【步步高】2015届高考数学总复习 第八章 8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直课件 理 北师大版
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
A(0,0， 3)，B1(1,2,0)．
设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y， → ＝(－1,2， 3)， → ＝(－2,1,0)． z)， BA BD
1
→ → 因为 n⊥BA1，n⊥BD，
思维启迪
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题
【 例 2】
如图所示，正三棱
思维启迪
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD， ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝ AD＝2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中 点．求证：PB∥平面 EFG.
→ ＝sFE → ＋tFG →， 设PB
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
答案
(1)× (2) × (3) × (4) √(5)× (6)×
解析
B A
2∶3∶(－4)
40 15 7 ，－ 7 ，4
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图，
思维启迪 解析 思维升华
在四面体 A－BCD 中，AD⊥平 面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， 且 AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面 BCD.
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图，
思维启迪 解析 思维升华
在四面体 A－BCD 中，AD⊥平 面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， 且 AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面 BCD.
xv1＋yv2 .
(3)设直线 l 的方向向量为 v， 平面 α 的法向量为 u， 则 l∥α 或 l α⇔ v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1， u2， 则 α∥β⇔ u1 ∥u2 .
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1⊥l2⇔
3 x＝4x0 ∴ y＝ 2＋3y0 4 4
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图，
思维启迪 解析 思维升华
3 2 3 → ∴OF＝( x0， ＋ y0,0) 4 4 4 面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD 3 2 3 → ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 又由证法一知PQ＝( x0， ＋ y0,0)， 4 4 4 BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， → → ∴OF＝PQ， 且 AQ＝3QC. ∴PQ∥OF. 证明：PQ∥平面 BCD. 又 PQ 平面 BCD， OF 平面 BCD，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故 n＝(1,2， － 3)为平面 A1BD 的一 个法向量，
→ → 而AB1＝(1,2，－ 3)，所以AB1＝n， → ∥n， 所以AB
1
故 AB1⊥平面 A1BD.
题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题
【 例 2】
如图所示，正三棱
思维启迪
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由题意知， A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0，
2，0)．
设点 C 的坐标为(x0，y0,0)． → ＝3QC →， 因为AQ
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图，
思维启迪 解析 思维升华
2 3 1 3 在四面体 A－BCD 中，AD⊥平 所以 Q x ， ＋ y ， 0 0 4 . 4 4 2 面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD 因为 M 为 AD 的中点， ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 故 M(0， 2，1)． BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， 又 P 为 BM 的中点，故 P0，0，1， 2 2 3 且 AQ＝3QC. → 3 所以PQ＝ x0， ＋ y0，0 . 4 4 4 证明：PQ∥平面 BCD. 又平面 BCD 的一个法向量为 →· a＝(0,0,1)， 故PQ a＝0.
∴PQ∥平面 BCD.
在四面体 A－BCD 中，AD⊥平
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
证明平行问题
(2013· 浙江改编)如图，
思维启迪 解析 思维升华
在四面体 A－BCD 中，AD⊥平 用向量证明线面平行的方法有 面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD (1)证明该直线的方向向量与平面的 ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 某一法向量垂直； BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， (2)证明该直线的方向向量与平面内 且 AQ＝3QC. 某直线的方向向量平行； 证明：PQ∥平面 BCD.
用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方 向向量互相垂直，即证它们的数量 积为零． (2)线面垂直：证明直线的方向向量
与平面的法向量共线，或将线面垂 直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向 量垂直，或将面面垂直的判定定理 用向量表示．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图所示， 在四棱锥 P－ABCD 中， PC⊥ 平面 ABCD，PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C ＝90° ，AB＝4，CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM， PB 与平面 ABCD 成 30° 角． (1)求证：CM∥平面 PAD； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PAD.
→ n· BA1＝0， 故 ⇒ → ＝0 BD n·
－x＋2y＋ 3z＝0， －2x＋y＝0，
令 x＝1，则 y＝2，z＝－ 3，
题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题
【 例 2】
如图所示，正三棱
思维启迪
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
证明 方法一
设平面 A1BD 内的
任意一条直线 m 的方向向量为 m.
由共面向量定理，则存在实数 λ，μ，
→ → 使 m＝λBA1＋μBD.
