平面向量共线的坐标表示(汇报课)
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平面向量共线的坐标表示PPT教学课件
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 0)共线 x1 y2 x2 y1 0
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
所对应的刻度L1. (4)用上面方法,记下弹簧下端挂2个､3个､4个……钩码时,弹 簧下端所对应的刻度L2､L3､L4……并将所得数据记录在表格 中.
(5)用xn=Ln-L0计算出弹簧挂1个､2个､3个……钩码时弹簧的 伸长量,并根据当地重力加速度值g,计算出所挂钩码的总重
力,这个总重力就等于弹力的大小,将所得数据填入表格.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
§2.4 实验:探究弹力和弹簧伸长的关系
验证力的平行四边形定则
知识精要 一､探究弹力与弹簧伸长的关系 1.实验目的 (1)探究弹力与弹簧伸长的定量关系. (2)学会利用图象研究两个物理量之间的关系的方法.
2.实验原理 (1)如图所示,弹簧在下端悬挂钩码时会伸长,平衡时弹簧产 生的弹力与钩码总重力大小相等. (2)用刻度尺测出弹簧在不同的钩码 拉力下的伸长量,建立坐标系,以纵坐 标表示弹力大小F,以横坐标表示弹簧 的伸长量x,在坐标系中描出实验所测 得的各组(x,F)对应的点,用平滑的曲线连接起来,根据实验 所得的图线,就可探知弹力大小与伸长量间的关系.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 0)共线 x1 y2 x2 y1 0
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
所对应的刻度L1. (4)用上面方法,记下弹簧下端挂2个､3个､4个……钩码时,弹 簧下端所对应的刻度L2､L3､L4……并将所得数据记录在表格 中.
(5)用xn=Ln-L0计算出弹簧挂1个､2个､3个……钩码时弹簧的 伸长量,并根据当地重力加速度值g,计算出所挂钩码的总重
力,这个总重力就等于弹力的大小,将所得数据填入表格.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
§2.4 实验:探究弹力和弹簧伸长的关系
验证力的平行四边形定则
知识精要 一､探究弹力与弹簧伸长的关系 1.实验目的 (1)探究弹力与弹簧伸长的定量关系. (2)学会利用图象研究两个物理量之间的关系的方法.
2.实验原理 (1)如图所示,弹簧在下端悬挂钩码时会伸长,平衡时弹簧产 生的弹力与钩码总重力大小相等. (2)用刻度尺测出弹簧在不同的钩码 拉力下的伸长量,建立坐标系,以纵坐 标表示弹力大小F,以横坐标表示弹簧 的伸长量x,在坐标系中描出实验所测 得的各组(x,F)对应的点,用平滑的曲线连接起来,根据实验 所得的图线,就可探知弹力大小与伸长量间的关系.
平面向量共线的坐标表示PPT教学课件_1
六：归纳第三段文意 ：
❖ 本段用精炼而简洁的笔法描写了虎丘景物： 深不可测的剑泉 摩天倚云的千顷山
❖ 虎丘景观 秀丽无比的千山万壑 晚景尤佳的文昌阁 荒废已久的平远堂
七：疏通课文字词句（第四段） ：
❖ 吏吴两载，登虎丘者六： 做官（名作动） ❖ 歌者闻令来，皆避匿去 ：
县令， 躲藏
❖ 他日去官 ： 辞去
兴盛荒废 确实 时运
剑泉深不可测，飞岩如削。千顷云得天 池诸山作案，峦壑竞秀，最可觞客，但过午 则日光射人，不堪久坐耳。文昌阁亦佳，晚 树尤可观，面北为平远堂旧址，空旷无际，
仅虞山一点在望。
剑泉伸不可测，飞耸的岩石像刀削一样矗 立。千顷云好象是以天池等山作几案，山峦沟 壑秀丽无比，这里最适合飨宴宾客。但中午过 后，阳光强烈，无法久坐。文昌阁（景色）也 好，傍晚的树更好看。面对的北面是平远堂旧 址，空旷无际，只有远处的虞山一角遥遥在望。
如织。而中秋为尤胜。
译文： 虎丘离苏州城只有七八里，山上并没有 险峻的高岩或幽深的谷壑，只是因为离城近的 缘故，（达官贵人）装饰豪华、满载歌声的游 船，没有一天断过。凡有月的晚上，有花的早 晨或雪天的傍晚，游人来来往往，像穿梭织布 一样。 （这景象）又以中秋更为盛况空前。
每至是日，倾城阖户，连臂而至。衣冠士女，
x1 y2 x2 y1 0
这就是说: a // b (b 0) 的充要条件是
x1 y2 x2 y1 0
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
3. 向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a //
b(b
0)
a
b;
(2)a // b(a (x1, y1),纳第二段文意 ：
❖ 重点描写了中秋月夜虎丘游人斗歌的场面：
高中数学人教A版必修4课件234平面向量共线的坐标表示
【审题路线图】根据向量共线求坐标中的参数⇒向量 共线充要条件的坐标表示.
