希尔伯特空间上一算子方程的解
3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子
3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间， T：H → H 为有界线性算子，若 T 的希尔伯特伴随算子 T* 满足 T* = T ，即 有关系
< T x , y > = < x , T y > （x，y ∈ H ）
则称 T 为自伴算子或厄米特算子。
定义3.5.7（正规算子）
设பைடு நூலகம்H 为希尔伯特空间，T：H→H 是
有界线性算子，若T T* = T* T，则称 T 为
正规算子。
3.5.3 正算子
自伴算子可以比较大小：
定义3.5.8（正算子）设 H 为复希尔伯特
空间， T：H→H 为自伴算子，如果 T ≥
0，即
< T x， x > ≥ 0 任意 x ∈ H
必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
希尔伯特空间上线性算子方程的解理论
希尔伯特空间上线性算子方程的解理论希尔伯特空间是数学领域中的重要概念，它具有内积的完备度量空间特性。
在线性算子方程的解理论中，希尔伯特空间的性质和结构起着至关重要的作用。
本文将探讨希尔伯特空间上线性算子方程的解理论。
一、希尔伯特空间的基本概念和性质在介绍希尔伯特空间上线性算子方程的解理论之前，我们先来了解一下希尔伯特空间的基本概念和性质。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间。
它具有以下特性：1. 对于希尔伯特空间中的向量，存在内积运算，满足线性和正定性；2. 希尔伯特空间是完备的，即任何柯西序列都有收敛的极限。
二、线性算子方程的概念及其在希尔伯特空间中的应用线性算子方程是指形如A(x) = b的方程，其中A是一个线性算子，x是未知向量，b是已知向量。
在线性算子方程的理论中，希尔伯特空间有着广泛的应用。
线性算子方程的解是指能够使方程成立的向量。
在希尔伯特空间中，我们可以利用内积的性质和希尔伯特空间的结构来研究线性算子方程的解。
三、希尔伯特空间上线性算子方程的解理论主要包括以下几个方面：1. 存在性定理：对于希尔伯特空间上的线性算子方程，存在解的条件和解的存在性定理。
2. 唯一性定理：对于希尔伯特空间上的线性算子方程，解的唯一性条件和解的唯一性定理。
3. 近似解的存在性和收敛性：通过构造逼近序列，研究线性算子方程的近似解的存在性和收敛性。
4. 非线性算子方程的线性化：将非线性算子方程线性化为希尔伯特空间上的线性算子方程，从而利用线性算子方程的解理论来研究非线性算子方程。
四、应用举例希尔伯特空间上线性算子方程的解理论在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 物理学中的量子力学方程求解；2. 工程学中的信号处理和控制系统设计；3. 经济学中的最优化模型求解；4. 图像处理中的降噪和图像恢复。
通过这些应用举例，我们可以看出希尔伯特空间上线性算子方程的解理论在各个领域中的重要性和实用性。
结论本文主要介绍了希尔伯特空间上线性算子方程的解理论。
希伯特空间上的算子理论及应用
希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析学中的重要分支，而希伯特空间作为函数分析学的基础概念，与算子理论密切相关。
本文将介绍希伯特空间上的算子理论的基本概念、性质以及应用，并探讨其在数学和工程领域中的重要作用。
一、希伯特空间的基本概念希伯特空间是指具有内积的完备的实数或复数线性空间。
其上的内积满足线性、对称性、正定性三条性质。