→ ＝a，BC → ＝b，BA → ＝c，显然它 令BB 1 们不共面， 并且|a|＝|b|＝|c|＝2， a· b＝a· c＝0， b· c ＝2，以它们为空间的一个基底， 1 → → → ＝a－c, 则BA1＝a＋c,BD＝ a＋b,AB 1 2
(3)证明该直线的方向向量可以用平 面内的两个不共线的向量线性表 示．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD， ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且 PA＝ AD＝2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中 点．求证：PB∥平面 EFG.
证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形，
所以 AO⊥平面 BCC1B1.
取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点， → ，OO → ，OA → 为 x 轴，y 轴，z 以OB
1
轴建立空间直角坐标系，
则 B(1,0,0)， D(－1,1,0)， A1(0,2， 3)，
题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题
【 例 2】
如图所示，正三棱
思维启迪
v1⊥v2 ⇔ v1· v2＝0.
(2)设直线 l 的方向向量为 v， 平面 α 的法向量为 u， 则 l⊥α ⇔ v∥u . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2， 则 α⊥β⇔ u1⊥u2
u2＝0 . ⇔ u1·
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
∴AB、AP、AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，
则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．
→ ＝(2,0，－2)，FE → ＝(0，－1,0)，FG → ＝(1,1，－1)， ∴PB
写出点 A、 B、 ＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 建立空间直角坐标系， BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上， C 的坐标，设点 C 坐标为(x0，y0,0)． 1→ → 且 AQ＝3QC. ∵CF＝ CD,设 F 点坐标系(x,y,0)则 4 1 证明：PQ∥平面 BCD. (x－x0，y－y0,0)＝4(－x0， 2－y0,0)
证明线面垂直可以利用线面垂直 的定义，即证线与平面内的任意 一条直线垂直；也可以证线与面 的法向量平行．
题型分类·深度剖析
题型二 证明垂直问题
【 例 2】
如图所示，正三棱
思维启迪
解析
思维升华
柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2， D 为 CC1 的中点． 求 证：AB1⊥平面 A1BD.
高考数学一轮复习 第八章 第6讲 立体几何中的向量方法
• 【训练1】如图所示，平面PAD⊥平 面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、 F、G分别是线段PA、PD、CD的中 点．求证：PB∥平面EFG.
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为 正方形， ∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系A－ xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、 D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、 G(1,2,0)．
∴a∥c，
•
又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
•
答案 ③
5．已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法
向量是________． 解 设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y，z)．
则AA→ →BC··nn＝ ＝
∴D→E＝(－2,4,0)，N→C＝(－2,4,0)， ∴D→E＝N→C， ∴DE∥NC，又∵NC⊂平面 ABC，
DE⊄平面 ABC.故 DE∥平面 ABC.
(2)B→1F＝(－2,2，－4)，
E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)．
B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
令 z＝1，得x＝12， y＝－1，
∴n＝12，－1，1，
∴平面 ABC 的单位法向量为±|nn|＝±13，－23，23. 答案 ±13，－23，23
考向一 利用空间向量证明平行问题
• 【例1】 如图所示，已知直三
棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为 等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
2．用向量证明空间中的平行关系 • (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与 • l(22重)设合直)⇔线v_l1的_∥_方_v_2向__向__量__为. v，与平面α共面的两个不共线 向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝ xv1＋yv2. • (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α 或l⊂α⇔___________. • (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔ • ___________. v⊥u
2015高考数学一轮配套课件：8-6立体几何中的向量方法(一)
诊断·基础知识
突破·高频第考十点七页，编辑于星培期养五：·解十四题点 能九分力。
•规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间 直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几 何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的 关键．
•(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条
直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：①证
诊断·基础知识
突破·高频第考二点十一页，编辑于培星养期五·解：十题四点能九力分。
考点三 利用空间向量解决探索性问题 【例 3】 (2014·福州调研)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
AA1＝AD＝1，E 为 CD 的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 B1AE？若存 在，求 AP 的长；若不存在，说明理由．
系是平行．
(√) 诊断·基础知识
突破·高频第考四点页，编辑于星期培五养：十·解四点题九能分。力
2．垂直关系
(3)已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量
是 n0＝±13，－23，23.
