三维旋转矩阵
旋转矩阵的严格推导
旋转矩阵的严格推导引言：旋转矩阵是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述二维或三维空间中的旋转变换。
在计算机图形学、机器人学和物理学等领域中，旋转矩阵被广泛应用。
本文将从严格的推导角度，介绍旋转矩阵的定义、性质以及推导过程。
一、定义旋转矩阵是一个正交矩阵，它表示了一个向量绕某个轴旋转的变换。
在二维空间中，旋转矩阵可以表示为：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ表示旋转角度。
在三维空间中，旋转矩阵可以表示为：R = | cosθ -sinθ 0 || sinθ cosθ 0 || 0 0 1 |二、性质旋转矩阵具有以下几个性质：1. 正交性：旋转矩阵的转置等于它的逆矩阵，即R^T = R^(-1)。
2. 行列式为1：旋转矩阵的行列式等于1，即det(R) = 1。
3. 保持长度不变：旋转矩阵作用于一个向量时，向量的长度保持不变。
4. 保持内积不变：旋转矩阵作用于两个向量时，它们的内积保持不变。
三、推导过程下面将通过严格的推导过程，证明旋转矩阵的性质。
1. 正交性的证明：设矩阵R为：R = | a b || c d |则R的逆矩阵R^(-1)为：R^(-1) = | d/AD -b/AD || -c/AD a/AD |其中，AD = ad - bc。
根据矩阵乘法的定义，可以得到：R*R^(-1) = | a b | * | d/AD -b/AD | = | ad/AD - bc/AD 0 || c d | | -c/AD a/AD 0 |可以看出，R*R^(-1)的结果是一个对角矩阵，对角线上的元素都为1，其余元素都为0，即单位矩阵I。
所以，R*R^(-1) = I。
同样地，可以得到R^(-1)*R = I。
因此，矩阵R的转置等于它的逆矩阵，即R^T = R^(-1)，证明了旋转矩阵的正交性。
2. 行列式为1的证明：由于矩阵R是一个正交矩阵，根据正交矩阵的性质可知，R的行向量和列向量都是单位向量且两两正交。
旋转矩阵及其应用
旋转矩阵及其应用旋转矩阵是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量在三维空间中的旋转。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，旋转矩阵被广泛应用。
本文将介绍旋转矩阵的定义、性质和应用。
一、旋转矩阵的定义旋转矩阵是一个正交矩阵，它可以将一个向量绕某个轴旋转一定角度。
在三维空间中，我们可以用三个轴来表示三个方向，分别为x 轴、y轴、z轴。
这三个轴组成了一个直角坐标系。
对于一个向量v，它可以表示成三个分量的形式：v = [x, y, z]我们可以根据需要，将这个向量绕x轴、y轴或z轴旋转一定角度。
假设我们将向量v绕z轴旋转θ角度，那么旋转后的向量v'可以表示为：v' = [x', y', z']其中，x'和y'可以通过以下公式计算：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθz'不会发生改变。
这个旋转过程可以用一个旋转矩阵R来表示：R = [cosθ, -sinθ, 0][sinθ, cosθ, 0][0, 0, 1]这个矩阵就是绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵。
同样，如果我们想将向量v绕x轴旋转θ角度，那么旋转矩阵可以表示为：R = [1, 0, 0][0, cosθ, -sinθ][0, sinθ, cosθ]如果我们想将向量v绕y轴旋转θ角度，那么旋转矩阵可以表示为：R = [cosθ, 0, sinθ][0, 1, 0][-sinθ, 0, cosθ]二、旋转矩阵的性质旋转矩阵有一些非常重要的性质，这些性质对于理解旋转矩阵的应用非常有帮助。
1. 正交性旋转矩阵是一个正交矩阵，也就是说，它的列向量是两两正交的。
这个性质非常重要，因为它保证了旋转矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵。
这个性质对于矩阵的求逆非常有用。
2. 行列式为1旋转矩阵的行列式为1，这个性质也非常重要。
它保证了旋转矩阵不会改变向量的长度，也就是说，旋转矩阵不会将一个向量拉伸或压缩。
已知旋转前和后的向量求三维旋转矩阵计算方法
已知旋转前和后的向量求三维旋转矩阵计算方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、旋转向量的概念三、三维旋转矩阵的计算方法1.利用线性代数和矩阵论2.利用旋转轴和旋转角3.利用四元数四、旋转矩阵的优点和缺点五、总结正文（篇1）一、引言在三维空间中，旋转是一个常见的几何变换。
