2019届安徽省江南十校高三第二次联考数学(文科)试题(解析版) (1)
，构造函数
和
， 需要满足
图像在
图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.
，故函数
在 上递减，在
上递增，且当 时，函数值小于零.当 时，
在
上递增，画
出图像如下图所示，由图可知
图像在
图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.
当 时，显然不符合题意.当 时，画出图像如下图所示，由图可知
，即
，
解得
.即 的取值范围是
【详解】（1）
整理得：
，
∵
，
∴
，
∵
，∴ ；
（2）由 成等差数列，得：
，
由余弦定理得：
，
由
，得：
，
三个等式联立解得： .
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理
解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.
18.若数列 的前 项和 ，且
，等比数列 的前 项和 ，且
这
个基本的形式，还要注意它的变形
.
16.已知定义在
的两个函数
和
且只有两个整数，则实数 的范围是__________．
【答案】
【解析】 【分析】
（ 是自然对数的底），若在
的解集内有
化简不等式
，变为
，即左边函数
在右边函数
图像上方只有两个
横坐标为整数的点.利用导数画出
围.
【详解】化简不等式
，得
的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得 的取值范
.
【点睛】本小
题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究
函数图像与性质.对于题目给定的
，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方
法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
.
（1）求 和 （2）求数列
的通项； 的前 项和.
【答案】（1）
；
(2)
【解析】 【分析】
（1）利用
，求得数列 的通项公式.同理也求得 的通项公式.（2）利用错位相减求和
法求得前 项和.
【详解】（1）由
，
得：
，
∵
符合公式，
同理：由
，
推得：
，
∵ 是等比数列，
∴
（2）设
， 是其前 项和，
∵
∴
两式相减得：
大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分
也不必要条件.
4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮
一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，
则一开始输入的 值为（ ）
相互
垂直，以
为基底，这是一个正交的基底，表示 ，根据图像可知
，
即
，故
，当且仅当
时，等号成立.故 的最大值为 .
【点睛】本小题考查平面向量的基本
定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底
表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得
个角必定不相等，故“ ”是“
”的必要不充分条件.故选 B.
【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；否则， 不是
的充分条件， 不是 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行 和 各一次，判断
是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，
.右侧梯形上底为
，下底为
，腰长为
，为等腰梯形，
故高为
，故面积为
.故表面积为
，故选 B.
【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面
积的计算.属于基础题.
9.在 中，三个内角 的对边分别为 ，且
，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化
【分析】
（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹 的方程.（2）由于轨迹 是圆，故设切线方程为
点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，
由此求得题目所求的切线方程，有两条.
【详解】（1）设动点 ，则
，
坐标代入得：
，
化简得：
所以动点 的轨迹 是以 为圆心，以 2 为半径的圆；
A.
B. 52 C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直
角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积. 个面面积相加得到棱台的表面积.
【详解】两个直角三角形的面积之和为
.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为
（2）设
是圆 的切线，则有：
于中档题.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.如图所示，在矩形
中，
，沿对角线 将其折成直二面角，连结 ，则该三棱锥
的体积为__________．
【答案】
【解析】 【分析】 利用等面积法求得直角三角形
的边 上的高，也即三棱锥
的高，由此计算出三棱锥的体积.
【详解】依题意，
，由于
，当
直线截距最大时， 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.
15.已知扇形 的圆心角为
，半径为 2， 是其弧上一点，若
，则 的最大值
为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
以
为基底，表示 ，这是一个正交的基底，故
，再由基本不等
式求得 的最大值.
【详解】以 为坐标原点，
分别为 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于
17.在 中，三内角 的对边分别为 ，已知向量
，
，函数
且
.
（1）求角 的值；
（2）若
且 成等差数列，求 .
【答案】（1） ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简 的表达式，利用
求得 的大小.（2）
利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得 的值.
【详解】依题意
，横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变）得到
，然后再向右
平移 个单位，得到
.故选 D.
【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.
11.设 为负实数且
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
令
，指数式化为对数式，用 来表示 ，然后利用换底公式比较 和 的大小，由此得出正确选
，设直角三角形 的边 上的高为 ，根据等面积有
，解得
，故三棱锥的体积为
.
【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.
14.设 满足约束条件
，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线
到可行域边界位置，由此求得目标函数的最
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
运行程序，当 时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的 的值.
【详解】运行程序，输入 ， ，
，判断否，
，判断否，
，判断否，
，判断是，退出循环.依题意可知
，
解得 .故选 A.
【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.
∴
另解：∵
，
∴
【点睛】本小题主要考查已知 求 得方法，考查错位相减求和法. 已知 求 得方法是利用
来求数列的通项公式.属于中档题.
19.已知两个定点
， ，动点 到点 的距离是它到点 距离的 2 倍.
（1）求 点的轨迹 ；
（2）若过点 作轨迹 的切线，求此切线的方程.
【答案】（1）见解析；（2） 或
【解析】
【详解】依题意
，
.故选 C.
【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是 是一个
周期出现的量，
以此类推
.复数的除法运
算，主要的思想方法是将分母转化为实数.
2.已知集合
，
，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解绝对值不等式求得集合 A 中 的范围，解指数不等式求得集合 B 中 的范围，再根据选项逐一判断正误.
简，由此求得 的大小.
【详解】由正弦定理得
，即
பைடு நூலகம்
，即
，化简得
，故
，故 .所以选 D.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基 础题.
专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析
专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使平面？说明理由.类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为233.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为30？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为15，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）证明：BD PC ⊥；（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值． 6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.15.如图，五面体11A BCC B -中，14AB =，底面ABC 是正三角形，2AB =，四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．（1）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并说明理由； （2）当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．2.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 （2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=12AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）33,2【解析】（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，又GM⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，故GM∥平面BDF；（2）∵CF ∥DE ，且AE 与CF 的夹角为60°，故AE 与DE 的夹角为60°，即60AED ∠=︒， 过D 作DP ⊥AE 交AE 于P ，由已知得DE ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴EF ⊥平面AED ， EF ⊥DP,又AE EF=E,∴DP ⊥平面AEFB ， 即DP 为点D 到平面ABFE 的距离，且3DP x =， 设DE ＝x ，则AE ＝BF ＝4﹣x ， 由（1）知GM ∥DF ，G BDF M BDF D MBF V V V ---===11131(4)3322MBF S DP x x ⎡⎤⋅⋅=⨯⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦()24333(4)x x x x -+=-⋅=，当且仅当4﹣x ＝x 时等号成立，此时x ＝DE ＝2． 故三棱锥G ﹣BDF 的体积的最大值为33，此时DE 的长度为2． 【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且.(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？【解析】（1）证明：连接,,=，因为ABCD是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面(Ⅱ)当时，有平面平面过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：在三棱柱中，因为底面，CD⊂平面ABC，所以．又为等边三角形，为的中点，所以．因为，所以平面；（Ⅱ）取中点，连结，则因为，分别为，的中点，所以．由（Ⅰ）知，，如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，,,,,，，．设平面法向量，则即令，则，．即．平面BAE法向量．因为，，，所以由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．假设线段上存在点M，使平面．则，使得．因为，所以．又，所以．由（Ⅱ）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得．所以 解得．这与矛盾．所以在线段上不存在点M ，使平面．类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 （2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为23.（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ； （2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 30E 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 位于AS 的靠近A 点的三等分点. 【解析】（1）证明：因为E 、F 分别是SA 、SB 的中点， 所以EF AB ∥，在矩形ABCD 中，AB CD ∥， 所以EF CD ∥，又因为E 、P 分别是SA 、AD 的中点， 所以∥EP SD ，又因为EF CD ∥，EF EP E ⋂=，,EF EP ⊂平面PEF ，,SD CD ⊂平面SCD ，所以平面∥PEF 平面SCD .（2）解：假设棱SA 上存在点E 满足题意. 在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点， 于是SP AD ⊥，又平面SAD ⊥平面ABCD ， 平面SAD ⋂平面ABCD AD =，SP ⊂平面SAD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥S ABCD -的高， 设AD m =，则SP =，ABCD S m =矩形，所以1133S ABCD ABDD V S SP m -=⋅==矩形 所以2m =，以P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 与AB 平行的直线为y 轴，PS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B，(S ，设(()()01AE AS λλλλ==-=-≤≤，()()1,0,0PE PA AE λ=+=+-()1λ=-，()1,1,0PB =，设平面PEB 的一个法向量为()1,,n x y z =，有()1110n PE x z n PB x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令3x λ=，则()13,,1n λλ=-，易知平面SAD 的一个法向量()20,1,0n =，所以12122123cos ,721n n n n n n λλλ-⋅==-+30=， 因为01λ≤≤， 所以13λ=， 所以存在点E ，位于AS 的靠近A 点的三等分点.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠=且12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面 AE 1B ；（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6π，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1CE =.【解析】（1）取1AB 中点G ，连结EG FG 、，则FG ∥1BB 且112FG BB =. 因为当E 为1CC中点时，CE ∥1BB 且112CE BB =， 所以FG ∥CE 且FG = CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为1CF AEB ⊄平面，1EG AEB ⊂平面， 所以//CF 平面1AEB ；（2）假设存在满足条件的点E ，设()01CE λλ=≤≤.以F 为原点，向量1FB FC AA 、、方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系. 