希伯特空间上的算子指的是从这个空间到自身的线性映射。
算子理论的研究对象就是这样的映射。
二、算子理论的基本性质1. 算子的线性性：对于希伯特空间上的算子T及标量a和b，有T(a+b) = Ta + Tb，T(ca) = c(Ta)，其中c为标量。
2. 算子的连续性：算子T若满足存在常数M，使得对于任意的向量x，有||Tx|| ≤ M||x||，则称T是有界的。
3. 算子的自伴性：若对于任意的向量x和y，有 <Tx, y> = <x, Ty>，则称算子T是自伴的，也称为厄米算子。
4. 算子的紧性：若对于希伯特空间上的算子T，将x的有界集映射为T(x)的有界集，即有界集保持有界，则称T是紧的。
三、算子理论的应用算子理论广泛应用于数学和工程领域，以下列举几个重要应用：1. 量子力学中的哈密顿算子：在量子力学中，哈密顿算子描述了系统的总能量，并用于求解能级和态函数等。
哈密顿算子是自伴算子，具有特征值和特征向量，它们对应着量子力学中的能级和相应的态函数。
2. 图像处理中的小波变换：小波变换是一种多尺度分析方法，通过用希伯特空间上的小波函数对信号进行分解和重构，可以实现信号的压缩、去噪、边缘检测等图像处理任务。
3. 控制理论中的状态空间表示：在控制理论中，系统的动态行为可以用状态空间表示，其中系统的状态由希伯特空间上的向量表示，系统的演化由希伯特空间上的算子表示。
通过研究算子的性质，可以分析系统的稳定性、可控性和可观测性等。
4. 模式识别中的支持向量机：支持向量机是一种常用的模式识别方法，其基本思想是将输入空间映射到希伯特空间，并在其中构造最优分离超平面，从而实现分类和回归分析。
酉算子的谱定理
酉算子的谱定理酉算子的谱定理是泛函分析中的一个重要定理，它涉及到线性算子和谱理论的概念。
在介绍酉算子的谱定理之前，我们首先需要了解一些相关的背景和术语。
1.酉算子：在数学中，特别是在泛函分析和线性代数中，酉算子（或称为幺正算子）是一种保持内积不变的线性算子。
对于复数域上的希尔伯特空间H，一个线性算子U: H → H被称为酉算子，如果对于H中的所有向量x和y，都有<Ux, Uy> = <x, y>。
2.谱定理：谱定理是数学中的一个基本结果，它描述了某些类型的自伴算子（或更一般地，正规算子）可以通过其谱（即特征值的集合）来完全描述。
对于自伴算子，谱定理表明存在一组正交的特征向量，它们构成希尔伯特空间的一个完备正交基，并且算子可以表示为这些特征向量的线性组合，其中系数是对应的特征值。
然而，酉算子的谱定理与自伴算子的谱定理有所不同。
酉算子的谱定理主要关注算子的谱性质和分解，而不是通过特征向量来表示算子。
具体来说，酉算子的谱定理表明，对于给定的酉算子U，存在一组正交投影算子（这些投影算子对应于U的特征子空间），使得U可以表示为这些投影算子的线性组合。
此外，这些投影算子的系数是复数域上的单位圆上的点，它们构成了U的谱。
酉算子的谱定理的一个关键结果是：酉算子的谱（即特征值的集合）都在单位圆上。
我们可以通过一个简单的例子来说明这一点。
考虑二维复数空间C^2，并定义一个线性算子U如下：U((x, y)) = (a x + b y, c x + d y)其中a, b, c, d是复数。
为了使U成为酉算子，它必须满足<U(x,y), U(z,w)> = <(x,y), (z,w)>对所有(x,y)和(z,w)成立。
这导致了一些限制条件，特别是矩阵[a b; c d]必须是酉矩阵，即它的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵。
现在，假设U是一个酉算子，并且它有一个特征值λ。
那么存在一个非零向量(x, y)使得U((x, y)) = λ*(x, y)。
hilbertschmidt定理
