一道立体几何试题的多角度思考
2023全国乙卷数学立体几何大题解析
2023全国乙卷数学立体几何大题解析立体几何作为数学中的一个重要分支，一直以来都是考试中的热点和难点之一。
2023年全国乙卷数学考试中的立体几何大题更是备受关注，本文将对这部分题目进行深度解析，帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1. 题目一：已知正方体ABCDEFGH的棱长为a，M为AB的中点，N 为EH的中点，连接MN并延长至P，使得MP=2MN。
求向量AP的方向余弦。
这道题目首先考察了对正方体内部点线向量的理解和运用能力。
我们可以通过建立坐标系，假设A点为原点，利用向量的加减和内积运算求解。
另外，要注意在解题过程中注意向量的方向和夹角的计算，以及结果的向量表达形式。
2. 题目二：已知正方体ABCDEFGH的棱长为a，直线l与平面ABCD 相交于点P，与线段AC、BD的中点分别为M、N，求证：直线PM、PN在平面ABCD的投影相交于ABC的中点。
这道题目考察了立体几何中的投影性质和平行线的特性。
首先需要通过建立直角坐标系，确定各个点的坐标，然后利用向量的投影性质和平面几何的性质进行推导。
要注意利用中点和投影的定义，以及平行线性质的灵活运用。
总结回顾：通过对以上两道题目的深度解析，我们可以发现在解题过程中需要灵活运用向量、坐标和平面几何的相关知识。
在解答立体几何题目时，建立合适的坐标系和几何图形模型是非常重要的。
另外，要注意在解题过程中耐心思考，多角度思考问题，尝试各种解法来提高解题效率和准确性。
个人观点：立体几何作为数学中的重要部分，不仅在考试中占有一席之地，更是对我们空间想象力的锻炼和数学思维的培养。
通过深入学习和实践，我们能更好地掌握立体几何相关知识，提升解题水平和数学素养。
结语：通过本文的深度解析，相信大家对2023年全国乙卷数学立体几何大题有了更清晰的认识。
在接下来的学习和备考中，希望大家能够多加练习，并善于总结经验，不断提高解题能力和应试水平。
祝大家在数学考试中取得优异的成绩！立体几何作为数学的一个重要分支，向来都是考试中的难点和热点。
对一道立体几何问题的反思.doc
对一道立体几何问题的反思例题：已知三棱锥P-A0C；其中强劣PB=H==2, Z APB= ZAPC=/BR=6（J求：三棱锥P~ABC的体积。
此题是华东师大版《一课一练》上的题目，在我实习期间很多同学跑过来问我，表示这道题目太难解，有些干脆说它出得不好，没什么新意，纯粹的在搞数学计算，我随意观察了一下，发现这道题目并非作为提高题出现在书中（《一课一练》分为基础题和提高题两部分），于是我想作者既然这样安排，肯定是有道理在的，是否如学生所反应的那样这道题出得很失败呢？通过我深入地了解之后，我发现其实这道题目是一道不可多得的好题！下面就谈谈我的理解。
部分学生来向我提问的时候，老师已经在课堂上讲解过此题,老师的思路大致是这样的: 做BC的中点口连接FD项则PH*； D是中点，FQLBC同理AXKBCL平面又BCL平面ABC二平面IVDL平面A0C山冲 /边上的高田也是三棱锥的高，只要求出旺弟J底面ABC的面积由棱锥体积公式、马Sh即得三棱锥SBC的体积。
或者不求田因为R©是直截面二Q SX BC3初看上去这道题目没什么特别，过程和思路非常清晰，那为什么还有那么多的同学要抱怨呢？原来是田大小太难求了，无论哪种方法，都不可回避地需要求解△R'D的面积，而偏偏不是一个规则的三角形，△朋的三边分别是4, VT1. V3,面积求解非常麻烦，有些同学是直接这样问我的，“老师，知道了三角形的三条边，怎样求解它的面积？”如果将海伦公式告诉他们的话学生肯定是如坠云雾（此题若用海伦公式则难上加难），而他们一般的求法就是用余弦定理求出ZTW勺余弦，再求正弦，然后利用W 得用这个过程是相当复杂的，需要十分扎实的数学基础和解三角形的基本功，对我所教的这个班级肯定是要求太高了。
那道它就没有更好的解法了吗？显然是有的,不然的话这道题的意义就不值得我写一片论文了。