(√)
• (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方
体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD 的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则 直线NO，AM的位置关系是异面垂直．
诊断·基础知识
突破·高频第考十点二页，编辑于星培期养五：·解十四题点 能九分力。
证明 如图所示，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在 射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz. 由题意知 A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0)． 设点 C 的坐标为(x0，y0,0)，
【高考数学】立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法【重点梳理】1.平面的法向量定义：已知平面，直线 l，取l的方向向量a ，有a，则称为a为平面的法向量。
重点解说：一个平面的法向量不是独一的，在应用时，可适合取平面的一个法向量。
已知一平面内两条订交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
2.平面的法向量确立往常有两种方法：（1）几何体中有详细的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有详细的直线，一般要成立空间直角坐标系，而后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为 n=（ x， y， z）；（ ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（ a1， b1， c1）， b=（a2，b2， c2）；（ iii）依据法向量的定义成立对于n a0 x、 y、z 的方程；n b0（iv ）解方程组，取此中的一个解，即得法向量．因为一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．运用：（1）线面平行线面平行的判断方法一般有三种：①设直线 l 的方向向量是 a ，平面的向量是u，则要证明l //，只需证明 a u ，即 a u0 。
（2）面面平行①由面面平行的判断定理，要证明面面平行，只需转变为相应的线面平行、线线平行即可。
②若能求出平面，的法向量u，v，则要证明//，只需证明u // v 。
（ 3）线面垂直①设直线 l 的方向向量是 a ，平面的向量是u，则要证明l，只需证明 a // u 。
②依据线面垂直的判断定理转变为直线与平面内的两条订交直线垂直。
（4）面面垂直①依据面面垂直的判断定理转变为证相应的线面垂直、线线垂直。
②证明两个平面的法向量相互垂直。
设直线 l的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为， a 与 u 的角为，则有 sin| cos || a u | 。
| a | | u |（ 6）求二面角如图，若 PA于A，PB于B，平面PAB交l于E，则∠ AEB为二面角l的平面角，∠ AEB+∠APB=180°。
高考数学复习 第八章 立体几何与空间向量 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
高考数学一轮复习 8-6 立体几何中的向量方法(一)课件 新人教A版
9
课堂总结
以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
法一 ∴E→F＝(0，1，0)，E→G＝(1，2，－1)，
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则nn··EE→→FG＝＝00，，即yx＝＋02，y－z＝0， 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量，
6
课堂总结
3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量
是平面ABC法向量的是
()
A．(－1，1，1)
B．(1，－1，1)
C．(－
33，－
33，－
3 3)
D．(
33，
33，－
3 3)
解析 设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，
则nn··AA→→BC＝＝00，，化简得－ －xx＋ ＋yz＝＝00，，∴x＝y＝z.故选 C. 答案 C
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝ －23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．故选C.
答案 C
ppt精选
8
课堂总结
考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面
ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2， E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且 ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直．
高考数学复习 知识讲解 立体几何中的向量方法(基础)(1)
高考数学复习 立体几何中的向量方法 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 理解直线的方向向量与平面的法向量。
2. 能用向量方法证明有关直线和平面的平行与垂直。
3. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。
4. 能用向量方法计算两点、点线、点面、面面距离。
【要点梳理】要点一、直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量。
要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2. 平面的法向量定义：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量。
要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。
已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。
3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n=（x ，y ，z ）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。
3.2.1立体几何中的向量方法(经典实用)
AC1 AB AD AA1
AC
2 1
(AB AD AA 1 )2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
3.2.1立体几何中的向量方法(1)
学习目标
1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念
2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解 决平行、垂直等立体几何问题；
3.掌握向量模的计算公式，会用向量方法求两 点间距离。
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
2 2 2
1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60)
6
所以 |Байду номын сангаасAC1 | 6
A1 D1 C1
D
C
B
B1
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。 A
当堂检测7：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，
直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 (2) l a // u a u
l
a
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
变式训练： 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6) 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x , y , z ) n 则 n AB ， AC .∵ AB ( 3, 4, 0) , AC ( 3, 0, 2)
2015届高考数学总复习第八章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用教学案(含最新模拟试题改编)