hilbertschmidt定理Hilbert Schmidt定理：探索于无尽的向量空间中的内积。
Hilbert Schmidt定理是一个重要的经典数学理论，它主要涉及到无穷维向量空间的内积以及线性算子的理论，是数学分析中的一门重要的课程。
本文将引导读者深入了解Hilbert Schmidt定理的内涵和应用。
一、什么是Hilbert Schmidt定理？Hilbert Schmidt理论是一个涉及到有限秩线性算子与安普伯格Hilbert空间的理论，具体说来就是证明了有限维情形下的内积和无限维情形下的内积的等价性。
在数学中，无限维情形下的内积不再等价于一般线性算子，而是引进了Hilbert-Schmidt线性算子的概念，提出了Hilbert Schmidt定理。
在一般性的希尔伯特空间中，任何Hilbert-Schmidt算子总能被趋向于正交归一向量的有限秩算子逼近，并且能够刻画一种等价关系，构成希尔伯特空间的完备性的理论。
同时，Hilbert-Schmidt算子具有普遍的重要性，它在量子力学的建立和量子场论中扮演了一个重要的角色。
二、Hilbert-Schmidt算子的定义及性质在有限维线性空间中，任何一个线性算子都是有限秩的，因此可以被一个确定的矩阵表示，进而可以通过矩阵的转置、或共轭，以及逆等变换来描述其一些最基本的性质。
而在无限维线性空间中，这种情形就不再满足，线性算子不能够通过有限维向量空间矩阵的方式进行描述，因为矩阵的转置、共轭、逆等变换只对有限秩矩阵有意义。
为了描述这种情形下的线性算子，我们可以考虑内积，线性算子T可描述为在无限维向量空间V中选择一个基底和模量，然后给每一个向量赋予一个关于基底、模量的有限表达式。
而对于任一向量$u$, $Tv$，其内积为$<u,Tv>$。
但是类似于有限元素空间的基，无限维向量空间V的基是不存在的，因此，这种描述方法在实际应用中并不方便，于是引出了Hilbert-Schmidt算子的概念。
希尔伯特空间上的线性算子理论
希尔伯特空间上的线性算子理论线性算子理论是功能分析中的重要分支，而希尔伯特空间则是其研究的一个重要领域。
本文将介绍希尔伯特空间上的线性算子理论，包括定义、性质以及一些重要的结果。
我们将通过几个主题来论述这一理论，以帮助读者更好地理解线性算子在希尔伯特空间中的重要性。
一、希尔伯特空间与线性算子的基本概念在讨论线性算子理论之前，我们首先需要了解希尔伯特空间的一些基本概念。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间，具有内积和范数两个重要的特征。
在这个空间中，线性算子是指将一个向量映射到另一个向量的映射。
二、线性算子的定义与例子线性算子可以用不同的方式进行定义，其中最常见的是通过矩阵表示或者通过函数表达式来定义。
例如，一个常见的线性算子可以通过矩阵乘法来表示。
此外，还有一些特殊的线性算子，例如零算子、单位算子和伴随算子等。
三、线性算子的性质和运算规则线性算子在希尔伯特空间上具有一些重要的性质和运算规则。
其中最重要的性质是线性，即对于任意的向量和标量，线性算子都满足线性性质。
此外，线性算子还具有可加性、齐次性和保持内积等性质。
四、线性算子的特征值和特征向量在线性代数中，我们学习了矩阵的特征值和特征向量的概念。
在希尔伯特空间中，线性算子也具有类似的特征值和特征向量的概念。
通过求解线性算子的特征方程，我们可以找到其特征值和特征向量，并利用它们来研究线性算子的性质。
五、线性算子的谱理论线性算子的谱理论是希尔伯特空间上线性算子理论的重要组成部分。
谱理论研究线性算子的谱结构和谱性质，包括点谱、连续谱和剩余谱等。
通过谱理论，我们可以更深入地理解线性算子的性质和行为。
六、线性算子的紧性和有界性线性算子在希尔伯特空间中的紧性和有界性是其重要的研究方向之一。