我是这样绐同学解释的，既然题干给出的条件是如此地强，边长和角度都十分理想，那么一般来说求解过程不会十分烦琐，我们可以这样考虑：延长PB RC;使BE<F公这样RArfgE%又由题设/ AFBN APA Z BPCH501,则△於E △RXR APEF都是正三角形，因此所以三棱锥SEF是正四面体，显然正四面体的体积是相对容易求的，再观察三棱锥SEC和FMEF；其实它们就是以A为顶点，AffiQ△ PEF为底面的两个三棱锥，两者的体积比就是底面三角形的面积比，而八取和的面积比是十分容易求得的，EE/M/%所以面积之比是IX 因此体积之比也为即三棱锥SBC的体积是正四面体P4EF的体积的M儿乎所有的学生听完我的解法以后都有一利如释重他的感觉，原先对题目的厌恶情绪一扫而光，“原来还有这样的玄机在里面”儿乎是他们每个人的感叹。
谈谈求解立体几何问题的思路
立体几何是高考数学的必考内容，且立体几何问题在高考试题中占有较大的比重.这类问题侧重于考查同学们的空间想象和运算能力.下面结合几道例题，来归纳总结一下三类立体几何问题的特点以及解题思路.一、立体几何中的存在性问题立体几何中的存在性问题一般较为复杂，通常要求判断某两条线段的比值、垂直关系、平行关系、点等是否存在.解答这类问题，需首先画出相应的立体几何图形；然后假设要判断的对象存在，并将其看作已知的条件，代入题设中进行推理运算.若得出与题意、相关结论、公式相矛盾的结论，则说明该假设不成立，否则，该假设成立.解题时，要确保推理合理，逻辑严密.例1.如图1，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =1,AB =1,AC =2,∠BAC =60°.那么在线段PC 上是否存在一点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求MCPM的值，若不存在，请说明理由.解：假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，此时MCPM=3.如图1，过点M 作MN //PA ，交AC 于点N ，连接BN ,BM ，因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故PA ⊥AC ，MN ⊥AC .由MN //PA 可知：AN NC =PM MC =13，则AN =12.在ΔABN 中，BN 2=AB 2+AN 2-2AB ⋅AN cos∠BAC =34，所以AN 2+BN 2=AB 2，即AC ⊥BN .由于BN ⋂MN =N 且BN ,MN ⊂面MBN ，故AC ⊥平面MBN ，因为BM ⊂面MBN ，所以AC ⊥BM .我们先假设在线段PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ，并据此得出相应的结论；然后根据题意和几何图形添加合适的辅助线，根据线面垂直的性质定理、相似三角形的性质、勾股定理证明AC ⊥BN ；再根据线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面MBN ，得出AC ⊥BM ，即可说明该假设成立.需要注意的是，在假设要判断的对象存在后，需用相关的性质、定理验证该假设是否满足题意.二、立体几何图形折叠问题立体几何图形折叠问题对同学们的空间想象力有较高的要求.在解题时，需明确折叠前后几何图形中的点、线、面的位置及其关系，通过观察图形，根据折叠图形的性质找出其中不变的量，抓住这些不变的量的特征来建立关系式.也可以将折叠后的几何体投影到平面上，利用平面几何知识进行研究、分析.例2.如图2，在等腰直角三角形PAD 中，∠A =90°，AD =8,AB =3，B ,C 分别是PA ,PD 上的点，且AD //BC ，M ,N 分别为BP ,CD 的中点.现将ΔBCP 沿BC 折起，得到四棱锥P -ABCD ，连接MN ，如图3.（1）证明：MN //平面PAD（2）在翻折的过程中，当PA =4时，求二面角B -PC -D 的余弦值.