【解析】1.选C.向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且 (a+b)∥(a-b), 所以a+b=(m+5,m+5),a-b=(-m-1,m-3), 所以(m+5)(m-3)-(-m-1)(m+5)=0, 即(m+5)(m-1)=0, 解得m=1或m=-5.
【补偿训练】已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C三点之间的位置关系. 【解析】因为 AB=(2,4), A=C(3,6),2×6-3×4=0, 所以向量 AB，A共C 线,故A,B,C三点共线.
类型三 利用向量共线的坐标表示求参数
【典例】1.已知向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且
【自我检测】
1.向量a=(m,n),b=(p,q),若a∥b,则下列关系成立的
是( )
A.mp-nq=0
B.mq+np=0
C.mq-np=0
D.mp+nq=0
【解析】选C.由向量平行的坐标表示可知选C.
2.与向量a=(12,-5)平行的单位向量为 ( )
A.(12，5 ) 13 13
B.( 12 , 5 ) 13 13
(2)判断多个点中的三个点共线时,先根据向量运算构 造关于这三个点的两个向量,再利用向量共线的坐标表 示列式.
【变式训练】若P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)三点共线,则 x=________. 【解析】 PA=(1,-5), =PB(x-1,-10), 由题意:1×(-10)+5×(x-1)=0, 所以-10+5x-5=0,故x=3. 答案:3
平面向量共线的坐标表示课件(共33张PPT)
预习探究
[判断] (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 等价于xx21＝yy12.(
)
(2)向量 a＝(1，2)与向量 b＝(4，8)共线．( )
(3)向量 a＝(2，3)与向量 b＝(－4，－6)反向．( )
[答案](1)× (2)√ (3)√
备课素材
根据平面向量的坐标，判定向量共线．
果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这
种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的 坐标表示．
新课导入
[导入] (1)若 a＝(1，－1)，b＝(－1，1)，则 a＋b 等于( ) A．0 B．(0，0) C．2 D．－2 [答案] B [解析] a＋b＝(1－1，－1＋1)＝(0，0)．
[答案] 1
λ1＋2λ2＝3，
λ1＝－1，
[解析] λ1a＝(λ1，2λ1)，λ2b＝(2λ2，3λ2)，2λ1＋3λ2＝4，解得λ2＝2， ∴λ1＋λ2＝1.
(4)已知点 A(－1，2)，若向量A→B＝3a，a＝(1，3)，则点 B 的坐标为________．
[答案] (2，11) [解析] A→B＝3a＝(3，9)．又(－1，2)＋(3，9)＝(2，11)，∴B 点坐标为(2，11)．
考点类析
考点二
三点共线问题
[重点探究型]
[导入] 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则A→C与B→C____共线______，A→B与A→C
共线
0
________，所以(x2－x1)·(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝________．
平面向量共线的坐标表示 课件
【名师点评】 对于根据向量共线的条件求 值的问题，一般有两种处理思路，一是利用 共线向量定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解 ，二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2－ x2y1＝0直接求解．
三点共线问题
例2 如果向量A→B＝i－2j，B→C＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位共线， ∴1×m－1×(－2)＝0， ∴m＝－2， 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
【名师点评】 利用向量平行证明三点共线 需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明 两个向量有公共点．
向量共线的应用
例3 (本题满分 10 分)在△AOB 中，已知点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D ＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标． 【解】 ∵点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴O→A＝(0，5)，O→B＝(4，3)．
【解】 法一：A、B、C 三点共线， 即A→B、B→C共线，
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→C.
即 i－2j＝λ(i＋mj)，
于是λλ＝m＝1，－2，∴m＝－2，
即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线． 法二：依题意知 i＝(1，0)，j＝(0，1)， 而A→B＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)， B→C＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)，
平面向量共线的坐标表示
两个共线向量的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
则a∥b⇔a＝
x1y2－x2y1＝0
λb⇔_____________________．
向量共线的判断
● 例1
● 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 平行时，它们是同向还是反向？
三点共线问题
例2 如果向量A→B＝i－2j，B→C＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位共线， ∴1×m－1×(－2)＝0， ∴m＝－2， 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
【名师点评】 利用向量平行证明三点共线 需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明 两个向量有公共点．
向量共线的应用
例3 (本题满分 10 分)在△AOB 中，已知点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D ＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标． 【解】 ∵点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴O→A＝(0，5)，O→B＝(4，3)．
【解】 法一：A、B、C 三点共线， 即A→B、B→C共线，
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→C.
