一次函数模型
生活中的一次函数模型
生活中的一次函数模型在商业领域中，广告投入通常是企业提高销售额的重要手段之一、一个生活中的一次函数模型可以是销售额与广告投入之间的关系。
在这个模型中，广告投入被认为是自变量，销售额被认为是因变量。
我们可以通过建立一次函数来描述这种关系，即销售额=k×广告投入+b，其中k和b是函数中的常数。
以家电商公司为例，公司在一年中分别投入了不同数额的广告费用，并且记录了每个广告费用对应的销售额。
通过统计这些数据，我们可以建立一次函数模型来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设该公司的数据如下：广告投入（万元），销售额（万元）-------------，-------------5，108，1210，1412，1615，18根据这些数据，我们可以选择任意两个点（x1，y1）和（x2，y2）来计算斜率k，并且选择任意一个点（x1，y1）来计算常数b。
这里我们选择（5，10）和（15，18）作为计算斜率k的点，选择（5，10）作为计算常数b的点。
首先计算斜率k:k=(y2-y1)/(x2-x1)=(18-10)/(15-5)=8/10=0.8然后计算常数b:b=y1-k*x1=10-0.8*5=10-4=6因此，我们得到的一次函数模型为：销售额=0.8×广告投入+6通过这个模型，我们可以预测不同广告投入对应的销售额。
例如，如果公司投入20万元的广告费用，根据模型，我们可以计算：销售额=0.8×20+6=16+6=22因此，我们预测公司投入20万元的广告费用时，销售额可能达到22万元。
该模型还可以用于分析公司目标销售额需要投入多少广告费用。
假设公司希望达到25万元的销售额，我们可以利用一次函数模型计算：25=0.8×广告投入+6将等式变形为：0.8×广告投入=25-6=19广告投入=19/0.8=23.75因此，公司需要投入大约23.75万元的广告费用才能达到目标销售额25万元。
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
高中数学复习：函数模型及其应用
第九节 函数模型及其应用
总纲目录 栏目索引
教 1.几种常见的函数模型 材 2.三种增长型函数模型的图象与性质 研 读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
总纲目录 栏目索引
考 考点一 用函数图象刻画变化过程
点 突
考点二 应用所给函数模型解决实际问题
破 考点三 构建函数模型解决实际问题
教材研读
教材研读 栏目索引
3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
考点突破 栏目索引
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( D )
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知识拓展 形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调 递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .
冀教版八年级数学_21.4.1 建立一次函数模型解简单应用
感悟新知
知1－练
解：(1)y＝30(60＋x)＝30x＋1 800(x>0)． (2)令30x＋1 800＝60×40，解得x＝20，即当x＝20时 ，变化后的长方形与原来的长方形的面积相等. (3)令30x＋1 800＞2×60×40，解得x＞100，即当x＞ 100时，可以使变化后的长方形的面积比原来的长 方形面积的2倍还要大．
3 20
，
所以y＝ 3 x(x≥0)． 20
(2)由题意可得，0≤ 3 x≤12，解得0≤x≤80. 20
故要使刹车距离不超过12 m，车速应保持在
知2－练
0～80 km/h的范围内.
感悟新知
2. 某市为鼓励市民节约用水，自来水公司采用分段 知2－练 收费标准收费，每月收取水费y(元)与用水量x(t)之间 的函数关系如图所示.
x/千册 6 8 y/万元 3.1 3.6
(1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式. (2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册?