给定一个旋转前后的向量，如何计算旋转矩阵呢？本文将介绍三种计算三维旋转矩阵的方法。
二、旋转向量的概念在三维空间中，一个向量可以通过旋转得到另一个向量。
旋转向量是指将一个向量绕某个坐标轴旋转一定的角度后得到的新向量。
旋转向量在三维空间中的应用广泛，例如在计算机图形学、机器人学等领域。
三、三维旋转矩阵的计算方法1.利用线性代数和矩阵论利用线性代数和矩阵论的方法可以求解三维旋转矩阵。
具体来说，可以利用旋转矩阵的性质，即旋转矩阵的行列式等于 1，以及旋转前后向量的点积相等。
通过这两个条件，可以列出方程组，求解出旋转矩阵。
2.利用旋转轴和旋转角另一种计算三维旋转矩阵的方法是利用旋转轴和旋转角。
给定旋转前后的向量，可以求出旋转轴，然后根据旋转轴和旋转角计算出旋转矩阵。
这种方法较为直观，但计算过程较为繁琐。
3.利用四元数四元数是一种用来表示三维旋转的数学工具，它可以表示为四个实数的组合。
利用四元数可以简便地计算三维旋转矩阵。
具体来说，可以将旋转向量表示为四元数，然后利用四元数的运算规则，求解出旋转矩阵。
四、旋转矩阵的优点和缺点旋转矩阵在计算三维旋转时具有一定的优点，例如计算过程较为简单，可以直接利用矩阵运算。
然而，旋转矩阵也存在缺点，例如无法直观地表示旋转的方向和角度，以及旋转矩阵中的元素不具有独立性。
五、总结本文介绍了三种计算三维旋转矩阵的方法，分别是利用线性代数和矩阵论、利用旋转轴和旋转角、利用四元数。
目录（篇2）一、引言二、旋转向量的概念三、三维旋转矩阵的计算方法1.以 x 轴为旋转轴的计算方法2.以 y 轴为旋转轴的计算方法3.以 z 轴为旋转轴的计算方法四、旋转矩阵的性质五、总结正文（篇2）一、引言在三维空间中，旋转是一个常见的几何变换，它可以将一个向量从一个位置旋转到另一个位置。
三维向量旋转矩阵
三维向量旋转矩阵在三维空间中，向量的旋转是非常常见的操作，例如在三维建模、计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，都需要对向量进行旋转。
三维向量旋转矩阵是一种能够对向量进行旋转操作的数学工具，它是一种三维变换矩阵，能够将一个向量绕某一轴进行旋转，并将原向量转化为一个新向量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序的三元组 (x,y,z)，其中 x、y、z 分别表示向量在三个坐标轴上的投影长度。
例如，向量 A(1,2,3) 表示在三维空间中的一个从坐标原点沿 x 轴、y 轴、z 轴分别投影 1、2、3 个单位长度的向量。
向量的旋转首先需要确定旋转轴，旋转轴可以是任意方向的一条直线。
然后在旋转轴上确定一个旋转角度，即可对向量进行旋转。
旋转角度通常用弧度来表示，表示为θ。
在三维空间中，向量围绕某一轴进行旋转操作时，旋转方向可定义为右手定则。
即：当右手大拇指方向和旋转轴方向一致时，其他四指的卷曲方向即为旋转方向。
例如，在下图中，向量 A 绕旋转轴 R 旋转θ 角度，旋转的方向为右手定则方向。
为了能够将向量绕某一轴进行旋转，需要计算出旋转矩阵。
三维向量旋转矩阵有多种方法，下面将介绍其中两种方法。
使用三维旋转公式计算旋转矩阵旋转矩阵的计算可以使用三维旋转公式，该公式适用于将向量绕任意一个轴旋转，它的表达式如下：$${\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}},$$其中 $R_{x}(\theta)$、$R_{y}(\theta)$、$R_{z}(\theta)$ 分别是绕 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴进行旋转的矩阵，$\theta$ 是旋转的角度。
这三个旋转矩阵都是正交矩阵，它们的逆矩阵和转置矩阵都是它们本身。
旋转矩阵的数学原理及应用
旋转矩阵的数学原理及应用1. 什么是旋转矩阵？旋转矩阵是一个特殊的方阵，用于描述二维或三维空间中的旋转变换。
在数学和计算机图形学中，旋转矩阵是非常重要的工具，可用于处理图像、动画、模拟等领域。
2. 旋转矩阵的表示方法旋转矩阵通常用一个正交矩阵来表示，正交矩阵是指行向量与列向量两两正交的矩阵。
在二维空间中，旋转矩阵可以表示为一个2x2的矩阵：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)其中，θ表示旋转角度。
在三维空间中，旋转矩阵可以表示为一个3x3的矩阵，如下所示：cos(θ) -sin(θ) 0sin(θ) cos(θ) 00 0 13. 旋转矩阵的性质旋转矩阵具有以下性质：•正交性：旋转矩阵的转置等于其逆矩阵，即R^T = R^(-1)•行列式等于1：旋转矩阵的行列式为1，即det(R) = 1•保持向量长度：旋转矩阵作用在向量上时，不改变向量的长度4. 旋转矩阵的应用旋转矩阵在计算机图形学、机器人学、模拟等领域有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：4.1 三维空间中的物体旋转在三维空间中，可以使用旋转矩阵对物体进行旋转变换。
