2020届高三八校第二次联考参考答案(文科数学)
1 cos A b2 c2 16 0 结合 b c 解得 2 b 2 2. 2bc
16.【答案】②③【详解】在 ABC 中，∵ BC AC ，由正弦定理可得：，
当 1时，BC AC ，过 AB 的中点作线段 AB 的垂面 ，则点 C 在 与 的交线上，即点 C 的轨迹是一条直线；当 2 时， BC 2AC ，设 B 在平面 内 的 射 影 为 D ， 连 接 BD ， CD ， 设 BD h ， AD 2a ， 则 BC CD2 h2 ，在平面 内，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的中点为 y
联立
y 1
x
2
x0 2y
(x
x0
)
可得
x2
2 x0
x
2 x0 2
2
0,
则
8
4 x0 2
0
x1 x2 2x0 ,
x1x2
2 x0 2
2
………(6
分)
进而可得 AB 1 x02 x1 x2 1 x02 8 4x02 ,
点
N
到
直
线
AB
的
距
离
为
d 0 2 1 x02 1 x02
1 x02 1 x02
5.【答案】A
与
D
均算对.【详解】
a
lg
2 3
0
b
log5
2
log5
5 1 , c 0.50.5 0.51 1 ．故
2
2
abc．
6.【答案】B【详解】从三个阳数 1,3,5,7,9 中随机抽取三个数共有 10 种取法，合题意的有 2 种：{1,5,9}
和{3,5,7}，由此可得所求概率为 1 . 5
x y 1,bx ay ab, d ab
ab 1, a2 b2
a2 b2 ab
2ab , ab
2, SAOB
1 2
ab
1.故
答案选 A.
P
11.【答案】D【详解】过点 B 作 BH PA 于 H,连接 CH，则依题意，CHB 60
º,进而可得 CH BH BC
3 2
EF / /CD .………(8 分)
由 AE 1 AD 得 EF 1 CD 2 ，且有 AF 1 AC ;
3
3பைடு நூலகம்
3
由 CD 平面 ABC 得 CD FG ，进而 EF FG ;
同 理可得 FG / / AB ，且 FG 2 AB 2 2 .………(9 分) 3
进而可分别求得 SAEF 2, SBGH 2, S ABGF 5, SEFGH 4 2, SAEHB 5 3,
R,VP ABC
VPBCH
VABCH
1 3 ( 3 R)2 2R 3 R3 3,
34 2
8
解得 R 2.
C
B
H
12.【答案】A【详解】设 P(x,y),双曲线的两渐近线方程为 y b x, 进而
a
A
d12
d22
(
bx ay b2 a2
)2 (
bx ay b2 a2
)2
2(b2 x2 a2 y2 ) c2
（Ⅱ）根据等比数列的求和公式，有
Sn
1(1 2n ) 1 2
2n
1,
………(8
分)
bn
log2 (2n
1 1)
n, 2 bnbn1
2 n(n 1)
2( 1 n
n
1
) 1
，………(10
分)
Tn
2(1
1 2
1 2
1 3
1 n
n 1 1)
2(1
n
1
) 1
2n n 1
.………………(12
分)
18.【解析】（Ⅰ）由折线图可知统计数据 共有 组，即
∵ CE 平面 ABD ， AB 平面 ABD ，∴ CE AB ②………(3 分)
A
由① ②，且 AC CE C 得 AB 平面 ACD ，∴ AB CD ………(5 分)
（Ⅱ）等腰直角三角形 BCD 中， BC BD ，∴ BC CD ； 又∵ AB CD ， CD 平面 ABC ，∴ CD AC . 等腰 Rt △ ABC 中，∵ BC 6 ，∴ AC 3 2 ,
轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 C(x, y) ， 则 CA (x a)2 y2 ，
CD (x a)2 y2 ，CB (x a)2 y2 h2 ，∴ (x a)2 y2 h2 2 (x a)2 y2 ，化简
可得
x
5 3
a
2
y2
16a2 9
h2 3
.∴ C
[
,
4
],sin(2x
)
[
3 ,1].答案选 B.
3 33
3
2
9.【答案】B【详解】当 x 0 时， f (x) 2x 1是增函数且 f (x) 0 ，又函数 f (x) 是定义在 R 上的
奇函数，则 f (0) 0 满足 f (x) 2x 1，又函数 f (x) 在 R 上是连续函数，所以函数 f (x) 在 R 上是增
的轨迹是圆．
17.【解析】（Ⅰ）设等比数列an 的公比为 q，所以有 a1 a4 a1(1 q3 ) 9, a2a3 a12q3 8
………(2 分)
联立两式可得
{aq121
或者
a1 8
{ q
1
。………(4
分)
2
又因为数列an 为递增数列，所以 q>1，所以{aq121
数列 an 的通项公式为 an 2n1 .………………(6 分)
计算可得
，
，，，，，， ，………(2 分)
所以
，………(4 分)
，………(5 分)
所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为
.
当
x
12
时，
^
y
2
12
9
33
.
