高中数学必修五课件：1.2 应用举例(距离)(共21张PPT)
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「精品」高中数学1.2.1距离问题课件新人教A版必修5-精品资料
距离问题的处理方法 剖析:(1)测量从一个可到达的点 A 到一个不可到达的点 B 之间的距离
问题.如图所示.
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正弦定 理就可解决.
(2)测量两个不可到达的点 A,B 之间的距离问题.如图所示.
首先把求不可到达的两点 A,B 之间的距离转化为应用余弦定理求三 角形的边长问题,然后把求 B,C 和 A,C 的距离问题转化为测量可到达的一 点与不可到达的一点之间的距离问题.
= 202 + 102-2 × 20 × 10������������������120°=10 7. 答案:D
2.在△ABC 中,a=1,cos A=13,sin B=25,则 b= 解析:∵cos A=13>0,∴0<A<���2���,
∴sin A=
1-������������ ������ 2 A
∴∠DAC=60°.∴AD=CD= 23a.
在△BCD 中,∠DBC=180°-30°-105°=45°,
∵ BD
������������������∠BCD
=
������������������C∠DDBC,
∴BD=CD·������������������������������������∠∠BDCBDC =
C.38
D.34
答案:C
1
2
3
2.余弦定理 (1)定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即:在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos
A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
2020版数学人教A版必修5课件：1.2 应用举例 .pdf
1.2 应用举例
知识1：基线的概念
线段
基线长度精确度
高
：测量中的有关概念知识2
水平面
水平宽度
目标
垂直
类型1：求两点间可视但不可到达的距离问题
类型2：求两点均不可到达的距离问题
类型3：求底部不可到达的物体的高度问题
课堂小结：
1．解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题中的条件和所求转
换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际
问题的解．
2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题要依以下步骤进行(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽
可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理有序地解这些三角形，
求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际问题，从而得出
实际问题的解．
【答案】B
【答案】D。
2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2.1距离问题课件新人教A版必修5
[答一答] 1．如果知道一个三角形的三个角，是否可以解出这个三角 形？
提示：不可以．要解一个三角形，至少知道这个三角形的一 条边长．
2．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？ 提示：
知识点二 基线
[填一填] 在测量上，我们根据测量需要适当确定的 线段 叫做基 线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测 量具有较高的精确度．一般来说，基线越 长 ，测量的精确度越 高．
第一章
解三角形
1．2 应用举例
第1课时 距离问题
[目标] 1.能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问 题；2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．
[重点] 在三角形中运用正、余弦定理求解距离问题． [难点] 实际问题的理解与建模．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
类型二 测量两个不可到达的点之间的距离
[例 2] 在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两
个训练营地
A
和
B
之间的距离，盟军在两个相距为
3 2a
的观测
点 C 和 D 处，测得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，
∠ACB＝45°，如图所示．求基地组织的这两个训练营地之间的
距离．
[分析] 可将 AB 放在△ABC 中来求，为此应先求出 AC 和 BC，再用余弦定理求 AB.
所以 CD＝30(海里)，
则至少需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
1．海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B
岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°视角，则 B、C 间
的距离是( D )
人教版高中数学必修五同课异构课件：1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——距离问题
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在 船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile) h 6.5n mile此船可以继续一直沿正北方向航行
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在 船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile) h 6.5n mile此船可以继续一直沿正北方向航行
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身 体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
1.2应用举例(必修五 数学 优秀课件)
113.15 n mile
由正弦定理得
BC AC BC sin ABC sin BAC sin BAC sin ABC AC
54sin137 0.3255 BAC 19 113.15
例7. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确 到0.1cm2） (1)已知 a＝14.8cm, c＝23.5cm, B＝148.5o; (2)已知B＝62.7o, C＝65.8o, b＝3.16cm; (3)已知三边的长分别为a＝41.4cm, b＝27.3cm, c＝38.7cm.
