总体标准差的极差估计法
标准不确定度A类评定中极差法的深入讨论
标准不确定度A类评定中极差法的深入讨论陈凌峰【摘要】JJF 1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》与GUM的区别之一是在标准不确定度的A类评定中引入了极差法.假设总体分别服从正态分布和均匀分布,则总体标准差的极差估计量,以及用于实际计算的极差系数可以从样本极差的分布函数导出.理论分析表明:虽然用极差法估计的总体标准差是无偏的,但是估计的总体方差偏大,这将导致最终测量结果的合成标准不确定度偏大.同时JJF 1059.1中仅提供了总体接近正态分布时的极差系数,并不适用于所有情况.作为比较,不论总体分布如何,使用贝塞尔公式估计的总体方差总是无偏的,不会给测量结果的合成标准不确定度带来原理性误差.由于极差法存在概率统计学上的原理性误差以及适用性限制,建议在标准不确定度A类评定中应审慎使用极差法.【期刊名称】《计量学报》【年(卷),期】2019(040)002【总页数】6页(P347-352)【关键词】计量学;标准不确定度;极差法;无偏估计;正态分布;均匀分布【作者】陈凌峰【作者单位】北京理工大学光电学院,北京100081【正文语种】中文【中图分类】TB91 引言国家计量技术规范JJF 1059.1—2012《测量不确定度评定与表示》中推荐了两种基本的标准不确定度A类评定方法，即贝塞尔公式法和极差法。
其中贝塞尔公式法对输入量X的分布没有限制，但极差法的应用前提是输入量X接近服从正态分布[1]。
在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立重复观测，测得值分别为x1,x2,…,xn，n个观测值的算术平均值为则单次测量结果的实验标准差sn可用贝塞尔公式计算：其中在重复性或复现性条件下，对被测量X进行n次独立重复观测，若n个测得值x1,x2,…,xn中的最大值与最小值之差为Dn，在被测量X接近正态分布的前提下，单次测量结果的实验标准差s可近似表示为：(1)式中：系数C称为极差系数，其与测量次数n有关。
标准偏差与相对标准偏差
标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据的。
是指结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。
是的重要参数之一。
是测量变动的统计测算法。
它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。
标准偏差在、、等领域中均得到了广泛的应用。
因此, 标准偏差的计算十分重要, 它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。
然而在对标准偏差的计算中, 不少人不论测量次数多少, 均按计算。
样本标准差的表示公式数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
•如果价格保持平稳，这个指标值不高。
•在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、(每个样本数据－全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以(n - 1)（“n”指）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是的标准偏差。
六个计算标准偏差的公式标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i Xσ2 = l2X……σn = l n X我们定义标准偏差(也称)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差数学表达式：∙S-标准偏差（%）∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式[1]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ1 = l i ? Xσ2 = l2 ? X……σn = l n ? X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是着名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。
于是, 将式(2)改写为(2')在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有于是, 式(2')可写为(2")按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺, 即可。
标准偏差σ的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。
即在大量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。
数理统计平均数、中位数、众数,极差、标准差、方差
平均数、中位数和众数的知识归纳与梳理：（一）平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
即x=（x1+x2+……+xn）÷n中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
平均数：一组数据的平均值平均水平平均数是描述一组数据的一种常用指标，反映了这组数据中各数据的平均大小。
平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动平均数一般的计算方法为：用一组数据的总和除以这组数据的个数．平均数的优点。
反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定．平均数的缺点。
平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算，计算的工作量也较大。
平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。
中位数：在有序排列的一组数据中最居中的那个数据中等水平中位数是描述数据的另一种指标，如果将一组数按从小到大排列那么中位数的左边和右边恰有一样多的数据。
中位数仅与数据的大小排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．中位数是将数据按大小顺序依次排列（相等的数也要全部参加排序）后“找”到的．当数据的个数是奇数时，中位数就是最中间的那个数据；当数据的个数是偶数时，就取最中间的两个数据的平均数作为中位数．中位数的优点。
简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。
中位数的缺点。
中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。
当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。
众数一组数据中出现次数最多的那个数据。
集中趋势众数告诉我们，这个值出现次数最多，一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。
众数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关．一组数据中的众数不止一个．当一组数据中有相同数据多次出现时，其众数往往是我们关心的．众数的优点比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。
标准差
看来，平均数还难以 看来， 概括样本的实际状态， 概括样本的实际状态， 因此, 因此,我们还需要从另外的 角度来考察这两组数据. 角度来考察这两组数据.