故预计甲公司 2020 年 4 月份的利润为 33 百万元.………………(6 分)
（Ⅱ）由频率估计概率，每件 型新材料可使用 个月， 个月， 个月和 个月的概率分别为 . ， ，
x
x
当 b 0 时， f '(x) 0, f (x) 在 (0,) 上单调递增，舍去；………(2 分)
当 b 0 时， f '(x) 0, x 1 ，进而 f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递增，在 ( 1 ,) 上单调递减，依题意
b
b
b
有 f ( 1) 0, ln( 1) 1 0, 1 e, 进而解得 1 b 0 ；………(4 分)
0.25，所以每件 型新材料可产生的利润的平均值为
x (6 12) 0.15 (12 12) 0.2 (18 12) 0.4 (24 12) 0.25 4.5 （万元）.………(10 分)
所以应该采购 B 型新材料.………………(12 分)
19.【解析】（Ⅰ）∵∠ BAC 90 ，∴ AB AC ①………(1 分)
7.【答案】B【详解】 y 3x z ，作图可得直线 y 3x z 过点 ( 1 , 1 ) 时在 y 轴上的截距最小，进 22
而 z 有最大值 2.
8.【答案】B【详解】 f (x) 2 sin x cos(x ) 3 sin(2x ) ，当 x [0, ] 时，
32
3
2
2x
, SABN
1 d 2
AB
(x02
1)
2 x02 , ………(9 分)
设
2 x02 t(0 t
则
2 ),
x0 2
2 t 2 , SABN
(3 t 2 )t, ………(10
分)
设 f (t) (3 t 2 )t, 则 f '(t) 3 3t 2 0, 易得 f (t) 在 (0,1) 上单增，在 (1, 2) 上单减，进而可得
y1 y2 x1 x2
x1 x2 2
x0 , ………(2 分)
又 kMN
y0 x0
2 0
,
依题意，
k
AB
kMN
x0
y0 2 x0
1, y0
1. ………(4 分)
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可得 M (x0 ,1)( 2 x0 2 且 x0 0) ，则 kAB x0 , lAB : y 1 x0 (x x0 ),
b
b
b
e
又 f (1) b 0, 且 1 e 1, f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，进而由零点存在定理可知 f (x) 在
b
b
(0, 1 ) 上存在唯一零点；………(5 分) b
下先证 ln x 1 x(x 0) 恒成立： e
参考答案 1.【答案】B【详解】由题意，根据复数的运算可得复数 z 2 i ，则 z 对应点(-2,1)在第二象限，
故选 B．
2.【答案】C【详解】集合U R ，因为集合 A 为大于等于 0 的偶数集，集合 B {x x 0 或 x 2}，
所以 CU B {x 0 x 2} ，故选 C. 3.【答案】B【详解】 F1F2 2c 10
k2
1 m ，………(6 分)
由
y kx
x
2
2
y
m
消去
y
，得到
x2
2kx
2m
0
，则
x1
x1
x2
4k 2 8m x2 2k 2m
0
，………(8
分)
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 4k 2 8m, 又设 N (0,2) 到直线AB的距离为d,则
d m 2 , S 1 AB d 1 m 2 4k 2 8m m 2 1 m 。………(10 分)
2020届高三八校第二次联考文科数学试题与答案
华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中鄂南高中2020 届高三八校第二次联考文科数学 试 题命题学校：襄阳四中命题人：王保清 审题人：梁中强试卷满分： 150 分考试时间： 2020.3. ？分钟： 120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。
回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 z 2i 21 （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限 iB ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合 UR ， A { x x 2n, nN}, B { x x(x 2) 0} ，则 A ∩(C U B)（）A ． {0}B ．{2}C ． { 0,2}D ． { 0,1,2}8. 已知函数 f ( x) 2 sin x cos( x)3, x[0, ] ，则函数 f (x) 的值域是（）322A ． [3 , 3 ] B ． [3,1]C． [ 1, 1] D ．[ 1,1]2 222 2 29. 已知函数 f ( x) 是定义在实数集R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) 2x1，则使不等f (log 3 x)3 0 成立的 x 的取值范围是（ ）A ． (,9)B ． (0,9)C ． (9,)D ．(0, 1)A, B ，与圆 C : x 2y 2910．设直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 1相切于点 P, 且 P 位于第为坐标原点，则AOB 的面积的最小值为（）A. 1B.2 C.2D.2211. 如右图所示， 三棱锥 P ABC 的外接球的半径为 R ，且 PA 过球心， PAB 围绕棱 PA 旋转 60 o 后恰好与 PAC 重合．若 PAB 60 o, 且三棱锥 PABC 的体积为3，则 R（ ）CA. 1B.22C.3 D.222:x: x12. 已知椭圆 C 1y 2 1和双曲线 C 2 2 y 2 1(a 0, b 0) ，4 a b3. 已知椭圆 x2y 2 1(a 5) 的两个焦点为 F 1, F 2 ，且 F 1 F 210 ，过点 F 2 的直线交椭圆于M,N 两a 225点，则F 1MN 的周长为（）A ． 20B ．20 2C ． 10D ．10 2 4. 已知向量 a 是单位向量，b(3,4) ，且 a ∥ b ，则 a 2b =（）A ． 11B ． 9C ．或9D ．或81111215. 已知 alg 2, b log 5 2, c (1)0.5 ，则（）3 2A. a b cB. a c bC. c a bD. b a c6. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源. 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像， 结构是戴九履一， 左三右七， 二四为肩， 六八为足， 以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数 之和皆为 15．如图， 若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之 和等于15 的概率是（ ）A.3 B. 1 C. 2 D.1105x 31 3（第 6 题图）7. 设 x, y 满足约束条件yz 3x y ，则（）x y 0，目标函数A ． z 的最大值为 3B ． z 的最大值为 2C ． z 的最小值为 3D ． z 的最小值为 2点 P 是椭圆上任意一点，且点 P 到双曲线 C 2 的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线 C 2 的离心率为（ ）A. 5 5 C. 3 D.2B.2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2020届湖北省八校高三第二次联考数学(文)试题(含答案)
