最新新课标人教版必修五等比数列课后练习含答案
(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》
(6)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来 的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk 1.
＋
(7)在等比数列{an}中，连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列． (8){an}是等差数列，c 是正数，则数列{can}是等比数列． (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等 差数列．
[ 错解] 设这个等比数列为{an}，其中 a1＝1，a5＝4，插入 的三项分别为 a2，a3，a4. 由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a2 3＝a1a5＝1×4 ＝4，故 a3＝± 2，∴a2a3a4＝a3 8. 3＝±
[ 错因分析]
[ 正解]
该解法没有正确判断 a3 的符号，在求等比数
有关等比数列的开放探究题
已知数列 {an} 是各项为正数的等比数列，数列 1 {bn}定义为 bn＝n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)] ，是否存在实 数 k，使得数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
[ 分析]
先利用数列{an}是等比数列，求出数列{bn}的通项
公式，再求 bn＋1－bn，看使它成为常数的条件是什么？
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．
a3＝4 解得 a7＝16 a3＝16 或 a7＝4
.
①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. 1 ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q 得，q ＝4，
[ 方法总结]
除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条
新人教A版高中数学【必修5】 第二章 2.4等比数列(一)课时作业练习含答案解析
§2.4 等比数列(一) 课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12.二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 答案 4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n. ∴a n＝2n－1.。
人教新课标版数学高二-人教A版必修5课时作业 12 等比数列的性质
∴b6b8＝b ＝16.
答案：16
8．下列命题中，正确命题的序号为________．
①若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则akal＝aman；②若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2；③若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为q2；④若{an}，{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
令25n2＋225n≥4 750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，
当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，
而n是正整数．∴n≥10.
故到2020年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知，{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，
满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2016年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
得 即
解方程组得 或 (舍去)
(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1.
由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，
即5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数得 解得
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一、选择题1.数列{an}为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q为常数)B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q为常数)D.an+1=anan+2解析：各项都为0的常数数列不是等比数列，A、C、D选项都有可能是0的常数列，故选B.答案：B2.已知等比数列{an}的公比q=-13，则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3解析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q= -3，故选B.答案：B3.若a，b，c成等比数列，其中0A.等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项分别是第一项与第二项的n次幂解析：∵a，b，c成等比数列，且0答案：C4.(2019江西文)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5a2，则an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n分析：本题主要考查等比数列的基本知识.解析：a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8，q=-2.又a5a2，即a2a2，q3=-8.