数字信号处理 全通滤波器与最小相位系统
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数字信号处理
主要知识点1、数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行处理，这里“处理”的实质是“运算”， 处理对象则包括模拟信号和数字信号。
1、数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数字运算的方法达到处理目的的。
2、数字信号处理的实现方法基本上可以分成两种即软件实现方法和硬件实现方法。
3、梳状滤波器适用于分离两路频谱等间隔交错分布的信号，例如，彩色电视接收机中用于进行亮度分离和色度分离等。
4、时间和幅值均离散化的信号称为数字信号。
5、时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差。
5、时域离散信号有三种表示方法：用集合符号表示序列、用公式表示序列和 用图形表示序列。
6、时域离散信号是一个有序的数字的集合，因此时域离散信号也可以称为序列。
7、关于）（、、n R n u n N )()(δ三种序列之间的关系8、由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。
9、判断序列的周期性例如序列)4()(πj en x =的周期为810、序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及尺度变换。
10、序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及 。
尺度变换 11、序列之间的加法和乘法是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘 11、序列之间的加法和乘法是指它的不同序号的序列值逐项对应相加和相乘。
错 11、序列)(n x ，其移位序列)(0n n x -，当00>n 时，称为)(n x 的延时序列。
12、实指数序列定义为)()(n u a n x n =，当1<a 时序列收敛。
13、实指数序列定义为)()(n u a n x n =，当1>a 时序列发散。
14、已知一序列为{}89531)(、、、、=n x ，则该序列的能量为180。
14、已知一序列为{}82119751)(、、、、、=n x ，则该序列的能量为1061。
15、在时域离散系统中，最重要和最常用的是线性时不变系统。
dspch1_7全通滤波器与最小相位系统
zm dm z m
z m Dm (z 1) Dm (z)
(a) 幅度响应
Am (z) Am (z1)
zmDm (z1) Dm (z)
zmDm (z) Dm (z1)
1
利用实序列DTFT的对称性，有
Am (e j ) 2 Am (z) Am (z 1) zej 1
全通数字滤波器
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
e j
1 re j e j 1 re j ej
A1 (e j ) 1
全通数字滤波器
➢一阶复系数全通数字滤波器
A1(z)
z1 d 1 dz1
z
1
1 1
dz dz 1
(b) 相位响应
d 1 d re j
A1(e j ) e j
1 re jθe j 1 re jθe j
e j
1 r cos( 1 r cos(
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器及特性 最小相位系统定义 全通滤波器的应用 最小相位系统应用
为什么讨论全通和最小相位系统
可以利用全通滤波器进行相位均衡 可以利用最小相位系统进行幅度均衡 可以利用这两个系统表示任意因果系统
全通数字滤波器
➢定义： Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数
(z z1)(z (z p1)(z
z2 ) p2 )
(z zm) (z pm )
pi
( 1 )* zi
( 1( 2 ( m (
因为 Am (e j0) 1 所以 (0) 0 且 1( 0, 2 ( 0, ,m ( 0
所以 m阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。
全通数字滤波器
(c) m阶实系数全通滤波器的相位响应
第6章IIR数字滤波器的设计
3、归一化的系统函数 如果将系统函数的 s , 用滤波器的截止频率 c 去除 ，这样对应的截止频率变为1rad/s，即所谓归一化，相 应的系统函数称作归一化的系统函数记作 H an ( s ')
H an ( s ') H a ( s) |s c s '
H a ( s) H an ( s ') |
中北大学信息与通信工程学院
18 /88
数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
N=4
N=5
中北大学信息与通信工程学院
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数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
取 H a(s) H a(s) 左半平面的极点为 H a(s) 的极点， 这样极点仅有N个，即
sk c e
则
1 2 k 1 j 2 2N
第六章 IIR数字滤波器的设计
中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组 主讲：李沅
中北大学信息与通信工程学院
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数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
第六章 IIR数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟低通滤波器的设计 6.3 模拟滤波器的数字化方法 6.4 IIR数字滤波器设计的综合实例 6.5 其它类型的IIR数字滤波器设计 6.6 全通滤波器与最小相位系统
所以其零点全部在 s 处；即所谓全极点型， 它的极点为
s k (1)
1 2N
( j c ) c e
1 2 k 1 j 2 2N
, k 1,2,... 2 N
也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上（半径为 c），共有2N点。
全通系统与最小相位系统
2 1
H ( z)
N
k 0 N
ak z N k ak z k
k 0
z
N k 0 N
N
ak z k ak z k
k 0
1 D ( z ) N z D( z )
a0 1
全通系统的特性
1
零点在单位圆外 极点在单位圆内
2
相位ϴ随着频率 ω 单调下降
3
全通系统的 特性
2017
全通系统和最小相位系统
目录
01
全通系统
02
最小相位系统
03
二者的关系
01
全通系统
全通系统的定义
全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率w下均为1或某一常 数的稳定系统。
1
公式
| H ap(e ) | （或常数） 1
jw
2
z 1 a H ap ( z ) K , 1 1 az a为实数且0 a 1
全通系统的应用
01
将全通系统与一个不稳定的滤 波器联级，可以将其变成一个 稳定的滤波器
02
全通系统可以作为相位均衡 器使用.