华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中鄂南高中2020届湖北省八校高三第二次联考理科综合试题试卷满分：150分考试时长：150分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
可能用到的相对原子质量：H-1O-16Ni-59La-139Ce-140第Ⅰ卷（选择题共126分）一、单项选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大熊猫每天要吃大量的冷箭竹，但一般只能利用其中一小部分纤维素，研究表明，大熊猫的基因组缺少编码纤维素酶的基因，但是肠道中有多种纤维素分解菌。
基于上述信息判断，下列说法正确的是A.大熊猫、冷箭竹、纤维素分解菌都是由细胞构成的B.三种生物可形成食物链：冷箭竹→纤维素分解菌→大熊猫C.大熊猫的液泡中因缺少纤维素酶而不能分解、利用纤维素D.组成大熊猫的细胞与组成冷箭竹的细胞不同是细胞分化的结果2.下列有关物质跨膜运输的叙述，正确的是A.水分子借助细胞膜上水通道蛋白进出细胞需要消耗能量B.人工的无蛋白质的脂双层膜也能让氨基酸、葡萄糖、核苷酸等小分子通过C.当外界溶液浓度大于细胞液浓度时，若细胞不发生质壁分离，也可能是活细胞D.神经递质的释放需要突触后膜上载体蛋白的协助3.2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者的开创性发现，解释了生命中最重要的氧气适应过程的机制。
湖北省八校2020届高三第二次联考数学(文)试题(word版,答案解析) - 副本
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z=2i 2-i 1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合U=R ，A={x|x=2n ，n ∈N}，B= {x|x(x-2)>0}，则A ∩(C ∪B)=A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{0,l,2} 3．已知椭圆25222y ax +=l （a>5）的两个焦点为F 1，F 2，且|F 1F 2|=10，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，则 △F 1MN 的周长为A. 20 B ．202 C ．10 D ．1024．已知向量a 是单位向量，b =(3，4)，且a ∥b ，则|a -2b |=A ．11B ．9C ．11或9D ．121或815．已知5.0521,2log ,32lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a ，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.-b<a<c6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是A ．103B ．51C ．32D ．31 7．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤+≤--001y x y x ，目标函数z= 3x-y ，则A ．z 的最大值为3B ．z 的最大值为2C ．z 的最小值为3D ．z 的最小值为28．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++=2,0,23)3cos(sin 2)(ππx x x x f ，则函数f(x)的值域是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 9．已知函数f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x-1，则使不等式f(log 3x)-3<0成立的x 的取值范围是A.(-∞,9)B.(0,9)C.(9,+∞)D.(0, 91) 10.设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆C:x 2+y 2=1相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则△AOB 的面积的最小值为A ．1B ．22 C ．2 D ．2 11.如右图所示，三棱锥P-ABC 的外接球的半径为R ，且PA 过球心，△PAB 围绕棱PA 旋转60°后恰好与△PAC 重合，若∠PAB=60°，且三棱锥P-ABC 的体积为 ，则R=A ．1B ．2C ．3D ．212．已知椭圆C 1：224y x +=1和双曲线C 2：2222by a x -=1(a>0，b>0)，点P 是椭圆上任意一点，且点P 到双曲线C 2的两条渐近线的距离的平方和为定值，则双曲线C 2的离心率为 A ．25 B ．5 C ．3 D ．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【5月江西八所重点高中高三联考文数】2020年江西省八所重点高中高三联考文科数学试卷含答案
②当 a = 0 时适合；
③当 a < 0 时， a ≤ a cos x ≤ −a ，∴ a ≥ −1 ，∴ −1 ≤ a < 0 ，
综上 −1 ≤ a ≤ 1，
∴函数 f ( x)=
x
+
a sin
x
在
R
上单调递增的概率为
P
=
1 4
.选
B。
12.C【解析】= 设PB x= ,则AB 2= x, AF1 3x ，由双曲线的定义知： AF2 = 3x + 2a, BF2 = 5x − 2a
1− cos 2x 12 → g(x) =
1−
cos
2
x
−
π 12
=
−
cos
2x
−
π 6
+1
，
cos
2
x
−
π 6
∈[−1,1]
，∴
g
(
x)
的值域为
[0,
2]
，①正确；
当 x = π 时， 2x − π =0 ，所以 x = π 是函数 g(x) 的一条对称轴，②正确；
12
6
12
当x
=
π 3
−
a1 1
+ a1
=
1 n−
1
−
1 n
+
n
1 −
2
−
n
1 −1
+
…+
1 −
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
+
1=
1
−
1 n
+
1
则
a=n
2n −1， n ∈ N* ，
四省八校高三2020届高三上学期数学文科第二次教学质量检测试卷附答案解析
A． 6 C． 4
B． 5 D． 3
6．已知 a
log 1
3
1 4
， 5b
1 4
，c
1
63
，则（
）
A． a b c
C． c a b
7．已知 sin( ) 4 ，则 sin 2 （
4
5
A． 7 25
C． 1 5
B． a c b D． b c a
对任意
x
(0,1)
恒成立，则实数
a
的取值范围为（
）
x
A． (0, e 1)
B． (0, e 1]
C． (, e 1)
D． (, e 1]
