一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

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第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20）归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

常系数线性微分方程组

et r1 ,e2t r2 ,e2t r3

0
e2t
et e2t
故通解为
et 0
x(t)
X (t)C

0
e2t
e2t 0

c1 c2

et e2t 4e2t c3
e2t
0

4e2t
1 c1 0 et
的特解是线性无关的.
dx Ax (1) dt
2009年6月
南京航空航天大学理学院数学系
20
说明1: 当A只有一个特征值时,则方程组（1）
必有n个形如
t
t2
x(t ) (r0 1! r1 2! r2

t n1 (n 1)!
rn1
)et
rj ( A E)rj1 j 1,2,...,n 1
假设n n矩阵A的特征值为1,2 , ,s;相应重数为
n1, n2 , , ns ,且n1 n2 ns n.
若属于i的线性无关特征向量个数<ni 如何确定常系数线性微分方程组(1)的ni个线性无关的特解？
2009年6月
南京航空航天大学理学院数学系
19
定理3.2 设i是矩阵A的ni重特征值，则 (1)解空间Ui {r U | ( A i E )ni r 0}的维数为ni;
故对应于1 1的全体特征向量为
kr 1
(k 0).
2009年6月
南京航空航天大学理学院数学系
16
当2 3 2时,解方程 A 2E x 0.
由
4 A 2E 0
1 0

常系数线性微分方程组的解法

A k ck ,
t c,
k!
k!

而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,

0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解特征方程为
det(
E

A)

1
2
1
4

2
6
9

0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E

A)

5
3
5
3

2

6

34

0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在

一阶常系数线性微分方程通解

一阶常系数线性微分方程通解
一阶线性微分方程可以写成y’+p(x)y=g(x)。

形如y’+p(x)y=q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，q(x)称为自由项。

一阶，指的是方程中关于y的导数是一阶导数。

线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y’的次数为0或1。

对于一阶齐次线性微分方程：
其吉龙德形式为：
其中c为常数，由函数的初始条件决定。

对于一阶非齐次线性微分方程：
其应齐次方程解为：
令c=u(x)，得
带入原方程得：
对u’(x)分数得u(x)并带进得其吉龙德形式为：
其中c为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项就是对应的齐次线性方程式（式2）的吉龙德，第二项不为齐次线性方程式（式1）的一个直和。

由此可知，一阶非齐次线性方程的吉龙德等同于对应的齐次线性方程的吉龙德与非齐次线性方程的一个直和之和。

一阶线性微分方程及其解法

一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。

解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。

本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。

分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。

它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。

例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。

然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。

最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。

当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。

同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。

然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。

一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。

当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。

这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。

接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。

常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。

当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。

其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。

4.2(1)常系数线性微分方程的解法详解

dt
t t0
易验证
d dt
( z1 (t )
z2 (t))
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
z2 (t)
z1(t)
dz2 (t) dt
如 z j (t) j (t) i j (t) j 1,2 t [a,b]，
dx dt
an x
0
…….(4.19)
x(m) ( ye1t )(m)
y( e m) 1t
1my(m1)e1t
m(m 1) 2!
y e 2 (m2) 1t 1
1m ye1t
L[ ye1t ]
e1t ( y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y) 0
P1(t) P2 (t)e(2 1)t Pm (t)e(m 1)t 0
微分 k1 次
[Pr (t)e(r 1)t ](k1)
[Pr(k1) (t)
k1(r
1
)
P(k1 r
1)
(t
)
(r
1)k
Pr
(t)]e(r
1 )t
Qr (t)e(r 1)t
(Qr (t)) (Pr (t))
Q2 (t)e(2 1)t Qm (t)e(m 1)t 0
及 v(t) 都是实函数。那么这个解的实部 U (t) 和虚部
V (t) 分别是方程
dnx dt n
a1
(t)
d n1 x dt n1
an1 (t)
dx dt

一阶线性微分方程组解析

第4章一阶线性微分方程组一内容提要1．基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1）的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。