全通系统的应用
应用1
将全通系统与一个 不稳定的滤波器联 级，可以将其变成 一个稳定的滤波器
应用2
全通系统可以作为 相位均衡器使用.
02
最小相位系统
最小相位系统的定义
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于 或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部 的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。在保 持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必 要条件是： 1、对于模拟信号系统，要求其零点(即使系统函数为零的复频 率值)仅位于S平面（即复频域平面）的左半平面或虚轴上；
H ( z)
N
k 0 N
ak z N k ak z k
k 0
z
N k 0 N
N
ak z k ak z k
k 0
1 D ( z ) N z D( z )
a0 1
全通系统的特性
1
零点在单位圆外 极点在单位圆内
2
相位ϴ随着频率 ω 单调下降
3
全通系统的 特性
2017
全通系统和最小相位系统
目录
01
全通系统
02
最小相位系统
03
二者的关系
01
全通系统
全通系统的定义
全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率w下均为1或某一常 数的稳定系统。
1
公式
| H ap(e ) | （或常数） 1
jw
2
z 1 a H ap ( z ) K , 1 1 az a为实数且0 a 1
全通系统的应用
01
将全通系统与一个不稳定的滤 波器联级，可以将其变成一个 稳定的滤波器
02
全通系统可以作为相位均衡 器使用.
全通系统的应用
应用1
将全通系统与一个 不稳定的滤波器联 级，可以将其变成 一个稳定的滤波器
应用2
全通系统可以作为 相位均衡器使用.
02
最小相位系统
最小相位系统的定义
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于 或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部 的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。在保 持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必 要条件是： 1、对于模拟信号系统，要求其零点(即使系统函数为零的复频 率值)仅位于S平面（即复频域平面）的左半平面或虚轴上；
数字信号处理 程佩青第六章ppt课件
D(z)
极点：D ( z ) 的根 零点：D ( z 1 ) 的根
zprej r1
zo
1ej r
r 1
▪ 全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 H (z) H m in (z)H a p (z)
令 ： H ( z ) H 1 ( z ) ( z 1 z 0 ) ( z 1 z 0 * )
▪ 设计思想： s 平面 z 平面
模拟系统 H a(s) H(z)数字系统
▪ H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
▪ 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
▪ fsTT 2 s混 迭
▪ 当滤波器的设计指标以数字域频率 c 给定时，不能通
过提高抽样频率来改善混迭现象
fsT T T, T
T
c
c
T
3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s ) h a ( t ) h a ( n T ) h ( n ) H ( z )
Ha(s)
N k1
s
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器
现代滤波器：
维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
按实现的网络结构或单位抽样响应分：
IIR滤波器（N阶）
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k
极点：D ( z ) 的根 零点：D ( z 1 ) 的根
zprej r1
zo
1ej r
r 1
▪ 全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 H (z) H m in (z)H a p (z)
令 ： H ( z ) H 1 ( z ) ( z 1 z 0 ) ( z 1 z 0 * )
▪ 设计思想： s 平面 z 平面
模拟系统 H a(s) H(z)数字系统
▪ H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
▪ 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
▪ fsTT 2 s混 迭
▪ 当滤波器的设计指标以数字域频率 c 给定时，不能通
过提高抽样频率来改善混迭现象
fsT T T, T
T
c
c
T
3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s ) h a ( t ) h a ( n T ) h ( n ) H ( z )
Ha(s)
N k1