第八章 立体几何初步第6课时 空间向量在立体几何中的应用第九章(对应学生用书(理)113～115页)考情分析考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．体会向量方法在研究几何问题中的作用．能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.1. (选修21P 97习题14改编)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________．答案：－2或255解析：由已知得89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，∴ 85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.2. (选修21P 89练习3)已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且 OA →＝a, OB →＝b, OC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量 MN →＝________．答案：12(b ＋c －a )解析：如图， MN →＝12( MB →＋ MC →)＝12·[( OB →－ OM →)＋(OC →－ OM →)]＝12( OB →＋ OC →－2 OM →)＝12( OB →＋ OC →－ OA →)＝12(b ＋c －a )．3. (选修21P 101练习2改编)已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________. 答案：－8解析：(2，m ，1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0，得m ＝－8.4. (选修21P 86练习3改编)已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于________．答案：657解析：由于a 、b 、c 三个向量共面，所以存在实数m 、n 使得c ＝m a ＋n b ，即有(7，5，λ)＝ m(2，－1，3)＋n(－1，4，－2)，即(7，5，λ)＝(2m －n ，－m ＋4n ，3m －2n)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657. 5. (选修21P 110例4改编)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．答案：23解析：以A 为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D(0，1，0)，∴ A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2. ∴ n 1＝(1，2，2)．∵ 平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 即所成的锐二面角的余弦值为23.1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．(2) 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时把向量n 叫做平面α的法向量．2. 线面关系的判定直线l 1的方向向量为e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线l 2的方向向量为e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平面α的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．(1) 如果l 1∥l 2，那么e 1∥e 2Ûe 2＝λe 1Ûa 2＝λa 1，b 2＝λb 1，c 2＝λc 1．(2) 如果l 1⊥l 2，那么e 1⊥e 2Ûe 1·e 2＝0a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0．(3) 若l 1∥α，则e 1⊥n 1Ûe 11a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0．(4) 若l 1⊥α，则e 1∥n 1Ûe 1＝k n 1Ûa 1＝kx 1，b 1＝ky 1，c 1＝kz 1． (5) 若α∥β，则n 1∥n 2Ûn 1＝k n 2Ûx 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． (6) 若α⊥β，则n 1⊥n 2Ûn 1·n 2＝0x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．3. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是⎝⎛⎤0，π2.②向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|. (2) 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是⎣⎡⎤0，π2.②向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3) 二面角①二面角的取值范围是[0，π]． ②二面角的向量求法：(ⅰ) 若AB 、CD 分别是二面角αl β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．(ⅱ) 设n 1、n 2分别是二面角αl β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．[备课札记]题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →＝________.答案：－12a ＋12b ＋c解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12()AD →－AB →＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c . 备选变式（教师专享）已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1) 求a 和b 的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝a·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 和b 的夹角为arccos ⎝⎛⎭⎫－1010.(2)∵k a ＋b ＝k(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或2.题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1) AM ∥平面BDE ； (2) AM ⊥平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE.则N ⎝⎛⎭⎫22，22，0，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M ⎝⎛⎭⎫22，22，1.∴ NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴ NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM. ∵ NE Ì平面BDE ，AM Ë平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE.(2) 由(1)知AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF →＝(0，2，1)，∴ AM →·DF →＝0，∴ AM ⊥DF.同理AM ⊥BF. 又DF ∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 变式训练如右图，在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心， (1) 试证：A 1、G 、C 三点共线； (2) 试证：A 1C ⊥平面BC 1D ；证明：(1) CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴ CG →∥CA 1→，即A 1、G 、C 三点共线．(2) 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵ CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴ CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0，∴ CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理可证：CA 1⊥BD ，因此A 1C ⊥平面BC 1D. 题型3 空间的角的计算例3 (2013·苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE.(1) 求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2) 求二面角OOFE 的正弦值．解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．设F(x 0，y 0，0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4， 则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0，1，0)，∵ EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴ F(3，1，0)，EF →＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2，2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2) 设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥OD →，n 1⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)． 设平面DEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫1，0，32.