全通滤波器与最小相位系统
dspch1_7全通滤波器与最小相位系统
zm dm z m
z m Dm (z 1) Dm (z)
(a) 幅度响应
Am (z) Am (z1)
zmDm (z1) Dm (z)
zmDm (z) Dm (z1)
1
利用实序列DTFT的对称性，有
Am (e j ) 2 Am (z) Am (z 1) zej 1
全通数字滤波器
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
e j
1 re j e j 1 re j ej
A1 (e j ) 1
全通数字滤波器
➢一阶复系数全通数字滤波器
A1(z)
z1 d 1 dz1
z
1
1 1
dz dz 1
(b) 相位响应
d 1 d re j
A1(e j ) e j
1 re jθe j 1 re jθe j
e j
1 r cos( 1 r cos(
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器及特性 最小相位系统定义 全通滤波器的应用 最小相位系统应用
为什么讨论全通和最小相位系统
可以利用全通滤波器进行相位均衡 可以利用最小相位系统进行幅度均衡 可以利用这两个系统表示任意因果系统
全通数字滤波器
➢定义： Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数
(z z1)(z (z p1)(z
z2 ) p2 )
(z zm) (z pm )
pi
( 1 )* zi
( 1( 2 ( m (
因为 Am (e j0) 1 所以 (0) 0 且 1( 0, 2 ( 0, ,m ( 0
所以 m阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。
全通数字滤波器
(c) m阶实系数全通滤波器的相位响应
几种特殊的滤波器
N
a z
k 0 k
k 0 N
z
N
D z 1 D z
k
因为上式中系数是实数，因此
D( z )
所以
D (e
j
) D (e )
jw jw
j
H e
jw
D e
D e
1
4
全通滤波器的零、极点分布规律
零点
极点
zk
pk z
1 k
k
zk
1 k
代替时，可得到与其幅频特性相同的最小相位系统。
H z Hmin z Hap z
H e j H min e j
2）在幅频特性相同的所有因果稳系统中，最小相位
系统的相位延迟(负的相位值)最小。 全通系统Hap(z)的相位函数是非正的。
17
3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。
解：将各系统函数因式分解，可得到它们的零点并进
而判定系统的性质。
H1 z : z1,2 1 2,1 3, 为最小相位系统。 H 2 z : z1,2 2,3, 为最大相位系统。 H 3 z : z1,2 1 2,3, 为混合相位系统。 H 2 z : z1,2 2,1 3, 为混合相位系统。
19
N的大小决定于要滤除的点频的位置， a要尽量靠近1。 由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频 率分别为：
2 50 1 200 2 2 100 1 200 ，
13
零点频率为
Imaginary Part
2 k N ,
0 -1
1
k =0， 1，， 2 3。
全通滤波器与最小相位系统
A1 (e j
)
e j
1 d e j 1 de j
e j
1 1
re j e j re j e j
( ) 2arctan r sin( ) 1 r cos( )
d ( )
1 r 2
0
d
[1 r cos( )]2 r 2 sin 2 ( )
一、一阶全通数字滤波器
特点：
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点互为共轭倒数
H1 ( z )(1
az 1 )
z 1 1
a az 1
故有： H(z) =Hmin(z) A1(z)
例1: 判断以下系统是否为最小相位系统，该系统的
系统函数H(z)为：
H (z)
b z 1 1 az1
,
a
1,
b
1
解: 由于系统的零点为z = 1/b>1，故不是最小相位系统。
写出最小相位系统与全通系统相乘的形式：
d1z (m1) z m
d z (m1) m1
dm z m
z m Dm (z1) Dm (z)
3、最小相位系统
——零极点都在z平面单位圆内的因果系统。
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统具有最 大的相位，最小的延时（即最小的相位滞后）。
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最小相位系统
dm1z 1 z1
d m 1
d1z (m1) z (m1)
zm dm z m
z m Dm (z1) Dm (z)
特点：
(a) m阶全通滤波器的幅度响应为1
由于：Am ( z) Am
( z 1 )
z m Dm ( z 1 ) Dm (z)
2012DSP第9讲
所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。
模拟信号及其抽样信号在时域和频域中的相互关系
(1).r与σ 的关系
σ =0,即S平面的虚轴 → r=1,即Z平面单位圆；
σ <0,即S的左半平面 → r<1,即Z的单位圆内； σ >0, 即S的右半平面 → r>1,即Z的单位圆外 。
j 0
0
→
(2).ω 与Ω 的关系（ω =Ω T）
Ω = 0，S平面的实轴， ω = 0，Z平面正实轴； Ω =Ω 0(常数)，S:平行实轴的直线， ω = Ω 0T,Z:始于 原点的射线； Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面.
序列x(n)的z变换为 ,显然，当
，考虑到 时，序列x(n) 的 z 变
换就等于理想抽样信号的拉氏变换。
两个域的映 射关系?