s
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器
现代滤波器：
维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
按实现的网络结构或单位抽样响应分：
IIR滤波器（N阶）
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k
数字信号处理_笔记
T[x(n)]的自变量为 x(n) ，而 y(n) 的自变量为 n 。
T[x(n)]侧重点在于 x(n) ， x(n) 变为 x(n k) ，则将 x(n k) 替换为 x(n)* 带入原式。
而 y(n) 的侧重点在 n 。举例说明：有T[x(n)] g(n)x(n) 则：T[x(n k)] g(n)x(n k)
0 w 2 是偶对成的，相位响应 arg[H (e jw )] 是奇对称的。
当输入为复指数序列 e jw0n 时，对应输出为 y(n) e jw0n H (e jw0 ) 。
另外，输入为正弦序列时，也可以先将其转换为复指数序列，再根据此方法求得输出。 对于不绝对可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。 具体解法：先求傅里叶级数，将原式变换为复指数形式，再求其离散傅里叶变换。 ？？？ 复指数序列与正弦序列的关系：
Y (e jw )
1
X (e jw ) H (e jw )
1
X (e j )H (e j(w ) )d
2
2
五：帕斯维尔(Parseval)定理
知识点：散时间傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 ？？？查资料，比较多就不写了
频谱进行周期延拓，乘以系数乘以 1 T
混叠现象：当采样频率小于信号最大频率的两倍时，对连续时间信号采样后的离散时间信号 的频谱将会重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。原信号不是带限信号，混叠现 象一定存在。解决措施：采样频率应该足够高，如实际工程应用中，采样频率应为输入信号 最大频率的 3-5 倍。
但是， y(n k) g(n k)x(n k) ，既有T[x(n k)] y(n k) 。所以，系统不具有移不
变性。 线性非移变系统：既满足叠加原理，又，满足非移变条件的系统。 线性非移变系统输入为单位取样序列时，输出为单位取样响应。该系统的输出
T[x(n)]侧重点在于 x(n) ， x(n) 变为 x(n k) ，则将 x(n k) 替换为 x(n)* 带入原式。
而 y(n) 的侧重点在 n 。举例说明：有T[x(n)] g(n)x(n) 则：T[x(n k)] g(n)x(n k)
0 w 2 是偶对成的，相位响应 arg[H (e jw )] 是奇对称的。
当输入为复指数序列 e jw0n 时，对应输出为 y(n) e jw0n H (e jw0 ) 。
另外，输入为正弦序列时，也可以先将其转换为复指数序列，再根据此方法求得输出。 对于不绝对可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。 具体解法：先求傅里叶级数，将原式变换为复指数形式，再求其离散傅里叶变换。 ？？？ 复指数序列与正弦序列的关系：
Y (e jw )
1
X (e jw ) H (e jw )
1
X (e j )H (e j(w ) )d
2
2
五：帕斯维尔(Parseval)定理
知识点：散时间傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 ？？？查资料，比较多就不写了
频谱进行周期延拓，乘以系数乘以 1 T
混叠现象：当采样频率小于信号最大频率的两倍时，对连续时间信号采样后的离散时间信号 的频谱将会重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。原信号不是带限信号，混叠现 象一定存在。解决措施：采样频率应该足够高，如实际工程应用中，采样频率应为输入信号 最大频率的 3-5 倍。
但是， y(n k) g(n k)x(n k) ，既有T[x(n k)] y(n k) 。所以，系统不具有移不
变性。 线性非移变系统：既满足叠加原理，又，满足非移变条件的系统。 线性非移变系统输入为单位取样序列时，输出为单位取样响应。该系统的输出
第八章 全通系统与最小相位系统
jω
性质3 性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性
若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n) ，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响 应为h(n)，若系统的输入为δ(n)，系统的输 出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特 性可以表示为
∑
n=0
N −1
| hmin (n) | ≥ ∑ | h(n) |2
z−1 − zo H(z) = H1(z)(1− zo z−1) −1 z − zo 1− z−1zo = [H1(z)( z−1 − zo )][ −1 ] = Hmin (z)HA (z) z − zo
*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后
移到单位圆内。 移到单位圆内。
数字信号处理 第2章 ©2004