可得a20，a10.a1=1，q=-2，an=(-2)n-1.故选A.答案：A5.在等比数列{an}中，已知a6a7=6，a3+a10=5，则a28a21=()A.23B.32C.23或32D.732解析：由已知及等比数列性质知a3+a10=5，a3a10=a6a7=6.解得a3=2，a10=3或a3=3，a10=2.q7=a10a3=23或32，a28a21=q7=23或32.故选C.答案：C6.在等比数列{an}中，a5a11=3，a3+a13=4，则a15a5=()A.3B.13C.3或13D.-3或-13解析：在等比数列{an}中，∵a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，a15a5=a13a3=3或13.故选C. 答案：C7.(2019重庆卷)在等比数列{an}中，a2019=8a2019，则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8分析：本题主要考查等比数列的通项公式.解析：由a2019=8a2019，可得a2019q3=8a2019，q3=8，q=2，故选A.答案：A8.数列{an}中， a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5() A.成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D.每项的倒数成等比数列解析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，①a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，则a5a1+a3a5=a3a5+a23，即a23=a1a5，a1，a3，a5成等比数列，故选A.答案：A9.x是a、b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，则a与b的关系是()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b或a=3b解析：由已知得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故①2-②2得a2-2ab-3b2=0，a=-b或a=3b.答案：D10.(2009广东卷)已知等比数列{an}满足an0，n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，则当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+ 3++(2n-1)=1+2n-12n=n2，故选C.答案：C二、填空题11.已知等比数列{an}中，a3=6，a10=768，则该数列的通项an=________.解析：由已知得q7=a10a3=128=27，故q=2.an=a3qn-3=32n-2. 答案：32n-212.在1和100之间插入n个正数，使这(n+2)个数成等比数列，则插入的这n的数的积为________.解析：利用性质aman=apaq(其中m+n=p+q).设插入的n个数为a1，a2，，an，G=a1a2an，则G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n，G=10n，故填10n.答案：10n13.已知-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)=________.解析：∵-9，a1，a2，-1成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，则b22=-9(-1)=9，b2=3.当b2=3时，由于-9与3异号，此时b1不存在，b2=-3，b2(a2-a1)=-8.答案：-814.若a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0 解析：a，b，a+b成等差数列有b=2a，a，b，ab成等比数列有b=a2，则有a=2，所以ab=8,0答案：{n|n8}三、解答题15.(2019全国卷Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn.设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn.解析：设数列{an}的公差为d.依题设有2a1a3+1=a22，a1+a2+a3=12，a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4. 解得a1=1，d=3，或a1=8，d=-4.因此Sn=12n(3n-1)，或Sn=2n(5-n).16.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d1，且a1=b1，a4=b4，a10=b10.(1)求a1及d的值;(2)b16是不是{an}中的项?解析：(1)由a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d，a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去)，d2=3-2=-32.所以d=-32，a1=-d=32，b1=32.(2)因为b16=b1d15=-32a1，如果b16是{an}中的项，则有-32a1=a1+(k-1)d.所以(k-1)d=-33a1=33d.所以k=34，即b16是{an}中的第34项.17.已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数.解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3.则a4q6=1，①aq1+q=-32 ②由①得a2q3=1，即a2q2=由②得a2q2(1+q)2=94，③把a2q2=1q代入③得q2-14q+1=0，此方程无解.把a2q2=-1q代入③得q2+174q+1=0，解得q=-4或q=-14.当q=-4时，a=-18或a=18(舍);当q=-14时，a=8或a=-8(舍).这四个数分别是8，-2，12，-18或-18，12，-2,8.18.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.(2)试问-1681是否为该数列的项?若是，是第几项;若不是，请说明理由.解析：(1)∵2an=3an+1，an+1an=23，故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2a5=827，则a1qa1q4=827，即a21(23)5=(23)3，由于数列各项均为负数，则a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2，即(23)4=(23)n-2.根据指数的性质有4=n-2，n=6.因此-1681是这个数列的第6项.以上是数学必修5等比数列同步训练及答案的所有内容，请同学们好好利用，提高自己。