则()3,0,0A -，()13,0,2B ，()0,1,E λ，平面ABC 的法向量()0,0,1m =，平面1AEB 的法向量()333,3n λ=--，，()23cos 23991m n m n m nλ⋅===++-，，解得1λ=，所以存在满足条件的点E ，此时1CE =.【精选名校模拟】1. （·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点. (Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面； (Ⅱ)PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 (Ⅰ)取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ，Q PC点是的中点，∴M Q∥CD，1.2MQ CD=又AB∥CD，1,2AB CD QM=则∥AB，QM＝AB，则四边形ABQM是平行四边形.BQ∴∥AM.又AM⊂平面PAD，BQ⊄平面PAD，BQ∴∥平面PAD.（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).令()()()000000,,,,,1,0,2,1.Q x y z PQ x y z PC=-=-则()()000,,,10,2,1,PQ PC x y zλλ=∴-=-()0,2,1.Qλλ∴-又易证BC⊥平面PBD，()1,1,0.n PBD∴=-是平面的一个法向量设平面QBD的法向量为(),,,m x y z=(),0,0,2210,.0,1x yx ym DBy z z ym DQλλλλ=-⎧+=⎧⎧⋅=⎪⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪-⎩则有即解得令21,1,1,.1y mλλ⎛⎫==-⎪-⎝⎭则60Q BD P 二面角为--，21cos,,22221m n m n m nλλ⋅∴===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得3 6.λ=±Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=-2. （2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ； （2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（215【解析】（1）证明：连接BE ，在等腰梯形中ABCD ，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，∴OB AE ⊥，OD AE ⊥，即OB AE ⊥，OP AE ⊥，且OBOP O =，OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ．又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ． （2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴2AD DE ==， 在等腰梯形ABCD 中2AE BC ==，∴PAE △正三角形， ∴3OP =3OB =∵6PB =，∴222OP OB PB +=，∴OP OB ⊥．由（1）可知OP AE ⊥，OB AE ⊥，以O 为原点，OE ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意得，各点坐标为()0,0,3P ，()1,0,0A -，()0,3,0B，()2,3,0C ，()1,0,0E ，∴(3,3PB =-，(3,3PC =-，()2,0,0AE =，设()01PQ PB λλ=<<，()1,333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=， 设平面AEQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()203330x x y λλ=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取0x =，1y =，得1z λλ=-，∴0,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则15sin cos ,5PC nPC n PC nθ⋅===，即2331511011λλλλ+-=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭化简得：24410λλ-+=，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155． 3. （2018·山东济南外国语学校高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由m FCm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y azx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x=，则3y=，23z=，所以取231,3,m⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，显然可取平面DFC的法向量()1,0,0n=，由题意：22cos,41213m na==++，所以3a=.由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以PBD∠为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt PBD∆中，tan3PDPBD aBD∠===，从而60PBD∠=︒，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60︒.4. （2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD为正方形，已知PA⊥平面ABCD，2AB=，2PA=.（1）证明：BD PC⊥；（2）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP？若存在，求PEPC的值并证明，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（210；（3）存在，23PEPC=，理由见解析【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD所以PA BD⊥，即BD PA⊥由于BD PA ⊥，BD AC ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC又因为PC ⊂平面PAC ，因此BD PC ⊥ （2）由于PA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直， 因比，如图建立空间直角坐标系A xyz -(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，P因此(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，1y =，z =，则(1,1,2)m =设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，10sin |cos ,|=||10||||m PC m PC m PC θ⋅=<>=⋅（3）存在，设[0,1]PEPCλ=∈，则(2,2))E λλλ- 则(22,2))BE λλλ=--，(2,2,0)BD =-设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，则0n BE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2(1)2(1)0220a b a bλλλ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，即1a λ=-，1b λ=-，2)c λ=-则(1,12))n λλλ=---，若平面BDE ⊥平面BDP ，则0m n ⋅=即1(1)1(1)2)0λλλ⋅-+⋅-+-=，则2[0,1]3λ=∈ 因此在棱PC 上存在点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，23PE PC =5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．6. 【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且7. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.8. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.9. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以. 又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为. （ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有10. 如图，在多面体ABCDMN 中，四边形ABCD 为直角梯形， //AB CD ， 22AB =， BC DC ⊥，2BC DC AM DM ====，四边形BDMN 为矩形.（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCD ；（2）线段MN 上是否存在点H ，使得二面角H AD M --的大小为4π？若存在，确定点H 的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD =， 2AD =，又22AB =，所以在ABD ∆中，满足222AD BD AB +=，所以ABD ∆为直角三角形，且BD AD ⊥. 因为四边形BDMN 为矩形，所以BD DM ⊥. 由BD AD ⊥， BD DM ⊥， DM AD D ⋂=， 可得 BD ADM ⊥平面. 又BD ABD ⊂平面，所以平面ADM ⊥平面ABCD .（2）存在点H ，使得二面角H AD M --为大小为，点H 为线段AB 的中点.事实上，以D 为原点， DA 为x 轴， DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0D A B , ()1,0,1M ， 设(),,H x y z ,由MH MN DB λλ==，即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1H λ. 设平面ADH 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则，即，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-. 平面ADM 的一个法向量为()20,1,0n =. 二面角H AD M --为大小为于是.解得 或（舍去）.所以当点H 为线段MN 的中点时，二面角H AD M --为大小为.11. 在三棱锥P ABC -中， AB AC =， D 为BC 的中点， PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知4,3,2,1BC PO AO OD ====. （1）证明： AP BC ⊥；（2）在线段AP 上是否存在一点M ，使得二面角A MC B --为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O 为原点，分别以过O 点与DB 共线同向的向量， OD ， OP 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,0,0,0,3,O A B C P --()()()0,2,3,4,0,0,2,3,0AP BC AC ==-=-∴0AP BC ⋅= ∴AP BC ⊥ ∴AP BC ⊥（2）假设M 点存在，设AM AP λ=， (),,M x y z ，则(),2,AM x y z =+，∴()(),2,0,2,3x y z λ+=，∴0{22 3x y z λλ=+==，∴()0,22,3M λλ-， ∴()2,23,3BM λλ=--设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面APC 的法向量为()2222,,n x y z = 由110{n BM n BC ⋅=⋅=得()111122330{40x y z x λλ-+-+=-=，令11y =，可得1320,1,3n λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由220{n AC n AP ⋅=⋅=得2222230{230x y y z -+=+=，令16y =，可得()29,6,4n =-，若二面角A MC B --为直二面角，则120n n ⋅=，得326403λλ--⋅=， 解得613λ=，∴613AM =故线段AP 上是否存在一点M ，满足题意， AM 的长为613. 12 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值； （2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置. 【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.13. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.。
2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2019年安徽省江南十校高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥-2}，则∁R（A∩B）=（）A. {x|x＜-2}B. {x|x≥1}C. {x|x＜-2或x≥1}D. {x|x≤-2或x＞1}2.设z=，则位于复平面（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A. 2B.C.D.4.已知抛物线方程为y=ax2，它的准线方程为y=-，则a的值为（）A. -B.C. -2D. 25.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为（）A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π6.已知a=ln，b=（），c=log，则a、b、c的大小关系为（）A. c＞a＞bB. c＞b＞aC. b＞a＞cD. a＞b＞c7.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD上，且DF=2FC，连接AE，BF交于G点，则=（）A. -B. -C. -D. -8.已知函数f（x）=sin3x+cos3x（x∈R），曲线f（x）与直线y=的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（1）（b2+c2）=+3bc，（2）=，则角C为（）A. B. C. D.10.如图所示，正方形ABCD的边长为1，等腰直角△SAD绕其直角边AD转动，另一直角边SD与正方形一边DC成θ角（90°≤θ＜180°），则异面直钱SA与DB所成角的取值范围为（）A. （0，]B. （0，]C. （0，]D. [，]11.已知双曲线方程-=1（a＞0，b＞0，a≠b），A，B是它的两条渐近线上的点，△OAB为直角三角形，则A，B两点横坐标的绝对值之比为（）A. 或B.C. D. 或12.已知函数f（x）=e x+e4-x，则（）A. f（x）在（-∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减B. f（x）在（-∞，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增C. 函数f（x）的图象不关于直线x=2对称D. 函数f（x）的图象关于点（2，0）对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f（x）=e x-t，若f（2）=e，则f（ln2）=______．14.已知x，y满足约束条件，若z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一，则实数k的值为______．15.直线x+2ay-4a-1=0恒过定点M，则点M到圆x2+y2+4x-6y+12=0上的点的距离的最大值为______．16.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且f（1）=1，则f（2019）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=3，a n=3a n-1+2×3n，令b n=．（1）判断{b n}是否为等差数列并说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n18.如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，∠BAD=90°，AD=5，AB=，SB=SD=4，侧面SAD为直角三角形，∠ASD=90°．（1）求证：平面SCD⊥平面SAB；（2）设E为SD上的一点，且DE=2SE，求三棱锥A-EBD的体积．19.