设二面角ODFE 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77.∴ sin β＝427.备选变式（教师专享）(2013·江苏卷)如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1) 求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：(1) 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2) 设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.1. 设A 1、A 2、A 3、A 4、A 5是空间中给定的5个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0成立的点M 的个数为________．答案：1 个解析：设A 1、A 2、A 3、A 4、A 5坐标分别为(x 1，y 1，z 1)，(x 2，y 2，z 2)，(x 3，y 3，z 3)，(x 4，y 4，z 4)(x 5，y 5，z 5)，设M 坐标为(x ，y ，z)．由MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0得方程(x 1－x)＋(x 2－x)＋(x 3－x)＋(x 4－x)＋(x 5－x)＝0， (y 1－y)＋(y 2－y)＋(y 3－y)＋(y 4－y)＋(y 5－y)＝0， (z 1－z)＋(z 2－z)＋(z 3－z)＋(z 4－z)＋(z 5－z)＝0，解得x ＝（x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5）5，y ＝（y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5）5，z ＝（z 1＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5）5.故有唯一的M 满足等式． 2. (2013·连云港模拟)若平面α的一个法向量为n ＝(4，1，1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3，3)，则l 与α所成角的正弦值为________．答案：41133解析：cos 〈n ，a 〉＝n·a|n||a|＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133.3. (2013·新课标全国卷Ⅱ)如图所示，直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB.(1) 证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2) 求二面角DA 1CE 的正弦值．(1) 证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF. 因为DF Ì平面A 1CD ，BC 1Ë平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.(2) 由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC. 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA ＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 为平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n·m|n||m|＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为63.4. (2013·重庆)如图所示，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB.(1) 求PA 的长；(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值．解：(1) 如图，连结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD.以O 为坐标原点，OB →、OC →、AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CDcos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD＝CDsin π3＝3，故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．因为PA ⊥底面ABCD ，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，得F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z 2，又AF →＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z)，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA →|＝2 3.(2) 由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF →＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0， 得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0， 得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B-AF-D 的正弦值为378.5. (2013·连云港调研)在三棱锥SABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ；(2) 求二面角S-BC-A 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.O(0，0，0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．(1) 设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1＋λ)OB →＋λOS →＝(3(1＋λ)，0，3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时， CD ⊥AB. (2) 平面ACB 的法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·SB→＝0，n 2·SC →＝0，则⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ， 取n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2·1＝55.又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.1. 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱B 1B 、DA 的中点．(1) 求二面角D 1-AE-C 的大小； (2) 求证：直线BF ∥平面AD 1E.(1) 解：以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图．则相应点的坐标分别为D 1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴ED 1→＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，AE →＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)， AC →＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．设平面AED 1、平面AEC 的法向量分别为m ＝(a ，b ，1)，n ＝(c ，d ，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ED 1→·m ＝0，AE →·m ＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧－a －b ＋1＝0，b ＋1＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＋d ＝0，d ＋1＝0Þ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝－1， ∴m ＝(2，－1，1)，n ＝(－1，－1，1)，∴cos m ，n ＝m·n |m |·|n |＝－2＋1＋16×3＝0，∴二面角D 1AEC 的大小为90°.(2) 证明：取DD 1的中点G ，连结GB 、GF.∵E 、F 分别是棱BB 1、AD 的中点， ∴GF ∥AD 1，BE ∥D 1G 且BE ＝D 1G ，∴四边形BED 1G 为平行四边形，∴D 1E ∥BG . 又D 1E 、D 1A Ì平面AD 1E ，BG 、GF 平面AD 1E ， ∴BG ∥平面AD 1E ，GF ∥平面AD 1E.∵GF 、GB Ì平面BGF ，∴平面BGF ∥平面AD 1E. ∵BF 平面AD 1E ，∴直线BF ∥平面AD 1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF ∥平面AD 1E ，亦可)2. (2013·苏州调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1) 求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1-A 1D-C 1的正弦值．