二、填空题
13．已知数列an 是公比 q
1 3
的等比数列，且 a3
a1
a2
，则
a10
______.
2
14．若 a1 ，a2 ，…，a2020 的平均数、方差分别是 2 和 1，则 bi 3ai 2i 1, 2,, 2020
）
B． 1 5
D． 7 25
1
8．已知
a
(1,
x)
，
r b
( y,1)
(x
0,
y
0)
，若
a
/
/b
，则
xy x y
的最大值为（
）
A． 1 2
B．1
C． 2
D． 2
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 50
B． 50 2
2020届湖北省八校第二次联考数学(文科)含参考答案
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奇函数，则 f (0) 0 满足 f (x) 2x 1，又函数 f (x) 在 R 上是连续函数，所以函数 f (x) 在 R 上是增
函数，且 f (2) 3 ，进而原不等式化为 f (log3 x) f (2), 结合 f (x) 的单调性可得 log3 x 2, 所以 0 x 9, 即原不等式的解集为 (0,9) ，故选 B.
º,进而可得 CH BH BC
3 2
R,VP ABC
VPBCH
VABCH
1 3 ( 3 R)2 2R 3 R3 3,
34 2
8
解得 R 2.
C
B
H
12.【答案】A【详解】设 P(x,y),双曲线的两渐近线方程为 y b x, 进而
a
A
d12
d22
(
bx ay b2 a2
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2020届湖北省八校(黄冈中学等)高三下学期第二次联考数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届湖北省八校（黄冈中学等）高三下学期第二次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数212z i i=-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B根据题意，化简复数，对应复平面内的点的坐标，即可求解. 解：由题意，根据复数的运算可得复数2z i =-+， 则z 对应点()2,1-在第二象限， 故选B . 点评：本题考查复数的几何意义，属于基础题.2．已知集合U =R ，{}2,A x x n n ==∈N ，(){}20B x x x =->，则()U A B =I ð（） A ．{}0 B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C根据题意，分析A 集合为大于等于0的偶数集，求解B 集合，计算补集，再求交集. 解：集合U =R ，因为集合A 为大于等于0的偶数集，集合{|0B x x =<或2}x >， 所以{}02U B x x =≤≤ð，{}0,2U A C B ⋂=. 故选：C . 点评：本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.3．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且12||10F F =，弦MN 过点2F ，则1F MN ∆的周长为（）A ．10B ．20C ．D ．答案：D由焦距可求得c ，进而得到a ；由椭圆定义可求得结果. 解：12210F F c ==Q 5c ∴=a ∴=由椭圆定义知：12122MF MF NF NF a +=+==1F MN ∴∆的周长为1212MF MF NF NF +++=故选：D 点评：本题考查椭圆定义的应用，关键是明确所求三角形的周长实际为椭圆上两点到两焦点距离之和的总和，即4a .4．已知向量a r 是单位向量，()3,4b =r ，且//a b r r，则2a b -=r r （）A ．11B ．9C ．11或9D ．121或81答案：C根据题意，由//a b r r，可知两向量的夹角为0或π，利用向量数量积求模长，计算可求解. 解：由题意，因为//a b r r，则两向量的夹角为0或π，则有5b =r，cos 5a b a b θ⋅==±r r r r则211a b -===r r 或9.故选：C . 点评：本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算，属于基础题.5．已知2lg 3a =，5log 2b =，0.512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c -<<答案：A根据题意，由指数函数单调性及对数函数单调性，分别比较,,a b c 与102，的大小关系，即可求解. 解： ∵2lg03a =<， 5510log 2log 52b <=<=0.5110.50.52c =>=. 故a b c <<. 故选：A 点评：本题考查指数式对数式比较大小问题，属于基础题.6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于15的概率是（）A ．310B ．15C ．23D ．13答案：B根据题意，列举三个数之和为15的所有情况，根据古典概型计算概率. 解：从三个阳数1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有10种取法， 合题意的有2种：{}1,5,9和{}3,5,7， 由此可得所求概率为15. 故选：B点评：本题考查古典概型的计算，属于基础题. 7．设x ，y 满足约束条件100x y x y --≤⎧⎨+≤⎩，目标函数3z x y =-，则（）A ．z 的最大值为3B ．z 的最大值为2C ．z 的最小值为3D ．z 的最小值为2答案：B根据题意，由约束条件画出可行域，转化目标函数，利用截距最小求得目标函数的最值. 解：由题意，根据约束条件，作出可行域，如图所示：3y x z =-，作图可得直线3y x z =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时目标函数在y 轴上的截距最小，进而z 有最大值2. 故选：B 点评：本题考查线性规划问题，当线性约束条件为开放区域时，取得最值的有可能是顶点或者边，需谨慎思考，本题属于中等题. 8．已知函数()π32sin cos 32f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域是（） A ．3322⎡-⎢⎣⎦B ．