紧性是指线性算子将有界集映射成紧集，而有界性则是指线性算子有界的性质。
这些性质对于解决一些实际问题和证明定理中起着重要的作用。
七、线性算子的收敛性线性算子的收敛性是希尔伯特空间中的一个关键问题。
关肇直-
关肇直关肇直(19l 9．2．13-1982．11．12)是中国数学家，生于北京．原籍广东省南海县．父亲关葆麟早年留学德国，回国后任铁道工程师多年，于1932年故世；母亲陆绍馨，是北平女子师范大学的毕业生，曾从教于北京师范大学．关葆麟去世后，母亲以微薄的收入艰难地抚育关肇直及其弟妹多人．全国解放后，关肇直尽心亲侍慈母，直至1967年去世．关肇直于1959年1月与刘翠娥结婚，他们有两个女儿．刘翠娥系中国科学院工程物理研究所研究人员．关肇直于1927年进北京培华中学附属小学学习．1931年入英国人办的崇德中学学习．学校对英文要求十分严格，加上关肇直自小就由父母习以英文、德文，为日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基础．1936年高中毕业后考入清华大学土木工程系，后于l938年转入燕京大学数学系学习．毕业后在燕京大学(后迁成都)任教．参加成都教授联谊会，担任学生进步组织的导师，积极支持抗日救国学生运动．1946年春从成都返回北平(北京)，不久从燕京大学转到北京大学数学系任教．1947年通过考试成为国民政府派遣的中法交换生赴法国留学．名义上去瑞士学哲学，实际上去了巴黎大学庞加莱研究所研究数学，导师是著名数学家、 "一般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇(M．R．Frechetl．1948年参加革命团体"中国科学工作者协会"，是该会旅法分会的创办人之一．l949年10月，新中国诞生，他毅然决定放弃获得博士学位的机会．于12月回到祖国．满腔热情地参加了新中国的建设．他立即参加了组建中国科学院的工作．他和其他同志一起，协助郭沫若院长筹划建院事宜，确定科学院的方向、任务、体制等，组建科学院图书馆，担任图书管理处处长，编译局处长．1952年参加筹建中国科学院数学研究所的工作，并在数学研究所从事数学研究，历任副研究员、研究员、研究室主任、副所长、所学术委员会副主任．他还是中国科学院声学研究所学术委员会委员及原子能研究所学术委员会委员．从l952年起，兼任北京师范大学、北京大学、中国人民大学和中国科技大学等校教授以及华南工学院名誉教授；并兼任过中国科学院成都分院学术顾问、该院数理科学研究室主任、中国科学院武汉数学物理研究所顾问、研究员．他还是国家科委数学学科组副组长、自动化学科组成员；曾担任北京数学会理事长，中国数学会秘书长，国际自动控制联合会理论委员会成员及《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》和《系统科学与数学》等杂志的编委或主编等职．l980年，他与其他科学家一起创建中国科学院系统科学研究所，担任研究所所长．他还担任中国自动化学会副理事长、中国系统工程学会理事长．l980年当选为中国科学院数理学部委员．关肇直长期从事泛函分析、数学物理、现代控制理论等领域的研究，成绩卓著，为我国的社会主义现代化建设做出了重大贡献，l978年获全国科学大会奖，1980年获国防科委、国工办科研奖十几项，1982年获国家自然科学奖二等；关肇直参与主持的项目《尖兵一号返回型卫星和东方红一号》获1985年国家科技进步特等奖，他本人获"科技进步"奖章．关肇直从事泛函分析、数学物理和现代控制理论研究方面，取得水平很高的成果．主要成果有以下几个方面．(一)最速下降法与单调算子思想关肇直于《数学学报》第6卷第4期(1956)发表了学术论文"解非线性函数方程的最速下降法"，第一次把梯度法(又称最速下降法)由有限维空间推广到无限维空间，而且和线性问题相仿，其收剑速度是依照等比级数的．