电路分析之特勒根定理
4.5特勒根定理
特勒根定理、KCL、KVL是电路的基本定律，三者之 间，用任何两个可推出另一个。
第四章 常用的电路定理 应用特勒根定理要注意的问题： 1)定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定 理对任何线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适 用。定理实质上是功率守恒的数学表达。 2)电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足 KCL，支路电压和支路电流必须满足关联参考方向（否则公 式中加负号）。
对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路n当它们具有相同的拓扑图但对应的支路的组成和参数不同任何时刻在两个电路的支路电流和电之间分别取关联参考方向下两电路中相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零
第四章 常用的电路定理
4.5 特勒根定理 （Tellegen’s theorem）
1. 特勒根定理1－功率守恒
特勒根定理1表述为：对于一个具有n个结点和b条 支路的集总电路，任何时刻，在各支路电流ik和电压uk 取关联参考方向下，各支路电压与支路电流的乘积的代 数和恒等于零。此定理可用下式表示为：
∑u i
k =1
b
k k
=0
(4.5-1)
第四章 常用的电路定理
2. 特勒根定理2－拟功率守恒
特勒根定理2表述为：对于两具有相同的拓扑图，但对应的支路 的组成和参数不同，任何时刻，在两个电路的支路电流和电 ˆ ˆ u 压uk与ik之间、 k 与 ik 之间分别取关联参考方向下，两电路中 相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零。可 用下式表示为， ⎧b ˆ ⎪∑ uk ik = 0 (4.5-2a) ⎪ k =1 ⎨b ⎪ u i =0 (4.5-2b) ∑ ˆk k ⎪ k =1 ⎩ 此定理中所谓相同的拓扑图是指两电路具有相同的结构。
特勒根定理
b
ukik ' 0
k 1
b
同理 uk 'ik 0 k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝ -1.8A， 试求i2'?。
+ +i1
i2 + +
i1' +
i2' +
3v -
u-1
NR 4Ω u-2
3v -
u' 1 NR 8Ω u' 2
-
ik '
支路电压和电流取关联参考方向且相同，
则有 b ukik ' 0 和 k 1
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
i6’ 2A
i1 2 - 2V + i5
22
4
i2 i3
i4
验证：
i1’ 2 - 4V + i5’
+
2 4V
4
i2’ -i3’
i4’
6
15
有相同的有向图如右 2 3 4
N: u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V， u4＝4V， u5＝2V， u6＝－8V；
这就验证了特勒根第二定理。
特勒根定理适用于任意集总参数电路
特勒根第二定理的证明：
设 N和N’两网络均有n个节点b条 支；。各支路电压、电流的参考方向 关联且相同。则N网络的KCL方程为
i12 i13 i1n 0 i21 i23 i2n 0 in1 in2 inn1 0 将上式分别乘以N’网络的相应电压，
6
uk 'ik ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋
电路(特勒根互易定理)
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
u2 u1 = iS1 iS 2
当
或 u1 i S 1 = u2 i S 2
时,u2 = u1
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iS1 = iS2
情况3 情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1 b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 – b
c + – d uS2
(a)
(b)
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系:
i2 u1 = i S 1 uS 2
当
或 u1 i S 1 = uS 2 i2
时,i2 = u1
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1. 互易定理
对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路, 对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路,在保持 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下, 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下,当激励与 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变. 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变.
返 回
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情况1 情况1 a uS1 + – b
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c + – d uS2
(a)
b
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
当
uS1 = uS2
时,i2 = i1
特勒根定理
k3
u aiˆa b bu ciˆd cd u ˆaia b bu ˆcid cd
u a b0 0 iˆcd u ˆa(b 4 ) 8 3 uˆab8436v
特勒根定理用来求解电路甚少，其另一用途是用来证明
其它定理。（如互易定理）
也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和。
电压电流加“^”。 §2 7 特勒根定理