即 i－2j＝λ(i＋mj)，
于是λλ＝m＝1，－2，∴m＝－2，
即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线． 法二：依题意知 i＝(1，0)，j＝(0，1)， 而A→B＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)， B→C＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)，
平面向量共线的坐标表示
两个共线向量的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，
则a∥b⇔a＝
x1y2－x2y1＝0
λb⇔_____________________．
向量共线的判断
● 例1
● 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 平行时，它们是同向还是反向？
平面向量共线的坐标表示市公开课一等奖省优质课获奖课件
法二 由u∥v，得到(2x＋1)·3－4(2－x)＝0，∴x＝12.
答案
1 2
新知探究
题型探究
感悟提升
第24页
5．已知 A→B
＝(6,1)，
→ BC
＝(x，y)，
→ CD
＝(－2，－3)，
→ BC
∥
D→A ，
求x＋2y的值． 解 ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D
＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
感悟提升
第5页
[规律方法] 这类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标 条件进行判断，尤其是利用向量共线坐标条件进行判断时，要注 意坐标之间搭配．
新知探究
题型探究
感悟提升
第6页
【活学活用1】 已知A、B、C三点坐标分别为(－1,0)、(3，－
1)、(1,2)，并且A→E＝13A→C，B→F＝13B→C，求证：E→F∥A→B.
新知探究
题型探究
感悟提升
第18页
易错辨析 考虑不全方面而犯错 【示例】 若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，求x.
[错解] ∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝－ 2(舍去) 或x＝ 2，故x＝ 2为所求． [错因分析] 舍去x＝－ 2没有道理．
新知探究
题型探究
感悟提升
第19页
新知探究
题型探究感悟提升第1 Nhomakorabea页∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段交点问题，常规方法为写出直线或 线段对应直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线 向量充要条件可降低运算量，且思绪简单明快．
平面向量共线的坐标表示 课件
(1)
uuur AB
2,1
2①,3
4, 4
,
uuur CD
7,
4
1,①4
……8,…8… …, …………2分
∵4×(-8)-4×(-8)=0②,
∴
uuur AB
P
CuuDur，即AuuBur与CuuD…ur共…线…. ……………4分
(2)∵a∥b,∴6(x2-2x)-3m×2=0②, ……………………6分
由向量共线求参数的值
【技法点拨】
由向量共线求参数的值的方法
求
根据题意求出有关向量的坐标.
利用向量共线的坐标表示得到有 列
关参数的方程（组）.
解
解得参数的值.
【典例训练】
1.(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，
c＝(3,4)．若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ＝( )
(A)
【典例训练】 1.(2012·汕头高一检测)若A(-1，-2)，B(4，8)，C(5,x) 且A,B,C三点共线，则x=________. 2.若三点A(-2，-2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则 1 ＋1 的值为__________．
mn
3.已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，求证: A，B，C三点 共线．
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.
对于B，因为(-1)×7-5×2=-17≠0，所以e1与e2不共线，
所以e1=(-1,2)与e2=(5,7)能作为平面内所有向量的基底.
对于C，因为3×10-6×5=0，所以e1∥e2,
所以e1=(3,5)与e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底.