感悟新知
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.将(6， 知1－练 6k b 3.1,
3.1)，(8，3.6)分别代入，可得 8k b 3.6, k 0.25,
感悟新知
知1－练
7. 【中考·黄石】一食堂需要购买盒子存放食物，盒子 有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现 有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于 A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可 一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用 为____2_9___元．
感悟新知
知识点 2 用一次函数解含图像的实际问题
第二十一章 一次函数
21.4 一次函数的应用
第1课时 建立一次函数模型 解简单应用
沪科版数学八年级上册教案：12.4一次函数模型
项目内容课题12.4一次函数模型修改与创新教学目标1.了解一次函数模型，初步学会建立一次函数模型的方法。
2.会根据已知条件，运用待定系数法确定一次函数的表达式。
3.能用一次函数解决简单的实际问题。
教学重、难点重点：从函数图像获取信息及函数与方程的关系；难点：体会函数与方程的关系。
教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课一次函数在现实生活中有非常重要的应用，怎样建立一次函数模型，并用来解决实际问题呢？今天我们来学习：建立一次函数模型。
二、探究：待定系数法温度的度量有两种：摄氏温度（用℃表示）和华氏温度（用℉表示）。
摄氏温度，冰点时温度为0℃，沸点为100℃；华氏温度，冰点时温度为32℉，沸点为212℉已知摄氏温度和华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出办法，把华氏温度换算成摄氏温度？1.已知摄氏温度和华氏温度的关系近似地为一次函数关系，则可以用C表示摄氏温度，F表示华氏温度，所以把C表示为F 的一次函数的解析式为。
（C=kF+b）2.在上面的解析式中怎样求出k、b的值呢？我们学习了一元一次方程组，求两个未知数需要列两个方程。
从已知条件你可以列出两个方程：因此摄氏温度与华氏温度的关系式为。
教师总结：（1）像上述例子那样，求出表示某个客观现象的函数，称为建立函数模型。
有了函数模型，就可以方便地解决这个客观现象中的数量关系问题。
（2）像上述例子那样，通过确定函数模型，然后列方程组求待定系数，从而求出函数的解析式，这种方法称为待定系数法。
（3）想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？三、例题剖析已知一次函数的图象经过两点P （1，3）和Q （2，0），求这个函数的解析式。
解：设y=kx+b,由于两点P,Q 都在这个函数的图象上，因此：{解得：k =-3,b =6因此所求一次函数解析式为：y =-3x +6总结解题方法：1.根据题意，设表达式：y =kx +b2.根据给出的条件建立并解关于k 、b 的方程3.根据求出的k 、b 的值写出一般表达式四、课堂练习课本练习：1，2，3五、课堂小结六、布置作业课后习题:1,2,3板书设计k +b =32k +b =0教学反思。
3.4 函数的应用(一)
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： 实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型， 分段函数模型. 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域.
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
三、分段函数模型的应用
例 3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以 30 天计)，顾客人 数 f(t)(千人)与时间 t(天)的函数关系近似满足 f(t)＝4＋1t (t∈N*)，人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似满足 g(t)＝110300－t，t，1≤7<t≤t≤7，30t，∈tN∈*，N*. (1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解 析式；
60t，0≤t≤2.5，
所求函数的解析式为 x＝150，2.5<t≤3.5， －50t＋325，3.5<t≤6.5.
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离.
解 当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75， 即当t＝5小时时汽车离A地75千米.
3 课堂练习
PART THREE
1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进 价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则 当该店每天获利最大时，每束花应定价为
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低 于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平 均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解 根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简， 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
沪科版数学八年级上册12.4综合与实践——一次函数模型的应用课件(共21张PPT)
(2)设获得的利润为y元,由题意,得y=50[4x+2(150-x)] +80[2x+6(150-x)]，即 y= -220x+87 000.因为-220<0，所以y随x的增大而减小，所以 x=50时,y取得最大值，最大值为 -220×50+87000 = 76 000.答:该工艺厂购买A,B两类原木分别为50根和100根时获得利润最大，最大利润是76000元.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
（2）当0<x≤1时,令22x>16x+3,解得 ;令22x=16x+3,解得 ; 令22x<16x+3,解得 .当x>1时,令15x+7>16x+3,解得x<4;令15x+7=16x+3,解得x=4; 令15x+7<16x+3,解得x>4.综上所述,当快递物品的重量少于 千克或者多于4千克时,选择甲公司更省钱;当快递物品的重量等于 千克或者4千克时,选择甲,乙两家公司费用一样;当快递物品的重量多于 千克且少于4千克时,选择乙公司更省钱.
2.50
（1）在图2中描出表中的数据，观察判断x,y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩上所挂物的质量是多少？（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少？
解：（1）描点如图所示,这些点在一条直线上,故y与x满足一次函数关系.
沪科版八年级数学上册课件-一次函数模型的应用
解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得
b 32, 10k b
解得 50,
k b
9, 5
32,
y 9 x 32.
5
经检验，点(20，68)，(30，86)，
(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式， 所以y与x之间的函数表达式为 y 9 x 32.