图2图3解：（1）证明过程略；（2）由题意可知BC ⊥AB ，BC ⊥PB ，∴BC ⊥平面PAB .又BC //AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA .∵AD ⊥AB ,AB ⊥PA ，以点A 为坐标原点，分别以AB ,AD ,AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图4所示的空间直角坐标系A -xyz .得A (0,0,0),B (3,0,0),C (3,5,0),P (0,0,4),D (0,8,0)，所以 PB =(3,0,-4), PC =(3,5,-4),PD =(0,8,-4),图147设m =(x 1,y 1,z 1)为平面PBC 的一个法向量，则ìíî m ⋅ PC =0, m ⋅ PB =0,即ìíî3x 1-4z 1=0,3x 1+5y 1-4z 1=0,令x 1=4，则y 1=0,z 1=2,m =(4,0,3).设n=(x 2,y 2,z 2)为平面PCD 的一个法向量，则ìíîm ⋅PC =0, m ⋅PD =0,即ìíî8y 2-4z 2=0,3x 2+5y 2-4z 2=0,令y 2=1，则x 2=1,z 2=2,n =(1,1,2).设二面角B -PC -D 的大小为α，由向量的夹角公式可得：cos α=-|cos< m ,n >|=-|m ⋅n || m |⋅|n |=所以二面角B -PC -D 的余弦值为解答本题，需先明确ΔPAD 的特点、性质，以及其中各点、线段的位置关系，知晓折叠前后ΔBCP 以及梯形ABCP 中的改变量与不变量；然后根据直线与平面垂直的性质定理和判定定理证明AB 、AP 、AD 三条直线两两互相垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角B -PC -D 的余弦值.解答立体几何图形折叠问题，要熟悉折叠图形的性质：折叠前后图形的形状、面积、边长、角度均不改变.三、立体几何中的作图问题立体几何中的作图问题比较常见.解答此类题目，往往要先通过观察，明确题意，确定图形中的点、直线、平面之间的位置关系，灵活运用简单几何体的性质寻找一些垂直、平行的关系，据此发现一些特殊的点、位置，以确定要求作的点、直线、平面的位置，进而作出完整的图形.例3.如图5，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱B 1C 1的中点，F ,G 分别是棱CC 1,BC上的动点（不与顶点重合），请作出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，并说明理由.图5解：如图5，连接DG ，并延长交AB 的延长线于点P ，连接A 1P ，交BB 1于Q ，连接GQ ，则GQ 所在的直线即为作出的平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线.理由如下：∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,∴平面CBB 1C 1//平面ADD 1A 1,而平面CBB 1C 1⋂平面A 1DG =GQ ，平面ADD 1A 1⋂平面A 1DG =A 1D ,∴A 1D //GQ .要画出平面A 1DG 与平面CBB 1C 1的交线，需根据平面的延展性、正方体的性质，以及平行平面的性质：若两个平行平面被第三个平面所截，则其交线平行.在平面CBB 1C 1内寻找与A 1D平行的直线GQ 即可.例4.某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为().A.1B.2C.3D.4解：俯视图从左到右依次记为：图6图7图8图9如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图6；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图9；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的，则俯视图如图7；以图8为俯视图的几何体的正视图不是正方形.