32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 答案：B根据三角恒等变化，利用两角和余弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数得()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由三角函数性质即可求解值域 解：()2π1π2sin cos sin cos sin 22sin 2323f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. 故选：B . 点评：本题考查三角函数求值域问题，考查三角恒等变换，属于基础题.9．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，()21xf x =-，则使不等式()3log 30f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．(),9-∞ B ．()0,9C ．()9,+∞D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B根据题意，分析函数()f x 的单调性及连续性，根据0x >时函数解析式，求得()23f =，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到3log 2x <，再解对数不等式即可求解. 解：当0x >时，()21xf x =-是增函数且()0f x >，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()21xf x =-，又函数()f x 在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数， 且()23f =，进而原不等式化为()()3log 2f x f <， 结合()f x 的单调性可得3log 2x <，所以09x <<， 即原不等式的解集为()0,9， 故选：B .点评：本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与圆22:1C x y +=相切于点P ，且P 位于第一象限，O 为坐标原点，则AOB V 的面积的最小值为（） A ．1 B．2CD ．2答案：A根据题意，设出直线与坐标轴的交点坐标(),0A a ，()0,B b ，利用直线方程截距式列出方程并化简方程，再根据基本不等式求出2ab ≥，代入三角形面积公式，即可求解三角形面积的最小值. 解：依题意，设(),0A a ，()0,B b ，直线l 与圆22:1C x y +=相切于点P ，P 位于第一象限则直线过一、二、四象限，即0a >，0b >， 则直线方程为1x ya b+=，化简得bx ay ab +=，直线与圆相切，故圆心到直线的距离1d r ===，ab =≥，∴2ab ≥，当且仅当a b ==.∴112AOB S ab =≥V .即三角形面积最小值为1 故选：A . 点评：本题考查直线的截距式方程，考查基本不等式，综合性较强，属于中等题型. 11．如图所示，三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60°后恰好与PAC V 重合，若60PAB ∠=︒，且三棱锥P ABC -则R =（）。
江西省2020八校第二次联考试卷数学文科答案
江西省丰城中学赣州中学东乡一中都昌一中上栗中学新建二中景德镇二中上饶中学新八校2020届高三第二次联考文科数学答案命题人：丰城中学翁耀泉审题人：都昌一中余慕华一、选择题（每小题5分，共12小题）1．若集合{}023|2≤+-=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=1)1(1|2x x B ，则A B = (D )A．()2,1B．][2,1C．)2,1[D．]2,1(答案D：[](](](]2,1,2,11,0,2,1=∴=B A B A 。
2．已知i 是虚数单位，且)(2020R a ii a i z ∈++=是实数，则z =（B ）A ．-1B ．1C ．2D ．-2答案B：.1,)1(11=∴+-=++=z i a ia i z 3．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形的改编，此图由一个圆面和一个四分之一圆面组合而成，在此图内任取一点，此点取自第一部分的概率记为P 1，取自第2部分的概率为P 2,则P 1与P 2的大小为(A)A ．P 1=P 2B ．P 1>P 2C ．P 1<P 2D ．无法确定.,)22(21,4,2,1211221P P S S S S S AB BC AC A ABC ABC ==-=-=∴===∆∆所以则：假设答案ππ4．已知向量2||=AB ，1||=BC ，且2|2|=+BC AB ，则AB 在BC 方向上的投影为（B ）A．1B．-1C．21D．21-.11,22-=∙∴-=∙=+BCBC AB BC AB BC AB BC AB B 方向上的投影为在两边平方有：答案 5．一个等比数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（D ）A．3B．13C．2D．1221,222,,,2222==⎪⎩⎪⎨⎧==∴b a ab b xb ab x x b x a D 所以则有成等比数列：答案6．已知圆9:22=+y x O ，直线)(1sin cos :为常数θθθ=+y x l ．设圆上的点到直线l 的距离等于2的个数为m ，则m =（C）A ．1B ．2C ．3D ．43,1=∴m l O C 的距离为到直线圆心：答案 7．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 作倾斜角为135的直线与椭圆的一个交点为M ，若∆∆Rt F MF 为21，则椭圆的离心率为（C ）A．22B．12-C．22或12-D．32或12-.1290;229021-==∠==∠e F MF e M C 时，当时，：由题可知：当答案 8．已知⎩⎨⎧<≥-+-=)0()0(52)21()(x e x a x a x f x的值域为()+∞,0，那么a 的取值范围是(C)A．⎪⎭⎫⎝⎛21,51B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,51C．⎪⎭⎫⎢⎣⎡52,51D．⎪⎭⎫⎝⎛52,51()。
2020届湖北高三八校第二次联考 文数
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7.【答案】B【详解】 y 3x z ，作图可得直线 y 3x z 过点 (1 , 1 ) 时在 y 轴上的截距最小，进而 z 22
有最大值 2.