解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0).设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0. ∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)． 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→·n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， ∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0，3，2)． 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n||m|·|m|＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.3. (2013·南通二模)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.解：(1) 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A 1(0，2，2)，B 1(0，4，2)，AA 1→＝(0，2，2)，BC →＝B 1C 1→＝(2，－2，0)．cos 〈AA 1→，BC →〉＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12，故AA 1与棱BC 所成的角是π3.(2) P 为棱B 1C 1中点，设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，AP →＝(2λ，4－2λ，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0.⎩⎪⎨⎪⎧λx ＋2y －λy ＋z ＝0，2y ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－λx ，y ＝0. 故n 1＝(1，0，－λ)，而平面ABA 1的法向量是n 2＝(1，0，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1中点，其坐标为P(1，3，2)．4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙)，设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．(1) 求证： DC ⊥平面ABC ；(2) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦值； (3) 求二面角B －EF －A 的余弦值．解：(1) ∵ 平面ABD ⊥平面BDC ，又∵ AB ⊥BD ，∴ AB ⊥平面BDC ，故AB ⊥DC ，又∵ ∠C ＝90°，∴ DC ⊥BC ，BC ÍABC 平面ABC ，DC Ë平面ABC ，故DC ⊥平面ABC.(2) 如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD ＝a ，则BD ＝AB ＝2a ，BC ＝3a ，AD ＝22a ，可得B(0，0，0)，D(2a ，0，0)，A(0，0，2a)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，F(a ，0，a)，∴ CD →＝⎝⎛⎭⎫12a ，－32a ，0，BF →＝(a ，0，a)．设BF 与平面ABC 所成的角为θ， 由(1)知DC ⊥平面ABC ，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝CD →·BF →|CD →|·|BF →|＝12a 2a ·2a ＝24，∴ sin θ＝24. (3) 由(2)知 FE ⊥平面ABC, 又∵ BE Ì平面ABC ，AE Ì平面ABC ，∴ FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴ ∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 .在△AEB 中，AE ＝BE ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝72a ，∴ cos ∠AEB ＝AE 2＋BE 2－AB 22AE ·BE＝－17，即所求二面角B－EF －A 的余弦为－17.1. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算．2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：(1) 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2) 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算．(3) 回归几何问题．如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
【步步高】2015届高考数学总复习 8.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离课件 理 新人教B版
长方体 ABCD －
A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD＝1，E 为 CC1 的中点， 则异面直线 BC1 与 AE 所成 角的余弦值为 ( B ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10
用向量方法求两条异面直线所成 的角，是通过两条直线的方向向 量的夹角来求解，而两异面直线 π 所成角的范围是 θ∈0， 2 ， 两向 量的夹角 α 的范围是[0，π]，所 以要注意二者的区别与联系，应 有 cos θ＝|cos α|.
A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD＝1，E 为 CC1 的中点， 则异面直线 BC1 与 AE 所成 角的余弦值为 ( 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10 )
题型分类·深度剖析
题型一 求异面直线所成的角
思维启迪 解析 答案 思维升华
【例 1 】
方法一 (1)证明 如图，因为 BB1⊥平面 ABCD，AC ⊂平面 ABCD，所以 AC⊥BB1.
又 AC⊥BD，所以 AC⊥平面 BB1D，
而 B1D⊂平面 BB1D，所以 AC⊥B1D.
(2)解
因为 B1C1∥AD，所以直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角等于直线
AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ)． 如图，连接 A1D，因为棱柱 ABCD－A1B1C1D1 是直棱柱，且∠B1A1D1＝ ∠BAD＝90° ，
长方体 ABCD －
建立坐标系如图，
则 A(1,0,0)， E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2)． → → BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)， → → BC1· AE 30 → → cos 〈BC1， AE〉 ＝ ＝ . → → 10 |BC1|· |AE| 所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的 30 余弦值为 . 10
高考数学复习立体几何中的向量方法
高考数学复习立体几何中的向量方法一、定义向量（Vector）是数量的一种，表示有方向和大小的量。
它是由两个实数构成的有序对，可以用一个点作为起点，另一个点作为终点去表示。
向量用大写字母表示，例如标准格式：$$\vec{A}=\left(\begin{array}{ccc}A_x\\A_y\\A_z\end{array}\right)$$ 其中A_x、A_y、A_z分别表示向量A的x轴、y轴、z轴的分量。
二、向量的加法和减法1、向量的加法：向量的加法指两个向量相加，相加的结果即为这两个向量的矢量和，而不是数字的和，表示为：$$\vec{A}+\vec{B}=\left(\begin{array}{ccc}A_x+B_x\\A_y+B_y\\A_z+B_z\end{array}\right)$$2、向量的减法：向量的减法指把第二个向量变成相反方向，然后与第一个向量进行加法，表示为：$$\vec{A}-\vec{B}=\left(\begin{array}{ccc}A_x-B_x\\A_y-B_y\\A_z-B_z\end{array}\right)$$三、向量的数乘1、向量的数乘指把向量乘以一个实数，表示为：$$k\vec{A}=\left(\begin{array}{ccc}k\cdot A_x\\k\cdot A_y\\k\cdot A_z\end{array}\right)$$四、向量的点积1、向量的点积是把两个向量乘以一个实数，表示为：$$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_x\cdot B_x + A_y\cdot B_y + A_z\cdotB_z$$五、向量的叉积\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{array}\right，$$六、向量的应用1、在中学地理中可以通过向量的加减法求解地图上定点之间的距离；。