如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。

满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。

令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

第四章42常系数线性微分方程的解法

k
从而，对应方程(4.19)变化为：
d x d x d x a1 n 1 an k k 0 n dt dt dt 显然，它有k个解： 1, t, t 2 , , t k 1 （线性无关）.
n
n 1
k
从而可得 : 特征方程(4.21)的k重零根对应着方程(4.19)的k个线性无关的解:1, t , t ,
3、复值解
d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x f (t ) n dt dt n n 1 d x d x a1 (t ) n1 an (t ) x 0 n dt dt
(4.1) (4.2)
1) 定义：定义于区间a t b上的实变量复值函数z (t ),
bn y )e1t L1[ y ]e 1t
于是，方程(4.19)化为
dny d n1 y L1[ y ] n b1 n1 dt dt
bn y 0,
(4.23)
其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 令y et , 代入L1[ y] 0得：
L1[ y] L1[et ] G()et 0,

e , te , t e ,, t
mt mt
2 mt
2t
2t
2 2t
k2 1 2t
e ; e ;

(4.26)
e , te , t e ,, t
km 1 mt
下面，我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基
本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可.（见P140）
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 , 从而(4.19)的通解为

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第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法 •二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念•四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法 •五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合 •六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组（3.8）的通解问题，归结到求其基本解组 •但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法•然而对于常系数线性齐次方程组AY （3.20）dx其中A 是n n 实常数矩阵，借助于线性代数中的约当Jordan ）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n 矩阵A ，恒存在非奇异的n n 矩阵T ，使矩阵T 」AT 成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换Y =TZ(3.21)其中 T =(t j )(i,j =1,2, ||),n), detT =0,将方程组(3.20)化为dZ-T 4ATZdx我们知道，约当标准型 T 4AT 的形式与矩阵A 的特征方程a11 一人a12川 amdet(A - 2-E)=a21+ +a 22 — hVF川 a2n4 4=0(3.22)a n1an2HI a nn -丸的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组 (3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论•(一)矩阵A 的特征根均是单根的情形设特征根为'i,'2,lH,'n,这时方程组(3.20)变为电］dx | dz 2dx+ +dZ n -dx _(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解r. t .r.Y(x)二 e" ?玄气I+」ni -T 」AT -'20严［乙(x) = 0 e 农Z 2(x)二 0 e 护川，Z n (x) =e'n x(i =12川,n)Z 2这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组(A- i E)T i =0所确定.容易看出，Y1(x),Y2(x),川,Y n(x)构成(3.20)的一个基本解组,它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = detT = 0 .于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根彼此互异，且人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则¥(x)二e ix T i,Y2(x) =e2工川|,Y n(x) =e%是方程组(3.20)的一个基本解组例1试求方程组化—x+5y-zdtdzx -dt的通解.解它的系数矩阵是3 -1 1A= -1 5 -13 -1 3_特征方程是3 _ 九_1det(A_ 丸E)= -1 5—九3 -1因为dxdty 3z1-1=03—扎a,b, c满足方程門-1 (A-人E) b = -1'cj J -13-1：］［：］=01丄cja「b c = 0* —a + 3b _ c =a-b +c = 0可得a - -c,b = 0.取一组非零解，例如令 c = -1，就有a = 1,b = 0,c = -1 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是■1 1-1］'1 10,丁2 =1 , 丁3 =_2〕T 一- 1J故方程组的通解是「x(t)［2t y(t) =Ge 'z(t) j ■11 -'11 1 |+C3e6t_2_1 J(二)常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dYdx归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设人,2=。

