184α=，即2322α－＝，∴23α=-，∴23()f x x -=，即()f x =(1)欲使()f x0≠，∴0x ≠，∴()f x 的定义域为{|0}x x ∈≠R ． (2)对任意x ∈R 且0x ≠，有()()f x f x -===，∴()f x 为偶函数．(3)0α< ，∴()f x 在(0)∞，＋上是减函数，又()f x 为偶函数，∴()f x 在(0)∞－，上为增函数，故单调增区间为(0)∞－，，单调减区间为(0)∞，＋．例4. 已知函数2222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）)(x f 是反比例函数；（3）)(x f 在第一象限它的图像是上升的曲线。

2019_2020学年高中数学第二章2.3幂函数学案(含解析)新人教A版必修1

2.3 幂函数课标要点课标要点学考要求高考要求1.幂函数的概念 a a2.幂函数的图象 b b3.幂函数的性质bb知识导图学法指导1.能正确区分幂函数与指数函数．2．学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质． 3．会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二幂函数的图象与性质函数 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝1x定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞) 上递增在R 上递增在(0，＋∞) 上递增在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．在函数y ＝1x4，y ＝3x 2，y ＝x 2＋2x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数y ＝1x4＝x －4为幂函数；函数y ＝3x 2中x 2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y ＝x 2＋2x 不是y ＝x α(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y ＝1与y ＝x 0＝1(x ≠0)不相等，所以y ＝1不是幂函数．答案：B3．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( ) A ．81 B.13C.181D ．3 解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12，∴f (9)＝912＝3，故选D.答案：D4．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm ＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.答案：A类型一幂函数的概念例 1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y ＝a x(a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．－1 D ．3(3)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，19，则f (4)＝________. 【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，所以m ＝1.(3)设f (x )＝x α，所以19＝3α，α＝－2，所以f (4)＝4－2＝116.【答案】 (1)B (2)A (3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m .(3)先设f(x) ＝x α，再将点(3 ，19)代入求α .方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y ＝x α(α∈R )的函数才是幂函数．②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．(2)求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．②常用方法．设幂函数解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.,跟踪训练1 (1)给出下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4＋x 2；④y ＝3x 5；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝0.3x.其中是幂函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 23m m ＋－是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y ＝1x3＝x－3和y ＝3x 5＝x 53符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．(2)根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数，当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f (x )＝x 3.答案：(1)B (2)f (x )＝x 3(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m 的值，然后逐一验证．类型二幂函数的图象及应用例2 (1)在同一坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)幂函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p，y ＝x q的图象如图，则将m ，n ，p ，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．【解析】 (1)对A ，没有幂函数的图象；对B ，f (x )＝x a(x >0)中a >1，g (x )＝log a x 中0<a <1，不符合题意；对C ，f (x )＝x a(x >0)中0<a <1，g (x )＝log a x 中a >1，不符合题意；对D ，f (x )＝x a (x >0)中0<a <1，g (x )＝log a x 中0<a <1，符合题意．(2)过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n <0，当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1，所以p >1,0<m <1,0<q <1；x >1时，指数越大，图象越高，所以m >q ，综上所述n <q <m 1两种情况讨论 , 同时应注意幂函数的图象必过点(1,1)． (2)依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断．方法归纳根据幂函数的图象比较指数的大小，可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断，也可利用特征，如令x ＝2，作出直线x ＝2与各图象的交点，由指数函数y ＝2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系．跟踪训练 2 当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．解析：幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象经过第一、三象限；y ＝x 12的图象经过第一象限；y ＝x 2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象不可能经过第四象限．答案：四,要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．类型三利用幂函数的性质比较大小例3 (1)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a(2)比较下列各组数中两个数的大小．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1878与⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 ②352-与3.152- ③⎝ ⎛⎭⎪⎫2334与⎝ ⎛⎭⎪⎫3423.【解析】 (1)因为y ＝x 25(x >0)为增函数，所以a >c .因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )为减函数，所以c >b .所以a >c >b .(2)①函数y ＝x 78在(0，＋∞)上单调递增，又18>19，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978. ②y ＝x52-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以352->3.152-.③因为函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x为减函数，又34>23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.又因为函数y 2＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.【答案】 (1)A (2)见解析(1)用函数y ＝x 25的单调性判断a 与c 的大小，用函数y ＝(25)x的单调性，判断c 与b的大小．(2)在解决与幂函数有关的比较大小的问题时，可借助幂函数、指数函数的单调性或取中间量进行比较．方法归纳比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小． (1)3.11.3与2.91.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1432-与⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1213与⎝ ⎛⎭⎪⎫3214. 解析：(1)函数y ＝x 1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3. (2)方法一函数y ＝x －32在(0，＋∞)上为减函数，又因为14<13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1432-＝432，⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-＝332.而函数y ＝x 32在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以432>332，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1；而⎝ ⎛⎭⎪⎫3214>⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1；所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫3214.(1)利用函数y ＝x 1.3的单调性来判断． (2)利用函数y ＝x －23的单调性来判断．(3)找中间量判断.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列结论正确的是( ) A ．幂函数图象一定过原点B ．当α<0时，幂函数y ＝x α是减函数 C ．当α>1时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数解析：函数y ＝x －1的图象不过原点，故A 不正确；y ＝x －1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B 不正确；函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C 不正确．答案：D2．幂函数f (x )的图象过点(3，39)，则f (8)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，由函数的图象过点(3，39)，可得39＝3α，∴α＝23，则幂函数f (x )＝x 23，∴f (8)＝823＝4. 答案：C3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，3，12，－1，则使函数y ＝x α的定义域为R 且函数y ＝x α为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,3B ．－1,1C ．1,3D ．－1,1,3解析：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1是常见的五个幂函数，显然y ＝x α为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R ，所以α≠－1，故α＝1,3.答案：C4．在下列四个图形中，y ＝x12-的图象大致是( )解析：函数y＝x12-的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D5．已知a＝243，b＝425，c＝2513，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知幂函数f(x)＝x21m－ (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1<m<1；∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.答案：f(x)＝x－17．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.答案：(－∞，0)8．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x 11 2f(x)12 2则不等式f(|x|)≤2解析：由表中数据知22＝⎝⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴|x |12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：{x |－4≤x ≤4}三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．解析：(1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 10．比较下列各题中两个值的大小； (1)2.334，2.434； (2)(2)32-，(3)32-；(3)(－0.31)65，0.3565.解析：(1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x 32-为(0，＋∞)上的减函数，且2<3， ∴(2)32->(3)32-. (3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31) 65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31) 65<0.3565. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上所述，可知c <b <a .答案：A12．已知幂函数f (x )＝x223m m －－＋ (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则f (2)的值为________．解析：因为幂函数f (x )＝x223m m －－＋ (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则指数是偶数且大于0，因为－m 2－2m ＋3＝－(m ＋1)2＋4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m 非整数，所以m ＝－1，即f (x )＝x 4.所以f (2)＝24＝16.答案：1613．比较下列各组数中两个数的大小． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1878与⎝ ⎛⎭⎪⎫1978； (2)352-与3.152-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-； (4)0.20.6与0.30.4.解析：(1)函数y ＝x 78在(0，＋∞)上单调递增，又18>19，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978. (2)y ＝x 52-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，∴352->3.152-. (3)函数y ＝x23-是偶函数 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623- ∵y ＝x23-在(0，＋∞)为减函数23>π6 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫π623- ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-. (4)函数取中间值0.20.4，函数y ＝0.2x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4；又函数y ＝x 0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4.∴0.20.6<0.30.4.14．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。