平面向量共线的坐标表示_课件
1 OP (OP OP2 ) 1 2 x1 x2 y1 y2 ( , ) 2 2
所以，点P的坐标为 (
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
O
(1)
x
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P
P2
O
x
②
若p1p = 2pp2, 则
y P2 P P1
x1 +2x2 y1 +2y2 ∴点P的坐标是( , ) 3 3
O
x
探究:
解:
如图所示，当PP=λ 2 PP时，点P的坐标是什么？ 1
若p1p =λ 2, pp 则 λ OP = 0P +PP = 0P + P1P 2 1 1 1 1+λ P1 λ = 0P + (0P2 -0P ) 1 1 1+λ 1 λ = 0P + OP 2 1 1+λ 1+λ x1 +λx2 y1 +λy2 =( , ) 1+λ 1+λ x1 +λx2 y1 +λy2 ∴点P的坐标是( , ) 1+λ 1+λ
y P P2
O
x
练习：
已知A（2,3），B（4，3），点P在线段AB 上，且 AB 3 PB , 求P点坐标
小结: 向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)a//b(b≠0)⇔ a =λb;
(2)a//b(a =(x1, 1), =(x2 , 2 ), y b y b≠0) ⇔ x1y2 -x2y1 = 0
所以，点P的坐标为 (
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
O
(1)
x
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P
P2
O
x
②
若p1p = 2pp2, 则
y P2 P P1
x1 +2x2 y1 +2y2 ∴点P的坐标是( , ) 3 3
O
x
探究:
解:
如图所示，当PP=λ 2 PP时，点P的坐标是什么？ 1
若p1p =λ 2, pp 则 λ OP = 0P +PP = 0P + P1P 2 1 1 1 1+λ P1 λ = 0P + (0P2 -0P ) 1 1 1+λ 1 λ = 0P + OP 2 1 1+λ 1+λ x1 +λx2 y1 +λy2 =( , ) 1+λ 1+λ x1 +λx2 y1 +λy2 ∴点P的坐标是( , ) 1+λ 1+λ
y P P2
O
x
练习：
已知A（2,3），B（4，3），点P在线段AB 上，且 AB 3 PB , 求P点坐标
小结: 向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)a//b(b≠0)⇔ a =λb;
(2)a//b(a =(x1, 1), =(x2 , 2 ), y b y b≠0) ⇔ x1y2 -x2y1 = 0
课件6：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
4．已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)， C(5,6)，求顶点D的坐标． 解：方法 1：设 D(x，y)，由A→B＝D→C得(4,1)＝(5－x，6－y)， ∴56－－xy＝＝41，， 解得xy＝＝15，， ∴D(1,5)．
方法 2：设 D(x，y)，AC 与 BD 的交点为 E，则 E(2,2)． 又 E(x＋2 3，y－2 1)，∴x＋2 3＝2，y－2 1＝2， 解得 x＝1，y＝5.∴D(1,5)．
归纳点评 两向量共线的条件有两种形式，在解题中 应根据情况适当选用．
题型 2 共线的判定 例 2 设向量A→B＝i－2j，B→C＝i＋mj，其中 i，j 分别是 x 轴，y 轴正方向B，C 三点共线．
解：方法 1：A，B，C 三点共线，即A→B，B→C共线， ∴存在实数 λ 使得A→B＝λB→C.即 i－2j＝λ(i＋mj)， ∴λλm＝＝1，－2， ∴m＝－2.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标 1．掌握用坐标表示平面向量共线的条件． 2．会应用向量共线的坐标表示解决一些简单问题． 学习重点：向量共线的坐标表示． 学习难点：向量共线的坐标表示的应用．
知识点归纳 1．向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，那么当且仅当 x1y2－x2y1 ＝0 时，向量 a，b 共线，即 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 2．线段中点坐标公式 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2 的中点 P 的坐标为(x1＋2 x2， y1＋2 y2).
解：∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 即－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3， 解得 m＝59，n＝89. 所以满足题意的 m＝59，n＝89.
课件1：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课堂小结
向量平行(共线)等价条件的两种形式:
（1）a / /b(b 0) a b
（2）a / /b（a （x1，y1），b （x2，y2），b 0） x1 y2 - x2 y1 0
作业布置
1.同步训练2.3.4.1； 2.预习课本下一节内容，并完成课后习题.
再见
13 13
13 13
13 13
典型例题
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ， 向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
典例精讲：
解：∵ AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)
CD =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0
解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
∵ka－b与a+3b平行
3（k - 2）（- -1） 7 0 k - 1 这两个向量是反向的
3
典型例题
与a （12，5）平行的 单位向量是（ C ）
（A）（12，5） 13
(B（) - 12，- 5 ） 13 13
（C）（12，5 ）或（- 12，- 5 ） （D）（ 12 5 ）
x1 y2 - x2 y1 0
向量 a 与向量 b 共线。
探究点1 能不能写成 y1 y2 ?
x1 x2 不能因为 x1，x2可能为 0
探究点1
消除λ时能不能两式相除？
不能消除，y1 y2有可能是0，又b 0，所以x2 y2中至少有一 个不是0
典型例题
设点P是线段P1P2上的一点， P1，P2的坐标分别是 (x1, y1),(x2, y2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
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y P
P2
O
x
②若点 P 靠近 P2 点 时
y P P1
2 则有： PP PP2 , 1 1 3 x 2 x2 y1 2 y2 点P的坐标是( 1 , ) 3 3
P2
O
x
如图所示，P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), 当P P PP2时， 1 1）
y P P1
1 OP (OP OP2 ) 1 2 x1 x2 y1 y2 ( , ) 2 2
x1 x2 y1 y2 , ) 所以，点 P 的坐标为 ( 2 2
P2
O
(1)
x
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
若A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ).