士护是一对共轭根，由定理(3.20)A是实的3.11，对应解是3 2-11 •36'；—36 = 0所以矩阵A的特征根为■ 1 = 2,乜=3,九3 = 6 .先求九1 = 2对应的特征向量■1 10 +c2e3t'-1jY(x)=e 〃T i ,场⑴“工其中壬兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组( 3.20)的实值解，这可由下述方法实现.定理3.12如果实系数线性齐次方程组有复值解Y(x) =U(x) iV(x)其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部M (X )证明因为Y(x) =U(x) • iV(x)是方程组(3.8)的解，所以jx) iV(x)卜叫© i 也x) dxdx dx三 A(x)[U (x) iV(x)]三 A(x)U(x) iA(x)V(x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dU^ =A(x)U(x) , dV ^=A(x)V(x) dx dx即U (x) ,V (x)都是方程组(3.8)的解证毕.定理3.13如果^(x),Y 2(x)^|,Y n (x)是区间(a,b)上的n 个线性无关的向量函数，d,b 2是两个不等于零的常数，则向量函数组dM(x) %(x)], b 2“(x)-Y 2(x)], Y 3(X ),川,Y n (x)(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.dY dx=A(x)YU (x)二U i (x)U 2(x) V(x)二V i (x)V 2(x)证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数C 1,C 2Jh ，C n，使得对区间(a,b)上的所有x 皆有Gb i [Y(x) +Y 2(x)] +C 2b 2【Y(x)-丫2(刃]+C30X )+ 川+ C"n (x)三0所以(Gb i +C 2b 2)丫(x) +(Gb i -C 2b 2)丫2(X )+。