A
75° 51° C 55m
AB AC sin C 55sin 75 65.7(m ) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
AB
A
AC 2 BC 2 2 AC BC cos
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm， ∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到 B 0.1m）
54°
解： B 180 (A C ) 54
AB AC ∴由正弦定理 得 sin C sin Bຫໍສະໝຸດ DC8° 25°
B
15°
5km
A
ACB 25 15 10 解：在△ABC中， 5sin15 BC AB 根据正弦定理 7.4524( km ). 得 BC sin15 sin10 sin10 DC tan CBD 在Rt△BCD中， DC BC tan CBD BC
由正弦定理得
BC AC BC sin ABC sin BAC sin BAC sin ABC AC
54sin137 0.3255 BAC 19 113.15
例7. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确 到0.1cm2） (1)已知 a＝14.8cm, c＝23.5cm, B＝148.5o; (2)已知B＝62.7o, C＝65.8o, b＝3.16cm; (3)已知三边的长分别为a＝41.4cm, b＝27.3cm, c＝38.7cm.
A
75° 51° C 55m
AB AC sin C 55sin 75 65.7(m ) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
AB
A
AC 2 BC 2 2 AC BC cos
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在A 的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm， ∠BAC＝51°， ∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到 B 0.1m）
54°
解： B 180 (A C ) 54
AB AC ∴由正弦定理 得 sin C sin Bຫໍສະໝຸດ DC8° 25°
B
15°
5km
A
ACB 25 15 10 解：在△ABC中， 5sin15 BC AB 根据正弦定理 7.4524( km ). 得 BC sin15 sin10 sin10 DC tan CBD 在Rt△BCD中， DC BC tan CBD BC
人教课标版高中数学必修5《应用举例(通用)第一课时--距离和角度》精品课件
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 A
读数43̊
读数66̊
C
B
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例1. 如图，广场上A、B两点被一个建筑物隔开， 你能用卷尺和经纬仪，设计方案，两点A、B间的 距离吗？
B
A 图1
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例2. 如图，如果你在河的南岸，你能用卷尺和经 纬仪在不过河的前提下，设计方案，测量出河两 岸两点A、B间的距离吗？
余弦定理：
a2= b2+c2-2bccosA
C
b
a
A
c
B
cos A b2 c2 a2 2bc
要确定一个三角形(即求出所有的边、 角)，至少需要几个条件？
需要三个条件(其中至少一个为边)
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 二、情境设置 在实际中，经常需要测量距离和角度，你知 道通常用什么工具测量它们吗？ 距离 —— 卷尺 角度 —— 经纬仪
B
流 河A 图2Fra bibliotek北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例3. 如图，如果你在河的南岸，你能用卷尺和经 纬仪在不过河的前提下，设计方案，测量出河北 岸两点A、B间的距离吗？
B A
流 河
图3
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 四、问题解决
柏林
好望角 约公元前274希腊数学家算出地球半径为6406公里 两位天文学家利用几乎位于同一子午线的柏林 （东经13°25，北纬52°30）与好望角（东经 18°30′，南纬34°21′，）,测量计算出α,β的大小和 两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离 约为385400km.
第一章 解三角形 A
读数43̊
读数66̊
C
B
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例1. 如图，广场上A、B两点被一个建筑物隔开， 你能用卷尺和经纬仪，设计方案，两点A、B间的 距离吗？
B
A 图1
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例2. 如图，如果你在河的南岸，你能用卷尺和经 纬仪在不过河的前提下，设计方案，测量出河两 岸两点A、B间的距离吗？
余弦定理：
a2= b2+c2-2bccosA
C
b
a
A
c
B
cos A b2 c2 a2 2bc
要确定一个三角形(即求出所有的边、 角)，至少需要几个条件？
需要三个条件(其中至少一个为边)
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 二、情境设置 在实际中，经常需要测量距离和角度，你知 道通常用什么工具测量它们吗？ 距离 —— 卷尺 角度 —— 经纬仪
B
流 河A 图2Fra bibliotek北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 三、问题探究
例3. 如图，如果你在河的南岸，你能用卷尺和经 纬仪在不过河的前提下，设计方案，测量出河北 岸两点A、B间的距离吗？
B A
流 河
图3
北师大(珠海)附中
第一章 解三角形 四、问题解决
柏林
好望角 约公元前274希腊数学家算出地球半径为6406公里 两位天文学家利用几乎位于同一子午线的柏林 （东经13°25，北纬52°30）与好望角（东经 18°30′，南纬34°21′，）,测量计算出α,β的大小和 两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离 约为385400km.