某校共有学生3600人，其中男生2000人，女生1600人，为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的确方法，收集该校180名学生每周课外阅读时间（单位：小时）．（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集180人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的概率分布直方图（如右图）．其中样本数据分组区间为[0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，（4，5]，（5，6]，估计该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率；（3）在样本数据中有70名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关”男生女生总计每周平均阅读时间不超过2小时每周平均阅读时间超过2小时总计附：统计量K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.87920.已知点F1（-，0），F2（，0），曲线C上的任一点P满足2-2=4（-）（1）求曲线C的方程；（2）设O为原点，过O的直线交曲线C（非直线）于Q，R两点，过F1作QR的平行线交曲线C与M，N两点，求证：|QR|2=4|MN|．21.已知函数f（x）=ax2-ln x-x（x＞0）（1）设x=1是f（x）的一个极值点，求a的值并求f（x）的单调区间（2）设a≥3，求证f（x）≥22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为非负半轴的极轴建立极坐标系，已知点A（，），直线l的坐标方程为ρcos（）=a，且点A在直线l上（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）求直线截圆（θ为参数）的弦长．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x+2|．（1）若a=1时，求不等式f（x）≥ax的解集；（2）若不等式f（x）≤ax对x≤1恒成立求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据题意，集合A={x|x＜1}，B={x|x≥-2}，则A∩B={x|-2≤x＜1}，则∁R（A∩B）={x|x＜-2或x≥1}；故选：C．根据题意，先求出A∩B，进而由补集的定义计算可得答案．本题考查了集合的交集和补集计算，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵z==，∴=2+i，在复平面内对应点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简z，得到在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜4，执行循环体，k=1，S=2满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=此时，不满足条件k＜4，退出循环，输出S的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.答案：D解析：解：y由y=ax2可得x2=y，∴p=，∴-=-，∴=，∴a=2．故选：D．把抛物线方程化成标准形式后可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．5.答案：C解析：解：圆台的轴截面如图所示，S侧=π（R+r）2=16π，∴R+r=4，∴该圆台上、下两个底面圆的周长之和为：2π（R+r）=8π．故选：C．由S侧=π（R+r）2=16π，得到R+r=4，由此能求出该圆台上、下两个底面圆的周长之和．本题考查圆台的上、下两个底面圆的周长之和的求法，考查圆台的性质等基础知识，运算求解能力，是中档题．6.答案：A解析：解：∵1=ln e＜a=ln＜c=log=ln3，0＜b=（）＜（）0=1，∴a、b、c的大小关系为c＞a＞b．故选：A．利用指数函数、对数函数的性质直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：∵E为BC的中点，点F在CD上，且DF=2FC，连接AE，BF交于G点，如图所示，∴存在实数m，n使得，，∴====，==，∴，∴，∴=-故选：B．由条件可知存在实数m，n使得，，然后在三角形ADG和三角形DFG中分别表示，利用向量相等得到关于m，n的方程，解方程即可．本题考查了平面向量的加法运算，平面向量共线与相等，考查了方程思想，属中档题．8.答案：C解析：解：f（x）=sin3x+cos3x=2sin（），由f（x）=2sin（）=，得sin（3x+）=，则3x+=或3x+=，取k=0，得x=0或x=；取k=1，得x=或x=．∴相邻交点的距离最小值为，最大值为．故选：C．利用辅助角公式化积，求出f（x）=2sin（）=的根，则答案可求．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是基础题．9.答案：D解析：解：∵（b2+c2）=+3bc，∴整理可得：b2+c2-a2=bc，∴cos A===，可得：A=，∵=，可得：2sin C cos B-cos B=sin B，∴2sin（A+B）cos B=sin（B+），即：2sin（+B）cos B=sin（B+），∵B∈（0，），可得：B+∈（，π），sin（B+）≠0，∴解得：cos B=，∵B∈（0，π），∴B=，可得：C=π-A-B=．故选：D．由已知整理可得：b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cos A=，可得A=，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求2sin（+B）cos B=sin（B+），由sin（B+）≠0，解得：cos B=，结合范围B∈（0，π），可求B=，根据三角形的内角和定理可求C的值．本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．10.答案：C解析：解：如图，取SC的中点E，连结AC，BD，交于点F，连结EF，DE，则EF∥SA，则∠EFD为异面直线SA与DB所成角，设∠EFD=β，则在Rt△SDE中，DE=cos，∴cosβ==sin2，90°≤θ≤180°，∴45°≤，∴，∴，∴0＜．故选：C．取SC的中点E，连结AC，BD，交于点F，连结EF，DE，则EF∥SA，则∠EFD为异面直线SA与DB所成角，由此能求出异面直钱SA与DB所成角的取值范围．本题考查角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：解：渐近线方程为y=±x，由于a≠b，可得△OAB为以∠OAB或∠OBA为直角的直角三角形，设A（m，-m），B（n，n），可得=（n-m，（n+m）），可得•=0或•=0，即有m（n-m）-m（n+m）=0，或n（n-m）+n（n+m）=0，化为=或=，即有则A，B两点横坐标的绝对值之比为||或||．故选：D．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得△OAB为以∠OAB或∠OBA为直角的直角三角形，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理可得所求值．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量数量积的性质：向量垂直的条件为数量积为0，考查化简运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：根据题意，函数f（x）=e x+e4-x=e x+，设t=e x，则y=t+，（t＞0）t=e x在R上为增函数，y=t+在（0，e2）上为减函数，在（e2，+∞）上为增函数，e x＜e2，则有x＜2，则f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，则B正确，A错误；又由f（x）=e x+e4-x，则f（4-x）=e4-x+e x，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，则C、D错误. 故选：B．根据题意，分析可得函数f（x）=e x+e4-x=e x+，设t=e x，则y=t+（t＞0）,由复合函数的单调性判定方法分析可得f（x）在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又由f（x）=e x+e4-x，则f （4-x）=e4-x+e x，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，据此分析选项可得答案．本题考查复合函数的单调性的判定，关键是掌握复合函数单调性的判断方法，属于基础题．13.答案：解析：解：∵f（x）=e x-t，f（2）=e，∴f（2）=e2-t=e，解得t=1，∴f（x）=e x-1，∴f（ln2）=e ln2-1=．故答案为：．推导出f（2）=e2-t=e，解得t=1，从而f（x）=e x-1，由此能求出f（ln2）的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：±1解析：解：由约束条件作出可行域如图，化z=-kx+y为y=kx+z，∵z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一，∴k=±1．故答案为：±1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图可得使z=-kx+y取得最小值的最优解不唯一的实数k的值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：+1解析：解：根据题意，直线x+2ay-4a-1=0变形可得a（2y-4）=-（x-1），则直线恒过定点（1，2），则M（1，2）；圆x2+y2+4x-6y+12=0，即（x+2）2+（y-3）2=1，其圆心为（-2，3），半径r=1，点M到圆心的距离d==，则点M到圆x2+y2+4x-6y+12=0上的点的距离的最大值为d+r=+1；故答案为：+1．根据题意，将直线方程变形分析可得M的坐标，由圆的方程分析可得圆心的坐标以及半径，结合点与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于基础题．16.答案：-1解析：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且f（1）=1，∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴f（2019）=f（3）=-f（1）=-1．故答案为：-1．推导出f（x+4）=-f（x+2）=f（x），从而f（x）是以4为周期的周期函数，进崦f（2019）=f（3）=-f（1），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：（1）a1=3，a n=3a n-1+2×3n，可得=+2令b n=，可得b n=b n-1+2，{b n}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）由b n==1+2（n-1）=2n-1，可得a n=（2n-1）•3n，前n项和S n=1•3+3•9+5•27+…+（2n-1）•3n，3S n=1•9+3•27+5•54+…+（2n-1）•3n+1，两式相减可得-2S n=3+2（9+27+…+3n）-（2n-1）•3n+1=3+2•-2n-1）•3n+1，化简可得S n=3+（n-1）•3n+1．解析：（1）对递推式两边除以3n，再由等差数列的定义，即可得到结论；（2）由等差数列的通项公式，可得a n=（2n-1）•3n，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：连接BD，在Rt△ABD中，==，在△SBD中，SB2+SD2=16+16=32=BD2，∴SD⊥SB，由已知∠ASD=90°，即SD⊥SA，∴SD⊥平面SAB，∴平面SCD⊥平面SAB；（2）解：由已知，SA=3，AB=，AB2+SA2=7+9=16=SB2，∴AB⊥SA，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴V A-EBD=V B-AED==．解析：（1）利用勾股定理去证SD⊥SB，再结合SD⊥SA可得SD⊥平面SAB，得证；（2）先证AB⊥平面SAD，进而把求A-EBD转化为求B-AED的体积，就容易了．此题考查了线面垂直，面面垂直，转化法求体积，难道适中．19.答案：解：（1）根据男生人数与女生人数的比为2000：1600=5：4，所以应抽查男生为×180=100（人），女生为180-100=80（人）；（2）由概率分布直方图，估计该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率为p=1×0.300+1×0.250+1×0.150+1×0.050=0.75=75%；（3）根据题意填写列联表如下，男生女生总计每周平均阅读时间不超过2小351045时每周平均阅读时间超过2小时6570135总计10080180计算统计量K2==12＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关”．解析：（1）根据男生人数与女生人数的比，计算应抽查的男生与女生人数；（2）由概率分布直方图计算该校学生每周平均课外阅读时间超过2小时的概率值；（3）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论．本题考查了频率分布直方图，以及列联表与独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）由已知2-2=4（-）得（||+||）（||-||）=4（||-||），∴||+||=4或||=||，∴曲线C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆或者直线y轴，∴曲线C的方程为+y2=1或x=0；（2）设QR：x=my交曲线C于Q（x1，y1），R（x2，y2）两点，联立方程组消去x得：（m2+4）y2=4，∴y1+y2=0，y1y2=-，∴|QR|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=，又设M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程组，MN：x=my-，消去x得（m2+4）y2-2my-1=0，y3+y4=，y3y4=，∴|MN|=|y3-y4|===，∴|QR|2=4|MN|．解析：（1）利用平方差公式分解因式以及椭圆的定义可得曲线C的轨迹是一个椭圆和y轴，由此可得到其方程；（2）分别联立QR和MN与椭圆的方程，求出弦长|QR|2和|MN|，比较可得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=2ax--1=，∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f′（1）=2a-2=0，解得a=1．此时可得：f′（x）==（x＞0），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．（2）证明：a≥3，f（x）=ax2-ln x-x≥3x2-ln x-x（x＞0），令g（x）=3x2-ln x-x（x＞0）．g′（x）=6x--1=（x＞0）．∴x=时，函数g（x）取得极小值，∴g（x）≥g（）=+ln2．∴f（x）≥．解析：（1）f′（x）=2ax--1=，根据x=1是f（x）的一个极值点，可得f′（1）=2a-2=0，解得a．即可得出函数f（x）的单调区间．（2）a≥3，f（x）=ax2-ln x-x≥3x2-ln x-x（x＞0），令g（x）=3x2-ln x-x（x＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）点A（，）在直线l：）=a上，∴a=，直线l的极坐标方程为ρcos（）=，∴ρcosθ+-=0⇒x+-=0．∴直线l的直角坐标方程为：．（2）圆（θ为参数）的直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1，圆心C（1，0），半径为1，圆心C到直线l的距离为d==，∴弦长为2=2=1．解析：（1）代入A的极坐标到l的极坐标方程可得a=，再根据互化公式可得l的直角坐标方程；（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：f（x）=|x-1|-|x+2|=，（1）当a=1时，由f（x）≥ax得，f（x）≥x，∴或或，∴x∈∅或或x＜-2，∴，∴不等式的解集为：{x|}，（2）∵不等式f（x）≤ax对x≤1恒成立，∴当x＜-2时，f（x）=3≤ax恒成立，∴a≤恒成立，∵，∴a≤，当-2≤x≤1时，f（x）=-2x-1≤ax恒成立，即（2+a）x+1≥0恒成立，∴只需满足，∴，综上，a的取值范围为：[]解析：（1）去绝对值然后分别解不等式即可；（2）根据f（x）≤ax对x≤1恒成立，分x＜-2和-2≤x≤1两种情况分别考虑即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属中档题．。
安徽省江南十校2019届高三冲刺联考(二模)文科数学试卷