个实数 ，使得 a b . 即：
3.平面向量共线定理： 向量 b(b 0) 与向量 a 共线，当且仅当存在唯一一
a∥ (b 0) a b b
O
x
解法二:
1 设点P的坐标（x, y）,若 P P P P 2 1 1 3 P P ( x, y ) - ( x1 , y 1 ) ( x - x1 , y - y 1 ) 1 1 1 P P 2 ( x2 - x1 , y2 - y1 ) 1 P1 3 3 x -x y -y ( 2 1 , 2 1) 3 3 x -x y -y 即 ( x - x1 , y - y 1 ) ( 2 1 , 2 1 ) 3 3 2 x1 x2 2 y1 y2 解得 x ,y 3 3 2 x1 x2 2 y1 y2 点P的坐标是( , ) 3 3
2.3.4 平面向量共线的 坐标表示
授课人：李泽文 班级：高一（18）班
y 1. 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两单位向 yj j 作为基底，对于平面内的 量 i 、 任一向量 a ，由平面向量基本定 理可得，有且只有一对实数x、y， j O 使得 a xi y j 。这样，平面内 i 的任一向量 a 都可以由x、y唯一 确定，我们把有序数对（x，y）叫 做 向量 a 的坐标 记作 a =（x，y）
4. 若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使 AB BC 的实数 的值为_________.
例3.设点 P 是线段 P P 上的一点，P、P2 的坐标分别是 1 2 1
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 。
（1）当点 P 是线段 P P 的中点时，求点 P 的坐标； 1 2 （2）当点 P 是线段 P P 的一个三等分点时，求点 P 的坐标。 1 2
AB BC
1. 已知向量 a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, u = 2a - b, 且m∥u, 求x的值. 2. 若向量a ( 1, x )与b ( x, 2)共
线且方向相同, 求x. 3. 若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线,则x 的值为_________.
a
xi
x
上式叫做向量的坐标表示，其中的x叫做向量 a 在x 轴上的坐标，y叫做向量 a 在y轴上的坐标。
a 2. 向量的坐标运算： (x1，y1 ) b (x2，y2 )
a b (x1 x2，y1 y2 ) a b (x1 x2，y1 y2 ) a ( x1 , y1 )
a∥b x1 y2 x2 y1 0
例1，已知a / / b, 且a (4, 2), b (6, y ), 求y的值. 解： a / / b
4 y - 2 6 0
y 3
例2. 已知A(-1 -1)，B(1 3) C (2，，试判断 ， ，， 5) A, B, C三点之间的位置关系.
思考: 设 a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) ，若
向量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两 个向量的坐标应满足什么关系？
设 a ( x1 , y1 )
若 a 、 共线，当且仅当存在实数 ，使 b a b
用坐标表示为： ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ), 即：
解:
y
●
●
C
AB -（-1）,3-（-1））（2,4） （1 = AC -（-1）,5-（-1））（3,6） （2 = 又 2 6 - 3 4 0， AB∥AC 直线AB、直线AC有公共点A，
B
A
● 0
x A、B、C三点共线.
解：（2） 1 ① 若点P靠近P1点则有： P P1P 2 , P 1
y P P1
P2
3 1 OP OP P P OP P 1 P 2 1 1 1 3 1 OP (OP2 - OP ) 1 1 3 2 1 OP OP 2 1 3 3 2 x1 x2 2 y1 y2 ( , ) 3 3 2 x x 2 y y2 点P的坐标( 1 2 , 1 ) 3 3
y P P2
思考:
O
x
小结: 平面向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)a∥b (b 0) a b ;
(2) a∥b ( a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0) x1 y2 - x2 y1 0
x1 x2 , y1 y2 .
b ， ( x2 , y2 )（其中b 0 ）
如何消？
消去 后得
y1 y2 能不能写成 x x ? 1 2
x1 y2 x2 y1 0.
这也就是说，
其中，a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), (b 0).
作业:
P101 A组 5、6 B组 2（ 2 ）
解:
若 P P PP2 , 则 1 OP OP P P OP P1P 2 1 1 1 1 P1 OP (OP2 - OP ) 1 1 1 1 OP OP 2 1 1 1 x1 x2 y1 y2 ( , ) 1 1 x1 x2 y1 y2 点P的坐标是( , ) 1 1