8.【答案】B【详解】 f (x) 2sin x cos(x ) 3 sin(2x ) ，当 x [0, ] 时，
32
3
2
2x [ , 4 ],sin(2x ) [ 3 ,1].答案选 B.
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陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考文科数学试题(B卷) Word版含解析
2020届高三年级数学(文科)试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|3xM y y ==，集合(){}|lg 1S x y x ==-，则下列各式正确的是（ ）A. M S M ⋃=B. M S S ⋃=C. M S =D.M S ⋂=∅【答案】A 【解析】 【分析】先求解出两个集合，根据两个集合的包含关系即可确定出选项. 【详解】{}|0M y y =>，{}|1S x x => ∴S M ⊆， ∴M S M ⋃=， 故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的关系及集合的运算，属于简单题目，解题时主要是根据两个集合中元素所满足的条件确定出两个集合，再确定出两个集合之间的包含关系. 2. 若()243i z i -=-+，则z 所对应的的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据()243i z i -=-+，利用复数的模和除法运算求得复数2+z i =，再利用复数的几何意义求解. 【详解】()243i z i -=-+()()()5252222i z i i i i +∴===+--+，∴2z i =-， 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C︒）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温︒的月份有4个C. 最低气温低于0CD. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月【答案】C【解析】【分析】︒的数据的折线图，得最由该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)低气温低于0C︒的月份有3个．︒的数据的【详解】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：C)折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，最低气温低于0C︒的月份有3个，故C错误．在D中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．4. 如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为21()log ()I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A. 王教授在第4排 B. 王教授在第4排第5列 C. 王教授在第5列 D. 王教授在某一排【答案】B 【解析】信息量最大时，()P A 最小，因为王教授在第4排第5列发生的概率最小，所以选B.5. 函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||x xa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D .【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6. 在三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )A. B.C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造△PCM ，根据面面垂直以及线面垂直的性质，△PCM 是直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M 是AB 的中点时，CM 的长最小，此时PM 的长最小. 【详解】如图，连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM 22PC CM +， 要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可. 在△ABC 中，当CM ⊥AB 时，CM 有最小值， 此时有CM=3423= 所以PM 的最小值为27【点睛】本题考查了面面垂直及线面垂直的性质，考查了点到直线的距离中垂线段最短；已知面面垂直时，一般先从现有的线段中寻找平面的垂线，若图中不存在，再作辅助线. 7. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝2222221[()]42a cb ac +--若a 2sinC ＝4sinA ，(a ＋c)2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.3B. 2C. 3D.6【答案】A 【解析】由正弦定理得24,4a c a ac ==，且2221224a c b ac +-=-=，代入面积公式得2116234⎡⎤-=⎣⎦点睛：本题主要考查中国古代数学史，考查正弦定理的应用，考查新定义公式的理解和应用.由于题目已经给出三角形的面积公式，我们只需在题目中找到公式中需要的条件，即可求出三角形的面积.在两个已知条件中，第一个应用正弦定理可以转化为边的关系，第二个可直接求值，将这两个代入三角形面积公式，即可得出结论.8. 如果22log log 32x ππ-≤，那么sin x 的取值范围为（ ）A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 111,,1222⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 1,,12223⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪⎣⎭⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据22log log 32x ππ-≤，求得x 的取值范围，进而求得sin x 的取值范围即可.【详解】∵22log log 32x ππ-≤，∴032x ππ<-≤，∴5,,6336x ππππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， ∴1sin ,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故选：B.【点睛】本题考查了对数函数相关不等式，考查了绝对值不等式，同时考查了三角函数的值域，需要一定的计算能力，属于中档题.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，左、右顶点为1A 、2A ，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段1PF ，1A 2A 为直径的两个圆的位置关系为（ ） A. 外切或外离 B. 相交或内切C. 内含或外离D. 内切或外切 【答案】D 【解析】【分析】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，分P 在双曲线的左支和P 在双曲线的右支上两种情况，结合三角形的中位线和双曲线的定义判断.【详解】设线段1PF 的中点为A ，12PF r =，则： ①当P 在双曲线的左支时，如图所示：212OA PF a r ==+，∴两圆外切； ②当P 在双曲线的右支时，如图所示：212OA PF r a ==-，∴两圆内切； 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想，属于基础题.10. 设点1F ､2F 分别为椭圆C ：22194x y +=的左､右焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，若使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是（ ）A. 4B. 2C. 0D. 2或4【答案】A 【解析】 【分析】求出焦点坐标，由已知可得点P 在以O.【详解】由题意知，())12,F F ，∵120PF PF ⋅=，∴点P 在以O23<<，∴使得120PF PF ⋅=成立的点的个数是4个，故选:A .【点睛】本题考查了椭圆的简单性质以及平面向量的数量积运算，属于中档题. 11. 若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，即可得22210ax x -+=有两个不同正根，进而可得关于参数的不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意：()21221'220ax x f x ax x x-+=-+==有两个不同正根，∴48010a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，即：102a <<， 故选:C .