安徽省江南十校2019届高三冲刺联考（二模）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A、B，再验证各选择支结论是否成立.详解：由题意，，∴，只有C正确.点睛：集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合.本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键.2.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.点睛：本题考查复数的运算与复数的概念，只要乘法法则与共轭复数的概念就能正确求解，属于基础题.3.已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：把的长度为1用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得.详解：由题意，∴，∴，故选A.点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础.向量数量积的定义：；性质:，.4.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C分析：把化为同底数的幂，是对数化简后也可化为2的幂，这样由指数函数的性质可比较大小.详解：，，，∴，故选C.点睛：在幂和对数比较时，能化为同底数的，化为同底数的幂或对数，利用指数函数或对数函数性质比较，不能化为同底数的，或不同形式的数可与中间值比较，如与0或1比较，最后可得结论.5.下列命题中，真命题的个数是（）①已知直线：，：，则“”是“”的充要条件；②“若，则”的逆否命题为真命题；③命题“若，则”的否命题是“若，则，至少有一个不等于”；④命题：，，则：，.A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：对四个命题分别研究其真假，才能选出正确选项.详解：①直线，即或，因此题中应是充分不必要条件，①错误；②若，则，所以，是真命题，因此其逆否命题也是真命题，②正确；③正确；④是：，④错误.所以有两个命题正确，故选C.点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对每一个命题进行判断，这就要求掌握相应的知识方法并能灵活运用．6.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系．详解：∵，∴，即，又，∴，∴，∴．故选B．点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式．基本量法的两个公式：，．7.已知实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：作出可行域，由的几何意义求解．详解：作出可行域，如图阴影部分（含边界），，其中表示可行域内的点与定点连线的斜率，由得，设切点为，则切线，解得，，即切点为，这P点的切线斜率为1，即的最大值为1，∴的最大值为1+1=2．故选B．点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．8.已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出函数单调递减时的范围，由几何概型概率公式可得．详解：由题意，在时，恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，∴，从而，∴所求概率为．故选．点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图还原出原几何体，再计算体积．详解：由三视图．原几何体是四面体，如图，它是由长宽高分别为5，4，3的长方体截出的，其体积为．故选A．点睛：由三视图还原几何体时，首先要掌握基本几何体的三视图，其次对多面体来讲，可先画一个长方体（或正方体），然后在长方体（或正方体）上取点连线，想象其三视图，用这种方法可以很方便地得出原几何体．10.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，建立的边长之间的关系，再转化为离心率之间的关系，然后由基本不等式求得最大值．详解：设，∵，∴，一方面，另一方面，∴，，，，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴所求最大值为．故选D．点睛：对已知焦点三角形的椭圆（双曲线）一般可利用其定义建立离心率与边长之间的关系，从而求出离心率的范围或最值，而本题共焦点的椭圆与双曲线问题，可通过共顶点的焦点三角形利用它们的定义建立离心率之间的关系，再利用基本不等式求得最大值．11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟程序运行，观察运行中变量的值，可得结论．详解：由程序框图知．故选B ．点睛：本题考查程序框图，由程序框图观察出程序的功能，从而得出结论，对这个式子可利用二倍角公式求值，看作分母为1的分式，然后分子分母同乘以，然后由正弦的二倍角化简求值． 12.在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 分析：由得B 角是钝角，由等差中项定义得A 为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围． 详解：∵是和的等差中项，∴，∴， 又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B ．点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B 角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.下表提供了某学生做题数量（道）与做题时间（分钟）的几组对应数据：（道）（分钟）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值等于__________．【答案】【解析】分析：求出，代入回归方程可得．详解：由题意，同理，∴，．故答案为6．点睛：本题考查回归直线方程，解题时掌握其性质即可：回归直线一定过点．本题属于基础题．14.已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为__________．【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，然后求出过一个焦点且与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程求得交点M的坐标，从而可得三角形面积．详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．故答案为．点睛：本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，解题方法是解析几何的最基本方法，依次求出平行直线方程，由直线与双曲线方程联立方程组求得交点坐标，最终得三角形面积．因此本题还考查了学生的运算求解能力，属于基础题． 15.已知为坐标原点，动点满足，、，则的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：设P 点坐标为，，求出模，再由三角函数知识可得最小值．详解：由题意设P 点坐标为，则==，其中为锐角．易知的最小值为，，∴的最小值不． 点睛：点P 满足，则P 点轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，圆的点可利用参数方程表示为，实际是椭圆上的点也可这样表示：椭圆方程为，则有．利用这种换元法可把问题转化为求三角函数的最值，题中只要结合辅助角公式易得最值． 16.已知函数的定义域是，（为小于的常数），设且，若的最小值大于，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】分析：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系，这可理解为上的点与曲线上的点，满足，然后要求的最小值，通过平行直线到与曲线相切可得最小值．详解：由题意得，∴．设，则，设斜率为-2的直线与的图象相切于，则，，当时，，，∴，解得．故答案为．点睛：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系，从而再表示出为一元函数，再用导数求函数的最小值即可：由题中解法得，所以，设，则，由得，可以验证此是最小值点，从而，以下同题中解法．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由和代入已知求出，根据基本量法可求得的通项公式；（2）利用分组求和法与裂项相消法求得，知是递增的，从而易证得结论．详解：（1），当时，，当时，，又∵是等差数列，∴，∴；（2）.∴.当且逐渐增大时，增大. ∴.点睛：常用数列求和方法：（1）公式法：数列是等差数列或等比数列时，直接应用公式求和； （2）分组求和法：设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和用分组求和法求和． （3）设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和求法用错位相减法．（4）设数列是等差数列，则的前项和用裂项相消法求和．18.距离年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取人，再从被抽取的人中随机抽取人，求这两人中有女生的概率.附：，.【答案】（1）有关（2）【解析】分析：（1）根据所给公式计算出后可得结论；（2）把抽取的3男4 女编号，然后可用列举法写出所有基本事件，同时得出满足条件的基本事件个数，由概率公式计算出概率．详解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关，∴在犯错误的概率不超过的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关；（2）男生、女生分别抽取人，人.记为，，，，，，.基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.满足条件的有：，，，，，，，，，，，，，，，，，.∴.点睛：本题考查独立性检验和古典概型概率公式，独立性检验只要计算出根据公式计算出，比较后可得结论，考查的是计算能力，古典概型概率一般用列举法写出所有的基本事件，同时得出满足条件的基本事件，再根据概率公式计算，只是在写基本事件时要注意不重不漏．19.如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）要证线线垂直，可先证线面垂直，为此取AB中点H，可证AB⊥平面CDH，从而得证线线垂直；（2）面积是确定的，因此要使体积最大，则要高最大，即D到平面ABC的距离最大，注意到是固定的，因此只要平面DAB⊥平面ABC，则体积最大．详解：（1）证明：取的中点，连接，，；（2）解：，∴若最大，则最大.∴平面平面.此时.点睛：本题考查线面垂直的判定与性质，证明时要确定定理需要的条件都满足，才能确定结论，这也是立体几何中证明题需要注意的．20.如图所示，已知抛物线的焦点为，是抛物线上第一象限的点，直线与抛物线相切于点.（1）过作垂直于抛物线的准线于点，连接，求证：直线平分；（2）若，过点且与垂直的直线交抛物线于另一点，分别交轴、轴于、两点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）根据抛物线的性质，MH=MF，因此要证切线平分，只要证直线垂直于HF即可，为此可设，可由导数的几何意义求得切线斜率，由斜率乘积为-1可证两直线垂直；（2）设，由（1）可得直线AB的斜率，从而得直线方程，可求得A,B两点的坐标，由直线AB方程与抛物线方程联立可求得Q点坐标，由计算即得结论．详解：（1）证明：设则，直线的斜率，由得，，∴直线的斜率，∴，∴.又由抛物线定义，∴平分；（2）解：当时，，的方程：，∴，.∴，由，∴，∴，∴.点睛：在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离及点到准线距离时，要利用抛物线的定义，由抛物线的定义本题证明直线平分转化为证明直线与垂直，这由直线斜率乘积可证．另外抛物线方程为时，可设抛物线上点的坐标为，抛物线问题就转化计算，可减少思维量与计算量．21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：当时，【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）(3)见解析【解析】分析：（1）求出导函数，由可确定增区间，由可确定减区间；（2）即为，即，因此只要求得的最大值即可；（3）不等式可变形为，只要分别证明，，其中，即能证明题设不等式．详解：（1）的定义域为，且.由，∴在单调递增，在单调递减；（2）解：，，∴，令，∴，由，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴；（3）证明：等价于.令，则，令则，∵，∴，∴在单调递增，，，∴在单调递增，∴，∴，令，则，∵，∴，∴，在单调递减，∴当时，，∴，即.点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．（2）用导数证明不等式，一种方法是证明，为此只要求得的最小值，这个最小值大于0；另一种方法是求得的最小值，再求得的最大值，由得证．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，直线和曲线相交于，两点，求.【答案】（1），；（2）44【解析】分析：（1）由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，用代入消元法可消去参数得曲线的普通方程．（2）由于P点在直线，因此可求得的标准参数方程（为参数），代入抛物线的普通方程，利用可得结论．详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，∴，∴.点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数，不等式恒成立.（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；（2）不等式为，利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．详解：（1）设，则有，根据函数的单调性有.即的取值范围；（2）当时，，∴，当时，原不等式，，∴；当时，原不等式，，∴，∴原不等式解集为.点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．本题也可利用绝对值的性质求解，如第（1）小题中，第（2）小题由得，解之可得．。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 12.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B3.若,R ，则“”是“sinsin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D.31325.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.121313 B. 81313 C. 91313D. 13 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A.19 B. 19 C. 459 D.4598.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122 9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 610.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOAOB ，则·的最大值为__________． 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC且,,a b c 成等差数列，求b .18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x .（1）当3a时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i的结果为（ ） A. i B.i C. -1 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意1i 1i 1i 2i i 1i1i 1i2，201820162450422i i i i 1.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1kkkk.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数. 2.已知集合{|1}A x x ，{|21}x B x ，则有（ ）A. {|10}A B x xB. A B RC. 1A Bx x D. A B【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误. 【详解】由1x解得11x ，故集合1,1A ，由0212x 解得0x ，故集合,0B.故1,0A B ，A 选项正确，D 选项错误，,1A B，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即f xa f x a 或f x a ，f x a a f x a .