这种方法可以用来解某些非线性积分方程以及某些非线性微分方程边值问题．并在文中首先提出了单调算子的思想，比外国学者早四、五年．国外关于单调算子的概念，最早见于l960年扎朗顿尼罗和闵梯(E．H．Zafantonello，G．J．Minty)的工作．单调算子是非线性泛函分析中很基本的概念之一，单调算子理论已成为泛函分析中的一个重要分支，在处理力学、物理学中的许多非线性问题中被广泛地应用．(二)激光问题的数学理论在数学物理方面，关肇直也进行了深入的研究．他在《中国科学》第14卷第7期(1956)上用法文发表了学术沦文"关于'激光理论'中积分方程的非零本征值的存在性"'在论文中他利用泛函分析工具，在很弱的假设下，用极为简短的方式证明了激光理论中一般形式的具有非对称核的线性积分方程非零本征值的存在．这一结果受到国际上的重视．被国外书刊广泛引用，如Magraw-Hill图书公司1972年出版的柯克朗(J．A．Cochran)著的《线性积分方程分析》一书就曾详细地引用过．(三)中子迁移理论关肇直在数学物理方面的另一个创造，就是关于中子迁移理论的研究．1963年他用希尔伯特空间与不定规度空间的算子谱理论解决了平板几何情形的中子迁移的本征函数问题，著有"关于一类本征值问题"(当时未发表)．这比国外罕日布鲁克(Hangelbrook)l973年的同类工作早10年．卡帕(H．G．Kaper)和兹维贝尔(P．F．Zweibel)．在1975年举行的国际迁移理论第四次会议上的报告(载于期刊《Transpost Theory andStatisticalPhysiss》Vol．4，No．3，第105-123页，1975)中，在"迁移理论中有什么创新"标题下，把罕日布鲁克的方法称为求解方程的新方法；但是，罕氏著作中所解决的问题，在关肇直的文章中是早已解决的了．关肇直于1963年完成的这篇论文直到他去世后于1984年发表在《数学物理学报》上，国外同行当得知他在60年代就作出了如此高水平的工作时都深表惊异．(四)飞行器弹性控制理论关肇直在《中国科学》1974年第4期上发表了"弹性振动的镇定问题"，首先提出了用线性算子紧扰动理论解决飞行器弹性振动的镇定问题．在这之前，美国的著名控制论专家鲁塞尔(D．L．Russell)曾用别的方法讨论过此类问题，但他自己认为他所得的结果"当然并非完全满意"，增益系数"的增大应能改进系统的稳定性，但这样整体性结果没有得到……"他甚至认为：显然他所用的方法"带来必须小的缺陷，……，但很怀疑这里定理所表述的结果的确切化用任何别的技术来实现．"可是，与鲁塞尔的怀疑相反，关肇直用了算子紧扰动方法技巧，此方法与鲁塞方法有本质的区别，它确实摆脱了放大系数很小的限制，得出了工程意义更合理的结果．这项成果已经应用到我国的国防尖端技术设计上、成为导弹运载火箭所必不可少的一个设计理论．(五)几本主要著作1．《泛函分析讲义》1958年高等教育出版社出版了关肇直的《泛函分析讲义》．该书吸取了当时国际上几部有名的介绍泛函分析概要的书的长处，内容适中，很具特色，便于自学．这是国内第一部包括当时泛函分析各分支的较全面的专著，国内当时这类书很少；国内除此之外，迄今也仍只一些教科书性质的出版物，所以至今还没有别的书代替它．关肇直曾使用这部著作在1956年和1957年分别为中国科学院数学研究所一批青年同志和北京大学第一届泛函分析专门化学生讲授过《泛函分析》课程，培养了一批从事泛函分析等方面的中青年骨干教师和科研人员．此书至今仍有重大参考价值．2．《拓扑空间榻论》科学出版社于1958年出版了关肇直教授的这本书．本书是为了数学分析方面的青年数学工作者的需要而写的．目的是使读者获得关于拓扑空间理论的基础知识．