的一阶系统函数(r<1)
− z−1 − z1 1 H1(z) = 1− p1z−1
其频率响应为
e −z H1(e ) = H1(z) |z=e jω = 1− p1e
jω
− jω
−1 1 − jω
r sin( ω −ϕ) = exp{− j(ω + 2arctan[ ])} 1− r cos(ω −ϕ)
H(z) =
ak z−N+k ∑
k =0 N
N
ak z−k ∑
k =0
=z
− N k =0 N k =0
ak zk ∑
N
ak z−k ∑
D(z−1) −N =z D(z)
a0 =1
令
,由于 D(e− jω ) = D* (e jω ) 故 z = e jω
D(e− jω ) | H(e jω ) |=| |=1 jω D*(e )
全通滤波器与最小相位系统
数字滤波器设计
在数字信号处理中，可以通过设计数字滤波器来实现最小相位系统。常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法等。
系统辨识与建模
对于已知的最小相位系统，可以通过系统辨识方法确定其传递函数，并进而实现该系统。 这通常涉及到对实验数据的处理和分析，以确定系统的动态特性。
04 全通滤波器与最小相位系 统关系
约束条件
滤波器的设计需要满足一定的性能指标，如通带波动、阻带衰减等，同时还需要 考虑实际电路实现的限制，如元件值范围、电路复杂度等。
优化算法选择及实现过程
算法选择
针对全通滤波器与最小相位系统的优化问题，可以选择遗传 算法、粒子群算法等智能优化算法进行求解。这些算法具有 全局搜索能力强、收敛速度快等优点，适用于复杂非线性优 化问题。
必要的高频成分。
通带波动
确定通带内允许的最大波动范 围，以保证信号传输的稳定性
。
阻带衰减
设定阻带内信号的最小衰减量 ，以有效抑制干扰和噪声。
滤波器阶数
根据过渡带宽度和阻带衰减要 求，选择合适的滤波器阶数， 以实现期望的频率响应特性。
滤波器类型选择及性能评估
巴特沃斯滤波器
具有平坦的通带和较宽的过渡带，适 用于对通带波动要求不高的场合。
因果性
最小相位系统通常是因果的，即 系统的输出只取决于当前和过去 的输入，而与未来的输入无关。
最小群时延
在给定幅频特性的条件下，最 小相位系统的相频特性使得系
统的群时延达到最小。
判定方法
零点位置判定
检查系统的传递函数在复平面上的零点位置。如果所有零 点都位于左半平面或虚轴上，则系统是最小相位系统。
设计方法
01
窗函数法
通过选择合适的窗函数对理想全通滤波器的频率响应进行截断，从而得
在数字信号处理中，可以通过设计数字滤波器来实现最小相位系统。常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法等。
系统辨识与建模
对于已知的最小相位系统，可以通过系统辨识方法确定其传递函数，并进而实现该系统。 这通常涉及到对实验数据的处理和分析，以确定系统的动态特性。
04 全通滤波器与最小相位系 统关系
约束条件
滤波器的设计需要满足一定的性能指标，如通带波动、阻带衰减等，同时还需要 考虑实际电路实现的限制，如元件值范围、电路复杂度等。
优化算法选择及实现过程
算法选择
针对全通滤波器与最小相位系统的优化问题，可以选择遗传 算法、粒子群算法等智能优化算法进行求解。这些算法具有 全局搜索能力强、收敛速度快等优点，适用于复杂非线性优 化问题。
必要的高频成分。
通带波动
确定通带内允许的最大波动范 围，以保证信号传输的稳定性
。
阻带衰减
设定阻带内信号的最小衰减量 ，以有效抑制干扰和噪声。
滤波器阶数
根据过渡带宽度和阻带衰减要 求，选择合适的滤波器阶数， 以实现期望的频率响应特性。
滤波器类型选择及性能评估
巴特沃斯滤波器
具有平坦的通带和较宽的过渡带，适 用于对通带波动要求不高的场合。
因果性
最小相位系统通常是因果的，即 系统的输出只取决于当前和过去 的输入，而与未来的输入无关。
最小群时延
在给定幅频特性的条件下，最 小相位系统的相频特性使得系
统的群时延达到最小。
判定方法
零点位置判定
检查系统的传递函数在复平面上的零点位置。如果所有零 点都位于左半平面或虚轴上，则系统是最小相位系统。
设计方法
01
窗函数法
通过选择合适的窗函数对理想全通滤波器的频率响应进行截断，从而得
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如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
Im( z )
1 a*
´ a
0 1
Re( z )
零极点以单位圆为镜像对称
• 二阶全通系统
z 1 a* z 1 a A2 ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a
*
*
a 1
Im( z )
1 a*
零点： z 1/ a ，1/a
2 1 (2 ) 1
() 1 () 2 1
d () 0 d
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z )
z e j
1
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
m阶实系数全通数字滤波器
-1 0
´ a
1
Re( z )
a*
´
1a
两个零点（极点）为共轭对称 零点与极点以单位圆为镜像对称
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
A1 ( e j )
1
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