指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R ，则“”是“sin sin”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“sinsin ”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果pq ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行pq 和q p 各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】 运行程序，当5i时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i ，21,2x x i，判断否，221143,3x x x i ，判断否，243187,4x x x i ，判断否，28711615,5x x x i ，判断是，退出循环.依题意可知16150x ，解得1516x.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题. 5.在递增等比数列n a 中，1510a a ，34a ，则19a （ ）A. 192B. 202C. 92D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值. 【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ，故91829101912222a a q q ，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题. 6.已知直线1:360l mx y ，2:43120l x my ，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）A.13B. 13C. 13D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于3340mm ，解得2m ，当2m 时，两直线方程都是2360x y 故两直线重合，不符合题意.当2m时，1:2360l x y ，2:2360l x y ，故两平66121313.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题. 7.已知2sin()43，则sin 2（ ）A. 19B.19C.459D.459【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意π22sin sin cos423，两边平方得141sin229，解得1sin29.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（）A. 3466B. 52C. 3493D. 34122【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242.222222，224442，224225，为等腰梯形，故高为22422225322，故面积为224232182.故表面积为10241852，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a b Cc B ，则B （ ）A.23 B. 3 C.4 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cos 3sin sin AB C C B ，即sin sin cos 3sin sin B C B C C B ，即sin cos cos sin sin cos 3sin sin B C B CB CC B cos B B ，故3tan 3B，故π6B.所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C yx，2:cos C y x ，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6个单位B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x ，然后再向右平移12个单位，得到πππsin 2sin 21223xx.故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y ，则下列说法正确的是（ ）A. 32yx B. 32y x C. 23x y D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】 令23xyz ，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项. 【详解】令23xyz ，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z，3313ln log ,33log ln 3z yz y z.由于,x y 为负实数，故01z ，所以ln 0z .由于66113228,39，所以113223，所以11320ln 2ln 3，所以112311ln 2ln 3，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z ，即23xy .故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)上的偶函数()f x 的导函数，且()02f ，当(0,)x 时，不等式'()sin ()cos 0f x xf x x 恒成立，若2()6a f ，2()6b f ，2()4c f ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. ca b B. b a c C. a c b D. b c a【答案】D 【解析】 【分析】构造函数sin f x F xx，根据函数f x 的奇偶性求得F x 的奇偶性，再根据函数F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数sin f x F xx，由于f x 是偶函数，故F x是奇函数.由于2sin cos 0sin f x x f x xF xx，故函数F x 在0,π上递增.由于ππ0,022fF，故当π0,2x 时，0F x ，当π,π2x时，0F x .所以πππ60π66sin6faFF，πππ620π66sin 6fb fF，πππ420π44sin 4fc fF，根据F x 单调性有ππ46FF.故πππ0646F FF，即a c b ，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥DABC 的体积为__________．25【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥DABC 的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，225ACAD CD ，设直角三角形ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD ，解得25h，故三棱锥的体积为1132DABCV AB BC h 112252132155. 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件221x y x y ，则32z x y 的最小值为__________．【答案】13【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z ，由点到直线的距离公式得221132z z ，13z（取负值），即z 的最小值为13.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，222x a y br 表示的是圆心为,a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32zx y ，由于23y x z ，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ，半径为2，C 是其弧上一点，若OCOA OB ，则·的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC ，这是一个正交的基底，故22222444OAOBOC，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知22222444OA OB OC ，即221，故22122，当且仅当22时，等号成立.故的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得2a bab这个基本的形式，还要注意它的变形22222a b a b ab . 16.已知定义在(1,)的两个函数2()ef x mx和()ln g x x （e 是自然对数的底），若在()()1f x g x 的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e 【解析】 【分析】化简不等式1f xg x ，变为2eln ln 1x m x x ，即左边函数ln y m x 在右边函数2eln 1xy x图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2eln 1xy x的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式1f x g x ，得2eln ln 1x m x x ，构造函数ln h x m x 和2eln 1xy x ，m 需要满足ln h xm x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112ex x xx，故函数2eln 1xn x x在1,e 上递减，在e,上递增，且当ex 时，函数值小于零.当0m时，ln h xm x 在1,上递增，画出图像如下图所示，由图可知ln h x m x 图像在2eln 1xn xx图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m 时，显然不符合题意.当0m 时，画出图像如下图所示，由图可知223344h n h n h n ，即2eln 2ln 2122eln 3ln 3132eln 4ln 414m m m ，解得121ee ln 33ln 42m.即m 的取值范围是121ee,ln 33ln 42. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的1f x g x，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x ，(3cos ,1)n x ，函数()?f x m n 且()1f B .（1）求角B 的值； （2）若23BA BC 且,,a b c 成等差数列，求b . 【答案】（1）3B ；（2）2【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简f x 的表达式，利用1f B 求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值. 【详解】（1）·23sin cos cos2f x m n x x x3sin2cos2x x整理得：2sin 26f x x，∵1f B，∴2sin 216B1sin 262B， ∵0,B，∴3B；（2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c ，由余弦定理得：222a c ac b ，由23BA BC，得：2212a c ac ，三个等式联立解得：2b .【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题. 18.若数列n a 的前n 项和n S ，且2n S n n ，等比数列n b 的前n 项和n T ，且2n nT m .（1）求n a 和n b 的通项； （2）求数列·n n a b 的前n 项和. 【答案】（1）2n a n *nN ；12n nb (2)121?2n n【解析】 【分析】 （1）利用11,1,2nn n S n a S S n ，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2nS n n ，得：22111nS n n n n ，122nn n a S S n n∵211112a S 符合公式，2na n *n N同理：由2n n T m ，推得：122n n b n ，12b m∵n b 是等比数列，∴11b1m12n nb（2）设··2n n n nc a b n ，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n∴234121222321?2?2n n nQ n n两式相减得：2312222?2nn n Q n∴121?2n nQ n 另解：∵1·21?22?2nn n n c n n n ，∴21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n nQ n n121?2n n【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2nn n S n a S S n 来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点(1,0)A ，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x 或3410x y 【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点,P x y ，则2PA PB ，2222122x y x y ，化简得：2234x y所以动点P 的轨迹E 是以3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设:11l y k x 是圆E 的切线，则有：1324k k，当k 不存在时，:1l x 恰好与圆E 切于1,0点， 综合得：切线方程为：1x 或3410x y .【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为,x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax （a 为常数，a R ）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a 上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a 三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵2'11f x x a x ax x a ，所以，当1a 时，2'10f xx ，f x 递增区间为,；当1a 时，'10f x x x a x a 或1x ，∴f x 递增区间为,1和,a ；当1a 时，'10f x x x a 1x 或x a ，∴f x 递增区间为,a 和1,；（2）∵312a a ， ∴1a ， 当1a 时，'10f xx x a 1a x ，即f x 的递减区间为,1a ， ∴31,2,1a a a3121a aa12a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC 为直角，060A，DEF 为直角，045D ，且BC DF ，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EMBC ；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中AB a ，三棱锥A BEC 的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC 平面MNE ，证得直线BC BM .（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB 平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ，//MN AB ，∴MN BC ，∵BE EC ，BE EC ，BN CN ，∴EN BC∵MN EN N ，∴BC 平面MNE ，故ME BC ；（2）此时三棱锥A BEC 时鳖臑∵AB a 3BC a ，62BE CE a 234BEC S a 又三棱锥的体积314V a 高h a ，所以AB 平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC 中，,,ABC ABE BEC 显然是直角，∵CE BE ，CE AB ，AB EB B CE 平面ABECE AE AEC 也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x . （1）当3a 时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x 在(1,)上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y ；（2）1[,)2a 【解析】【分析】 （1）当3a 时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a aa 三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）331ln 1af x x x x '15f ， ∵10f ，∴所求切线方程为51y x ，即所求切线方程是550xy ； （2）11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x若0a ，∵1'0x f x f x 单调递减， ∵10f 在1,上，0f x ，不合题意；若0a ，由1'ln 1a x f xa x x 21''a x f x x ， ∵1''0'x f x f x 单调递增， 由于'121f a ， 那么，102a 时，'1210f a ， 11'110a a f e a ae则101,a x e ，0'0f x那么在01,x 上，'0f x，f x 单调递减， ∵10f ，∴在01,x 上，0f x ，不合题意； 若12a ，1''0'x f xf x 单调递增， '1210'0f a f x f x 单调递增，∵10f ，∴1x ，0f x，符合题意. 综合上述得：1,2a. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.。
