高中数学必修5《等比数列的性质》课件(人教A)
an = a1 ⋅ q
n −1
，并掌握其基本应用； 并掌握其基本应用；
3、等比中项： G2=ab 、等比中项：
4.性质 性质: 性质
若m+n=p+q
am ⋅ an = a p ⋅ aq
±8
.
4. 已知 ，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，求x. -4 已知x， 是一个等比数列的前三项， ， 是一个等比数列的前三项
练习: • ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . • ⒉在等比数列{an}中，且an＞0， •
6 a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270 或-270 a60 =__________.
n
练习：已知 为等比数列， 练习：已知{an}为等比数列， 为等比数列 (1) a5=2, a9=8, 求a7= ___ (2) a5=2,a10=10,则a15=_____ 则 (3)a1=1/8, q=2,a4与a8的等比中项_____ 的等比中项 (4) a6=3, 则a3a4a5a6a7a8a9=____ (5) a4a15= -2, 则a3a6a12a17=_____ (6) a9 a10 a11 a12=64, 则 a8 a13= ____
因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以 它是一个与 无关的常数，所以是一个以pq 无关的常数 为公比的等比数列． 为公比的等比数列．
等比数列， 是不等 特别地，如果是{a } 等比数列，c是不等 如果是 的常数， 也是等比数列． 于０的常数，那么数列 {c ⋅ a } 也是等比数列．
n
a n +1 ⋅ b n +1 a 1b1 (pq) n = = pq, n −1 a n ⋅ bn a 1b1 (pq)
a n +1 = q ( 是与 n 无关的数或式子 an
由此可知，等比数列 由此可知，
, 且 q ≠ 0）
⋅ q n − m ( a m ⋅ q ≠ 0)
a n = a1 ⋅ q n −1 (a1 ⋅ q ≠ 0)
如果在a与 中间插入一个数 中间插入一个数G， ， ， 成等比数列 成等比数列， 如果在 与b中间插入一个数 ，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做 叫做a与 的等比中项 的等比中项。 那么 叫做 与b的等比中项。 G = ± ab G 2 = ab
复习等比数列的有关概念
定义：如果一个数列从第 项起 项起， 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数 指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 常数（ 无关的数），这个数列就叫做等比数列 于同一个常数（指与 无关的数），这个数列就叫做等比数列， 常数叫做等比数列的 通常用字母q表示 这个常数叫做等比数列 公比，公比通常用字母 表示。 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
课堂练习 1.判断 判断 成等比数列；（ ⇔ 、 、 成等比数列 ⑴b2=ac⇔ a、b、c成等比数列；（ × ） 在等比数列{a 中 在等比数列 n}中， ⑵ a8a10=a18； （ × ） ⑶ a2+a98=a3+a97； （ × ） ⑷ a8+a10=a18；（ × ） ⑸ a2a98=a3a97； （ √ ） 2 ⑹ a2a98= a 50；（ √ ） 2. 若a、b、c成等比数列，则函数 成等比数列， 的图象与x轴 、 、 成等比数列 则函数y=ax2+bx+c的图象与 轴 的图象与 或 交点的个数是 0或1 . 3. 在等比数列 n}中，a9a10a11a12=64，则a8a13= 在等比数列{a 中 ，
• ⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, . 则a5+a6=_____ 480
2
n
3
n
6
n
是 是
1 n (− ） 2
1 n (− ) 3
1 n ( ) 6
结论： 结论：如果 {a } {b }是项数相同的等 比数列，那么 {a n ⋅ b n } 也是等比数列． 比数列， 也是等比数列．
思考：你能得到更一般的结论吗？ 思考：你能得到更一般的结论吗？ 性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 性质 ：在等比数列中， 依原序构成的新数列是等比数列。 依原序构成的新数列是等比数列。
等比数列的性质： 等比数列的性质：
③序号成等差数列的项仍成等比数 列。 ④ sn ，s2n-sn，s3n-s2n成等比数列
等比数列的性质： 等比数列的性质： ①an=amqn-m ②若m+n=p+q,则aman=apaq 则
Q
例3.已知等比数列{an }的首项为a1,公比为q，依次取出数列{an } 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,L构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
变1：已知等比数列 ：
a5 =80 , 求 q , a4
，a3 =20 ，a3 =20
变2：已知等比数列 ：
a７ =320 , 求 q , a5
小结
1、理解与掌握等比数列的定义及递推公 、
an+1 式： = q(q ≠ 0) ； an
2、要会推导等比数列的通项公式：递推法 叠乘法 、要会推导等比数列的通项公式：递推法,叠乘法
n n
{b 证明： 的公比为p， 证明：设数列{a n }的公比为 ， n } 的公比为 q，那么数列 {a n ⋅ b n }的第 项与第 的第n项与第 项与第n+1项分 ， 项分 n n n −1 n −1 a 1b1 (pq ) n −1 别为 a 1p ⋅ b1q 与 a 1p ⋅ b1q ，即 a 1b1 (pq) n． 与
补充练习
4 • （1） 一个等比数列的第 项是 ，公比 ） 一个等比数列的第9项是 9 1 求它的第1项 是 − ，求它的第 项； 3
• （2）一个等比数列的第 项是 ，第3项是 项是10， 项是 ）一个等比数列的第2项是 20，求它的第1项与第 项。 ，求它的第 项与第 项与第4项
练习． 练习．已知等比数列 {an } ，a3 =20 a6 =160 , 求 q , an
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推荐-高中数学人教A版必修5课件2.4.2 等比数列的性质
=
13������ 16������
=
13 16.
