二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。
二次函数解析式求法和图象与系数关系举例
二次函数解析式求法及图象与系数关系举例1.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中自变量x 和函数y 的部分对应值如下表求该二次函数的解析式；[解1]：观察所给的表格此函数图象关于x=12-对称，它的顶点坐标是（12-，94-）所以不妨设二次函数解析式为219()24y a x =+-又因为当x=0时 y=-2所以有 2192(0)24a -=+-a=1所以此二次函数的解析式为219()24y x =+-[解2]设此二次函数解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=0时，y=-2; 当x=-1时，y=-2; 当x=1时，y=0;可以列出如下方程：2222(1)(1)011200a b ca b ca b c ⎧-=⨯-+⨯-+⎪=⨯+⨯+⎨⎪-=⨯+⨯+⎩解之得：a=1,b=1,c=-2 所以此二次函数的解析式为 22y x x =+-;2.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -2，且抛物线与y 轴交于点（0,1），求这个二次函数的解析式；[解1]：因为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为 -1，可知此抛物线的顶点坐标是（1，-2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =--； 又抛物线与y 轴交于（0，1） 所以有 21(01)2a =-- a=3所以抛物线的解析式为：23(1)2y x =--[解2] 依题意有：12ba-= ①2424ac b a -=- ② 2001a b c ⨯+⨯+=③ 联立①②③ 解之得 a=3 b=-6 c=1 所以此抛物线的解析式是：2361y x x =-+3.已知当x=1时，二次函数的最大值为2，且过点（2，-3），求此二次函数的解析式； [解1]：依题意设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠当x=1时 2112y a b c =⨯+⨯+= ①2424b aca-=② 2322a b c -=⨯+⨯+③ 解之得 a=-5 b=10 c=-3所以抛物线的解析式是：25103y x x =-+- [解2] 依题意抛物线的顶点坐标是（1,2） 所以不妨设抛物线的解析式为2(1)2y a x =-+ 有抛物线过（2，-3）所以 23(21)2a -=⨯-+ 解之得 a=-5 所以抛物线的解析式为25(1)2y x =--+4.抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，求抛物线的解析式 [解1]从抛物线图象可知:图象关于x=1 对称，与x 轴相交于两点（1x ，0），（3,0这两点也关于x=1对称；所以有：1312x += 1x =-1 所以可以设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-而点（0,3）在抛物线上，所以 3(01)(03)a =+- a=-1因此，抛物线的解析式是(1)(3)y x x =-+-223y x x =-++ 即223y x x =-++x[解2]：从抛物线图象可知 12(1)b-=⨯-① 2300b c =-+⨯+②解之得 b=2,c=3因此，抛物线的解析式是:223y x x =-++5．二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，求m 的值并写出抛物线的解析式；[解1]：根据二次函数的对称性可以知道：m=-1;函数对应图象的对称轴为x=1， 且当x=1时，y=-2;所以不妨设二次函数的解析式为： 2(1)2y a x =-- 当x=0时，y=-1;即 21(01)2a -=-- a=1 所以此二次函数为2(1)2y x =--[解2]：因为当x=-1,0,1时，y=2，-1，-2；所以把相应值代入得到一个三元一次方程组，解之得a=1, b=-2, c=-1;6. 抛物线y=-x 2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，求所得图象的解析式。
二次函数与方程的关系
二次函数与方程的关系二次函数和二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从定义、图像、性质以及解析式等角度，探讨二次函数与方程之间的关系。
一、二次函数的定义二次函数是指一个自变量为x的函数，其一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中x是自变量，f(x)是因变量。
二次函数的图像为抛物线。
二、二次方程的定义二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中x是未知数。
三、二次函数的图像二次函数的图像是抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(xv, yv)，其中xv=-b/2a，yv=f(xv)。
四、二次方程的解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过求解得到其根的解。
根的个数和判别式Δ有关，Δ=b^2-4ac。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
根的公式为x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
根的公式为x=-b/2a。
3. 当Δ<0时，方程没有实根，有两个共轭复根。
根的公式为x1=(-b+i√|Δ|)/2a，x2=(-b-i√|Δ|)/2a。
五、二次函数与二次方程的联系1. 抛物线的顶点坐标：二次函数的解析式中，顶点的横坐标xv=-b/2a对应着二次方程的根的公式中x1和x2的值。
2. 方程的解与函数的零点：二次方程的实根对应着二次函数与x轴（y=0）的交点，也就是函数的零点。
可以通过求解方程获得函数的零点。
3. 方程求解问题：通过建立二次方程解题可以推导出二次函数的性质和特点，例如最值点、单调性等。
六、结论通过上述分析可以看出，二次函数和方程之间存在着密切的关联。
二次函数的图像为抛物线，方程的解对应着函数的零点。
掌握了二次函数和方程的关系，可以更好地理解和应用二次函数和方程在实际问题中的应用。
二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
抛物线知识点全面总结及经典例题
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M2（2２， ），求
它的标准方程。
变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标 轴，并且经过点M（２，2 2 ），抛物 线的标准方程。
例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线 l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值 时,直线与抛物线:只有一个公共点;有
1 FA
|
|
1 FB
|
是否为定值？
y
A ( x1, y1 )
这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.