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题
安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数的除法运算，化简1i1i+-，然后再利用i n 的周期性求得最终化简的结果. 【详解】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+?====-.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是i n 是一个周期出现的量，12345i i,i 1,i i,i 1,i i,==-=-==以此类推4142434i i,i 1,i i,i 1k k k k +++==-=-=.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ） A. {|10}A B x x ?-<< B. A B R ? C. {}1A Bx x ? D. A B f ?【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合A 中x 的范围，解指数不等式求得集合B 中x 的范围，再根据选项逐一判断正误.【详解】由1x <解得11x -<<，故集合()1,1A =-，由0212x <=解得0x <，故集合(),0B =-?.故()1,0A B?-，A 选项正确，D 选项错误，(),1A B ?-?，故B,C 选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即()()f x a f x a >?-或()f x a >，()()f x a a f x a <?<<.指数不等式的解法主要是化为同底来计算. 3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等——由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如sin 60sin120=；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果p q Þ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；否则，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行p q Þ和q p Þ各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件. 4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A.1516 B. 34 C. 78 D. 3132【答案】A 【解析】 【分析】运行程序，当5i =时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的x 的值.【详解】运行程序，输入x ，1i =，21,2x x i =-=，判断否，()221143,3x x x i =--=-=，判断否，()243187,4x x x i =--=-=，判断否，()28711615,5x x x i =--=-=，判断是，退出循环.依题意可知16150x -=，解得1516x =.故选A. 【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ） A. 192 B. 202 C. 92 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组求得1,a q 的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=ïí=ïî，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==??，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得m 的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离. 【详解】由于两条直线平行，属于()()3340m m ?--?，解得2m =?，当2m =时，两直线方程都是2360x y -+=故两直线重合，不符合题意.当2m =-时，1:2360l x y +-=，2:2360l x y ++==.故选A. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ）A.19 B. 19- C. 9 D. 9- 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意)π2sin sin cos 423a a a 骣琪+=+=琪桫，两边平方得()141sin 229a +=，解得1sin 29a =-. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+34+34+【答案】B 【解析】 【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.5个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为1122441022创+创=.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为2424242+创=.右侧梯形上底为=，下底为=，腰长为=，为等腰梯形，故高为22=，故面积为()182?.故表面积为10241852++=，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在ABC D中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A.23p B. 3p C. 4p D. 6p【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得B 的大小. 【详解】由正弦定理得sin sin cossin A B C C B =，即()s i n s i c o s 3s i ns i nB C B C B +=，即s inc oBCB C +=+，化简得cos B B =，故t a n 3B =，故π6B =.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ） A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p个单位C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p个单位D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p个单位【答案】D 【解析】 【分析】先将2C 转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意πcos sin 2y x x 骣琪==+琪桫，横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变）得到πsin 22x 骣琪+琪桫，然后再向右平移12p 个单位，得到πππsin 2sin 21223x x 轾骣骣犏琪琪-+=+琪琪犏桫桫臌.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题. 11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ） A. 32y x = B. 32y x < C. 23x y < D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】令23x y z ==，指数式化为对数式，用z 来表示,x y ，然后利用换底公式比较2x 和3y 的大小，由此得出正确选项.【详解】令23x y z ==，则2212ln log ,22log ln 2z x z x z ===，3313ln log ,33log ln 3z y z y z ===.由于,x y 为负实数，故01z <<，所以ln 0z <.由于66113228,39骣骣琪琪==琪琪桫桫，所以113223<，所以11320ln 2ln 3<<，所以112311ln 2ln 3>，两边乘以ln z 得1123ln ln ln 2ln 3z z <，即23x y <.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p=，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. b a c <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()sin f x F x x=，根据函数()f x 的奇偶性求得()F x 的奇偶性，再根据函数()F x 的导数确定单调性，由此比较,,a b c 三个数的大小.【详解】构造函数()()sin f x F x x=，由于()f x 是偶函数，故()F x 是奇函数.由于()()()2s i n c o s 0s i n f x x f x xF x x-=¢>¢，故函数()F x 在()0,π上递增.由于ππ0,022f F 骣骣琪琪==琪琪桫桫，故当π0,2x 骣琪Î琪桫时，()0F x >，当π,π2x 骣琪Î琪桫时，()0F x <.所以πππ60π66sin 6f a F F 骣??琪骣骣桫琪琪==-=->琪琪骣桫桫??琪桫，πππ620π66sin 6f b f F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，πππ40π44sin 4f c F 骣琪琪骣骣桫琪琪===<琪琪桫桫，根据()F x 单调性有ππ46F F 骣骣琪琪>琪琪桫桫.故πππ0646F F F 骣骣骣琪琪琪->>>琪琪琪桫桫桫，即a c b >>，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【答案】15【解析】 【分析】利用等面积法求得直角三角形ACD 的边AC 上的高，也即三棱锥D ABC -的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，AC ACD 的边AC 上的高为h ，根据等面积有1122AC h AD CD 鬃=鬃，解得h =，故三棱锥的体积为1132D ABC V AB BC h -=创创112132=创创=【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】- 【解析】 【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，z 取得最小值，此时直线方程为320x y z --=，1=，z =负值），即z的最小值为-.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，()()222x ay b r -+-?表示的是圆心为(),a b ，半径为r 的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数32z x y =-，由于23y x z =-，当直线截距最大时，z 取得最小值，这个在解题过程中要特别注意. 15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB l m =+，则·l m 的最大值为__________． 【答案】12【解析】 【分析】以,OA OB 为基底，表示OC，这是一个正交的基底，故()()22222444OA OBOC l m l m +=+==，再由基本不等式求得l m ×的最大值.【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交的基底，表示OC ，根据图像可知()()22222444OA OB OC l m l m +=+==，即221l m +=，故22122l m l m +祝=，当且仅当2l m ==时，等号成立.故l m ×的最大值为12.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得a b +?22222a ba b ab 骣++琪＃琪桫. 16.已知定义在(1,)+?的两个函数2()ef x m x=+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________．【答案】121(,]ln 33ln 42e e --【解析】 【分析】化简不等式()()1f x g x?，变为2e ln ln 1xm x x>-，即左边函数ln y m x =在右边函数2e ln 1x y x =-图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出2e ln 1xy x=-的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】化简不等式()()1f x g x?，得2e ln ln 1xm x x>-，构造函数()ln h x m x =和2e ln 1x y x =-，m 需要满足()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.'22eln ln 112e xx x x骣-琪-=?琪桫，故函数()2e ln 1x n x x =-在()1,e 上递减，在()e,+?上递增，且当e x >时，函数值小于零.当0m >时，()ln h x m x =在()1,+?上递增，画出图像如下图所示，由图可知()ln h x m x =图像在()2e ln 1xn x x=-图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当0m =时，显然不符合题意.当0m <时，画出图像如下图所示，由图可知()()()()()()223344h n h n h n ì>ïï>íï£ïî，即2e ln 2ln 2122e ln 3ln 3132e ln 4ln 414m m m ì>-ïïïï>-íïïï?ïî，解得121ee ln 33ln 42m -<?.即m 的取值范围是121e e,ln 33ln 42纟ç--úçú棼. 【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的()()1f x g x <，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =. （1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p=；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x + 整理得：()2sin 26f x x p骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p=； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=，由23BA BC +=2212a c ac ++=， 三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++- 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和. 【详解】（1）由2n S n n =+， 得：()()22111n S n n nn -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î 同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+ ∵{}n b 是等比数列， ∴11b = 1m?- 12n nb -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和， ∵123122232?2n n Q n =???+∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++-∴()121?2n n Q n +=+-另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---， ∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍. （1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程. 【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+= 【解析】 【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条. 【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，=化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆； （2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k=?