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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视等比数列中项的符号致错
【例 3】 在等比数列{an}中,a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,
等差数列
等比数列
(1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)
联 系
数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确定;(4)若数列{an}为正项等比数列, 则数列{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠1;(5)若数列{an}为
等差数列,则数列{������������������ }为等比数列;(6)非零常数列既是等差数
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.等比数列的性质
剖析:已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn1.
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当 q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an} 是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所 有的偶数项同号,但是奇数项与偶数项异号).
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
解:设所求四个数为
2������ ������
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件25
[变式 1] (2014·衡水调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，
a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( )
A．7
B．5
C．－5
D．－7
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30， 求 an 和 Sn.
解析：(1)设数列{an}的公比为 q，
由aa44·＋a7a＝7＝a52·a，6＝－8， 得aa74＝＝－4，2 或aa74＝＝4－，2，
A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
解析：显然，{bn}不可能是等比数列；{cn}是等比数列；证 明如下：
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2…am(n－1)＋m； cn＋1＝amn＋1·amn＋2…amn＋m； ccn＋n 1＝amn－a1m＋n1＋·a1·mamn－n＋12＋…2…amanm＋mn－1＋m＝qmqm…qm＝(qm)m＝qm2.
答案：A
5．(2014·唐山一模)等比数列{an}的公比 q＞1，a12＋a13＝3，
a1a4＝12，则 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8 等于(
)
A．64
B．31
C．32
D．63
解析：∵a12＋a13＝a2a＋2aa3 3＝3，a2a3＝a1a4＝12，∴a2＋a3＝32， ∴a2，a3 为 x2－32x＋12＝0 的两个根，又∵q＞1，∴a2＜a3，∴a2 ＝12，a3＝1，q＝2，∴S8＝1411－－228＝2545，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＋a8＝S8－a1－a2＝63.
答案：C
题型三 等比数列的性质及应用 【例 3】 已知等比数列前 n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和．
等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
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当堂(dānɡ
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6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
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三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
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学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
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当堂(dānɡ
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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
高中数学人教A版必修五课件2.4 第2课时 等比数列的性质及应用2
为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数
2
成等比数列时,可设这三个数分别为 a,aq,aq 或 ,a,aq,此时公比为 q;
当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 a,aq,aq2,aq3(公比为 q),
依题意,an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲面积 an 减去被侵蚀的
部分 8%·an 的剩余面积 92%·an,另一部分是新绿化的 12%·bn,所以
4
5
3
25
3
5
an+1=92%·an+12%(1-an)= an+ ,即 an+1- =
3
2
3
1
a1-5 = 5 − 5=-5,
3
1
4
∴ - 5 是以-5为首项,5为公比的等比数列,
= -8,
= 10,
3 = -8,
则 2 = + ,解得 = -2, 或 = -2,所以这四个数分别为
5
= -2
2 = -80,
= .
4
1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8.
2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
等比数列的实际应用
例3为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到202X年底,
3
∴an-5
=
1
5
·
4 -1
,
5
4
5
-
3
5
,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟在等比数列中,灵活设项是非常重要的.一般来说,当三个数
2
成等比数列时,可设这三个数分别为 a,aq,aq 或 ,a,aq,此时公比为 q;
当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 a,aq,aq2,aq3(公比为 q),
依题意,an+1 由两部分组成:一部分是原有绿洲面积 an 减去被侵蚀的
部分 8%·an 的剩余面积 92%·an,另一部分是新绿化的 12%·bn,所以
4
5
3
25
3
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an+1=92%·an+12%(1-an)= an+ ,即 an+1- =
3
2
3
1
a1-5 = 5 − 5=-5,
3
1
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∴ - 5 是以-5为首项,5为公比的等比数列,
= -8,
= 10,
3 = -8,
则 2 = + ,解得 = -2, 或 = -2,所以这四个数分别为
5
= -2
2 = -80,
= .