环数
思 考 ：什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？ 变化范围的大小？ 我们可以用一组数据中的最大值减去最 小值所得的差来反映这组数据的变化范围。 小值所得的差来反映这组数据的变化范围。 用这种方法得到的差称为极差 用这种方法得到的差称为极差． 极差
例题分析
例1 画出下列四组样本数据的条形图， 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点. 说明他们的异同点. 5， (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； 4， (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
频率 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
O
x=5 s= 0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
3.对同一个总体，可以抽取不同的样本， 3.对同一个总体，可以抽取不同的样本，相应的平 对同一个总体 均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差， 均数与标准差都会发生改变.如果样本的代表性差， 则对总体所作的估计就会产生偏差； 则对总体所作的估计就会产生偏差；如果样本没有 代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大， 代表性，则对总体作出错误估计的可能性就非常大， 由此可见抽样方法的重要性. 由此可见抽样方法的重要性.
标准差用来衡量一批数据的波动大小(即 标准差用来衡量一批数据的波动大小 即 用来衡量一批数据的波动大小 这批数据偏离平均数的大小). 这批数据偏离平均数的大小
标准差的取值范围是什么?标准差为 的样本 标准差的取值范围是什么 标准差为0的样本 标准差为 数据有什么特点?标准差是怎样表现数据的离 数据有什么特点 标准差是怎样表现数据的离 散程度的? 散程度的
标准差的意义
标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。
如果各观测值变异小，则平均数对样本的代表性强；如果各观测值变异大，则平均数代表性弱。
因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。
全距大，则资料中各观测值变异程度大，全距小，则资料中各观测值变异程度小。
但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。
当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度，人们首先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，即（x x -），称为离均差。
虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和为零，即Σ（x x -）=0，因而不能用离均差之和Σ（x x -）来表示资料中所有观测值的总偏离程度。
为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题，可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n 求得平均绝对离差，即Σ|x x -|/n 。
虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。
我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。
先将各个离均差平方，即 (x x -)2，再求离均差平方和，即Σ2)(x x -，简称平方和，记为SS ；由于离差平方和常随样本大小而改变，为了消除样本大小的影响，用平方和除以样本大小，即Σn x x /)(2-，求出离均差平方和的平均数；为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n ，而用自由度n-1，于是，我们采用统计量Σ1/)(2--n x x 表示资料的变异程度。
总体标准差和样本标准差
总体标准差和样本标准差在统计学中，标准差是一种用来衡量数据分散程度的统计量。
它可以帮助我们了解数据集中的数据点与平均值的偏离程度。
在实际应用中，我们常常会遇到总体标准差和样本标准差这两个概念。
它们在统计分析中有着不同的用途和计算方法。