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点， 综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足. 20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--，所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??；当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <，∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?；当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <，∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?；（2）∵312a a -<， ∴1a <， 当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1ax ?<，即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî12a?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题. 21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A?，DEF Ð为直角，045D ?，且BC DF =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）. （1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中A B a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形. 【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ， ∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =， ∴EN BC ^ ∵MN ENN ?，∴BC ^平面MNE ， 故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?，2BE CE a ==234BEC S a D ?又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角， ∵CE BE ^，CE AB ^，AB EBB CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题. 22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ?? 【解析】 【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-， 即所求切线方程是550x y --=；（2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x xx 骣+琪=+-=++-琪桫若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x+=+- ()()21''a x f x x-?，∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a af e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x =那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减， ∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增，∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.- 21 -。
2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省江南十校高三下学期联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则中的元素个数为（A）（B）____________________ （C）（D）2. 已知复数满足（为虚数单位），则（A）（B）（C）（D）3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为，则函数有两个不同零点的概率为（A）（B）（C）（D）4. 已知函数，则（A）（B）______________ （C）（D）5. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）6. 设，则下列说法错误的是（ A ）是奇函数___________________________________（B）在上单调递增（ C ）的值域为___________________________________（D）是周期函数7. 设满足约束条件则的最小值为（A）（B）（C）（D）8. 在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为（A）（B）（C）（D）9. 已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为（A）________________________ （B）（C）________________________ （D）10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（A）（B）（C）（D）11. 已知函数的最小正周期为，且，则的一个对称中心坐标是（A）（B）___________（C）（D）12. 已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）二、填空题13. 已知向量，，若，则实数=____________________ ．14. 在数列中，，为的前项和．若，则______________ ．15. 椭圆的右顶点为，是椭圆上一点，为坐标原点．已知，且，则椭圆的离心率为___________________________________ ．16. 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为___________________________________ ．三、解答题17. 如图，平面四边形中，，，，，，求（Ⅰ ）；（Ⅱ ）．18. 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．p19. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国 38 51 32 28 16 俄罗斯 24 23 27 32 26（Ⅰ ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ ）下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间变化的数据：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">时间x（届） 26 27 28 29 30 金牌数之和y（枚）16 44 76 127 165作出散点图如下：（ i ）由图可以看出，金牌数之和与时间之间存在线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；（ ii ）利用（ i ）中的回归方程，预测今年中国代表团获得的金牌数．参考数据：，，，附：对于一组数据，，……， ,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，21. 设函数．（ 1 ）当时，讨论的单调性；（ 2 ）当时，设在处取得最小值，求证：．22. 如图，过外一点作的两条切线，其中为切点，为的一条直径，连并延长交的延长线于点．（Ⅰ ）证明：；（Ⅱ）若 ,求的值．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，，圆的方程为（ 1 ）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；（ 2 ）已知为圆上的任意一点，求面积的最大值．24. 已知函数，记的解集为．（ 1 ）求；（ 2 ）已知 ,比较与的大小．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第22题【答案】。
2019届安徽省江南十校高三上学期第二次联考数学(文科)试题(word版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则化简20181()1i i+-的结果为（ ） A. i B. i - C. -1 D. 1【答案】C2.已知集合{|1}A x x =<，{|21}x B x =<，则有（ ）A. {|10}A B x x ?-<<B. A BR ? C. {}1A B x x ? D. A B f ? 【答案】A3.若,R a b Î，则“a b ¹”是“sin sin a b ¹”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】B4.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 值为（ ）A. 1516B. 34C. 78D. 3132【答案】A5.在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ）A. 192B. 202C. 92D. 1026.已知直线1:360l mx y -+=，2:43120l x my -+=，若12//l l ，则12,l l 之间的距离为（ ）【答案】A7.已知2sin()43p a +=，则sin 2a =（ ）A. 19B. 19-C. 9D. 9- 【答案】B8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. 34+34+34+【答案】B9.在ABC D 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin a b C B =，则B =（ ） A. 23p B. 3p C. 4p D. 6p 【答案】D 10.已知曲线1:sin(2)3C y x p=+，2:cos C y x =，要想由2C 得到1C ，下面结论正确的是（ ）A. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6p 个单位 B. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移12p 个单位 C. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移6p 个单位 D. 把2C 上各点的横坐标伸长为原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12p 个单位 【答案】D11.设,x y 为负实数且23x y =，则下列说法正确的是（ ）A. 32y x =B. 32y x <C. 23x y <D. 以上都不对【答案】C12.设'()f x 是定义在(,0)(0,)p p -?上的偶函数()f x 的导函数，且()02f p=，当(0,)x p Î时，不等式'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，若2()6a f p =--，2()6b f p =，()4c p ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. b a c << C. a c b << D. b c a <<【答案】D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，沿对角线AC 将其折成直二面角，连结BD ，则该三棱锥D ABC -的体积为__________．【答案】1514.设,x y 满足约束条件2210x y x y ì+?ïí-?ïî，则32z x y =-的最小值为__________．【答案】15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB?，半径为2，C 是其弧上一点，若OC OA OB l m =+，则·l m 的最大值为__________． 【答案】1216.已知定义在(1,)+?的两个函数2()e f x m x =+和()ln g x x =（e 是自然对数的底），若在()()1f x g x >的解集内有且只有两个整数，则实数m 的范围是__________． 【答案】121(,]ln 33ln 42e e -- 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC D 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(2sin ,cos 2)m x x =，(3cos ,1)n x =，函数()?f x m n =且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=且,,a b c 成等差数列，求b .【答案】（1）3B p =；（2）2 【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简()f x 的表达式，利用()1f B =求得B 的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得b 的值.【详解】（1）()·23sin cos cos2f x m n x x x ==+ cos2x x +整理得：()2sin 26f x x p 骣琪=+琪桫， ∵()1f B =， ∴2sin 216B p 骣琪+=琪桫 1sin 262B p 骣琪?=琪桫， ∵()0,B p Î，∴3B p =； （2）由,,a b c 成等差数列，得：2b a c =+， 由余弦定理得：222a c ac b +-=， 由23BA BC +=，得：2212a c ac ++=，三个等式联立解得：2b =.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n S n n =+，等比数列{}n b 的前n 项和n T ，且2n n T m =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项；（2）求数列{}·n n a b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n = ()*n N Î；12n n b -=(2)()121?2n n ++-【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，求得数列n a 的通项公式.同理也求得n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前n 项和.【详解】（1）由2n S n n =+，得：()()22111n S n n n n -=-+-=-，()122n n n a S S n n -=-=?∵211112a S ==+=符合公式，2n a n = ()*n N Î同理：由2n n T m =+，推得：()122n n b n -=?，12b m =+∵{}n b 是等比数列，∴11b = 1m ?- 12n n b -?（2）设··2n n n n c a b n ==，n Q 是其前n 项和，∵123122232?2n n Q n =???+ ∴()234121222321?2?2n n n Q n n +=???+-+两式相减得：2312222?2n n n Q n +-=++++- ∴()121?2n n Q n +=+- 另解：∵()()1·21?22?2n n n n c n n n +==---，∴()()()21324310?21?21?20?22?21?21?22?2n n n Q n n +=--+-+-++---()121?2n n +=+-【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a 得方法，考查错位相减求和法. 已知n S 求n a 得方法是利用11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî来求数列的通项公式.属于中档题. 19.已知两个定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 到点A 的距离是它到点B 距离的2倍.（1）求P 点的轨迹E ；（2）若过点(1,1)C 作轨迹E 的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）1x =或3410x y -+=【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹E 的方程.（2）由于轨迹E 是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点(),P x y ，则2PA PB =，= 化简得：()2234x y -+=所以动点P 的轨迹E 是以()3,0为圆心，以2为半径的圆；（2）设():11l y k x -=-是圆E 的切线，则有：324k =?， 当k 不存在时，:1l x =恰好与圆E 切于()1,0点，综合得：切线方程为：1x =或3410x y -+=.