(人教B)高二数学必修5课件：1.2应用举例(二)
1.2 应用举例(二)
22
此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向
北偏东30°方向逃窜.问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走
私船？并求出所需时间.
1.2 应用举例(二)
4
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点) 走私船，则CD＝10 3t海里，BD＝10t海里. 在△ABC中，由余弦定理， 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC＝ 6(海里). 又∵sBinCA＝sin∠ACABC，
1.2 应用举例(二)
17
1234
3.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方 向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮 在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其 方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.10 2n mile C.20 2n mile
而∠ABC＝60°，故△ABC为直角三角形；
∵ AC＝6，∴ AB＝coAs C30°＝ 63＝4 3. 2
答案 4 3
1.2 应用举例(二)
21
课堂小结 1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但 作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实 际意义，从而得出实际问题的解. 2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理 或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够 的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
2 答案 A
1.2 应用举例(二)
1.2第1课时 距离问题 秋学期高中数学必修5(人教A版)PPT课件
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为 求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需 要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
[变式训练] 如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，测 量时应选用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解 析 ： 选 择 a ， b ， γ 可 直 接 利 用 余 弦 定 理 AB ＝ a2＋b2－2abcos γ 求解． 答案：C
解：在△ACD 中，由正弦定理得： AC＝sin[180D°－Cs（in∠（A∠CDC＋DB∠＋C∠DBB＋DA∠）BDA）]
＝400sisnin451°05°＝200( 3＋1)(米)．
在△BCD 中，由正弦定理得：
BC
＝
400sin 45° sin[180°－（∠ACD＋∠ACB＋∠BDC）]
3．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角， 如南偏西 60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋 转 60°，如图②所示．
图①
图②
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( ) (3)东偏北 45°的方向就是东北方向．( ) (4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( ) 解析：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形， 故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形 的方法求出，故(2)错． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
答案：D
[迁移探究] (变换条件)在典例 1 中，若“从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角”改为“A，C 两岛相距 20 海里”， 其他条件不变又如何求 B，C 间的距离呢？
[变式训练] 如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，测 量时应选用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解 析 ： 选 择 a ， b ， γ 可 直 接 利 用 余 弦 定 理 AB ＝ a2＋b2－2abcos γ 求解． 答案：C
解：在△ACD 中，由正弦定理得： AC＝sin[180D°－Cs（in∠（A∠CDC＋DB∠＋C∠DBB＋DA∠）BDA）]
＝400sisnin451°05°＝200( 3＋1)(米)．
在△BCD 中，由正弦定理得：
BC
＝
400sin 45° sin[180°－（∠ACD＋∠ACB＋∠BDC）]
3．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角， 如南偏西 60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋 转 60°，如图②所示．
图①
图②
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( ) (3)东偏北 45°的方向就是东北方向．( ) (4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( ) 解析：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形， 故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形 的方法求出，故(2)错． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
答案：D
[迁移探究] (变换条件)在典例 1 中，若“从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角”改为“A，C 两岛相距 20 海里”， 其他条件不变又如何求 B，C 间的距离呢？
高中数学必修5课件(1.2应用举例——测距离(第1课时))
练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm, 灯塔A在观察站C的北偏东30°,灯塔B在观察站C南偏
东60 ° ,则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出
AC的距离是55m,∠BAC＝51o, ∠ACB＝75o,求A、
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°,油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m)．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m,AC＝ 1.40m, 夹 角 ∠ CAB＝66°20′, 求 BC．
C
BC
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o,∠BDC=75o,∠ADC=30o,求A、B两点的距离.