3丫3(口+川 +Cn=(X )三 0因为丫(x),丫2(x)川IM(x)线性无关，从而C 1b 1 C 2b 2= 0, Gb| - C 2b 2=0, C 3= 0,1 |l ,C n= 0从上式可知，C 1b i = C 2b 2 =0，因为bi,b 2=0,故G=C 2=0•即所有常数G,C 2,IH,C n 都等于零，矛盾•证毕.由代数知识知,实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现•即，如果’=a ib 是特征根，则其共轭’二a-ib 也是特征根•由定理3.11，方程组(3.20)对应于’=a ib 的复值解形式是Y (x) (a -4b)^ (a"iib)x=e J 二 e= e (a ib)xt21Jn1it22■ ■it n2二 e ax(cosbx i sin bx)axt 11 it 12tn cosbx 讥 sin bxcosbx tn sin bxt 21cosbx —t 22sin bx axt 22cosbx +t 21sin bx• +ie * t n1cosbx -t n2sin bxt n2cosbx t n1sin bxt2t21it22n2这里T 1是对应于，二a ib 的特征向量•由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根「=a-ib 的解，记作Y 2(x)=由加工,T 2 .现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t 11 cosbx-112 sin bx ax t 21 cosbx —122 sin bx e:I I t n1 cosbx - t n2 sinbxt 12cosbx t 11 sinbx ax t 22 cosbx t 21 sin bx e :I I _t n2 cosbx t n1sin bx 由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2求解方程组dx一 =x _ y _ z dt解它的系数矩阵为1 —1 -1 A = 1 10 ■3 01 j特征方程是1—&-1 -1 det （ A — ）= 11 一九 0 31-丸即1Yi (x) Y2 (x)]1和丫1(x) - 丫2(x)]dz、dt=3x z（，一1）（2一2「5） =0 特征根为加=1,丸2,3 =1 ±2i先求'^1对应的特征向量为■01「= 1T」再求-1 2i所对应的特征向量T2.它应满足方程组］「2i -1(A—(1+2i) E )T2= 1 -2i'3 0_2ia - b - c = 0a -2bi =03a -2ci 二0用2i乘上述第一个方程两端，得4a -2bi -2ci =0a -2bi =03a - 2ci = 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和 •故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即a-2bi =0 3a -2ci =0L求它的一个非零解•不妨令a =2i,则b =1,c = 3.于是 2i 对应的解是一2门一2门「-2sin 2t ["2cos2t ]e (H2i )t1 =d (cos2t +i sin2t)1 t =ecos2t + ie tsin2t - 3一 i3 一13cos2t13sin2t 一故原方程组的通解为(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量 •然而，当矩阵 A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若 ■ i 是A 的k i重特征根，则由齐次线性方程组(A - i E )T i 二 0所决定的线性无关特征向量的个数i, 一般将小于或等于特征根、的重数k i .若i = k i ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与i K ，由线性代数的知识，此时也可以求出k i 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵 A 化成若当标准型「x(t)]一0〕 y(x) =C 1e t 1+C 2e t〕z(x)j.-l j]「2sin2t2cos 2t cos2t +C 3e t si n2t]3cos2t _] 3sin 2t _J 2+hqJm其中未标出符号的部分均为零无素，而「站1 0【J 严.彳 (i=12lH,m)\ 1此相同.Jm根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组•为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组 (3.20)的基本解组所应具有的结构•对于一般情形，其推导是相似的设方程组d Y =AY Dx中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换 Y =TZ 其中T = (t ij )(i, j =1,2,II 丨,5)且det T - 0 , 将方程组(3.26)化为d Z JZ(3.27)dx我们假定T -1AT 二是k i 阶约当块, 匕k 2川心=n,'I, '2,111, 'm 是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼于是，在变换 (3.21)下方程组(3.20)化成d Z dxJ 1I J 2(3.25)(3.26)■10 ■1「°■2 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组也、=上 1 z*i +Z2 dxdz2 dx dz3 (3.28 ), 人Z3 dxdz4一二’2Z4 - Z5dx dz5 (3.29 )在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得z^ = C3 x2C2x C12! 2 1Z2 =(C3x+C2)e"Z3 二C3e 1X同样对(3.29)可解得Z4 =(C5X C4)e'2xZ5 二C5e护这里G,C2,III,C5是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现乙，Z5,在(3.29)中不出现Z| , Z2 , Z3 •我们依次取G = 1,C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0 C i =0,C 2 =1,C 3 =C 4 =C 5 =0 C i = C 2 = 0, C 3 = 1, C^ = C 5 = 0 C i = C 2 = C 3 = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 C i = C 2 = C 3 = C 4 =0,C 5 =1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而是方程组(3.27)的一个解矩阵.又det Z (0) =i = 0 ,所以(3.3i)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵•而(3.30)是(3.27)的一个基本解组•现在把(3.30) 的每个解分别代入到线性变换 Y = TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，tie 巧 (t i -x + t d/t 2i e 沁住必+上2)e ixt“e 淤，Y 2 = (t 3i x + t 3)e" t 4i eZx(t4/+t 4)町ge 匕 1 i.