F
O
x
B ( x2, y2 )
例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个
顶点在抛物线 y2 2 px( p 0)上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、
y
A (x1,y1)
（2）已知抛物线的方程是 y 6x2，求它的焦点坐标和准
线方程；
(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程．
解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐
标是
(3 2
,
0)
，准线方程是
x
3 2
.
（2）因为抛物线的标准方程 x2 1 y，焦点在y轴的正
半轴上，p 是y 1
X1=X2. 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。
(x2,y2)
B
因为x轴垂直于AB，且 AOX 30，所以 y1 tan 30 3
x1
y12 2p
,
x1
二次函数与抛物线方程的关系
二次函数与抛物线方程的关系一、引言二次函数和抛物线方程是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数与抛物线方程的关系，从它们的定义、特点和图像等方面展开阐述。
二、二次函数的定义和特点二次函数是指形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条平滑的曲线，通常被称为抛物线。
二次函数的特点如下：1. 对称性：二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。
2. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值点：二次函数的最值点即为抛物线的顶点，顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
4. 零点：二次函数的零点即为抛物线与x轴的交点，可以通过解方程ax² + bx + c = 0来求得。
三、抛物线方程的定义和特点抛物线方程是二次函数的一种特殊形式，它的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
抛物线方程的特点如下：1. 对称性：抛物线方程的图像关于直线x = -b/2a对称。
2. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值点：抛物线方程的最值点即为抛物线的顶点，顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
4. 零点：抛物线方程的零点即为抛物线与x轴的交点，可以通过解方程ax² + bx + c = 0来求得。
四、二次函数与抛物线方程的关系二次函数和抛物线方程的关系可以通过以下几点来说明：1. 抛物线方程是二次函数的一种特殊形式，即抛物线方程是二次函数的一种特例。
2. 二次函数的图像是一条平滑的曲线，而抛物线方程的图像也是一条平滑的曲线。
3. 二次函数和抛物线方程的最值点和零点的求解方法是相同的。
4. 二次函数和抛物线方程都具有对称性和开口方向的特点。
二次函数经典例题及答案
例1 如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔顶点N 距水面4.5米（NC ＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．分析：如图2，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y =ax 2+6．又因为AB ＝20，所以OB ＝10，故B （10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2+6． 依题意，得B （10，0）． 所以a ×102＋6＝0．解得a =-0.06．即y =-0.06x 2+6．当y =4.5时，-0.06x 2+6=4.5，解得x =±5． 所以DF ＝5，EF ＝10． 即水面宽度为10米．例2 如图3所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式． 分析：函数图象的对称轴为y 轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0，k ≠0）． 解：设函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0），由题意可知，A 、B 两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）． 则 1.52a+k=3.05,k=3.5.⎧⎨⎩解得a =-0.2，所以抛物线对应的函数关系式为y =-0.2x 2+3.5．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y 与x 的关系式例3 如图4，在矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E ．（1）设CP ＝x ，BE ＝y ，试写出y 关于x 的函数关系式． （2）当点P 在什么位置时，线段BE 最长？析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系．本题要求y 与x 之间的关系式，通过观察可以发现y 、x 分别是△BPE 、△CDP 的边，而且由∠EPB ＋∠DPC ＝90°，∠DPC ＋∠PDC ＝90°，可得∠EPB ＝∠PDC ，又由∠B ＝∠C ＝90°，容易得到△BPE ∽△CDP ．所以有BP BE CD CP =．即128x yx-=． 故y 关于x 的函数关系式为21382y x x =-+．当62bx a=-=时，y 有最大值，y 最大24942ac b y a -==最大． 即当点P 距点C 为6时，线段BE 最长．例4 某班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们设计了三种铝合金框架，图案如图5（1）、5（2）、5（3），请你根据以下图案回答下列问题：（题中的铝合金材料总长度均各指图11中所有黑线的长度和）（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度为6m ，当AB 为1m 时，长方形框架ABCD 的面积是_____m 2；（2）图案（2）中，如果铝合金总长度为6m ，设AB 为x m ，长方形框架ABCD 的面积为S m 2，那么S ＝_______（用含x 的代数式表示）；当AB ＝______m 时，长方形框架ABCD 的面积S 最大，在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为lm ，当AB ＝______m 时，长方形框架ABCD 的面积S 最大．（3）在经过这三种情况的试验后，他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图（4），如果铝合金材料长度为lm ，共有n 条竖档，那么当竖档AB 长为多少时，长方形框架ABCD 的面积S 最大．分析：解此类问题通常是建立面积与线段长的函数关系式，然后利用二次函数的图象或性质求最大值（或最小值），在这类问题中常用到下列图形的面积公式：三角形、矩形、正方形、平行四边形、梯形和圆等． 解：（1）43； （2）22x x -+，1，8l ； （3）设AB 长为x cm ，那么AD 为3l nx-， 2333l nx n l S x x x -==-+．当2lx n =时，S 最大． 注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解． 25.（1）当0x =时，6y =，C ∴点坐标为(06)，当0y =时，60x +=，6x ∴=- , A ∴点坐标为(60)-，………………………… 1分 （2）抛物线2(0)y ax bx a =+<经过(60)A -，，(00)O ，, ∴对称轴32bx a=-=-， ∴6b a =.① 当3x =-时，代入6y x =+得363y =-+=，∴B 点坐标为(33)-，. 点B 在抛物线2y ax bx =+上，∴393a b =-.②联立①、②解得1,23a b =-=-.∴该抛物线的函数关系式为2123y x x =--.……………………………………………3分（3）AC 与D 相切，理由如下：联结AD ， AO OC =， 45ACO CAO ∴∠=∠=︒.B D x 与关于轴对称，∴45BAO DAO ==∠∠ .90BAD ∴=∠.又AD D 是的半径，AC ∴与D相切。
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练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
