第3节 定积分的换元法和分部积分法
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换元积分与分部积分法
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
x 3 sin6 x 如: 4 dx 2 5 x 2x 7
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
练习题
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
第三节 定积分的换元法与 分部积分法
• 一、换元积分法
• 二、分部积分法
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b] 上连续；
( 2)(t )在[, ]连续且单调
（3 ）当t 在区间[ , ] 上变化时， x ( t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1
( 4)
0
1
xarctanx 1 x
4
2
dx
x 0 1 t 0
4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
x 3 sin6 x 如: 4 dx 2 5 x 2x 7
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
练习题
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
第三节 定积分的换元法与 分部积分法
• 一、换元积分法
• 二、分部积分法
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b] 上连续；
( 2)(t )在[, ]连续且单调
（3 ）当t 在区间[ , ] 上变化时， x ( t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
1
( 4)
0
1
xarctanx 1 x
4
2
dx
x 0 1 t 0
4
第三节定积分的换元积分法与分部积分法
1
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
1 0
0
1
(1 t )dt e t dt
2 0
1 0 0
1
1 3 t t e t 3 1
1 e. 3
12
二.定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a , b]上具有连续导数， 则有 定积分的分部积分公式
a udv uv a a vdu
sinx 0 2 arctan
/2
2
19
2.
设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对任
一实数a ，有
a T
0 a
a T a
f ( x )dx f ( x )dx
0
T a T
T
证 由定积分性质3，有
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1/ 2 2 2
2/2
dx
于是
1 2
2 2
dx x2
2
cos t dt 2 / 6 si n t cos t 1 x2
/4
/4 /6
/4
/6
csc tdt cot t
3 1
10
例7 求
2 2
dx x x2 1
解 设 x se ct 0 t ,则 dx sec t tan tdt 2
3e 1 2(e 1 1) 2 5e 1
16
三.定积分的几个常用公式
1. 证明：设 f ( x ) 在对称区间[ a , a ]上连续，且有
① f ( x ) 为偶函数，则
第三节定积分的换元法与定积分的分部积分法-资料
(a),(b)，这样就有
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
b
令t (x)
f[(x)](x)dx
a
f(t
) dt
例2
计算
2
0
co5s xsi nxdx.
解
2
0
co5sxsinxdx
2
0
co5sxd(coxs)
令t coxs
0
t 5dt
1
t6 1 1 . 66
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
二、定积分的分部积分公式
定理 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
第三节 定积分的换元法 与 定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定 理 设 函 数f ( x)在 区 间[a, b]上 连 续,
函 数x (t)满 足 条 件:
(1) ( ) a, ( ) b (2) (t)在[ , ](或[ , ])上 具 有 连 续 的 导 数,
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
单位圆的面积
4.
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
f(x)sx i2 xn 22x2sxixn 2,
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
53第三节定积分的换元法和分部积分法
0
0
a
武 汉
f(x )d x f( t)d tf(t)d t
a
a
0
科
技
学
a
0
a
a
院 数
f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x 2f( x ) d x
a
a
0
0
理
系
高 等
(3) 令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 利用换元法计算定积分时,要注意:
数 学
(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.
电 (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有
子 教
意义.
案
如果用x=1/t,则注意积分区域是否有x=0的情况,
如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里
+2,也可为-2.
案 面对有正负号时,应该
考虑被积函数的情况
x 3
武
当t=-1时,要注意 t2 t
0
t
汉
科 技
代入被积函数
-2 -1 1 2
学
院
数
理 系
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
高 此外当积分区域应该考虑
等 数
如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了
学 电
根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的.
2
教 案
0 c o s 3 x c o s 5 x d x 0 c o s 3 2 x 1 c o s 2 x d x 0 c o s 3 2 x s i n x d x
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
11
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一、换元公式
【定理】 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t) 的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
4
2
于是 f ( x 2)dx f (t)dt
1
1
0
dt
2 tet2dt
11 cos t 0
或先求f(x-2)再求原积分
4
f ( x 2)dx
较麻烦
1
1166
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【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
2233
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f ( x)
x2 sin t dt,
定积分的分部积分公式
【推导】 uv uv uv,
b
a (uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx
,
一、换元公式 二、分部积分公式 三、小结 思考题
11
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一、换元公式
【定理】 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t) 的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
4
2
于是 f ( x 2)dx f (t)dt
1
1
0
dt
2 tet2dt
11 cos t 0
或先求f(x-2)再求原积分
4
f ( x 2)dx
较麻烦
1
1166
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【总结】 定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性
1 2
x
2
f
(
x)
1 0
1 2
1
0
x
2df
(
x
)
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
2233
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f ( x)
x2 sin t dt,
定积分的分部积分公式
【推导】 uv uv uv,
b
a (uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx
,
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
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43
高等数学
●
戴本忠
17
例9 解
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 2 x2 x cos x 原式 dx dx 2 2 1 1 1 x 1 1 1 x 偶函数 奇函数 2 2 1 x (1 1 x ) 1 x2 4 dx 4 dx 2 2 0 0 1 (1 x ) 1 1 x
x a, t 0 x a T,t T
a T
a
f ( x)dx f (a t )dt f (a t )d (a t )
0 0
T
T
43
T
0
f (u )du f ( x)dx
0
T
高等数学
●
戴本忠
14
例6
xe x , x 0, 设 f ( x) 1 , 1 x 0, 1 cos x
0
1 2
令 u arcsin x , dv dx , 则
dx du , v x, 2 1 x
0 arcsin xdx x arcsin x 0 0
1 2
1 2
1 2
xdx 1 x2
1 π 1 1 1 2 2 d ( 1 x ) 2 2 6 2 0 1 x
b b a b
分部积分公式
推导 : (uv ) uv uv ,
a
b
b ( uv ) dx uv a , b
uv
所以
43
b a
a uvdx a uvdx,
b a b
b
a udv uv a vdu.