4
1,-2,4,10 或-5,-2,-5,-8.
2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
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等比数列的实际应用
例3为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到202X年底,
3
∴an-5
=
1
5
·
4 -1
,
5
4
5
-
3
5
,
学年高中数学 24第2课时 等比数列的性质 新人教A版必修5PPT课件
·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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总体概述
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第二章 数列
数列 第二章
2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质
第二章
1 自主预习学案 2 课堂探究学案 3 课时作业
自主预习学案
1．了解等比数列的性质的由来． 2．掌握等比数列的性质并能综合运用．
1915 年 ， 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 (W.Sierpinski) 创 造 了 一 个 美 妙 的 “ 艺 术 品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如 图所示．如果我们来看一看图中那些白色 三角形的个数，并把它们按面积大小，从 小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们 知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性 质呢？
等比数列的单调性 (1) 当 a1>0 ， q>1 或 a1<0,0<q<1 时 ， 等 比 数 列 {an} 为 递 增 数 列； (2) 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0 ， q>1 时 ， 等 比 数 列 {an} 为 递 减 数 列； (3)当q＝1时，数列{an}是常数列； (4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
1．已知{an}是等比数列，(1)试探讨{3an}，{a1n}，{|an|}，{－ 12an}是等比数列吗？
(2)a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等比数列吗？a1a2，a3a4，a5a6 成等比数列吗？
人教A版 ·必修5
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2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质
第二章
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自主预习学案
1．了解等比数列的性质的由来． 2．掌握等比数列的性质并能综合运用．
1915 年 ， 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 (W.Sierpinski) 创 造 了 一 个 美 妙 的 “ 艺 术 品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如 图所示．如果我们来看一看图中那些白色 三角形的个数，并把它们按面积大小，从 小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们 知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性 质呢？
等比数列的单调性 (1) 当 a1>0 ， q>1 或 a1<0,0<q<1 时 ， 等 比 数 列 {an} 为 递 增 数 列； (2) 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0 ， q>1 时 ， 等 比 数 列 {an} 为 递 减 数 列； (3)当q＝1时，数列{an}是常数列； (4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
1．已知{an}是等比数列，(1)试探讨{3an}，{a1n}，{|an|}，{－ 12an}是等比数列吗？
(2)a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 成等比数列吗？a1a2，a3a4，a5a6 成等比数列吗？
数学必修Ⅴ人教新课标A版2-4-2等比数列的性质课件(40张)
数学 必修5
第二章 数 列
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(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
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[边听边记] (1)∵a22＝a1a3，代入已知，得a32＝8， ∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理得，2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
(4)当m＋n＝p＋q(m，n， (4)当m＋n＝p＋q(m，n，
p，q∈N*)时am＋an＝ap＋aq p，q∈N*)时aman＝apaq
相同 (1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是
点 常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定
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等差数列与等比数列的联系与区别
等差数列
等比数列
(1)强调每一项与前一项的 (1)强调每一项与前一项的
差；
比；
不同 点
(2)a1和d可以为0； (3)任意两实数的等差中项 唯一；
高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)
2 2 a 162 6 法三：因为{an}为等比数列，所以 a2· a10＝a2 ， a ＝ 6 10 以 q4＝81， 所以 a10＝a1q9＝a1q· q8＝2×812＝13 122. a6 162 4 法二：因为 q ＝a ＝ 2 ＝81， 2 所以 a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am· an＝ap· aq. 特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am· an＝a2 p. an (2)a ＝qn－m(m，n∈N*)． m (3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原 来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列． (4) 数列{an} 为等比数列，则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数)a 仍然成等比数列． n
(4)若 m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，ap，an 成 等比数列； 1 (5)数列{λan}(λ≠0)，a ，{a2 n}都是等比数列，且公比分别 n 1 是 q，q，q2. an (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列，则{anbn}与b 也都是等 n q 比数列，公比分别为 pq 和p.
【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等 比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列 中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．
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基础认识
等比数列常见性质 若{an}是等比数列，公比是 q，则 (1)an＝a1qn－1＝a2qn－2＝„＝amqn－m(n>m)； (2)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝„＝aman－m＋1(n>m)； (3)若 k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则 ak· al＝am· an ＝a2 p；