结论：抛物线y =ax 2+bx +c关于x y= -ax 2-bx-c 抛物线y =ax 2+bx +c 关于y y= ax 2a 取相反数. k 绕顶点旋转180°后的解析式为y = -a (x -h )2+k练习：1.1个单位，得到的抛物线是（ C ）A. y=－－2（x －1）2 C. y=－2x 2+1 2.抛物线5经过平移得到22x y -=，平移方法是( D A 3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位3. 把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则( A )A . b =3,c =7 B. b =6,c =3 C. b =－9,c =－5 D.b =－9,c =214.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( B ) A ．y ＝2(x －2)2 + 2 B ．y ＝2(x + 2)2－2 C ．y ＝2(x －2)2－2D ．y ＝2(x + 2)2 + 25.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）． A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-6.将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. 2x y -=B. 12+-=x yC. 12-=x yD. 12--=x y7.如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ）A ．8B ．6C ．10D ．4(三)二次函数与一元二次方程的关系（1）如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x= x 0时，函数的值是0，因此x= x是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根.（2）二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax 2+bx+c=0根的三种情况(没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根)及一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式的三种情况.（3）二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系见表:说明：不要忽视利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。
练习：1. 已知二次函数的解析式是322--=x x y .（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象； （2）当x 为何值时，函数值y =0？（3）当-3<x <3时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围. 解：(1) 已知二次函数的解析式是322--=x x y =4)1(2--x(2) 令0322=--x x ，解得3,121=-=x x∴当x = -1或3时，函数值y =0 (3) 观察图象知：-4≤y ＜122.二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .（11-=x ，32=x ）4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程20ax bx c ++=的两个根；（11x =，23x =）（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（13x <<）（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（2x >） （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.（2k <）5.二次函数y =kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠06. 函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c -2=0的根的情况是（ A ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 7.二次函数y = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ D ）． A ．x ＜0或x ＞2 B ．0＜x ＜2 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．－1＜x ＜38. 下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0 （a ≠0，aA. 6<x <6.17B. 6.17<x <6.18C. 6.18<x <6.19D. 6.19<x <6.209.已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 1时，自变量x 的取值范围是（ A ）A ．x ＜-1或x ＞3B ．-1＜x ＜3C ．x ＜-1D ．x ＞3 10.已知二次函数y =ax 2＋bx ＋c （其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧. 以上说法正确的个数为（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11.下列命题：①若a+b+c=0，则b 2－4ac≥0； ②若b>a+c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c ，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b 2－4ac>0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ B ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 12.已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式． 解：（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mm a b x ， 24168164)4()24(4442222-=--=---=-=mm m m m m m m a b ac y ．∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．解法二：y=m(x 2−4x+4) −2=m(x−2)2−2，∵m≠0，∴顶点为)2,2(-.（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴22x m==±． ∵0m >，∴2x=∴2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m <<∴2m 取1，4，9， 当21m =时，2=m ； 当24m =时，21=m ； 当29m =时，m ∴m 的值为2或21或29．∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或29y =13.已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x轴的一个交点为A （-3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若ny y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围. 解：（1）1,1)1(222-=-++=++=x m x m x x y 对称轴为x 与 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.∴C 1的顶点坐标为（-1，0）（2）设C 2的函数关系式为,)1(2k x y ++=把A （-3，0）代入上式得,4,0)13(2-==++-k k 得 ∴C 2的函数关系式为.4)1(2-+=x y∵抛物线的对称轴为x x 与,1-=轴的一个交点为A （-3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当x y x 随时,1-≥的增大而增大，当.2,,121>∴>-≥n y y n 时,12),,2(),(,111-≥-----<n y n y n P n 且的对称点坐标为时当.4,22,21-<∴>--∴>n n y y .42:-<>n n 或综上所述（四）二次函数的解析式 1.二次函数的几种表达形式关注各种表示之间的联系与转化，也就关注了学生对函数关系的理解、对数学方法的理解。