b
高等数学
●
戴本忠
23
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
第三节 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
第五章
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
43
高等数学
●
戴本忠
1
学习指导
1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： （1） 用换元法计算定积分； （2） 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； （3） 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 （4） 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： （1）换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 （2）运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ，v(x) 的选取。
43
高等数学
●
戴本忠
4
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则
a f ( x )dx F (b) F (a ),
考察函数 ( t ) F [ ( t )],
b
x (t )
dF dx 因为 ( t ) f ( x ) ( t ) f [ ( t )] ( t ), dx d t
π 12
43
1 x
2
1 2
0ห้องสมุดไป่ตู้
π 3 1. 12 2
高等数学
●
戴本忠
25
计算
43
高等数学
●
戴本忠
20
定积分换元法基本原则
与不定积分中消除根式规律一致。
43
高等数学
●
戴本忠
21
定积分的分部积分法
定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部 积分公式的用法类似。
43
高等数学
●
戴本忠
22
设函数u( x ), v( x )在区间[a, b]上具有连续导数, 则
a udv uv a vdu.
高等数学
●
43
戴本忠
11
例5.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
2
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
y
y a x
2
2
a 2
2
π 2 0
(1 cos 2t )dt
π 2 0
43
o
a x
a 1 πa 2 [t sin 2t ] . 2 2 4
高等数学
●
2
戴本忠
8
例2 解
计算 cos 5 x sin xdx .
0
π 2
差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
43
高等数学
●
戴本忠
24
例1 解
计算 arcsin xdx .
令 t cos x ,
dt sin xdx,
π x t 0, x 0 t 1, 2
所以
0
π 2
cos x sin xdx t 5dt
5
0
1
凑微分如何解？
t 6
6 1
0
1 . 6
提示： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变
43
高等数学
●
戴本忠
高等数学
●
戴本忠
7
例1 解
计算
a
0
a 2 x 2 dx (a 0).
设 x a sin t , 则 dx a cos tdt , 且
π 当 x 0 时, t 0; 当 x a 时, t . 2
于是
a
0
a x dx a
2 2
π 2 2 0
cos tdt
3 2
π 2
3 2
sin x
5 2
π 2 0
π π 2
3 2
d sin x sin x d sin x
2 sin x 5
5 π 2
π 2
π π 2
3 2
2 sin x 5
43
0
4 . 5
高等数学
●
注意积 分区间 内函数 符号的 变化！ 戴本忠
10
例4
a
原式
π 2 0
a cos t a sin t a (1 sin t )
2 2
dt
π 2 0
1 cos t sin t cos t dt 1 dt 2 sin t cos t sin t cos t
π 2 0
π 2 0
1 π 1 π ln sin t cos t . 2 2 2 4
2
计算 f ( x 2)dx .
1
4
解
设 x 2 t , 则 dx dt , 且
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
当 x 1 时, t 1; 当 x 4, t 2.
于是
4
1
2 dt t 2 te d t f ( x 2)dx f ( t )dt 1 1 1 cos t 0
2
0
t 0 1 t 2 2 1 1 4 1 [tan ]1 [ e ]0 tan e . 2 2 2 2 2
43
高等数学
●
戴本忠
15
例7
计算 原式
3 e4
e
dx . x ln x(1 ln x ) d(ln x ) ln x(1 ln x ) d(ln x ) 2 ln x (1 ln x )
2
0
2010 1 tan x 2 dx dx 2010 2010 0 1 tan 1 1 / tan x x
2010 (tan x 1 ) 1 2 dx I 2010 0 2 1 tan x I . 4
43
高等数学
●
戴本忠
19
定积分换元法小结
所以 ( t ) 是 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数,
从而
43
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
高等数学 戴本忠
5
●
所以 ( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
由于 ( ) a , ( ) b,
9
例3 解
计算
π
0
sin3 x sin5 xdx .