故选C.本题主要考查三视图的定义的应用以及画三视图的方法.画三视图要注意几个要点：（1）主视图和俯视图的长要相等；（2）主视图和左视图的高要相等；（3）左视图和俯视图的宽要相等；（4）看不到的线画虚线.虽然立体几何题目的命题形式较多，其解法也各不相同，但是同学们在解题时只要结合立体图形及其特征明确各个点、线、面的位置及其关系；然后将问题与相关的定理、性质、公式相关联，添加合适的辅助线，灵活利用相关的定理、性质、公式进行推理、运算，就能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）图448。
教学案例由一道立体几何体看学生学习立体几何的困惑
由一道立体几何题看学生学习立体几何的困惑与反思第八师高级中学赵康在近几年的教学中，我发现越来越多的学生在做立体几何题时常常感到很吃力，特别是像我们学校平行班的学生，有一多半的学生看到题目就无从下手，或者心里知道谁和谁垂直，就是不知道该如何去写，他们往往是东一句西一句说不到重点，或者是想当然的写一些自相矛盾的话，思维很混乱。
空间想象能力不强，对立体几何基本定理记忆不牢固，语言缺乏逻辑性、书写不规范是他们普遍存在的问题。
就在最近，学生们在做一套数学学考检测试卷时，我发现班里近三分之一的同学在做立体几何题时一个字也没写，写了的同学得满分的也是少之又少。
下课后我问了一些一个字没写的同学，其中有人说：“立体几何太难了，做题时就直接跳过”。
还有人说：“看题看了半天，就是不知道该从哪入手”。
还有的同学说：“那个图看起来挺复杂的，在图上捉摸了好长时间，就是看不出哪条直线和平面垂直。
”还有同学说：“我看那条线和那个面像垂直啊，所以就直接用了。
”看来，大部分同学也很想做出这类题，也花了不少时间研究，那么究竟是什么原因让他们做不出题？看不懂图？下面我想就一道题作为例子探讨。
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，E为PC上的点．（1）求证：平面AEC⊥平面PBD；（2）若E为PC中点，求AE与平面PBD所成的角．正确的解法在此省略。
我想说说我看到的学生的几种错误的做法。
同学甲：∵ABCD是正方形∴AC⊥BD∴BD⊥面AEC∴面AEC⊥PBD同学乙：设AC、BD交于O点，链接EO则EO⊥BD，又∵AC⊥BD∴BD⊥面AEC∴面AEC⊥面PBD同学丙：∵ABCD是正方形∴AC⊥BD又∵AC⊂面AEC,BD⊂面PBD∴面AEC⊥平面PBD这几种做法都是学生中常见的错误的做法。
甲同学虽然知道AC⊥BD,却忽略了要证明线面垂直，就必须要证一条线和平面内的两条相交直线垂直。
而乙同学更是想当然的把E点当成了PC的中点，这显然是不符合题意的。
立体几何解题思路
立体几何解题技巧立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可以用传统的几何方法解决，并且一般来说，向量方法比用传统方法解决较为简单。
由于立体几何解答题属于常规题、中档题，因而，立体几何的复习应紧扣教材，熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用途，突破画图、读图、识图、用图的道道难关，同时要注意总结证明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握角、距离、面积、体积等的转化和计算方法，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力。
1．平行、垂直位置关系的论证的策略:（1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
（2）利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