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版
第二章 数列2.4等比数列测试题知识点一： 等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。
高中数学(人教版必修五)教师文档第二章 §2.4 等比数列 (二) Word版含答案
学习目标.灵活应用等比数列的定义及通项公式.熟悉等比数列的有关性质.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一等比数列通项公式的推广思考我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：＝＋(－)＝＋(－).等比数列也有类似变形吗？答案在等比数列中，由通项公式＝－，得＝＝－，所以＝·－(，∈*)．思考我们知道等差数列的通项公式可以变形为＝＋－，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？答案设等比数列{}的首项为，公比为.则＝－＝·，其形式类似于指数型函数，但可以为负值．由于＋－＝－－＝－(－)，所以{}的单调性由，，－的正负共同决定．梳理公比为的等比数列{}中，＝－＝·.{}的单调性由，共同确定如下：当(\\(＞，＞))或(\\(＜，＜＜))时，{}是递增数列；当(\\(＜，＞))或(\\(＞，＜＜))时，{}是递减数列；＜时，{}是摆动数列，＝时，{}是常数列．知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列{}的前项为，下列判断正确的是(){}是等比数列；(){＋}是等比数列；(){}是等比数列；(){}是等比数列．答案由定义可判断出()，()，()正确．梳理()在等比数列{}中按序号从小到大取出若干项：…，若，，，…，，…成等差数列，那么，…是等比数列．()如果{}，{}均为等比数列，那么数列{}，{·}，{}，{}仍是等比数列．知识点三等比数列的性质思考在等比数列{}中，＝是否成立？＝是否成立？＝－＋(>，∈*)是否成立？答案∵＝，＝，∴＝＝()＝，∴＝成立．同理＝成立，＝－·＋也成立．梳理一般地，在等比数列{}中，若＋＝＋，则有·＝·(，，，∈*)．若＋＝，则·＝(，，∈*)．类型一等比数列的判断方法例已知数列{}的前项和为，＝－－，∈*，证明：{－}是等比数列．证明当＝时，＝＝－－，解得＝－，∵当≥时，＝－－＝－＋－，∴＝－＋，－＝(－－)，∴{－}是首项为－，公比为的等比数列．反思与感悟判断一个数列是等比数列的基本方法：()定义法：＝(常数)；()等比中项法：＝＋(≠，∈*)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如≠.跟踪训练若数列{}为等比数列，公比为，且>，＝，试问数列{}是什么数列？并证明你的结论．解数列{}是等差数列．证明如下：∵＋－＝＋－＝＝(常数)，∴{}是公差为的等差数列．类型二等比数列的性质命题角度序号的数字特征例已知{}为等比数列．()若>，＋＋＝，求＋；()若>，＝，求＋＋…＋的值．解()＋＋＝＋＋。
高二数学人教A必修5练习：2.4.2 等比数列的性质 Word版含解析
课时训练12 等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若{a n }是等比数列,那么( )A.数列{1a n}是等比数列B.数列{√a n }是等比数列C.数列{2a n }是等比数列D.数列{na n }是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列{a n }中,a 2 013=8a 2 010,则公比q 的值为( ) A.2 B.3C.4D.8答案:A解析:∵a 2 013=8a 2 010,∴a 2 010q 3=8a 2 010.∴q 3=8.∴q=2.3.已知项数相同的等比数列{a n }和{b n },公比分别为q 1,q 2(q 1,q 2≠1),则数列①{3a n };②{2a n};③{3a n };④{2a n -3b n };⑤{2a n ·3b n }中等比数列的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在①中,3a n+13a n=q 1,是等比数列;在②中,2a n+12a n =1q 1,是等比数列;在③中,令a n =2n-1,则数列{3a n }为3,32,34,…,因为323≠3432,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,2a n+1·3b n+12a n ·3b n=q 1·q 2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5√2 B.7 C.6 D.4√2答案:A解析:a 1a 2a 3=5⇒a 23=5;a 7a 8a 9=10⇒a 83=10. a 52=a 2a 8,∴a 56=a 23a 83=50, ∴a 4a 5a 6=a 53=5√2.故选A .5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,则2a 7+a 11的最小值为( ) A.16 B.8C.2√2D.4答案:B解析:∵各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,∴a 4·a 14=(2√2)2=8, ∴a 7·a 11=8, ∵a 7>0,a 11>0,∴2a 7+a 11≥2√7·a 112√2×8=8.故选B . 二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n+1) B.n (n-1) C.n (n+1)2D.n (n -1)2答案:A解析:因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 42=a 2·a 8,所以(a 1+6)2=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (n+1). 7.