2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系）
S平面用直角坐标表示为：
Z平面用极坐标表示为：
又由于
所以有：
因此，
; 也即： Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω 相对应。
j
3 T
jIm[Z] ω
T
0
Re[Z]
T 3 T
二.Z变换和傅氏变换的关系
连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω 作为Z平面的单位圆的参数， ω 表示Z平面的辐角，且 。
可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联 而成，即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) （2.6.16）
第8章全通滤波器
第8章全通滤波器1、如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，全通滤波器的频率响应函数可表示成全通滤波器的系统函数的一般形式：二阶滤波器级联形式为：证明：由于系数是实数，所以如果将零点和极点组成一对，将零点与极点组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果为全通滤波器的零点，则必然是全通滤波器的极点。
全通滤波器系统函数2、一个因果稳定的时域离散线性非移变系统，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。
如果因果稳定系统的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为，若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。
最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点：(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成，即(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。
(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。
给定一个因果稳定系统，定义其逆系统为8.2 格型滤波器1、全零点格型滤波器：一个M阶的FIR滤波器的系统函数可写成如下形式其中，表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数，对应的格型结构如图所示。
的系数求出格型结构网络系数的逆推公式。
基本格型单元的输入、输出关系如下式：与滤波器系数之间的递推关系为例：FIR滤波器由如下差分方程给定求其格型结构系数，并画出格型结构图解对差分方程两边进行Z变换的3、全极点(IIR)格型滤波器：IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。
求FIR格型结构网络系数：。
数字信号处理 全通滤波器与最小相位系统
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
全通滤波器与最小相位系统1
主讲人：陈后金电子信息工程学院数字信号处理Digital Signal Processing全通滤波器与最小相位系统◆全通滤波器及特性◆最小相位系统定义◆全通滤波器的应用◆最小相位系统应用为什么讨论全通和最小相位系统●可以利用全通滤波器进行相位均衡●可以利用最小相位系统进行幅度均衡●可以利用这两个系统表示任意因果系统定义：A m (z )表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数j (e )1m A Ω=1(1)111(1)11()1m mm m m m mm m d d z d z zA z d z d zd z −−−−−−−−−−++++=++++1111)(−∗−−−=dzdz z A 1<d (a)幅度响应ΩΩΩj j j 1e1e)e (−∗−−−=d dA ΩΩΩj j j e1e 1e−∗−−−=d d 1)e (j 1=ΩA 一阶复系数全通数字滤波器θj er d =ΩθΩθΩj j j j j ee 1ee 1e−−−−−=r r(b)相位响应j j j j j j j e e cos()j sin()(e )e e e e cos()j sin()θθr r θr θA r r θr θ−−−−−−−−⋅−==−−−+⋅−11111ΩΩΩΩΩΩΩΩΩsin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−111111()11z d d z A z z dz dz−∗∗−−−−−==−−1<d θj er d = 一阶复系数全通数字滤波器(b)相位响应2222d ()10d (1cos())sin ()rr r ϕΩΩΩθΩθ−=−<−−+−一阶全通数字滤波器的相位响应为单调递减。
sin()()2arctan1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−一阶全通数字滤波器的相位响应Ωsin()()2arctan 1cos()r r ΩθϕΩΩΩθ−=−−−−θj er d =(c)一阶全通滤波器的极点和零点极点为：θj 1er d p ==零点为：θj 1e )/1(/1r d z ==∗Re z*111()p z =零点与极点存在共轭倒数的关系一阶复系数111()1z d A z dz −∗−−=−1<d θj e r d =1d z z d∗−=−mm m m mm m m m z d z d z d z z d z d d z A −−−−−−−−−−++++++++=)1(111)1(1111)( (a)幅度响应)()(1z D z D z m m m −−=111()()()()1()()m mm m m m m m z D z z D z A z A z D z D z −−−−==1)()()e (j e 12j ===−ΩΩz m m m z A z A A 利用实序列DTFT 的对称性，有m 阶实系数全通滤波器(b)m 阶实系数全通滤波器的极点和零点m 阶实系数全通系统可分解为m 个一阶全通系统的级联*1()i ip z =1212()()()()()()()m m m z z z z z z A z K z p z p z p −−−=−−− 11()()m i i m i i z z K z p ==∏−=∏−一阶全通1)e (j0=m A 因为(0)0ϕ=所以(c)m 阶实系数全通滤波器的相位响应12((((m ϕΩϕΩϕΩϕΩ)=)+)++) 所以m 阶实系数全通系统的相位响应是非正且递减的。
全通系统与最小相位系统
H ( z)
N
k 0 N
ak z N k ak z k
k 0
z
N k 0 N
N
ak z k ak z k
k 0
1 D ( z ) N z D( z )
a0 1
全通系统的特性
1
零点在单位圆外 极点在单位圆内
2
相位ϴ随着频率 ω 单调下降
3
全通系统的 特性
2017
全通系统和最小相位系统
目录
01
全通系统
02
最小相位系统
03
二者的关系
01
全通系统
全通系统的定义
全通系统是指系统频率响应的幅度在所有频率w下均为1或某一常 数的稳定系统。
1
公式
| H ap(e ) | （或常数） 1
jw
2
z 1 a H ap ( z ) K , 1 1 az a为实数且0 a 1
全通系统的应用
01
将全通系统与一个不稳定的滤 波器联级，可以将其变成一个 稳定的滤波器
02
全通系统可以作为相位均衡 器使用.