（3）三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2．空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。
（1）两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：（2）直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.（3）二面角①平面角的作法：（i）定义法；（ii）三垂线定理及其逆定理法；（iii）垂面法。
②平面角的计算法：（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；（ii）射影面积法；（iii）向量夹角公式.3．空间距离的计算方法与技巧:（1）求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
（2）求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要求）。
（3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
一道立体几何题引发的教学思考
一道立体几何题引发的教学思考摘要】高考考查内容强调基础性，这是素质教育必须坚持的目标。
学生只有具备了扎实的基础知识和基本技能，才有学习专业知识和专业技能的可能。
本文从一道立体几何题出发，谈一谈对数学教学，尤其是在习题课中如何发挥一道题目的最大作用，谈一谈自己的体会。
【关键词】基础性目标；教学方法；一题多解数学是培养理性思维的重要学科，有助于学生树立科学精神与科学态度。
在高考评价体系中，明确了必备知识、关键能力、学科素养、核心价值“四层”考查内容，同时强调了基础性、综合性、应用性、创新性“四翼”考查要求。
高考考查内容强调基础性，这是素质教育必须坚持的目标。
学生只有具备了扎实的基础知识和基本技能，才有学习专业知识和专业技能的可能。
因此，高考考查内容应关注学科的主干知识，关注学生未来生活、学习和工作所必须具备的、不可或缺的知识、能力和素养[1]。
学生在学习数学的过程中，要会举一反三，不能为了做题而做题，做题的目的是查找自己淡忘的或者没有掌握的知识、方法，与每道题目相关的、相似的概念、公式都要弄明白，要通过做题了解自己，发现自己的不足，查漏补缺。
以下题为例，进行说明。
例题：如图（1），正四面体P-ABC中，M、N分别是PC、AB的中点，求异面直线MN和PA所成的角。
题目分析：通过这道题目，要帮助学生复习一些相关的概念及性质。
1．首先要明确正四面体概念，与此相关的是正三棱锥的概念。
正棱锥：底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫正棱锥。
正棱锥包括正三棱锥，正四棱锥，正五棱锥等。
因此，正三棱锥就是底面是正三角形即等边三角形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥。
正三棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形。
正三棱锥当侧面也是等边三角形的时候才叫正四面体，也就是说正四面体是特殊的正三棱锥，正四面体的四个面都是等边三角形，正四面体所有棱长都相等。
图（3）图（4）2．通过题目的问题思考：异面直线所成的角的概念及其求法首先，明确两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小正角。
对立体几何试题的一些分析和思考