【点睛】本题考查了函数导数的求解，考查了已知极值情况求参数的取值范围，考查了转化的思想.本题的关键是由极值情况分析出一元二次方程根的情况.12. 如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（ ）A.22πB.5225πC.16925πD.338125π【答案】D 【解析】 【分析】正方形ABCD 的边长为22，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得222h a=，正四棱锥体积213V a h =最大时，求解a 的值，可得正四棱锥边长a 和高h 的值，即可求解正四棱锥外接球的表面积． 【详解】解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，2，折成正四棱锥后， 设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得：222h a =，(02)a <<． 正四棱锥体积213V a h =最大时，即451223V a a =-． 由4522y a a =， 则34852y a a '=-， 令0y '=，可得52a ，即当52a =体积取得最大值；10h ∴=正四棱锥底面正方形外接圆45r =．正四棱锥外接球的半径R ，可得22245R R ⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：2169250R =正四棱锥外接球的表面积23384125S R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，则a =______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数，由()()1y x x a =-+为偶函数求解. 【详解】∵函数()()()1f x x x x a =-+为奇函数， ∴函数()()1y x x a =-+为偶函数， ∴1a =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 14. 设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________．【答案】2【解析】【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >， 所以3k =.15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行､三列､两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示.一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，例如315N =，434N =，565N =，那么6N =______.【答案】111 【解析】 【分析】结合等差数列的求和公式求出66N 的大小，进而可求出6N .【详解】由题意：()222666161262N +=++⋅⋅⋅+=，∴6111N =.故答案为:111.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的求解，属于基础题.16. 设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______. 【答案】45-. 【解析】 【分析】利用辅助角公式先对函数化简，可得()5sin()f x x ϕ=-，其中34cos ,sin 55ϕϕ==， 由题意得5sin()5θϕ-=，得2,2k k Z πθϕπ-=+∈，从而可求出cos θ的值【详解】解：()343sin 4cos 5(sin cos )55f x x x x x =-=- 令34cos ,sin 55ϕϕ==，则()5(sin cos cos sin )5sin()f x x x x ϕϕϕ=-=-， 因为当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =-取得最大值， 所以5sin()5θϕ-=，所以2,2k k Z πθϕπ-=+∈，所以2,2k k Z πθϕπ=++∈，所以cos cos(2),2k k Z πθϕπ=++∈ 所以4cos sin 5θϕ=-=- 故答案为：45-， 【点睛】此题考查辅助角公式的应用，属于基础题三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n N ∈，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b S =-，求{}n b 的前99的项99T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4950-. 【解析】 【分析】（1）由21441n n S a n +=--和2144(1)1(2)n n S a n n -=---≥两式相减可得12n n a a +=+(2)n ≥，再结合212a a =+，可得{}n a 是等差数列，即可求出{}n a 的通项公式.（2）由（1）可以求出n S ，即得n b 通项，再利用奇偶并项求和即可求99T .【详解】（1）∵21441n n S a n +=--，∴2144(1)1(2)n n S a n n -=---≥， ∴22144n n n a a a +=-- ，即：()2212n n a a +=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n +=+≥，∵11a =，21245S a =-，∴23a =，∴12n n a a +=+，*n N ∈， ∴()12121n a n n =+-=-；（2）2n S n =，∴()21nn b n =-，∴2222229912349899T =-+-+++-22123498994999994950=+++++-=⨯-=-.【点睛】本题主要考查了由递推关系式求通项公式，奇偶并项求和，属于中档题18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童1111ABCD A B C D -的组合体中AB AD =，90MAB ∠=︒.台体体积公式：()1''3V S S SS h =++，其中S ､'S 分别为台体上､下底面面积，h 为台体高.（1）证明：BD ⊥平面MAC ； （2）若1AB =，112A D =，3MA =111A A B D -23，求该组合体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2173. 【解析】 【分析】（1）证明AD ⊥MA ，推出MA ⊥平面ABCD ，得到MA ⊥BD ．结合BD ⊥AC ，证明BD ⊥平面MAC ． （2）设刍童ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为h ，利用几何体的体积公式，转化求解即可．【详解】（1）由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MABAD MA ∴⊥, 又MA AB ⊥，,AD AB A AD ⋂=,AB 平面ABCD ，MA ∴⊥ ABCD ,MA BD ∴⊥ 又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥,又,MA AC A MA ⋂=,AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC .（2）设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ，则三棱锥111A A B D -体积112232V h =⋅⋅⋅⋅=h =故该组合体的体积为(2211111223V =⋅++==. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解，考查了几何体体积的求解.本题的第二问关键是求出刍童1111ABCD A B C D -的高.19. “难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小.“难度系数”的计算公式为1YL W=-，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分(一般为100分或150分).