全通系统的应用
应用1
将全通系统与一个 不稳定的滤波器联 级，可以将其变成 一个稳定的滤波器
应用2
全通系统可以作为 相位均衡器使用.
02
最小相位系统
最小相位系统的定义
对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点和零点的实部都小于 或等于零，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部 的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统。在保 持系统函数的幅频响应特性不变的情况下，使其相位最小的充分必 要条件是： 1、对于模拟信号系统，要求其零点(即使系统函数为零的复频 率值)仅位于S平面（即复频域平面）的左半平面或虚轴上；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、一阶全通数字滤波器
特点： (b) 一阶全通数字滤波器的相位响应单调递减
A1 ( e j ) e j 1 d e j 1 de j
H
0.2
0.4
0.6
0.8
最大相位系统 (maximum-phase system):
——零点全在单位圆外的因果稳定系统。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最大相
位系统具有最大的延时（即最大的相位滞后）。
例3: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
例2: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为：
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
1
H min
0
1 bz H min ( z ) 1 az1
a=0.9，b=0.4时 H(z)和Hmin(z)的相位响应
1
pha se
1 2 3 0
2 2 2
0
一、一阶全通数字滤波器
特点： (c) 一阶全通滤波器的极点和零点互为共轭倒数
z d z re A1 ( z ) 1 1 dz 1 re j z 1
极点为：
1
1
j
p1 d re j
零点为： z1 (1/ r ) e j
一阶全通系统的零点与极 点存在共轭倒数的关系：
那么H(z)就能表示成： H(z)=H1(z) (z1 a*) 按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为：
1 1 1 az z a 1 H ( z ) H1 ( z )(z 1 a ) H ( z )( 1 az ) 1 1 1 az 1 az1
1
why？
Am ( z ) Am ( z )
1
z e j
Am (e ) 1
j
2
一、一阶全通数字滤波器
1、一阶全通数字滤波器（allpass digital filter） 系统函数的通式： 1
z d A1 ( z ) 1 1 dz
d 1
特点：
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应为1 j j e d 1 d e j j A1 ( e ) e j 1 de 1 de j
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，|a|<1，
故有：
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例1: 判断以下系统是否为最小相位系统，该系统的
1 b z 系统函数H(z)为： H ( z ) , a 1, b 1 1 1 az
解: 由于系统的零点为z = 1/b>1，故不是最小相位系统。
3、最小相位系统
——零极点都在z平面单位圆内的因果系统。
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统具有最 大的相位，最小的延时（即最小的相位滞后）。
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最小相位系统 与全通系统的级联:
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
1 * p1 ( ) z1
二、m阶实系数全通滤波器
2、m阶全通数字滤波器的系统函数：
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
特点： (a) m阶全通滤波器的幅度响应为1
由于：Am ( z ) Am ( z )
1
z m Dm ( z 1 ) z m Dm (
1
Am ( e
j
) Am ( z ) Am ( z 1 )
2
1
二、m阶实系数全通滤波器
零点z=1/b，在单位圆外。显然，该因果稳定系 统为最大相位系统。
四、小结
1、一阶全通滤波器
z 1 d A1 ( z ) 1 dz 1 d 1
2、 m阶实系数全通滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
写出最小相位系统与全通系统相乘的形式：
b z 1 1 bz1 1 bz1 b z 1 H ( z) 1 1 1 az 1 bz 1 az1 1 bz1
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为：
1 bz1 H min ( z ) 1 1 az
e j
1 re j e j 1 re j e j
( ) 2 arctan
d ( ) d
r sin( )
1 r cos( )
1 r 2 [1 r cos( )] r sin ( )
特点： (b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点的关系
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有： zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
(c) m阶实系数全通系统的相位也是递减的。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的乘积。
由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数 全通系统的相位也是递减的。
第一章 离散信号与系统分析
1.7
全通滤波器与最小相位系统
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、一阶全通滤波器
二、m阶实系数全通滤波器
三、最小相位系统
重点与难点
重点
无
难点
无
一、一阶全通数字滤波器
什么是全通数字滤波器？ 如果m 阶实系数全通滤波器的系统函数Am(z) 满足：
Am ( z) Am ( z ) 1
0 -2 -4 0 2
三、最小相位系统
什么是最小相位系统？
零极点都在z平面单位圆内的因果系统称为最小相位 系统。记为Hmin(z)。
特点：
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相位系统 具 有 最大的相位，最小的延时 （ 即 最小 的 相 位滞 后）。
三、最小相位系统
结论：任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为最 小相位系统与全通系统的级联。 H ( z ) H min ( z ) Am ( z )