数学学习与研究2015.16【摘要】2014年高考新课标Ⅱ卷的立体几何试题较好地处理了基础与综合、继承与创新的关系,试题沿袭了“在几何直观下立意,在贴近教材中设计”的命题特点,将立体几何与学科知识和能力融为一体,坚持守正出新,正视文理差异,突出动态变化,从不同的角度诠释了教学的价值取向,形成了鲜明的立体几何命题风格和试题特点.在对其进行统计分析的基础上,提炼出立体几何试题的命题特点和亮点,并提出2015年高考复习教学建议.【关键词】高考数学;立体几何;试题分析本人参与2014年宁夏高考阅卷负责立体几何试题,下面主要从2014年高考数学立体几何试题进行分析并对高三数学立体几何的复习备考提出一些个人建议,仅供参考.高考立体几何属于中档题,也是同学们应尽力拿满分的大题.故同学们在备考时,要对传统几何解题方法高度重视,反复进行练习,以达到熟能生巧的地步.这也是同学们复习时应随着新课程标准的推进,我们发现2013年、2014年试题对于空间想象能力的考查更深入了,为此,笔者提出如下复习建议:1.回归课本,用足教材2014年的立体几何试题源于课本、贴近教材的特色鲜明.应对这样的高考试题,如何在教学中“让学生能熟练掌握和灵活运用有关平行与垂直的判定和性质定理、怎样才能让学生掌握判断线线、线面、面面之间位置关系的熟练技能”,这个问题值得我们每位教师去深思.所以,加强基本概念、定义、定理的理解和应用,加强归纳总结,将基础知识条理化、网络化,以利于记忆.对课本上的每一条定义和法则,我们首先要叙述出来,其次是分清它们的条件与结论,再次转换成用符号语言表述,并要能画出正确的图形,定理甚至要求掌握它的证明.2.精选例题,举一反三从近几年的高考来看,立体几何不回避热点,突出对核心知识和基本方法的考查,题型相对比较固定.因此复习备考时,在例题的选择上,应根据常考知识点选择相应例题进行复习.如可选择以棱锥或者棱柱为载体的解答题,设计两问或者三问,重点考查线线、线面、面面位置关系.线线角、线面角或者面面角的计算,解法理科应兼顾“一题两法”.同时适量适度精选一些练习题,形成基本技能.并且每做一题后都要进行反思:此题用了哪些基础知识,用了怎样的基本方法.这样才有助于解题能力的提高.要特别注意,选题要控制难度,不出偏题、怪题,加强对典型问题的研究,理科重视“向量法”的灵活运用.并尝试变式探究,改变其中某些条件或某些结论,认真比较题目之间的区别与联系.真正做到举一反三.3.强化识图能力新课程下立体几何对空间想象能力、推理能力有更高的要求,强调培养学生实际应用所学知识的能力.要求考生能根据看到的画在平面上的几何图形想象出图形所表示的真实物体形状;进一步地,即使没有图形,仅凭看到的文字描述也能想象出物体的形状.这就是文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化能力,具有重要的实际应用价值.因此注意提高识图、理解图、应用图的能力是首要任务,而且在高考试题中也体现出它的重要性,是立体几何部分考核的重点内容.4.应注重掌握解题方法中的通法通则,特别是转化化归思想、向量代数法在复习时应该弄透彻,我们不仅理解深刻,而且能切实掌握.如线面和面面关系的转化、三棱锥等积法要熟练掌握;面面平行转化为线面平行,可再转化为线线平行来处理.再如,点到面距离可转化为线到面距离,又可转化为面面距离;证明两线平行,可转化为两直线同时垂直于一个平面的证明.5.夯实数学基础,重视解题细节教师应重视常规基础题的练习,从不起眼的解题细节抓起,只有夯实基础,学生的基本知识和基本技能才能唤起高层次的数学思维,才能解决更难的问题.很多学生在高考复习时一味追求难题、偏题,疏于对基础题的练习与叙写,结果在考试中反而容易出错,这是本末倒置的.细节决定成败,学生在答题过程中应认真细心,养成良好的答题习惯,稳步地提高数学素养.6.严抓解题的表述与书写的规范性学生因答题不规范而丢分的情况比较严重,主要集中在:一是没有列出计算公式或者计算错误;二是考生在证明过程中出现逻辑推理不严密、用错定理、书写格式不规范等问题.造成这种现象的原因肯定是多方面的,但考生在高考复习时过于重视解题的技巧、方法和思路,轻视推理证明过程的书写应是主要的原因.此外,还有部分考生有大篇幅的涂改、删除现象,这固然是考试时的紧张心理所致,但答题时草率上手,匆匆读完题后就急于答题,对题意不求甚解,思考不充分,必然会出现漏写、多写、错写等各种错误,只好大面积涂改.