本书在当时是这方面较系统的也是较早的一部专著．作者是按照自己的观点来写的，书中许多定理的证明都是作者给出的，他尽可能地遵循一般实变函数论中的叙述问题的方式，因而有自己的特色．这是为了使读者感到新知识与原有知识有联系，对新的抽象概念不至感到突然，同时又帮助读者直达科学研究的前沿．根据研究概率论方面的读者反映，对他们研究极限定理一类工作颇有帮助．3．《高等数学教程》人民教育出版社于1959年出版．本书是关肇直在中国科技大学开办应用数学专业讲授高等数学课程而编写的教材，特点是：材料比较丰富，注意理论联系实际．4．《线性泛函分析入门》上海科技出版社于1979年出版．关肇直同他的学生张恭庆、冯德兴合著．著书的目的是为了满足多方面科学研究工作者的需要，因为当时线性泛函分析已成为许多从事科学技术研究的人所渴望了解和应用的一门数学学科．此书的特点是：尽可能从一些问题提炼出泛函分析中的基本概念，让读者透过叙述方法了解到研究的过程．5．《现代控制系统理论小丛书》这是由关肇直主编的，包括线性系统理论、非线性系统理论、极值控制理论、系统辨识、最优控制与随机控制理论、分布参数系统理论及其它有关内容，共分十几分册，由科学出版社从1975年开始陆续出版．这套丛书介绍了现代控制系统理论的各个部分，并着重说明这种理论怎样由工程实践的需要而产生，又怎样用来解决工程设计中的实际问题．此丛书主要是为从事控制理论研究的科学工作者和工程技术人员而撰写的．此丛书的出版，对于促进我国的控制理论和控制技术的发展起到了很好的作用．。
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ｏ
Ｈ
ａ
摘 要 ： 据算 子 Ａ 的 Ｍｏ ｒ— ｅ ｒ ｓ 逆 ， 希 尔伯 特 空间上给 出了一个对称 性有界 线性 算 根 ｏ ｅＰ ｎｏ ｅ 在
子 方程在 限 制条件 下有 解的充要 条件 ， 并得 到 了该 方程在 此条件 下通 解的 具体表 达式．
滨
州 Ｂ
关键 词 ： ｏ ｅ ｅ ｒ ｓ 逆 ； Ｍｏ ｒ— ｎｏ ｅ Ｐ 算子 等式 ； 尔伯 特 空间 希 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３— ６ ８ ２ １ ） ３ ０ ８ —０ １ ７ ２ １ （０ ０ ０ — ０ ２ ４
引理 ２ 设 Ａ∈ Ｌ（ ， ） 闭 的值域 ， Ｅ Ｌ Ｈ ． Ｈ Ｈ。 有 （ ） 则算 子 方程 （ ） ３ 有解 Ｅ Ｌ（ ， ） Ｈ Ｈ 当且仅 当
Ｂ 一 ～ Ｂ ， Ｉ— Ａ４ Ｂ（ （ ） Ｊ～ Ａ４ ）一 ０ ． （ ５）
此 时 方 程 （ ）的 一 般 解 的 表 达 式 为 ３
个算 子 Ａ ∈ Ｌ（ ， ） 满 足 Ａ Ａ— Ａ， 一 Ｈ Ｈ ， Ａ 则称 Ａ是广 义可逆 的 ， 且 Ａ广义 可逆 当且 仅 当Ｒ（ 是闭 的． 并 Ａ）
若存 在唯 一的算 子 ｘ ∈ Ｌ（ ， ） 足以下 ４个等 式 Ｈ。 Ｈ 满
ＡＸＡ — Ａ ， ＡＸ — Ｘ ， ＡＸ ） 一 Ａ ， Ｘ ） ＝ Ｘ ， Ｘ （ Ｘ （Ａ Ａ
解 的表 达 式 ． 此 基 础 上 ， 究 了 在 研
ＡＸＢ 一 ＢＸ Ａ 一 Ｃ （） ２
在希尔 伯特 空间上 的解 的表达 式．
１ 主要 结 论
引理 １ 设 Ａ ∈ Ｌ（ Ｈ： Ｈ ， ）是可逆 的 ， ∈ Ｌ Ｈ ） 则算 子等式 Ｂ （ ．
ＸＡ 一 ＡＸ 一 Ｂ （ ３）
中图分 类号 ： ７ ． Ｏ １７ １ 学 院 学 ｕ
０ 引 言
记 Ｈ Ｈ。 ， 为希尔 伯特 空间 ， Ｈ Ｈ 的所 有有界 线性 算子 的集合 为 Ｌ（ ， ） 当 Ｈ 一 Ｈｚ 从 到 Ｈ。 Ｈｚ ， 时记
报
为 Ｌ（ ） 对任 意给定 的算子 Ａ∈Ｌ（ ， ）记 Ｒ（ 和 Ｎ（ 分别 为 Ａ的值 域空 间和零 空间 ， Ｈ ． Ｈ。 Ｈ。 ， Ａ） Ａ） 若存 在一