2．特勒根定理只要求uk、ik在数学上受到一定的约束（KVL、KCL的约束），而并不要求它们代表某一物理量，所以特勒根定理不仅
适用于同一网络的同一时刻，也适用于b不同时刻，不同的网络（但要b求具有相同有向图），不仅适用于电网络，也适用于非电网络。
有 uiˆ 0 uˆ i 0 也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和。
两个电路中，支路数和节点数都相同，对应支路与节点的联接关系也相同。
二、用途： （1）用于系统的稳定性分析 k k
kk
不是同一元件上的电压电流的乘积，k所以1无物理意义，叫似功率（因k为1具有功率的计算形式和量纲）。
v 1 ( i ˆ 1 i ˆ 4 i ˆ 6 ) v 2 ( i ˆ 2 i ˆ 4 i ˆ 5 ) 3 ( i ˆ 3 i ˆ 5 i ˆ 6 ) 0
§27 特勒根定理
将以上结论推广到任意两个具有n个节点、b条支路 的电路N和 Nˆ ，当它们所含二端元件的性质各异，
但有向图完全相同时，则有
b u k ik 0
k 1
b
u k ik 0
k 1
这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power
theorem)的数学表达式。该定理表明，在有向图相
特勒根定理的证明
特勒根定理（Tolerance Theorem）是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
下面是特勒根定理的证明：假设有一个电路，其中包含元件A、B、C，它们的电阻值分别为R1、R2、R3，并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。
根据容差的定义，我们知道δR1+δR2+δR3=0。
现在，我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3，其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数，并且它们的大小小于元件的额定容差。
根据容差的定义，我们有δR1+δR2+δR3=0，因此我们可以将上式改写为：δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式，我们得到：ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。
如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值，那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。
为了描述这种变化，特勒根定理提供了一个简单的公式。
具体来说，特勒根定理指出：对于电路中的任何元件，如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差，那么电路中的总电压变化量ΔV将满足：ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中，V是电路中的总电压。
这个公式告诉我们，当电路中的某个元件的电阻值发生变化时，电路中的总电压变化量将非常小，通常小于额定容差的三分之一。
这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差，而不必担心它们对电路性能的影响。
总之，特勒根定理是电路分析中的一个重要定理，它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。
特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系，并且提供了一个简单的公式，用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。
互易定理和特勒根定理的联系 -回复
互易定理和特勒根定理的联系-回复互易定理和特勒根定理是电路分析中两个非常重要的定理。
互易定理表明在两个端口电路中，将两个输入端口进行交换，两个输出端口进行交换，电压和电流的交互性质保持不变；特勒根定理则是在含有线性有源元件的电路中，通过等效变换可以将任意线性有源电路转化为一个电源和若干个阻值的接法。
尽管表述上有一定的差异，但这两个定理在电路分析中有一定的联系。
首先来看互易定理。
根据互易定理，如果在具有两个端口的电路中，交换输入端口和输出端口，那么电压和电流的交互性质不会改变。
这意味着无论是输入还是输出端口，电路的响应都是相同的。
这对于电路设计和分析非常有用，可以通过交换端口来简化电路的分析过程。
实际上，互易定理是基于叠加定理的一个应用，通过在电路中引入叠加原理，可以将互易定理推导出来。
互易定理在电路分析中的应用非常广泛。
例如，在放大器电路中，我们可以通过交换输入和输出端口来简化放大器的分析。
通过使用互易定理，我们可以将输入电压和输出电压的关系转化为输入电流和输出电流的关系。
这对于分析放大器的电压增益、电流增益和输入输出阻抗等参数非常有用。
此外，在传输线电路中，互易定理也常用于简化电路分析，通过交换发送端和接收端可以更方便地计算传输线上的信号传输。
接下来，我们来看特勒根定理。
特勒根定理是基于拉普拉斯变换的一个重要定理。
它表明，在含有线性有源元件的电路中，我们可以通过等效变换将任意线性有源电路转化为一个电源和若干个阻值的接法。
特勒根定理可以帮助我们更好地理解电路的传输特性，并进行更简单的分析和设计。
特勒根定理的原理是利用拉普拉斯变换的频域表示来进行电路的等效变换。
通过将电路中的各个元件转换为它们对应的阻值，可以将整个电路转化为一个等效电路。
这个等效电路中，原电路的节点和支路都被消除了，只留下了与电源相连的总电流和总电压。
这个等效电路可以更方便地进行分析和计算。
特勒根定理在电路设计和分析中也有着广泛的应用。
第6章 特勒根定理
+
~ I1
~ I2
JS
若网络互易，必有
2010-11-4
~ V2 = V1
第6章 特勒根定理 7
互易定义2 端口网络互易） 二、 互易定义 （n端口网络互易） 端口网络互易
一个P端口时不变网络，或者一个 端元件， 一个 端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ： 端口时不变网络 端元件
k =1
则有： ∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b + ∆Z b ∆I b 上式略去二阶小量后，得
∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b