总之,立体几何知识一直是高考的主干知识,是高考重要考查内容之一.学生必须熟练掌握常见的题型及解题方法,对常见的空间几何模型要能从中寻找解题突破口,同时重视推理的逻辑性、严密性,确保推理语言的正确无误.【参考文献】[1]王位高.从五年高考数学试题谈立体几何的复习[J ].广东教育(高中版),2008.[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S ].北京:人民教育出版社,2003.[3]陈俊斌.福建省高考数学立体几何试题分析[J ].武汉:中学数学(高中版),2014(1).对立体几何试题的一些分析和思考◎杨国锋(银川第二十四中学,宁夏银川750011). All Rights Reserved.。
一道课本立体几何题引发的思考讲解
一道课本立体几何题引发的思考丰县华山中学王永青85683561为什么有些学生花了很多时间，做了大量题目，就是不得解题的要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因，数学解题过程分以下几个步骤：审题→探索→表达→反思；反思是解题过程的深层次的思考；是进一步深化，整理和提高的过程，是进一步开发解题的智力价值过程；也是再发现和再创造的过程。
下面从课本一道立几题的反思入手来分析和解答此题。
倒1：P、A、B、C是球O的面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球O的体积和表面积。
（课本P73，例2）图1 图2具体解法见课本例题解答反思：仔细研究此图形，不难发现这三条互相垂直的线可以看作是某个正方体的一个顶点出发的三条棱，如果能看到这一点的话，我们可以利用补形的方法来完成此题的解答过程，把它补成球的内切正方体，而球的内切正方体的体对角线必过球心，这样就很容易地求出D球的直经，从而求出球的体积S=3 。
由此可见在立几中，正、长方体是立几中的重要模型，教学积累使我们感到有不少 的数学问题通过构建正、长方体，可使复杂的问题简单化，抽象问题直观化，实施问题的有效转换，使问题的解决变的简捷易行。
此为课本立几中的一例题，在此题中我们感受到立几中的基本图形的重要性，同时要对基本图形有一个比较深刻的了解，能感受到它的内部结构，这样就可用补形的方法来完成解题的过程。
变式1：P 、A 、B 、C 是球O 的面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球O 的体积和表面积。
(构建球内接长方体可解)变式2：已知球面上的四点O 、A 、B 、C 满足OA 、OB 、OC 两两垂直，且球面上一点P ，到OA 、OB 、OC 的距离分别为3、4、5，求球的直径。
例2：一个正方体如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD ，则截得到的正三棱锥的体积是正方体体积的几分之几。
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Ｅ ， Ｆ Ｆ则 ÷ 日从而Ｅ ： ， 。， Ｆ Ｄ． ４
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故 Ｂ ＿ 面 Ｄ Ｆ， Ｃｊ平 Ｅ 因此 平 面 Ｂ Ｄｊ 平 面 Ｄ Ｆ Ｃ － Ｅ ． 连 接 Ａ Ｄ ， Ａ ｎＤ Ｅ， Ｆ 设 Ｅ Ｆ＝ 则 Ｈ， Ｅ Ｈ上Ｄ Ｅ Ｆ， Ｈ上平 面 Ｂ Ｄ Ｃ ．
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立 体 几 何 是 高 考 中的 热 点 内容 ， 理 方 法 很 多 ， 面 以 处 下
２０ ０９年 高 考 数 学 理 三 （ 体 几 何 ） 例 ， 多 方 面 、 渠 道 立 为 从 多
来 解 决 高 考 中的 立 体 几 何 题 ． （ ０ ９年 理 １ ）如 图 ， 三 棱 柱 ２０ ８ 直