本文将对总体标准差和样本标准差进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
总体标准差是指对整个数据集进行计算得到的标准差，它用希腊字母σ表示。
总体标准差的计算公式如下：σ = √(Σ(xi μ)² / N)。
其中，xi代表每个数据点，μ代表数据集的平均值，Σ代表求和，N代表数据点的个数。
总体标准差的计算方法是先计算每个数据点与平均值的偏离程度的平方，然后将这些平方值相加，再除以数据点的个数，最后取平方根得到标准差。
样本标准差是指对数据样本进行计算得到的标准差，它用希腊字母s表示。
样本标准差的计算公式如下：s = √(Σ(xi x)² / (n 1))。
其中，xi代表每个数据点，x代表数据样本的平均值，Σ代表求和，n代表数据点的个数。
样本标准差的计算方法与总体标准差类似，不同之处在于除数是n-1而不是N，这是因为在计算样本标准差时，我们使用样本的平均值而不是总体的平均值，因此需要对自由度进行修正。
总体标准差和样本标准差的区别主要在于计算方法和用途上。
总体标准差适用于对整个数据集进行分析，而样本标准差适用于对数据样本进行分析。
在实际应用中，我们往往只能获得数据样本而不是整个数据集，因此样本标准差更为常用。
另外，由于样本标准差的计算方法中包含了对自由度的修正，因此在样本较小的情况下，样本标准差能够更准确地估计总体标准差。
总体标准差和样本标准差在统计分析中有着重要的作用。
它们可以帮助我们衡量数据的离散程度，进而进行合理的数据分析和决策。
在实际工作中，我们可以根据具体的情况选择合适的标准差来进行数据分析，以更好地理解数据的特征和规律。
综上所述，总体标准差和样本标准差是统计学中重要的概念，它们分别适用于对整个数据集和数据样本的分析。
总体标准差的极差估计法
总体标准差的极差估计法总体标准差的极差估计法⾃接触SS以来，对于SPC中Xbar图中的Sigma(极差估计法)估计⼀直都没有看到过较详细的解释&说明.只知其运⽤在SPC Xbar中sigma的估计，以及它所计算的是组内的变差。
今天偶然遇到⼀则概念：由极差分布函数求出极差的数学期望值E(R) = d2*sigma；⽅差值D(R) = (d3*sigma)^2不知哪位前辈&⾼⼿可以帮忙深⼊解说⼀下，极差估计法的原理。
thomasgao2010-11-10 16:54:26蛮深奥的问题，曾经研究过，现在也忘得差不多了，尝试着解释⼀下：1。
以正态分布为例，给出⼀族数据，就可以计算出它的均值和⽅差。
⽽从另外⼀个⽅⾯讲任何⼀个正态分布都是由正态分布函数决定的，只不过函数中的系数取值不同⽽已。
知道了分布的函数和其中系数的取值，同样可以推导出这个分布的均值和⽅差。
（正态分布函数是⼀个两参数（均值和⽅差）的函数，具体公式⾃⼰查⼀下，我这⾥不贴了）2。
在最初的SPC中的数据计算是⼿⼯的，没有计算机帮助。
对于分布的均值⽐较容易⼿⼯算，但⽅差就⽐较复杂了。
后来就有⼈提出来⽤极差R来近似⽅差S。
3。
R的计算⽅法简单，取每个⼦组内最⼤值减去最⼩值。
假设有n组数据的话就会有n个R。
这n个R本⾝⼜构成⼀个分布叫做极差分布，具体的公式我都忘记了，感兴趣的话⾃⼰找资料查⼀下。
4。
在画R图是，我们需要知道R的均值和⽅差，这个时候⽤极差分布的公式来推就⽐较容易了，就是你贴中的公式。
其中的系数d2/c4 随着⼦组的⼤⼩⽽变化thomasgao 2010-11-11 09:57:50正态分布的公式贴出来nomal distribution.jpg其中x是变量，µ和σ是参数，它们的取值确定了⼀个具体的分布，所以称为两参数函数。
thomasgao2010-11-11 10:10:37关于极差分布的推导⽐较复杂，我⼿边没有资料提供。
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总体标准差的极差估计法自接触SS以来，对于SPC中Xbar图中的Sigma(极差估计法)估计一直都没有看到过较详细的解释&说明.只知其运用在SPC Xbar中sigma的估计，以及它所计算的是组内的变差。
今天偶然遇到一则概念：由极差分布函数求出极差的数学期望值E(R) = d2*sigma；方差值D(R) = (d3*sigma)^2不知哪位前辈&高手可以帮忙深入解说一下，极差估计法的原理。
thomasgao2010-11-10 16:54:26蛮深奥的问题，曾经研究过，现在也忘得差不多了，尝试着解释一下：1。
以正态分布为例，给出一族数据，就可以计算出它的均值和方差。
而从另外一个方面讲任何一个正态分布都是由正态分布函数决定的，只不过函数中的系数取值不同而已。
知道了分布的函数和其中系数的取值，同样可以推导出这个分布的均值和方差。