通过乘以适当的旋转矩阵，可以将一个物体绕着特定的轴进行旋转。
这在游戏开发、动画制作等领域中非常常见。
4.2 机器人运动控制对于机器人的运动控制，旋转矩阵可以描述机器人的朝向和姿态。
通过不同的旋转矩阵组合，可以实现机器人在三维空间中的各种运动，如平移、旋转等。
4.3 图像处理在图像处理中，旋转矩阵可以用于对图像进行旋转操作。
通过将图像中的每个像素坐标乘以旋转矩阵，可以将整个图像按照指定的角度进行旋转。
这在图片编辑、计算机视觉等领域中有广泛的应用。
4.4 无人车导航在无人车导航中，旋转矩阵可以用于描述车辆的方向和姿态。
通过计算车辆当前位置与目标位置之间的旋转角度，可以确定车辆需要按照何种角度进行旋转，从而实现准确的导航。
5. 总结旋转矩阵是描述旋转变换的重要工具，可以在二维或三维空间中描述物体的旋转、机器人的姿态、图像的旋转等。
三维旋转：旋转矩阵，欧拉角，四元数
三维旋转：旋转矩阵，欧拉⾓，四元数原⽂见我的，欢迎⼤家过去评论。
如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。
具体地说，就是刚体上的任意⼀个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\', y\', z\')。
旋转矩阵旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，$$\begin{bmatrix}x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{bmatrix}=R\cdot \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$$绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：$$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{y}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{z}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$所以，绕任意轴旋转的矩阵为$$R_{x}(-p)\cdot R_{y}(-q)\cdot R_{z}(\theta)\cdot R_{y}(q)\cdot R_{x}(p)$$这表⽰：1. 绕x轴旋转⾓度p使指定的旋转轴在xz平⾯上2. 绕y轴旋转⾓度q使指定的旋转轴与z轴重合3. 绕z轴旋转⾓度θ4. 绕y轴旋转⾓度-q5. 绕x轴旋转⾓度-p其中，p和q的值需要⽤i,j,k计算出来。
旋转矩阵和平移矩阵
旋转矩阵和平移矩阵旋转矩阵和平移矩阵是计算机图形学中的两个基本概念，它们能够在三维空间中对物体进行变换，从而实现渲染、动画等功能。
旋转矩阵，顾名思义，就是将物体绕一个或多个轴旋转的矩阵。
在三维空间中，我们通常用三个轴：x轴、y轴和z轴来描述旋转的方向。
旋转矩阵由旋转角度和旋转轴组成，旋转轴可以用一个单位向量来描述。
假设我们要将一个点p绕一个单位向量v旋转θ度，那么其旋转矩阵可以用公式表示为:cos(θ) + (1-cos(θ))v_x²(1-cos(θ))v_x*v_y -v_z*sin(θ)(1-cos(θ))v_x*v_z + v_y*sin(θ)(1-cos(θ))v_x*v_y + v_z*sin(θ)cos(θ) + (1-cos(θ))v_y²(1-cos(θ))v_y*v_z - v_x*sin(θ)(1-cos(θ))v_x*v_z - v_y*sin(θ)(1-cos(θ))v_y*v_z +v_x*sin(θ)cos(θ) + (1-cos(θ))v_z²其中，v_x、v_y、v_z为向量v的三个分量，θ为旋转角度。
平移矩阵则描述了在三维空间中物体的平移变换。
平移矩阵一般用一个三维向量表示，假设要将物体沿着向量t平移，则其平移矩阵可以表示为:1 0 0 t_x0 1 0 t_y0 0 1 t_z0 0 0 1其中，t_x、t_y和t_z分别是向量t的三个分量。
旋转矩阵和平移矩阵的组合能够产生各种各样的变换效果。
比如，将一个物体绕x轴旋转90度，再将其平移(0, 1, 0)，就可以得到一个沿着y轴上升的物体。
将它再绕y轴旋转90度，就能得到一个向左侧移动的物体。
这样的变换组合可以产生丰富的动画效果。
在计算机图形学中，旋转矩阵和平移矩阵是非常重要的概念。
它们适用于物体变换、动画制作等方面，可以实现各种各样的效果，是计算机图形学领域中不可或缺的基础知识。