e j d 1 de j e j 1 d e j 1 de j
1
全通系统
• 对所有 ，满足:
H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统
H ( e j )
全通
0
2
• 一阶全通系统：
z a A1 ( z ) 1 az 1
1
a为实数 0 a 1
-1
Im( z )
极点： z a 零点： z 1/ a z 1 a* A1 ( z ) a为复数 1 1 az 0 a 1 极点： z a 零点：z 1/ a *
当=0时
当 0时
1 () 2arctan
r sin() 1 r cos()
0 2
1 0 1 0
() 0 () 2
r sin 0 1 (0) 2 arctan 1 1 r cos
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
一阶全通滤波器的相位响应分析
r sin( ) 1 () () 2arctan 1 r cos( ) r sin( ) 1 () 2arctan 1 r cos( )
m阶实系数全通数字滤波器
二阶实系数全通滤波器的相位响应
0
相位响应的主值
2
-
0
0
-2
解卷绕后的相位响应
0 2
-4
最小相位系统
定义：
零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为
最小相位系统。记为Hmin(z)。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相
位系统具有最大的相位，最小的延时。
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器的定义*
一阶复系数全通滤波器
m阶实系数全通系统
最小相位系统*
全通数字滤波器的定义
定义： 如果利用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器 的系统函数，则有
Am ( z) Am ( z ) 1
Am ( e
j
1
) Am ( z ) Am ( z )
1
2
z e j
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
Im( z )
1 a*
´ a
0 1
Re( z )
零极点以单位圆为镜像对称
• 二阶全通系统
z 1 a* z 1 a A2 ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a
*
*
a 1
Im( z )
1 a*
零点： z 1/ a ，1/a
2 1 (2 ) 1
() 1 () 2 1
d () 0 d
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z )
z e j
1
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
m阶实系数全通数字滤波器
-1 0
´ a
1
Re( z )
a*
´
1a
两个零点（极点）为共轭对称 零点与极点以单位圆为镜像对称
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
A1 ( e j )
1
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
e j d 1 de j e j 1 d e j 1 de j
1
全通系统
• 对所有 ，满足:
H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统
H ( e j )
全通
0
2
• 一阶全通系统：
z a A1 ( z ) 1 az 1
1
a为实数 0 a 1
-1
Im( z )
极点： z a 零点： z 1/ a z 1 a* A1 ( z ) a为复数 1 1 az 0 a 1 极点： z a 零点：z 1/ a *
当=0时
当 0时
1 () 2arctan
r sin() 1 r cos()
0 2
1 0 1 0
() 0 () 2
r sin 0 1 (0) 2 arctan 1 1 r cos
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
一阶全通滤波器的相位响应分析
r sin( ) 1 () () 2arctan 1 r cos( ) r sin( ) 1 () 2arctan 1 r cos( )
m阶实系数全通数字滤波器
二阶实系数全通滤波器的相位响应
0
相位响应的主值
2
-
0
0
-2
解卷绕后的相位响应
0 2
-4
最小相位系统
定义：
零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为
最小相位系统。记为Hmin(z)。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相
位系统具有最大的相位，最小的延时。
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器的定义*
一阶复系数全通滤波器
m阶实系数全通系统
最小相位系统*
全通数字滤波器的定义
定义： 如果利用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器 的系统函数，则有
Am ( z) Am ( z ) 1
Am ( e
j
1
) Am ( z ) Am ( z )
1
2
z e j