(t si x+t 5)/lY i2! L Xxe ie'i x■0 1■ 0 1 00 0 ,Z 5 = 0 e"xe"-X x■ \xe 乱xe 2x 胁 ——e 0 0〕0 e 几2!J i X 0 0xeZ (X )= 0 00 0e0 0e» xe Zx0 0(3.3i)乙ix ix Z 3Z 4^x 2 +t i2X+t i3)e*x(》x 2 +t 22X +t 23)e^ =(|fx 2+t 32X+t 33)0(t^X 2U2X +t 43)e"[知2 +t 52X+t 53)0而且这五个解构成方程组的一个基本解组 •这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式Y (x) =[ Y I (X ), Y 2(X ), Y 3(X ),Y 4(X ), Y 5(X )]则显然有det Y (0) = T H 0.至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，、是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，巾 i (x)1P 2i ( X)Y i (x)= P 3i (x) e" =1,2,3P 4i ( X) '.P 5i (x) _|其中每个p ki (x)(i =1,2,3, k =1,2,3,4,5)是x 的至多二次多项式•因此(3.32)也可以写成如下形式(R 0R 1x R 2x 2)e 1X其中R 0, R 1, R 2都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，’2是(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R 3 R 4x)e 2X其中R 3, R 4也都是五维常向量◎叭f 「gx + tJeE] t 24*x住24%池5)代t 34e 护 ,丫5 = 住34%池5归护七44少(t 44X + t 45)"Xge 护-i i(3.32)，丫4最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若■ i是A的一个k i重特征根，则■ i所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于k，而且这些阶数的和恰好等于k i.这样，由以上分析我们得到定理3.14 设’1, '2川|,-m是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为匕*2川|,匕.那么，对于每一个'i，方程组(3.20)有K个形如Y i (x) = R (x)e", Y 2(x) = P2(x)e x J||, Y k (x) = (x)e“的线性无关解，这里向量P i(x)(i =1,2，川，kJ的每一个分量为x的次数不高于k i -1的多项式.取遍所有的i(i =1,2川l,m)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论弓I理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为打(i =1,2,川，m)，其重数分别是，匕山，lH,km(k「k2 • III • km二n),记n维常数列向量所组成的线性空间为V，贝y(1)V的子集合k -V j ={ R (A-\ E) j R= 0, R^V}是矩阵A的k j(j =1,2，川,m)维不变子空间，并且(2)V有直和分解V “1 二V^l :. V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组定理3.15 如果■ j是（3.20）的％重特征根，则方程组（3.20）有个％形如k：jY（x）=（R 0 R 必 ||| R k j jx ）e （3.33）的线性无关解，其中向量R o, RR叫」由矩阵方程（A —対E）R o = R1（A -砂）R, =2R2（3.34）（A-1：E ）R kj—1）R 甘’A-対E）j R o=O所确定•取遍所有的‘（j =1,2,|H，m），则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若■ j是（3.20）的$重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20 ）有[R1 2R2^1! （k j -1）R k j」x kj pe'jX-j（R0 RR k j」x k j—1）e'jX=A（R0 R必H「R k j」x kj」）e'jx消去e j X，比较等式两端x的同次幕的系数（向量），有f（A - 対E）R 0 = R1（A -坷E）R 1=2R2弋iiiinHim （ 3.35）（A-》「j E ）R —=（k j-1）R —（A-?3 E ）R — = 0注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出R 0，再依次利用矩阵乘法求出R 1,RR 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的j (j =1,2,III ，m)，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解•记这n 个解构成的解矩阵为 Y (x)，显然，Y (0) 是由(3.34)最下面的方程求出的 n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵Y (0)中的各列构成了 n 维线性空间V 的一组基，因此det Y (0) = 0，于是Y (x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组dx解系数矩阵为特征方程为(■ -2)(' 1)2 =o特征根为’1 =2,鼻=I = -1.其中=2对应的解是F 面求’2二‘3二T 所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如Y 1(x)二二丫2 丫32xY (x) =( R o R i x)e-并且R o , R i 满足(A+E )R o 二 R i (A + E )2R o=O由于1 1 13 3 3 (A + E )=1 1 1 , (A + E )2 =3 3 3.1 1 1_Q 3 3一那么由(A + E )2R 0=0可解出两个线性无关向量最后得到通解例4求解方程组将上述两个向量分别代入(A + E )R 0= R 1中，均得到R 1为零向量.于是' 2 = ' 3 = -1对应的两个线性无关解是■-11Y 2(X )= 1 e〕0」-XY 3(x) = f eJ j-X2x Y (x) =Ge 1 +C 2e2x-X1 |+C3ej]I 0J j3 1 -1A =-1 2 1 .111 一特征方程为仏-2) =0 ,有三重特征根人,2,3 =2由定理3.15，可设其解形如2 2 xY (x) =(R o R 必 R 2X )eR o > R 1 >R 2满足方程组1( A - 2 E ) R o 二 R 12(A- 2E ) R 广 R 23(A - 2E ) R o 二0由于-j 1 -11[-1 0 1 ][0 0 0l(A — 2E)= -1 0 1,(A — 2E )2 =0 0 0 3,(A — 2 E)= 0 0 01 1一1 一iT 0 LL0 0 0一故R 0可分别取「010 ■1j解系数矩阵是dy 1小-=3力 y 2 -丫3 dxdx -_y i2y 2 y3dy 3y i y 2 y 3dxo]， [0〕，再将它们依次代入上面的方程，相应地求得R1为］匸2二一■01丁21^2一于是，可得原方程组三个线性无关解一们11一20+-1x +0i。