新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数学案含解析新人教A版必修第一册

学习资料新教材高中数学第三章函数的概念与性质 3.3幂函数学案含解析新人教A版必修第一册班级：科目：3．3 幂函数内容标准学科素养1。

通过实例，了解幂函数的概念．数学抽象直观想象数学运算2。

结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x错误!、y＝错误!的图象，了解它们的变化情况及性质．3.会利用幂函数解决一些问题.授课提示：对应学生用书第44页［教材提炼］知识点一幂函数的定义错误!函数f(x)＝x、f(x)＝x2、f（x)＝错误!,以前叫什么函数，它们有什么共同特征？知识梳理(1）一般地，函数y＝xα叫做幂函数（power function),其中x是自变量，α是常数．（2)幂函数解析式的结构特征①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1;③幂xα的系数为1；④只有1项．知识点二幂函数的图象和性质错误!函数y＝x，y＝x2、y＝错误!的图象在第一象限都过什么点?单调性如何？知识梳理常见幂函数（1)y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x错误!、y＝x－1的图象(2）性质幂函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞）R[0,＋∞){x|y∈R且y≠0}单调性在R上为增函数x∈[0，＋∞）时，单调递增x∈(－∞，0）时，单调递减在R上为增函数在[0，＋∞）上为增函数x∈(0，＋∞)时,单调递减x∈（－∞，0）时，单调递减定点（0,0）,（1，1）（0，0），(1，1)(0，0)，（1,1) (0,0)，(1,1）（1，1）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇［自主检测］1．下列函数为幂函数的是(）A．y＝2x3B．y＝2x2－1C．y＝错误!D．y＝错误!答案：C2．已知幂函数y＝f（x)的图象过(4，2）点,则f错误!＝（）A. 2 B。

错误!C.错误!D.错误!答案：D3．幂函数y ＝x α(α∈R )恒过定点________．答案：（1,1)4．已知幂函数f (x ）满足f (2)＝错误!，则f (x )＝________。