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为(),x y ，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数3211()32a f x x x ax +=-+（a 为常数，a R Î）. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在(31,2)a a -上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）对函数求导后，对a 分成1,1,1a a a >=<三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得a 的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()()()()2'11f x x a x a x x a =-++=--， 所以，当1a =时，()()2'10f x x =-?，()f x 递增区间为(),-??； 当1a >时，()()()'10f x x x a =--> x a ?或1x <， ∴()f x 递增区间为(),1-?和(),a +?； 当1a <时，()()()'10f x x x a =--> 1x ?或x a <， ∴()f x 递增区间为(),a -?和()1,+?； （2）∵312a a -<， ∴1a <，当1a <时，()()()'10f x x x a =--< 1a x ?<， 即()f x 的递减区间为(),1a ， ∴()()31,2,1a a a -? 3121a a a ì-?ïÞí£ïî 12a ?. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数为正数的区间，函数是单调递增的，在导数为负数的区间，函数是单调递减的.本小题属于中档题.21.一幅标准的三角板如图（1）中，ABC Ð为直角，060A ?，DEF Ð为直角，045D ?，且B C D F =，把BC 与DF 拼齐使两块三角板不共面，连结AE 如图（2）.（1）若M 是AC 的中点，求证：EM BC ^；（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中A B a =，三棱锥A BEC -的体积为314a ，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点N ，连接,MN EN ，通过证明直线BC ^平面MNE ，证得直线BC BM ^.（2）根据AB 的长度，求得,,BC BE CE 的长度，求得三角形BEC 的面积，利用体积公式后求得三棱锥的高为a ，由此证得AB ^平面BEC ，进而证得四个三角形都是直角三角形.【详解】（1）证明：设BC 中点为N ，连结,MN EN ，∵AB BC ^，//MN AB ，∴MN BC ^，∵BE EC ^，BE EC =，BN CN =，∴EN BC ^∵MN EN N ?，∴BC ^平面MNE ，故ME BC ^；（2）此时三棱锥A BEC -时鳖臑∵AB a = BC?，BE CE == 234BEC S a D ? 又三棱锥的体积314V a =?高h a =， 所以AB ^平面BEC ，那么，在三棱锥A BEC -中，,,ABC ABE BEC 行?显然是直角，∵CE BE ^，CE AB ^，AB EB B CE ?轣平面ABECE AE 轣 AEC 扌也是直角那么，该三棱锥的四个面都是直角三角形，所以它是鳖臑.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直的证明，考查新定义概念的理解和三棱锥的体积公式，以及线面垂直的证明，属于中档题.22.已知函数()(1)ln 1f x a x x x =+-+.（1）当3a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(1,)+?上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）550x y --=；（2）1[,)2a ??【解析】【分析】（1）当3a =时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对a 分成110,0,22a a a ?<?三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）()()331ln 1a f x x x x =?+-+ ()'15f ?，∵()10f =，∴所求切线方程为()51y x =-，即所求切线方程是550x y --=； （2）()()11'ln 1ln 11a x f x a x a x x x 骣+琪=+-=++-琪桫 若0a £，∵()()1'0x f x f x >??单调递减，∵()10f =?在()1,+?上，()0f x <，不合题意；若0a >，由()()1'ln 1a x f x a x x +=+- ()()21''a x f x x -?， ∵()()1''0'x f x f x >??单调递增，由于()'121f a =-， 那么，102a <<时，()'1210f a =-<， 11'110a a f e a ae -骣琪=++->琪桫则101,a x e 骣琪$?琪桫，()0'0f x =那么在()01,x 上，()'0f x <，()f x 单调递减，∵()10f =，∴在()01,x 上，()0f x <，不合题意； 若12a ³，()()1''0'x f x f x >??单调递增，()()()'1210'0f a f x f x =-侈侈单调递增， ∵()10f =，∴1x >，()0f x >，符合题意. 综合上述得：1,2a 轹÷??ê÷ê滕.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.- 11 -。
2019届安徽省江南十校高三冲刺联考(二模)试题 数学(文)(word版)
绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至 第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|-≥x x }，则C R (A∩B )=A. {2＜|-x x }B. {1|≥x x }C. {1x 2＜|≥-或x x }D. {x ＞＞2|或-≤x x }2.设ii z 2332+-=，复数2+z 位于复平面 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A.2B. 25C. 290941D. 1029 4. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为 A. 21- B. 21 C.-2 D.2 5. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A. π4B. π6C. π8D. π106. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 a ，b ，c 的大小关系为 A. c > a > b B. c > b > a C.b > a > c D.a > b > c7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则=DGA.AD AB 7154- B. AD AB 7476- C. AD AB 7275- D. AD AB 7173- 8. 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为A. 54,3ππB. 65,6ππC. 95,9ππD. 125,12ππ9.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B B A AC bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角C 为 A. 6π B. 65π C. 3π D. 32π 10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD 转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱SA 与DB 所成角的取值范围为 A. ]2,0(π B. ]6,0(π C. ]3,0(π D. ]2,6[ππ 11.已知双曲线方程12222=-by a x (a>0,b>0,a ≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A. ab b a 或 B. ||2222b a b a -+ C. 2222||b a b a +- D. ||2222b a b a -+或2222||b a b a +- 12. 已知函数x x e e x f -+=4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学(解析版)
江南十校2019届高三第二次大联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为虚数单位，若复数，，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】根据，从而得到复数的模的平方等于2，从而得到，利用复数的乘方运算，得到结果.【详解】由已知得：或-1，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的运算问题，涉及到的知识点有复数z与其共轭复数的乘积等于复数的模的平方，复数的乘法运算法则，熟练掌握基础知识是解题的关键.2.已知集合，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】利用对数式的真数大于零，得到函数的定义域，从而求得集合A和集合B，之后应用真包含关系，确定出是的充分不必要条件.【详解】依题意：，，，故选A.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有对数型函数的定义域的求解，充分必要条件的判断等，属于简单题目.3.下列四个命题中，错误的命题是（）A. 等比数列的公比为，若，则数列为递增数列B. “若，则”的逆命题为真C. 命题“，均有”的否定是：“，使得”D. 中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件【答案】A【解析】【分析】对选项逐个分析，可以判断得出四个选项正确与否，从而得出正确的结果.【详解】对于A项，当首项小于零时，若，可得数列为递减数列，所以A项错误；对于B项，所给命题的逆命题为：若，则，所以B项正确；对于C项，根据全称命题的否定形式，可知其为正确的，所以C项正确；对于D项，根据三角形中大边对大角，以及余弦函数在区间上是减函数，所以D项正确；故选A.【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有等比数列的单调性，不等式的性质，余弦函数的单调性，含有一个量词的命题的否定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据题中所给的条件，写出关于和的方程组，求解即可求得和的值，之后应用等差数列的通项公式写出.【详解】由已知条件得：，解得，，故，故选A.【点睛】该题考查的是有关等差数列的通项公式的问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的通项公式，属于简单题目.5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的几何体的三视图,可以得到该三棱锥的顶点都在以2,1,2为长、宽、高的长方体的顶点处，所以求出对应长方体的外接球的半径即可.【详解】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为，体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的体积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，长方体的外接球的半径，球的体积公式，属于中档题目.6.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据第一象限内的点在圆内,从而求得，根据直线的对称性，可知四边形是直线与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果.【详解】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.7.已知，则的值为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】首先利用正弦的差角公式对已知的式子进行化简，从而求得，之后直接利用两角和的正切函数化简求解即可.【详解】由，故，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有正弦函数的差角公式，同角三角函数关系式，正切的和角公式，属于简单题目.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出可行域，求出三角形区域的顶点坐标，代入比较得出最大值，即可得结果. 【详解】画出可行域如图，其中，，，故当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.9.如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，分别为的中点，给出以下结论：①平面；②平面；③平面与平面交线为，则；④平面。
2019届安徽省等六校高三第二次联考文科数学试卷【含答案及解析】
2019届安徽省等六校高三第二次联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（_________ ）A ．___________B ．___________C ．_________D ．2. 已知为虚数单位，复数满足，则（_________ ）A ． 1___________B ． -1___________C ．___________D ．3. 已知函数，若，则的值为（________ ）A ． -2___________B ． 2___________C ． -2或2___________D ．4. 在平行四边形中，，，，则（________ ）A ．___________B ．___________C ．___________D ．5. 在等差数列中，“ ”是“数列是单调递增数列”的（________ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 设由不等式表示的平面区域为，若直线平分的面积，则实数的值为（________ ）A ．_________B ．_________C ．_________D ．7. 如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积轴互相垂直的平面有（）对A ． 3___________B ． 4___________C ． 5___________D ． 68. 若抛物线（其中角为的一个内角）的准线过点，则的值为（________ ）A ．___________B ．___________C ．___________D ．9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是6，则输入的整数的可能值为（________ ）A ． 5______________B ． 6___________C ． 8___________D ． 1510. 在各项均为正数的等比数列中，成等差数列，，是数列的前项的和，则（________ ）A ． 1008_________B ． 2016___________C ． 2032___________D ． 403211. 已知点分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于的另外一点，且是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（________ ）A ．_________B ．_________C ．_________D ．12. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13. 函数的定义域为____________________ ．14. 若直线与直线平行，则____________________ ．15. 若是数列的前项和，且，则数列的最大项的值为____________________ ．16. 在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为____________________ ．三、解答题17. 已知函数．（1）试将函数化为的形式，并求该函数的对称中心；（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围．18. 当前《奔跑吧兄弟第三季》正在热播，某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄是否相关，在某市步行街随机抽取了110名成人进行调查，发现45岁及以上的被调查对象中有10人收看，有25人未收看；45岁以下的被调查对象中有50人收看，有25人未收看．（1）试根据题设数据完成下列列联表，并说明是否有99 ． 9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关；（2）采取分层抽样的方法从45岁及以上的被调查对象中抽取了7人。