ｘ — Ｂ（ ） Ａ Ａ 一 （ Ａ Ｊ— Ａ Ａ） Ａ ） Ｂ（ ＋ ＡＺ Ａ ￣ Ｙ（ Ａ － Ｉ— Ａ Ａ） ， （） ６
这 里 ｌ Ｅ Ｌ（ ， ）Ｚ Ｅ Ｌ（ ） 足 Ａ（ ， Ｈ１ Ｈ２ ， Ｈ１ 满 Ｚ— Ｚ Ａ 一 ０ ） ．
则称 为 Ａ 的 Ｍｏ ｒ — ｅ ｒｓ 逆 ， 为 Ａ ． 他符号 采用 与文献 ［ ３相 同的记法 ． ｏｅ Ｐ ｎ ｏ ｅ 记 其 １ 近３ Ｏ年来 ， 许 多文 章 研 究过 算 子 方程 的解 ， 有 它们 在 力 学 、 制 论 和其 他 领 域 都有 着 重 要 的应 用 ． 控
进 一步研 究 了更 广泛 的方 程 Ａ —Ｘ — Ｂ ． ０ ８ ， 庆祥嘲 讨论 了算子 方程组 Ａ — Ｃ， ＝ Ｄ有 正 Ｘ Ｆ Ｙ ２０ 年 许 ｘ Ⅻ 定 解 的条 件及解 的表 达式 ． 最近 ， ． ． ｊｒｊｖｃ 给 出了算子方 程 Ｄ Ｓ Ｄ ｏｄｅ ｉ
Ａ Ｘ ＋ Ｘ Ａ — Ｂ （） １
１９ ９ ８年 ， Ｂ ａ ｅ ［ 考虑 了方程 Ａ ｘ＋ＸＴ — Ｂ的解 ． ０ １ ， ． ｒｉｎｓ 给出 了 Ｓ ｌｅｔｒ Ｈ． ｒｄ ｎ Ａ ２ ０ 年 Ｐ Ｋｉ ｎ ｉ ３ ｒ Ｉ ｙｖ ｓｅ 方程 Ａ ｘ
—Байду номын сангаас
ＸＢ— Ｃ的解 ． ０ ４ ， ２ ０ 年 段广 仁 得到 了此方 程在线 性 系统领域 的许 多应用 ， ２ ０ 年 ， 在 ０ ５ 周斌 和段广 仁 ］
第 ３ 期
李
宁， 王文 锋
希 尔伯 特空 间上 一算 子方程 的解
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这 里 Ｚ ∈ Ｌ（ ）满 足 Ｚ — Ｚ Ｈ１ ．
证 明 若 （ ） 解 ， 然 Ｂ 一一 Ｂ 反 之 ， 设 Ｂ 一一 Ｂ ， 证 具 有 （ ） 式 的 ｘ 是 （ ）的 解 ． ｘ是 ３有 显 ． 假 易 ４形 ３ 设 （ ）的 任 意 解 ， 有 ｘ — Ｂ（ ） ＋ Ａ ３ 则 Ａ Ｘ （ ） 和 Ｘ（ ） ： Ａ Ａ Ａ ｘ — Ａ Ｂ（ ） 。进 而 可 得 Ａ －．
第 ２ ６卷第 ３期
Ｖｏ１ ２ Ｎｏ． ． ６， ３
２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．，０ ０
希 尔伯 特 空 间上 一算 子 方 程 的解
李 宁 王 文锋 ，
（． １ 山东财政 学 院 统 计与数 理学 院 ， 山东 济 南 ２ ０ １ ； ５ ０ ４ ２ 滨州 学院 自动 化系 ， ． 山东 滨州 ２ ６ ０ ） ５ ６ ３
ｘ一寺ＢＡ ） 十Ａ 寺Ａ （ ＋ｘ （ ］ 告 （ ＿＋Ａ 告（ （ ［ ＢＡ ） Ａ ） 一 ＢＡ ） １ ［ Ａ Ｘ＋ｘ （ ）． Ａ ） ］
令 Ｚ—Ａ ｘ ＋ Ｘ （ ） ， 到 Ｚ — Ｚ Ａ ～ 得 ．
１
１
１
１
下 面给 出当 Ｒ（ Ａ）是 闭的时 ， 算子方 程 （ ）的解 的表达 式． ３
有解 ｘ ∈ Ｌ（ ， ）当且仅 当 Ｂ 一一Ｂ ． Ｈ Ｈ 这时解 的表 达式 为
ｘ ＝ Ｂ（ ） ＋ Ａｚ， ＝ ＝ Ａ （） ４
收 稿 日期 ：０ ９ ２ ３ ２ ０ —１ 一Ｏ
修 回 日期 ： ０ ０ ３ ５ ２ １ —０ —０
基 金 项 目 ： 州 学 院 青 年 人 才 科 研 项 目基金 （ ｚ Ｋ Ｏ Ｏ ） 滨 Ｂ ｘＹ Ｊ ８ ２ 第一作者简介 ： 李 宁（９１ ）男 ， １８ 一 ， 山东 汶 上 人 ， 师 ， 要 从 事 计算 数学 的研 究 ， — ｉ ｊ ｇ ０９ １３ ｃｒ． 讲 主 Ｅ ｍａｌ ｉ ５ ９ ＠ ６ ．ｏ ．ｎ ｎ