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3.3 幂函数新课标要求通过具体实例，结合231,,,,y x y y x y x y x x=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。

知识梳理一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．二、五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减三、一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．名师导学知识点1 幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．【例1-1】在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．【例1-2】已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.【变式训练1-1】给出下列函数:①y=x 3;②y=x 2+2x ;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x ;⑦y=x -2.其中幂函数的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4C [解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C .【变式训练1-2】已知幂函数y=(m 2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域.解:∵y=(m 2-m-1)为幂函数,∴m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m 2-2m-3=-3,则y=x -3(x ≠0);当m=-1时,m 2-2m-3=0,则y=x 0(x ≠0).故所求幂函数的解析式为y=x -3(x ≠0)或y=x 0(x ≠0).知识点2 幂函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例2-1】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2. 在同一坐标系中作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2.知识点3 幂函数的性质比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f (x )=(m 2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= ( )A .2B .-1C .4D .2或-1A 【解析】因为f (x )为幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以m 2-2m-2<0,所以m=2.故选A .【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)3432⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝34x 在(0，＋∞)上单调递增，又32>1，∴3432⎛⎫⎪⎝⎭>341 ＝1. 又∵函数y 2＝32x 在(0，＋∞)上单调递增，且34<1，∴3234⎛⎫⎪⎝⎭<321 ＝1，∴3432⎛⎫ ⎪⎝⎭>3234⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式训练2-1】比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)－3.143与－π3.解 (1)∵y ＝x 0.3在[0，＋∞)上单调递增且23>13，∴⎝⎛⎭⎫230.3>⎝⎛⎭⎫130.3.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.【变式训练2-2】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+ <()332m a -- 的a 的取值范围．解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()131a -+<()1332a --.因为y ＝13x- 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32.名师导练A 组-[应知应会]1．已知点,在幂函数y=f (x )的图像上,则 ( ) A .f (x )= B .f (x )=x 3 C .f (x )=x -2D .f (x )=xB [解析] 设f (x )=x a ,由题意知a==3,所以a=3,所以f (x )=x 3.故选B .2．（2021秋•三明期末）已知幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)，则实数m 的值是() A ．1-B ．12C ．2D ．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m 的值．【解答】解：幂函数21()m f x x -=的图象经过点(2,8)， 2128m -∴=，2m ∴=，故选：C ．3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间．【解答】解：设幂函数()f x x α=，函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==，故它的单调递增区间为(,0)-∞．故选：C ．4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数a Q ∈，如图为幂函数a y x =的图象，则a 的值可以为( )A ．23B ．32 C ．23-D ．32-【分析】根据幂函数的图象关于y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出C 选项正确．【解答】解：根据幂函数a y x =的图象关于y 轴对称，函数是偶函数，排除B 、D 选项；再根据幂函数a y x =的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，所以0a <，排除A ，即C 选项正确．故选：C ．5．已知幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,则实数m 的值为 ( )A .-1B .3C .-1或3D .1或-3B [解析] 因为幂函数y=(m 2-2m-2)在(0,+∞)上单调递增,所以m 2-2m-2=1且m 2+m-1>0,解得m=3,则实数m 的值为3.6．（2021秋•白山期末）若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x =在(0,)+∞上单调递增，则f （2）(= ) A ．14B ．12C ．2D ．4【分析】根据幂函数的定义，令2221m m --=，求出m 的值，再判断m 是否满足幂函数在(0,)x ∈+∞上为增函数即可，确定m 的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．【解答】解：因为函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =．又因为()y f x =在(0,)+∞上单调递增，所以10m -，所以3m =，2()f x x =，从而f （2）224==，故选：D ．7．（2020秋•河南月考）幂函数223()mm y x m Z +-=∈的图象如图所示，则m 的值为( )A ．2-或0B ．1-C ．0D ．2-【分析】依题意，2m =-或1-或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<，再由m Z ∈可得，2m =-或1-或0．又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意；若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意；若0m =，则2233m m +-=-，符合题意，综上，2m =-或0．故选：A ．8．（2022春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <，再化a 、c ，利用幂函数的性质判断a 、c 的大小．【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <；综上知，c a b <<．故选：A ．9．(多选题)已知幂函数f (x )= (m ,n ∈N *,m ,n 互质),则下列关于f (x )的结论正确的是( )A .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数B .当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数C .当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递减D .当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )的定义域为R ABD [解析] f (x )==.