＝ ， ，一 ６ 言 一Ｃ 。 ÷（ ） 。 Ｂ＝。 Ａ Ｎ
Ｂ Ｃ与 平 面 Ｂ Ｄ所 成 的角 为 ３ 。 ． Ｃ ０．
由 Ｄ Ｅ上平 面 Ｂ Ｃ ， Ｄ Ｂ Ｃ 。 知 ＥＪ Ｃ， ＿
．
解 法 ３ ‘Ａ 平 面 Ａ Ｃ， ． Ｃ＿ ‘ Ｊ Ｂ
・
蔚 ： ， ｎ ｂ．Ａ Ａ ． ０求得 ： ， Ｂ： Ｃ ・ ．
令 ＝贝 ： ｃ ＝１÷ ｌＪ １＝ ， （ｌ ） ＇ｕ ，÷ 、 ，， ｆ ｃ ’ ．
又 平 面 Ａ Ｄ 的 法 向 量 ：（ ， ， ） Ｂ ０ １ｏ ，
由二 面角 Ａ— Ｄ—Ｃ为 ６ 。 ，Ａ ａ ＞＝ ０ ， Ｂ ０ 知 （ ，ｄ ６ 。
故 ． ：ｌ Ｉ．Ｉ ＣＩ．ｃ ｓ０ — Ａ 。６ 。
则 ． ： ， ． Ｄ： ． 赢 ｏ 一 ０ Ｂ 又 赢 ：（ １１ｏ ， ：（ ｌ ， ， 一 ，，） 一 ，ｃ Ｏ ）
解 法 ３ 以 Ａ 为 坐 标 原 点 ， 线 射
Ａ Ｂ为 轴 的正 半 轴 ， 立 如 图所 示 的 建
直 角 坐 标 系 Ａ— ｙ． ｚ 设 Ｂ １ ，） Ｃ Ｏ ｂ０ ， ０ ０ ｃ ， （ ， ０ ， （ ， ， ）０（ ， ，） ０
，
曰１２ 号 ｃ 。０ （专， （， ，ｃ ） ・
于 ＝詈，，， 是 （ ｏ ｂ）
ＢＣ＝（一ｎ， ， ． ｂ ０）
求得 。 ， ： 于是 ＝（ ， ， ） 一 ｌ １ 一１ ） １１ ，Ｂ ＝（ ， ， ，
√２
ｃ ，－ ｏ ） ｓ ∞ （ 删 ：
・ ． ．
由题 设 知 ， Ｇ ６ 。 ／Ａ Ｃ＝ ０ ．
ｃ ｓ ０。： ｏ６
＝
５△ ｃ Ｄ
譬・ 。
：ｊ＝ ｎ
数 学 学 习与 研究 ２ １ Ｏ０ ９
以下 解 法 同解 法 ２
●
专 题 研 究
・
・
● 罄
●
一
厘立体几何ｉ 题帕多角度思考 式
◎ 吴 高屏 （ 州省 平 坝 县 第 一 中学 贵 ５ １０ ） ６ １０ 设 Ａ ２则 Ａ ． Ｃ＝ ， Ｇ＝
又 Ａ ２Ｂ Ｂ＝ ， Ｃ＝２ ， Ａ 故 Ｆ＝
由 Ａ ・ Ｄ ＝Ａ ・ Ｂ Ａ Ｇ ＢＤ， 得
・ ． ．
（ ） 二 面 角 Ａ —Ｂ —ｃ 为 ６ 。 ２ 设 Ｄ ０， 求 Ｂ ｃ 与 平 面 Ｂ Ｄ 所 成 的 角 的大 小． ， Ｃ （ ） 法 １ 取 Ｂ 中 点 Ｆ， 接 １解 Ｃ 连
四边 形 Ａ Ｅ Ｄ Ｆ为 正 方 形．
ＢＣｊ ＡＦ． Ｃ 上 ＡＤ ， ＿ ＡＦ ｎ ＡＤ ＝Ａ ，
Ａ Ｃ— ， １ 中 ，ＢｊＡ Ｄ， Ｂ ＡＢ Ｃ Ａ ＿ Ｃ， Ｅ分 别 为 Ａ 。曰 Ａ ，ｌ ｃ的 中 点 ， ＥＪ平 面 Ｂ Ｃ ． Ｄ － ＣＩ
（ ） 明 ： Ｂ ＝ＡＣ １证 Ａ ．
ｚ 可 ， …去
解得 Ａ √ ． Ａ Ｄ＝ 芝 故 Ｄ：Ａ ． Ｆ
又 ‘ ． ‘ＡＤ 上 ＡＦ，
・ ’
．
＋ ＡＥ Ｄ Ｆ为正方形 ，Ｄ： ２ 故 Ｅ ＋ ． Ａ √ ， Ｈ：１ ｙ １
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ＡＢ ＝ＡＣ．
又 ‘Ｅ ． ｃ＝÷ Ｂ ｃ＝ ，． Ｅ Ｈ＝３ 。 ‘ １ ２． ‘ Ｃ ０如 ，
即 Ｂ Ｃ与平 面 Ｂ Ｄ所 成 的 角 为 ３ 。 ． Ｃ ０． 解 法 ２ 设 平 面 Ｂ Ｄ 的 法 向量 ：（ ｙ Ｃ ， ，）
．
．
ＡＡ Ｄ 是 △Ｂ Ｄ在 平 面 曰 Ｂ Ｂ Ｃ Ａ上 的射 影 ．
解 法 ４ ‘Ｄ Ｌ 面 Ｂ Ｃ ， ‘ Ｂ Ｃ ． Ｅ＿ 平 ‘ Ｃ 。 又 ． ｃ平 面 Ｂ Ｃ ， ’ Ｃ ．
’ ． ．
ＤＥ 上 Ｂｌ Ｃ．
设 Ａ Ａ ＝ ，Ｃ＝ Ｂ √ ｎＤ ： ｃ ０Ａ ｃ ｃ＝ ＿ ，Ｆ
解 法 ２ 连 接 Ｄ ， 直 ｉ棱 柱 Ａ Ｃ Ｅ因 Ｂ
。
．
．
侧 面 Ｂ Ｃ Ｂ 是 矩形 ． 接 Ｂ Ｃ ．。 连 Ｅ，
又 ． ’ Ｅ是 Ｂ ｃ 的 中点 ， 而 Ｂ 。 从 Ｅ＝Ｅ Ｃ，
Ｄ Ｅ上平 面 Ｂ Ｃ ， Ｃ
ＤＥ ＿ＢＥ ， Ｊ ＤＥ 上 ＥＣ，‘ ． ．△ 曰ＤＥ △ ＢＤ ： ＤＣ＝ △ Ａ８Ｄ △ ＡＤＣ ．‘ＡＢ ． ．