某校高三年级的杨老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高三年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：（1）根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；（2）从抽样的50名学生的5套试卷中随机抽取2套试卷，求抽取2套试卷中恰有一套学生的平均分超过96分的概率；（3）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设'i P 为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()222'''11221n n S P P P P P P n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，若0.001S <，则认为本专题的5套试卷测试的难度系数预估合理，否则认为不合理，试检验本专题的5套试卷对难度系数的预估是否合理. 【答案】（1）96；（2）35；（3）本专题的5套试卷对难度系数的预估合理. 【解析】 【分析】(1)由题目已知条件即可求出平均分.(2)列举出5套试卷中随机抽取2套试卷的所有可能性，结合古典概型概率求解公式即可求出平均分超过96分的概率.(3)由已知数据和公式求出S ，进而可判断.【详解】（1）估计这480名学生第2套试卷的平均分的估计值为：1500.6496⨯=； （2）5套试卷中随机抽取2套试卷，共有10种可能，分别是：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，恰有一套学生的平均分超过96分的有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5， 共6种，∴63105P ==； （3）222221(0.680.7)(0.660.64)(0.620.6)(0.620.6)(0.580.55)5S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 0.00050.001=<，故本专题的5套试卷对难度系数的预估合理.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了数据的处理，属于基础题.20. 已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形. 【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解. （2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可.【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形.【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题. 21. 已知函数()21xf x e x ax =---.（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明()()21ln 1xe x x -+>.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析【解析】 【分析】（1）求出函数导数()12xf x e ax '=--，令()12xh x e ax =--，再利用导数求得函数()h x的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当12a =时，当0x >时，212xx x e >++，转化为2(e 1)ln(1)x x x -+>，进而转化为ln(1)22x x x +>+，构造新函数()ln(1)2(0)2xx x F x x =+->+，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得()12xf x e ax =--'，令()12xh x e ax =--，则()2xh x e a '=-.①当21a ≤时，在[]0,+∞上，()0h x '≥，()h x 单调递增 ∴()()0h x h ≥，即()()00f x f ''≥=，∴()f x 在[]0,+∞上为增函数，∴()()00f x f ≥=∴12a ≤时满足条件. ②当21a >时，令()0h x '=解得ln2x a =，在[]0,ln2a 上，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()0,ln2x a ∈时，有()()00h x h <=，即()()00f x f ''<=，()f x 在()0,ln2a 上为减函数，∴()()00f x f <=，不合题意.综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）由（1）得，当12a =，0x >时，212x x e x >++，即222122xx x x e x +->++=， 要证不等式()()21ln 1xe x x -+>，只需证明()21ln 1xx e x ->+，只需证明()2222ln 1x x x x +>+， 只需证()2ln 12xx x+>+， 设()()2ln 1(0)2x F x x x x =+->+，则()()()()222211212x x F x x x x x =-=++++'， ∴当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在()0,+∞上单调递增， 又()00F =，∴()0F x >恒成立．∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：()()225519x y -+-=，以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系取相同的单位长度）.直线l ：0θθ=与曲线C 交于A 、B 两点，其中()00,θπ∈，04cos 5θ=. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求AB 的值.【答案】（1）210cos 10sin 310ρρθρθ--+=；（2）【解析】 【分析】（1）本题首先可将圆的直角坐标方程转化为221010310x y x y +--+=，然后通过直角坐标方程与极坐标方程的互化即可得出结果； （2）本题首先可根据04cos 5θ=得出03sin 5θ=，然后联立圆的极坐标方程以及0θθ=得出214310ρρ-+=，最后通过韦达定理以及12AB ρρ=-即可得出结果.【详解】（1）因为圆C 的直角坐标方程为()()225519x y -+-=，即221010310x y x y +--+=，所以圆C 的极坐标方程为：210cos 10sin 310ρρθρθ--+=； （2）因为()00,θπ∈，04cos 5θ=，所以03sin 5θ=， 联立2010cos 10sin 310ρρθρθθθ⎧--+=⎨=⎩，可得214310ρρ-+=，则1214ρρ+=，1231ρρ=， 故12AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，可通过cos x ρθ=以及sin y ρθ=进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，考查韦达定理的应用，是中档题.23. 已知0a >，0b >，且222a b +=. (1)若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； (2)证明：()55114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.【答案】（1）99{|}22x x -≤≤；（2）见解析. 【解析】分析：（1）运用乘1法和基本不等式可得21a +24b 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围；（2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证．详解：（1）设,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得()22112a b +=. 故()222222141142a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 222214142b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭191422⎛≥++= ⎝. 所以92112x x ≥---. 当1x ≥时，92x ≤，得912x ≤≤；当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<；综上，9922x -≤≤.（2）()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 5544b a a b a b =+++， ()55222222b a a b a b a b=+++-， ()()2222222224a b a b a b ≥++=+=.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。