解：在ASB中，SBA＝115，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
最大角度
解：由余弦定理,得
东60 ° ,则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出
AC的距离是55m,∠BAC＝51o, ∠ACB＝75o,求A、
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°,油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m)．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m,AC＝ 1.40m, 夹 角 ∠ CAB＝66°20′, 求 BC．
C
BC
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o,∠BDC=75o,∠ADC=30o,求A、B两点的距离.
解：在ASB中，SBA＝115，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
最大角度
解：由余弦定理,得
数学人教版必修五《1.2应用举例》(共19张PPT)
55 sin 75
55 sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
思考
如何测定河对岸两点A、B间的距离？
B A
导入 两个不可到达点的问题
例2、如图, A,B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量，求A,B两点距离的方法。 解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ，
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
导入 一个不可到达点的问题
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离。
探究载客游轮能否触礁
一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处
的北偏东 角，前进4km 后，测得该岛在北偏
东 角，已知该岛周围3.5 范围内有暗礁，现 该船继续东行。 (1)若 2600，问该船有无触礁危险？ 如果没有请说明理由；
(2)如果有，那么该船自 处向东航行 多远会有触礁危险
探究载客游轮能否触礁
∠ADB=δ。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余 弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
例题讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ。在 △ADC和△BDC中，应用正弦定理得
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B两点间的距离（精确到0.1m）
B
解：如图，在△ABC中，
B=180o-(51o+75o)=54o
所以由 AB AC sin C sin B
A 51o 55m 75o C
可得 AB AC sin C 55sin 75 65.7(m) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离约为65.7米。
最大角度
解：由余弦定理，得
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
1.952 1.402 21.951.40 cos 66 20
C
3.571
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
A 66 20
B
§1.2.1
一、例题
例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建 筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。
节又化是∵简速∠得度B单ABD位=，118单0o位-660符o-号15为o =(1k0n5)o， 1答kn：A=B1两n岛m的ileB距/Dh=离(1为8512B0/D36600n)mm20/sile2. 4
即:s1i节n 6=01海s里in/110小5 时=si0n.57154 m/6s 2 6 2
60o A
45o
D 30o
C
四、小结 解斜三角形应用题的一般步骤是： 1.分析：理解题意，画出示意图 2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三 角形，求得数学模型的解。 4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。 方法：
α β
C
BC
a sin
sin180 (
)
a
sin(
sin
)
AB AC 2 BC 2 2AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
AD
§1.2.1
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在
水平线上方的角叫仰角，视线在水平 线下方的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。 （5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而 成的角
CD cos 300
2 3 ；BD 3
CD sin 600 sin(1800 600 750 )
6; 2
AB AD2 BD 2 2 AD BD cos(750 300 ) 30 6
B
D A
C
三、练习
（2009 宁夏海南卷理）为 了测量两山顶 M，N 间的 距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，
实际问题 → 数学问题（三角形）
→ 数学问题的解（解三角形）→ 实际问题的解
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航 行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外
的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？
如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o的A
岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20
min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。
解：依题意可得，
B
∠BCD=45o ， ∠BDA=60o，
n∴m∠ileC/hB即D=是∠：BD海A里-∠/每B小CD时=15o， 海里C是D 长3度0单1位，10其n单m位ile符号为(n mile)， 1(只n由适ms用iilnBe于=D415航85程23smi)n1一105海可里得约B为D 3.7里260。22
二、应用举例
例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量两点间的距离的方法。 A
B
解：如图，测量者可以在
河岸边选定两点C、D，设
CD=a，∠BCA=α，
∠ACD=β，∠CDB=γ，
δ
∠ADB=δ
γ
D
a
AC
a sin( )
sin180 (
)
a sin( ) sin(
)
A
B
1Leabharlann 212M
N
B，M，N 在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，
B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测
量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字
和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤。
三、练习
A
B
1
2
1
2
M N
三、练习
A
B
1
2
1
2
M N
三、练习
练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm, 灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏
东60 ° ，则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出
AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间 的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到 0.01m）．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m，AC＝ 1.40m， 夹 角 ∠ CAB＝66°20′， 求 BC．
解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A
的仰角分别是、， CD=a，
测角仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦 定理可得
ACCD sin si n CA AD D Csin a(sin )