3 5
因为 f ( x ) sin x sin x cos x sin x ,
高等数学
●
戴本忠
17
例9 解
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 2 x2 x cos x 原式 dx dx 2 2 1 1 1 x 1 1 1 x 偶函数 奇函数 2 2 1 x (1 1 x ) 1 x2 4 dx 4 dx 2 2 0 0 1 (1 x ) 1 1 x
x a, t 0 x a T,t T
a T
a
f ( x)dx f (a t )dt f (a t )d (a t )
0 0
T
T
43
T
0
f (u )du f ( x)dx
0
T
高等数学
●
戴本忠
14
例6
xe x , x 0, 设 f ( x) 1 , 1 x 0, 1 cos x
0
1 2
令 u arcsin x , dv dx , 则
dx du , v x, 2 1 x
0 arcsin xdx x arcsin x 0 0
1 2
1 2
1 2
xdx 1 x2
1 π 1 1 1 2 2 d ( 1 x ) 2 2 6 2 0 1 x
b b a b
分部积分公式
推导 : (uv ) uv uv ,
a
b
b ( uv ) dx uv a , b
uv
所以
43
b a
a uvdx a uvdx,
b a b
b
a udv uv a vdu.
b
高等数学
●
戴本忠
23
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
第三节 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
第五章
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
43
高等数学
●
戴本忠
1
学习指导
1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： （1） 用换元法计算定积分； （2） 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； （3） 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 （4） 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： （1）换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 （2）运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ，v(x) 的选取。
43
高等数学
●
戴本忠
4
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则
a f ( x )dx F (b) F (a ),
考察函数 ( t ) F [ ( t )],
b
x (t )
dF dx 因为 ( t ) f ( x ) ( t ) f [ ( t )] ( t ), dx d t
π 12
43
1 x
2
1 2
0ห้องสมุดไป่ตู้
π 3 1. 12 2
高等数学
●
戴本忠
25
计算
43
高等数学
●
戴本忠
20
定积分换元法基本原则
与不定积分中消除根式规律一致。
43
高等数学
●
戴本忠
21
定积分的分部积分法
定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部 积分公式的用法类似。
43
高等数学
●
戴本忠
22
设函数u( x ), v( x )在区间[a, b]上具有连续导数, 则
a udv uv a vdu.
高等数学
●
43
戴本忠
11
例5.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
2
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
y
y a x
2
2
a 2
2
π 2 0
(1 cos 2t )dt
π 2 0
43
o
a x
a 1 πa 2 [t sin 2t ] . 2 2 4
高等数学
●
2
戴本忠
8
例2 解
计算 cos 5 x sin xdx .
0
π 2
差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
定积分公式简化定积分的运算.
43
高等数学
●
戴本忠
24
例1 解
计算 arcsin xdx .
令 t cos x ,
dt sin xdx,
π x t 0, x 0 t 1, 2
所以
0
π 2
cos x sin xdx t 5dt
5
0
1
凑微分如何解？
t 6
6 1
0
1 . 6
提示： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变
43
高等数学
●
戴本忠
高等数学
●
戴本忠
7
例1 解
计算
a
0
a 2 x 2 dx (a 0).
设 x a sin t , 则 dx a cos tdt , 且
π 当 x 0 时, t 0; 当 x a 时, t . 2
于是
a
0
a x dx a
2 2
π 2 2 0
cos tdt
3 2
π 2
3 2
sin x
5 2
π 2 0
π π 2
3 2
d sin x sin x d sin x
2 sin x 5
5 π 2
π 2
π π 2
3 2
2 sin x 5
43
0
4 . 5
高等数学
●
注意积 分区间 内函数 符号的 变化！ 戴本忠
10
例4
a
原式
π 2 0
a cos t a sin t a (1 sin t )
2 2
dt
π 2 0
1 cos t sin t cos t dt 1 dt 2 sin t cos t sin t cos t
π 2 0
π 2 0
1 π 1 π ln sin t cos t . 2 2 2 4
2
计算 f ( x 2)dx .
1
4
解
设 x 2 t , 则 dx dt , 且
1 cos t (1 cos 2t ) 2
2
当 x 1 时, t 1; 当 x 4, t 2.
于是
4
1
2 dt t 2 te d t f ( x 2)dx f ( t )dt 1 1 1 cos t 0
2
0
t 0 1 t 2 2 1 1 4 1 [tan ]1 [ e ]0 tan e . 2 2 2 2 2
43
高等数学
●
戴本忠
15
例7
计算 原式
3 e4
e
dx . x ln x(1 ln x ) d(ln x ) ln x(1 ln x ) d(ln x ) 2 ln x (1 ln x )
2
0
2010 1 tan x 2 dx dx 2010 2010 0 1 tan 1 1 / tan x x
2010 (tan x 1 ) 1 2 dx I 2010 0 2 1 tan x I . 4
43
高等数学
●
戴本忠
19
定积分换元法小结
所以 ( t ) 是 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数,
从而
43
f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),
高等数学 戴本忠
5
●
所以 ( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
由于 ( ) a , ( ) b,
9
例3 解
计算
π
0
sin3 x sin5 xdx .
3 5
因为 f ( x ) sin x sin x cos x sin x ,