数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 答案:1解析:设等差数列的公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 5=a 1+4d ,所以(a 1+2d+3)2=(a 1+1)(a 1+4d+5),解得d=-1,故q=a 3+3a 1+1=a 1-2+3a 1+1=1. 8.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a2b 2的值为 .答案:2.5解析:∵a 1+a 2=1+4=5,b 22=1×4=4,且b 2与1,4同号,∴b 2=2,∴a 1+a 2b 2=52=2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为a-d ,a ,a+d ,(a-d )+a+(a+d )=48,即a=16. 再设后三个数分别为b q,b ,bq , 则有bq·b ·bq=b 3=8 000,即b=20.∴四个数分别为m ,16,20,n.∴m=2×16-20=12,n=20216=25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求a 1和d 的值;(2)b 16是不是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9,所以{3d =a 1·(d 3-1),9d =a 1·(d 9-1).两式相除,得3=d 9-1d 3-1=d 6+d 3+1,解得d 3=-2或d 3=1(舍去). 所以d=-√23,代入得a 1=-d=√23. (2)b 16=a 1d 15=√23×(-√23)15=-32√23, a n =a 1+(n-1)d=√23+(n-1)×(-√23) =-√23n+2√23.令a n =-32√23,得-√23n+2√23=-32√23,解得n=34∈N *,故b 16是数列{a n }中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11的值为( )A.48B.72C.144D.192答案:D解析:∵a 6a 7a8a 3a 4a 5=q 9=8(q 为公比),∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8q 9=24×8=192.2.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析:∵a 3a 11=a 72=16,且a n >0,∴a 7=4.又a 7=a 5·q 2=4a 5,∴a 5=1.3.已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则a 3+a 4+a 5等于( ) A.33 B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a 1+(a 1q 2)=2×(2a 1q ),即(q-2)2=0,∴q=2.∴a 3+a 4+a 5=3×(22+23+24)=84.4.等比数列{a n }中,已知a 9=-2,则此数列的前17项之积为( ) A .216 B .-216C .217D .-217答案:D解析:∵数列{a n }为等比数列,∴a 1a 2a 3…a 17=a 917.又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.5.已知1<a<b<c,且a,b,c成等比数列,且n≥2,n∈N*,则log a n,log b n,log c n的关系为()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对答案:C解析:由已知b2=ac.∴log n b2=log n ac.∴2log n b=log n a+log n c.∴2log b n =1log a n+1log c n,即1log a n ,1log b n,1log c n成等差数列.6.已知数列{a n}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a116=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.又∵a1a11=a62,∴a116=a61=3.7.在等比数列{a n}中,若a n>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.8.公差不为零的等差数列{a n}中,2a3-a72+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}唯一,求a的值.解:(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√2,q2=2-√2.∴{a n}的通项公式为a n=(2+√2)n-1或a n=(2-√2)n-1.(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由{a n}唯一,知方程(*)必有一根为0,.代入(*)得a=13。
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第1讲 等比数列(一) 课后练习题一：在等比数列{a n }中，已知首项为12，末项为8，公比为2，则此等比数列的项数是________.题二：在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12题三：在等比数列{}n a 中，已知2031-=+a a ，4042=+a a ，求该数列的第11项11a ． 题四：已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5 = 4(a 4－1)，则a 2 = ( ) A ．2 B ．1 C ．12 D ．18题五：已知由三个正数组成的等比数列，它们的和为21，其倒数和为127，求这三个数． 题六：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．第2讲 等比数列(二) 课后练习题一：等比数列{a n }中，若已知a 3·a 4·a 5 = 8，求a 2·a 3·a 4·a 5·a 6的值题二：在等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2－11x +9 = 0的两个根，则a 5a 6a 7 = . 