三维旋转矩阵
a x a x ˆ a a A y x az ax
axa y a ya y aza y
axaz a y az az az
a x a x ˆ A a y a x a x a x y
y
axa y axax axax axaz axax axax
a a 2 b2 c 2 0 b2 c 2 a 2 b2 c 2 0
0 0 0 1
AV Rx Ry
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为： y P2 • P1 • y • P’2
x
z
• P’1 z
x
1) T
y
• P’1 x • P’1 3) Rz x
绕 x 轴旋转
0 sin 1 0 0 cos 0 0
绕 y 轴旋转
旋转变换矩阵规律:
x
x
y
z
对于单位矩阵
y
z
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 ，绕哪个坐标轴 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图 形变换的情况，将其旋转矩阵 cos sin
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
z
z
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。
0 1 0 cos x y z 1 x y z 1 0 sin 0 0
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
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tx
ty
tz
s
（1）三维线性变换部分 （2）三维平移变换部分 （3）透视变换部分 （4）整体比例因子
7.3 三维坐标变换
几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个 位置移动到另一个位置的变换。
坐标变换： 一个物体在不同坐标系之间的坐标 变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换； 观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物 体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体， 然后重新定位到用户坐标系。
10 01
0 0
，绕哪个坐标轴
0 0 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图
形变换的情况，将其旋转矩阵
cos sin
sin cos
中的元素添入相应的位置中，即
(1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y
坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。
（1）绕 z 轴旋转 x x cos y sin
y
y x sin y cos
z z
x
xyzx z z
（2）绕 x 轴旋转
y y cos z sin
y
z y sin z cos
x x
x
x
（3）绕 y 轴旋转 z z cos x sin
第7章 三维变换
7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换
7.1 简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
Aˆ
a a
x y
a a
x x
a z a x
0
A
az
axay ayay azay
az 0
a a
x y
a a
z z
azaz
axax axay axaz
a y Aˆ ayax a x a x
axax axax
a
x
a
x
axax
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’•
z
(2)
P• ’1
x
P2’’•
z
(3)
(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。
z
将原坐标系xyz下的坐标转换成新坐标系x’y’z’的坐标 可由以下两步完成：
首先， 平移坐标系xyz，使其原点与新坐标系x’y’z’的 原点（x0,y0,z0）重合；
平移矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0 0
0 0 1 0
x0 y0 z0 1
y
y’
y
uy
•(x,y,z)
x0, y0, z0 (0,0u,0x ) xx’