2010-11-4 第6章 特勒根定理 18
设网络N的伴随网络为 ~ ~ VbT I b − VbT I b = 0
T
~ N
则有：
网络N参数变化前的变量 网络N参数变化后的变量
2010-11-4 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N 相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有： 则对于非独立电源支路集合 ，必有：
l =1
~ ~ ∑ (Vl I l − Vl I l ) = 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
=
T T I b (Z b
~ − Z b )I b = 0
上式恒为零，只有
Zb =
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身 2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。
课件：第3.4节 特勒根定理
刘洪臣 哈尔滨工业大学电气及自动化学院
3.4 特勒根定理
基本要求：理解特勒根定理的内容、证明过程、物 理意义和普遍适用性。
1. 定理
uk ,ik
N
(a)
uk , ik
N
(b)
结 (1) 节点数与支路数分别相同； 构 (2) 节点与支路的连接关系也分别相同； 相 (3) 节点与支路的编号也相同；
b
因为 i i ukik
(un i un i )
k 1
所有支路
N
(a)
uk , ik
对于整个电路存在 un i
N
(b)
b
i 0 ukik 0 同样可以证明 第二种表达形式
k 1
3.4 特勒根定理
如果将特勒根定理用于一个电路N（即Nˊ也是N），便
得到
b
ukik 0
k 1
同 (4) 对应的支路具有相同的u，i 关联参考方向。
3.4 特勒根定理
特勒根定理: 电路N中各支路电压uk与电路 N 中对
应支路电流 i的k 乘积之和等于零，即
b
b
ukik 0 同样
ukik 0
k 1
k 1
uk ,ik
证明： ukik (un un )ik (un un )i
【例题3.20】图示电路中N为纯二端电阻网络，
在图(a)中 U1 4V, R2 2, I1 1A, I2 0.5A ；
在图(b)中 I1 2A, R2 4,U2 3.2V 求等效电阻 Ri 。
I1
I2
I1
I2
U1
N
R2 U2
U1
N
R2 勒根定理得 U1I1 U2I2 U1I1 U2I2
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R1
E1
R5
R6
il2
R2
R4
E2
电路(a)
有向线图
i1
4
1
i2 2
i4 i5
电路(b)
有向线图
i3
3
i6
5
电路(a)和电路(b)有同样的有向线图
5
§2-9特勒根定理
2、特勒根似功率定理 内容：对于任意两个具有相同有向线图的网络
N和N’，对应支路电压和电流乘积之和
恒等于零。
数学表述为：
若 (i1 , i2 Lib ) (u1, u2 Lub ) —网络N的支路电流和电压
应用范围：
对同一电路,相同时刻的量—功率定律；
同一电路，不同时刻的量或具有相同有向图的不同电路间的 量—似功率定律。
有的书把似功率定理就作为特勒根定理——因为功率定理可看 成是似功率定理的特例。
8
§2-9特勒根定理
6、例子: N为无源线性电阻网络，（a）图中电路各电压、 电流及参考方向如图所示，求图（b）电路中的
10
作业： P83~84 2-19，2-20，2-22
§2-9特勒根定理
ห้องสมุดไป่ตู้
11
2
§2-9特勒根定理
2
§2-9特勒根定理
1、电路与电路的有向线图 （1）电路结构 电路 ＝电路结构（网络）＋电路元件 分析电路＝求解：各支路电流＋电压 出发点 ：基尔霍夫定律＋ 元件特性方程 应用基尔霍夫定律需知电路的支路电流和电 压的方向
当采用关联方向 时，只需标出一 个量的方向。
3
（2）电路的有向线图
i1’
(a)
u1’ N
i2’
u2’
10V
因为N是无源线性电阻网络，有
(b)
b
b
b
b
∑ ∑ ∑ ∑ ikuk, =
ik ( Rk ik , ) = (ik Rk )ik , = uk ik ,
k=3
k=3
k=3
k=3
∴ i1u1, + i2u2, = i1,u1 + i2,u2
可得：u1’＝1V
——互易定理（只对无 源线性电阻网络；关联 方向）
§2-9特勒根定理
定义：标明各支路电流、电压参考方向的电路 结构图。
电路
有向线图
几点说明 一个有向线图可对应许多不同的具体电路 具有相同有向线图的电路，应具有某些相同 的特性
有相同的基尔霍夫定律表达式 满足特勒根定理
4
R1
E1
R2
R3
R4 iR5 R5uR5
R6
§2-9特勒根定理
(i1，, i2，Lib，) (u1，, u2，Lub，)—网络N’的支路电流和电压，
b
b
∑ ∑ 则有： uk ik , = 0 和
ik uk , = 0
k =1
①
k =1
①’
12 3
4
5 ④
②
6
③
网络N
1’ 2’ 3’
4’
5’ ④’
②’ 6’
③’
网络N’ 6
1
§2.9-2.11
3、特勒根定理功率定律 若N和N’为同一电路，则有
§2.9-2.11
§2-9特勒根定理
问题：对于有些部分电路不知道结构参数的电路
N为无源线性电阻网络，（a）图中电路各电压、 电流及参考方向如图所示，求图（b）电路中的 u1’=?
I1=－10A
20V
u1
N
u2 I2=2A
(a)
I1’
I2’
2Ω
u1’ N
u2’
10V
(b)
1
§2－9特勒根定理
主要内容： 电路与有向线图 特勒根定理的内容 注意事项
u1’=?
i1=－10A
20V
u1
N
u2 i2=2A
(a)
i1’
i2’
2Ω
u1’ N
u2’
10V
(b)
9
i1=－10A
§2-9特勒根定理
解：由特勒根定理有， 20V
u1
N
u2 i2=2A
b
∑ i1u1, + i2u2, + ik uk , = 0 k=3 b
∑ u1i1, + u2i2, + uk ik , = 0 2Ω k=3
b
∑ uk ik = 0
k =1
即功率守恒定律。
4、证明 见书上p59~60。
§2-9特勒根定理
7
5、几点说明
§2-9特勒根定理
特勒根定理是基尔霍夫定律的结果，它具有和基尔霍夫定律本 身一样的普遍性，适用于任何性质（线性、非线性等等）的电 路。
似功率定理—因为此定理的一般关系不能用功率守恒来解释， 它只是具有相同有向线图电路间电压、电流必须遵循的数学关 系。虽具有功率的量纲，但并无具体的物理意义。