当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )是奇函数,故A 中的结论正确;当m 是偶数,n 是奇数时,幂函数f (x )是偶函数,故B 中的结论正确;当0<<1时,幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,故C 中的结论错误;当m ,n 是奇数时,幂函数f (x )=的定义域为R,故D 中的结论正确.故选ABD .10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( ) A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，1α=-时幂函数1y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞是减函数，在其定义域上不是减函数，A 错误；对于B ，0α=时幂函数01(0)y x x ==≠，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B 错误；对于C ，2α=时幂函数2y x =在定义域R 上是偶函数，C 正确；对于D ，3α=时幂函数3y x =在R 上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D 正确．故选：CD ．11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()16f 的值为．【分析】利用待定系数法求出幂函数()y f x =的解析式，再计算1()16f 的值．【解答】解：设幂函数()y f x x α==，R α∈；其图象过点1(4,)2，所以142α=，解得12α=-；所以12()f x x -=，所以112211()()1641616f -===．故答案为：4．12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f (x )=(m 2-5m+7)x m-1为偶函数,则实数m 的值为 .3 [解析] ∵f (x )为幂函数,∴m 2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f (x )=x 为奇函数,不满足题意;当m=3时,f (x )=x 2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.13．（2021秋•湖州期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为；函数()f x 为函数．（填“奇”或“偶” )【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可．【解答】解：幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)， 28α∴=，3α∴=，3()f x x ∴=，定义域为R ，又33()()()f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴是奇函数，故答案为：3，奇．14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数22(22)m y m m x -=--在(0,)x ∈+∞上为减函数，则实数m 的值是【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知2221m m --=，再根据函数在(0,)+∞上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．【解答】解：因为函数22(22)m y m m x -=--既是幂函数又是(0,)+∞的减函数，所以222120m m m ⎧--=⎨-<⎩⇒312m m m ==-⎧⎨<⎩或，解得：1m =-．故答案为：1-．15．（2021秋•道里区校级月考）当01x <<时， 1.1()f x x =，0.9()g x x =，2()h x x -=的大小关系是．【分析】画出这三个函数在区间(0,1)上的图象可得答案．【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知()()()f x g x h x <<故答案为()()()f x g x h x <<16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)n n f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n = ，f （2）= ．【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出n 的值，写出()f x 的解析式，再计算f （2）的值．【解答】解：函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>，即2230n n --<，解得13n -<<；又2n k =，且k N ∈，所以0n =，2，当0n =时，3()f x x =；当0n =时，3()f x x =；所以f （2）328==．故答案为：0，2；8．17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点P 8,.(1)求函数f (x )的解析式;(2)画出函数f (x )的图像,并指出其单调区间.解:(1)设f (x )=x α. ∵f (x )的图像过点P 8,,∴8α=,即23α=2-1,解得α=-,故函数f (x )的解析式为f (x )=(x ≠0). (2)作出函数f (x )的图像如图所示.由图可知,函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f (x )的图像过点(2,).(1)求出函数f (x )的解析式,判断并证明f (x )在[0,+∞)上的单调性;(2)若函数g (x )是R 上的偶函数,当x ≥0时,g (x )=f (x ),求满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围. 解:(1)设f (x )=x α,将点(2,)的坐标代入,得=2α,解得α=, 所以f (x )=.幂函数f (x )==在[0,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-==, 因为x 1-x 2<0,+>0,所以f (x 1)<f (x 2), 故幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增.(2)当x ≥0时,g (x )=f (x ),而幂函数f (x )=在[0,+∞)上单调递增, 所以当x ≥0时,g (x )单调递增.因为函数g (x )是R 上的偶函数,所以g (x )在(-∞,0)上单调递减. 由g (5)=,g (1-m )≤可得|1-m|≤5,解得-4≤m ≤6,所以满足g (1-m )≤的实数m 的取值范围为[-4,6]. B 组-[素养提升]1．已知幂函数y ＝223m m x-- (m ∈Z )的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等于( )A ．1B ．0,2C ．－1,1,3D ．0,1,2答案 C解析 ∵幂函数y ＝223m m x -- (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3≤0，且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数，由m 2－2m －3≤0，得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝－1时，m 2－2m －3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；当m ＝0时，m 2－2m －3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；当m ＝2时，m 2－2m －3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；当m ＝3时，m 2－2m －3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．综上所述，m ＝－1,1,3.2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，()(1)m g x m x =-为幂函数．（Ⅰ）求函数()f x 与()g x 的解析式；（Ⅱ）当a R ∈时，解关于x 的不等式：()()af x g x <．【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）分0a <或4a >，0a =，4a =，04a <<四种情况讨论即可．【解答】解：()I 根据一次函数()f x 的图象过点(0,1)-和(2,1)，设()f x kx b =+，则112b k b -=⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，则()1f x x =- ()(1)m g x m x =-为幂函数，则2m =，故2()g x x =()()()II af x g x <即2(1)a x x -<，则△24(4)a a a a =-=-当0a <或4a >时，不等式的解集为24{|}a a a x x --或24{|}a a a x x +->，当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠；当4a =时，不等式的解集为{|2}x x ≠当04a <<时，不等式的解集为R ．。