（2）观察描出的点的整体分布，它们基本在一条 直线附近波动，y与x之间的函数 关系可以用一次 函数去模拟.即y=kx+b.
y/s
240
230 ·
·
·
220
·
210
200
·
·
·
·
O（1984） 1（1988） 2（1992） 3（1996） 4（2000） 5（2004） 6（2008）7（2012）8（2016）
2016年里约奥运会澳大利亚选手马克-霍顿以 221.55s的成绩获得男子400m自由泳项目奥运会冠 军，你对你预测的准确程度满意吗？
归纳总结
通过上面的学习，我们知道建立两个变量之间 的函数模型，可以通过下列几个步骤完成：
（1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出； （2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，
5
(3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？
解：当y＝0时，0
9 5
x
32.
解得 x 160 . 9
∴华氏0度时的温度应是
160 9
摄氏度；
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的
可能吗？
解：把y＝x代入，x
9 5
x
32,
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3.2.2 一次函数模型
【教学目标】
1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．
2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．
3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．
【教学重点】
一次函数的性质．
【教学难点】
对正比例函数和直线的关系的理解．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.
环节教学内容师生互动
导入1. 一次函数的概念：
函数y＝(k，b 为常数，
k)叫做一次函数．
当b＝时，函数y＝k叫做正
比例函数．
2. 在直角坐标系中作出y＝3 x 的图象．
教师屏幕显示内容，学生合作完成．
结论：正比例函数是特殊的一次函数．
师：函数y＝3 x 的图象是一条直线吗？
新课一、正比例函数y＝k x 的图象是什么形
状？
以具体函数y＝3 x为例，
令x＝0，则y＝0，所以函数y＝3 x
的图象过点O(0，0)．又x＝1，y＝3是方
程的另一个解，作点A(1，3)，过这两个
点O，A 作直线OA．
师：你是怎么做出y＝3 x的图象的？
生：列表，描了两个点，连线．
师：由方程y＝3 x 的两个解我们做出了
直线OA，那么方程y＝3 x 的所有解都在直
线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都
满足y＝3 x 吗？
即方程y＝3 x 的解与直线OA 上的点
是一一对应的吗？
这一部分，教师结合图示，用简洁明了的
语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不
宜过多强调．
-2
-4
-3
O
2
-1
y=3x
P
A
1 x
-2 -1
1
2
3
4
y
新课y 轴的交点坐标是什么？
结论
(1) 一次函数y＝kx＋b 的图象与正
比例函数y＝k x 图象的关系：
一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直
线，我们称它为直线y＝kx＋b，它可以看
作由直线y＝kx 沿y轴平移|b| 个单位长
度得到．(当b＞0时，向上平移；当b＜0
时，向下平移．)
(2) 一次函数y＝k x＋b 的图象是过
点(0，b)，(－
b
k，0)的一条直线．
练习1指出下列直线是由哪个正比例函
数的图象平移得到的，并求下列直线与x
轴，y 轴的交点坐标．
(1)直线y＝5 x＋1；
(2)直线y＝5x－3；
(3)直线y＝x＋5；
(4)直线y＝x－3．
三、一次函数的单调性
当k＞0时，函数f(x)＝kx＋b是增函
数．当k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函
数．
例2 证明一次函数f(x)＝kx＋b (k＞0)
在(－∞，＋∞)上是增函数．
证明设x1，x2是任意两个不相等的
实数，因为Δ x＝x2－x1，而且
Δy＝k x2＋b－k x1－b
＝k(x2－x1)＝k Δx，
所以
Δy
Δx＝x
x
k
∆
∆
＝k＞0．
所以当k＞0时，函数 f (x)＝k x＋b
在(－∞，＋∞) 上是增函数．
同理我们可以证明：当k＜0 时，函
数f(x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是减函
数．
因为∆y 是函数值的改变量，∆x 是自
变量的改变量，所以由∆y＝k ∆x 还可知：
函数值的改变量与相应自变量的改变量成
正比．
四、总结一次函数的性质
1．一次函数y＝k x＋b 的图象是过点(0，
学生抢答练习1．
师生交流练习1后，教师提出问题：一次
函数是由正比例函数平移得到的，从图象上
看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结
论吗？
师生共同解决例2，教师板书详细的解题
过程．
教师引导学生归纳得出：函数值的改变量
与相应自变量的改变量成正比．
师生共同总结得出一次函数的性质．
学生口答，师生共同点评．。