z
uz
(0,0,0) z’
x
z 第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵
ux1 uy1 uz1 0
R ux2 uy2 uz2 0
ux3 uy3 uz3 0
0
0
0 1
该矩阵R将单位向量 ux uy uz 分别变换到x,y和z 轴。 综合以上两步，从oxyz到o’x’y’z’的坐标变换的矩阵为
0 sin cos 0
0 0
0 1
绕 x 轴旋转
cos 0 sin 0
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
绕 y 轴旋转
旋转变换矩阵规律: xyz
x 1 0 0 0
对于单位矩阵
y 0 z 0
0
0 0 1 0
tx ty tz 1
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
sx 0 0 0
z
x
y
z1
x
y
z
1
0 0
sy 0
0 sz
a
x
A
y
ay ax 0
o
M Aˆ cos I Aˆ sin A* z 轴角旋转
x
P' P M T
其中 M T 表示M的转置矩阵。
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
yA
• P’2
P• ’1
x
x
y
sx
0
0 0
T x f , y f ,z f S sx , sy , sz T x f , y f , z f
0 0
sy 0
0
0
sz
0
1 sx x f 1 sy y f 1 sz z f 1
3. 绕坐标轴的旋转变换
7.2.2 组合变换
1. 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
(1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
(2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
(3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。
y y
y
z
x
z (a)
xz
xz
(b)
R T Rx T 1
(d) x
(c)
2. 绕任意轴旋转的变换
x z sin x cos
y y
z
y
cos sin 0 0
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
绕 z 轴旋转
1 0
0 0
x y z1 x y z 10 cos sin 0
y
• P’2
P• ’1
x
z
(4)
y
P2 •
P1 • x
z
(5)
例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的 正向一致。
y
y
V
x
x
实现步骤绕x轴旋转到xz 平面上;
(2)再绕y轴旋转使之与z轴正向重合。
旋转角度的确定：绕x轴旋转的角度 等于向量V在yz 平
0 0
0 0 0 1
x y
x xsx , y ysy , z zsz 其中 sx , sy , sz 为正值。
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
（xf,yf,zf)
(1)
（xf,yf,zf)
y (2)
y
x z
x yz
(3) （xf,yf,zf)
（xf,yf,zf)
0
0
a
0
a2 b2 c2
0
0
b2 c2
0
a2 b2 c2
0
1
AV Rx Ry
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
y
• P’2
P• ’1
x
z
1) T
y
P• ’1
x
P2’’• z
2) Rx Ry
面上的投影向量与z 轴正向的夹角。
y
V1=(0,b,c)
V=(a,b,c)
x
z
根据矢量的点乘与叉乘，可以算出:
sin b ,cos c
b2 c2
b2 c2
因此，
1
0
Rx
0
0
0 c
b2 c2 b
b2 c2 0
0 0
b
b2 c2 c
0
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
0 0 1
cos 0 sin 0
即
x y z1 x y z 1
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴 变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。
cos sin 0 0
xyz
x y z1 x y z 1 sin cos 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1