（正态分布函数是一个两参数（均值和方差）的函数，具体公式自己查一下，我这里不贴了）2。
在最初的SPC中的数据计算是手工的，没有计算机帮助。
对于分布的均值比较容易手工算，但方差就比较复杂了。
后来就有人提出来用极差R来近似方差S。
3。
R的计算方法简单，取每个子组内最大值减去最小值。
假设有n组数据的话就会有n个R。
这n个R本身又构成一个分布叫做极差分布，具体的公式我都忘记了，感兴趣的话自己找资料查一下。
4。
在画R图是，我们需要知道R的均值和方差，这个时候用极差分布的公式来推就比较容易了，就是你贴中的公式。
其中的系数d2/c4 随着子组的大小而变化thomasgao2010-11-11 09:57:50正态分布的公式贴出来nomal distribution.jpg其中x是变量，μ和σ是参数，它们的取值确定了一个具体的分布，所以称为两参数函数。
thomasgao2010-11-11 10:10:37关于极差分布的推导比较复杂，我手边没有资料提供。
一般统计教程里也不包括这部分内容，楼主感兴趣的话，可能需要花点功夫找一些比较高级的统计教材才有可能有。
kelvinzhang2010-11-13 00:58:44关于用样本的极差R来估计总体的标准差, 很久之前就有很多牛人做过研究, 好像在"ASTM Manual on Presentation of Data and Control Chart Analysis (1976) " 著述中有详细说明.上网查了下, 找到了当年Tippett在1925年研究出的d2公式:paladin_li2010-11-16 14:29:12其实最初我想请教:"关于R与d2所评估的标准差，属于组内标准差"是否有此一说，为什么?kelvinzhang2010-11-16 15:47:46你这个问题问得很有意思. 用组内的R除以d2来估计的标准差就是组内标准差. 同理, 用Rbar除以d2估计的标准差就是组间标准差.其实你关心的SPC中的Xbar图就是这么画出来的: 先算出每一个组内的R和Xbar, 再算出Rbar和Xbarbar, 查表知道d2, 可以算出组间标准差sigma. 用Xbarbar 加减3*sigma/sqrt(n)就能算出上下控制限.所以回答你的问题: 在SPC中的Xbar图中的标准差其实是用Rbar估计出来的, 应该叫组间标准差.paladin_li2010-11-16 16:45:22前辈可否帮忙深入解释一下: R/d2，Rbar/d2估计组内/组间sigma的基本原理!感谢！！2010-11-16 16-40-49.jpgkelvinzhang2010-11-16 17:51:45不太确信你说的基本原理是什么意思. 简单说, 总体的sigma需要用样本的统计量进行估计. 而R/d2就是其中的一个无偏估计. 由于R只反映最大和最小两个数据的差异, 而sigma需要反映所有数据的离散程度. 所以就用d2作为系数进行修偏.paladin_li2010-11-16 20:33:19单个样本组内标准差的估计（R/d2)公式，理解不是很困难。
但是又该如何理解Rbar/d2对组间标准差的估计?比如说，依据R/d2对标准偏差的估计公式，是否可将Xbar组成的组间样本的标准也用R(Xbar的极差)/d2’进行估计呢,即Rbar/d2 = R(Xbar)/d2'是否成立?? kelvinzhang2010-11-18 16:54:27你说的R(Xbar)/d2'其实是对Xbar这个总体的标准差的估计，而Rbar/d2是对X这个总体的标准差的估计。
所以两者之间差了根号N倍，也就是Rbar/d2=R(Xbar)/d2'*sqrt(N)。
jeccy2010-11-18 20:20:49R 代表的是组内变异，Rbar是R组内变异的平均值，所以代表的也是组内变异而d2是系数所以由Rbar/d2估计的标准差就只包含组内变异。
而由Stdev（所有测量结果）计算的标准差, 由于计算过程是每个测量结果跟平均值的差值，并未考虑是组内还是组间，因此会考虑到所有的变异，即同时包含组内和组间变异。
~~不知回答是不是楼主想要的：）paladin_li2010-11-18 20:30:56R是离散程度的一类指标，d2是随样本变换的修偏系数。
R/d2可以作为总体标准差的估计。
即为组内标准差；作为SPC Xbar中的标准差，即所谓的组间标准差(来自同一总体的样本均值分布)为sigma总体/sqrt(n)(中心极限定理);同样该标准差(均值分布)也可以用R(Xbar)/d'进行估计。
而对于Rbar/d2，我认为是仍然是组内标准差的估计。
Rbar只是多组样本的R’的平均值，以此作为总体的偏离参数。
(但是不知为何不以总体的MAX-MIN差为估计??) 以上不知是否正确，请前辈指正！！在控制图中Xbar图的标准差是通过总体标准差计算而得的，为何选择Xbar图，而放弃X(实际观测值)图?除了均值分布有较强的(中心极限定理)正态性外，不知是否还有其他原由。
还向前辈请教。
jeccy2010-11-18 20:45:03回复15# paladin_li其实不管是Xbar还是X，在使用控制图时都是使用的0.9973的概率。
只是每次抽1个样本时其代表性够不够，不够就要抽多个，抽多个后根据中央极限定理，这多个样本的均值的分布的均值会等于个体分布的均值。
jeccy2010-11-18 20:51:27回复15# paladin_li以前有试过用以下三种方式计算sigma(Xbar),进而计算控制限，结果还是相差很大的。
1.sigma(Xbar)= sigma总体/sqrt(n)(中心极限定理);2.用Rbar/d2代替1中的sigma总体3.先求出每次的Xbar，再求sigma（Xbar)paladin_li2010-11-24 22:39:12关于组内、组间，以及组内/组间标准差的问题再次请教.今天在做教育训练时，发现教材中有这样一条定义：总变异=组内变异+组间变异。
请教：如何理解组间变量的概念，以及其计算公式?(由Xbar新数据列形成的总变异-由原子组估计的随机变异{Rbar/(d2*n)}；如何理解组内/组间标准差与整体标准差的差异?(组间/组内(B/W) 标准差是子组间和子组内的平方标准差之和的平方根).2010-11-24 22-37-05.jpg2010-11-24 22-37-31.jpg2010-11-24 22-38-25.jpgpaladin_li2010-11-24 22:42:32 Update excel picture2010-11-24 22-40-41.jpgpaladin_li2010-11-26 12:34:24不好意思，可能没有描述清楚：请教Minitab中，关于组间/组内能力分析标准差的问题如下请教：1. 组内/组间标准差与总体标准差之间的差异,Minitab分析图代表了什么?2. 组间标准差的计算原理是什么?如下是Minitab计算公式，即概念描述：*******************************************************sBetween: Is the standard deviation between subgroups, or an estimate of the variation between subgroups (for example, subgroups collected at set intervals, batches, or by different operators.)sBetween = Max [ 0, SQRT (s2Xbar - (s2Within / Batch size))]s2Xbar is estimated using one of the following methods:1 Average of moving range:Rbar / d2(w) is an unbiased estimate of sXbarwhere:Ri = The ith moving range = Max[xi,..., xi-w+1] - Min [xi,..., xi-w+1], for i = w,..., nRbar = (Rw + ... + Rn) / (n - w + 1)w = The number of observations used in the moving range. The default is w = 2.d2(w) = The unbiasing constants read from a tablesB / W: Is the between/within standard deviation, combining within and between variation and is given by,sB / W = SQRT (s2Between + s2Within)**************************************************2010-11-26 10-31-18.jpgthomasgao2010-11-26 16:35:49回复20# paladin_li谢谢Paladin_li 把Minitab的公式贴出来，这样更方便讨论1。
在Minitab 里关于单参数连续性数据能力分析有三个选项：正态，非正态，还有一个就是你所问的组间／组内。
正态和非正态的方法都比较容易理解。
也就是说数据是正态时用正态方法：数据是非正态，但知道它的分布的时候，用非正态方法。