题三：等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2 = 1，a 23 = 9a 2a 6. 求数列{a n }的通项公式. 题四：已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11 = 0，数列{b n }是等比数列，且b 7 = a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16题五：已知等比数列{a n }中，a 2+a 5 = 18，a 3·a 4 = 45，求a n .题六：在等比数列{a n }中，a 5·a 11 = 3，a 3＋a 13 = 4，则a 15a 5等于( )A ．3 B. 13 C ．3或13 D ．－3或－13题七：在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3 = 2，a 2a 3a 4 = 16，则公比q = ( )A ．12B ．2C ． D. 8 题八：在由正数组成的等比数列{a n }中，a 1+a 2 = 1，a 3+a 4 = 4，则a 4+a 5 = ( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12题九：等比数列{a n }中，.,15367382q a a a a 求公比已知=+=题十：等差数列{a n }中，公差d ≠ 0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10 = ____.题十一：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.题十二：设1234,,,a a a a 成等比数列，且公比2q =，则432122a a a a ++等于( )A.41 B.21 C.81D.1 题十三：在n1和1+n 之间插入n 个正数，使这2+n 个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积.题十四：已知数列{}n a 是由正数构成的等比数列，公比2=q ，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅L 等于( )A. 102 B. 202 C. 162 D. 152 答案等比数列(一) 课后练习题一：5详解：设等比数列{a n }共n 项，则12×2n －1= 8，解得n = 5，故答案为5.题二：C详解：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 故选C. 题三：4096-详解：设首项为1a ，公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+)2(40)1(20311211q a q a q a a)1()2(÷得2-=q ，将2-=q 代入(1)，得41-=a ，所以4096)2()4(1010111-=-⨯-==q a a .题四：C详解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝14，a 3a 5 = 4(a 4－1)，∴(14)2×q 6 = 4(14q 3−1)，化为q 3 = 8，解得q = 2，则a 2 =14×2 = 12．故选C ．题五：这三个数依次为12，6，3，或3，6，12.详解：由已知6127121)1(1271112122222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++aq aq q q q q a aq aq a aq aq a 或－6(舍去)，代入已知得127612=++q q q ，∴22520q q -+=，∴12q =或2=q ，∴这三个数依次为12，6，3，或3，6，12. 题六：0,4,8,16或15,9,3,1．详解：设这四个数为：2(),,,a d a d a a d a +-+，则2()16212a d a d aa d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得44a d =⎧⎨=⎩或96a d =⎧⎨=-⎩，所以所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1．专题 等比数列(二) 课后练习题一：32详解：∵a 3·a 4·a 5 = a 34 = 8，∴a 4 = 2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6 = a 54 = 25= 32.题二：±详解：∵a 3，a 9是方程3x 2－11x +9 = 0的两个根，∴a 3a 9 =9=33，a 3+a 9 =1103>， ∵a 3a 9 = (a 6)2，∴a 6，故a 5a 6a 7 = (a 6)2a 6 = ±.题三：a n =13n. 详解：设数列{a n }的公比为q . 由a 23 = 9a 2a 6得a 23 = 9a 24，所以q 2= 19. 由条件可知q > 0，故q = 13.由2a 1＋3a 2 = 1得2a 1＋3a 1q = 1，所以a 1 = 13.故数列{a n }的通项公式为a n =13n. 题四：D详解：由题意可知，b 6b 8 = b 27 = a 27 = 2(a 3＋a 11) = 4a 7.∵a 7 ≠ 0，∴a 7 = 4，∴b 6b 8 = 16. 故选D. 题五：a n = 3×325-n 或a n = 3×355n - .详解：∵⎩⎨⎧=+==⋅1845524352a a a a a a ，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3151535252a a a a 或，∴q = 315 或 q =315-，∴a n = 3×325-n 或a n = 3×355n - .题六：C详解：∵a 5·a 11 = a 3·a 13 = 3，a 3＋a 13 = 4，∴a 3 = 1，a 13 = 3或a 3 = 3，a 13 = 1. ∴a 15a 5 = a 13a 3 = 3或13. 故选C. 题七：B详解：∵a 1a 2a 3 = 2，a 2a 3a 4 = 16，∴32341238a a a q a a a ==，解之可得q = 2，故选B.题八：B详解：设等比数列的公比为q (q ＞0)，∵a 1+a 2 = 1，a 3+a 4 = 4，∴q = 2， ∴a 4+a 5 = q (a 3+a 4) = 8，故选B ．题九：详解：∵372836a a a a ==，3715a a +=，∴37,a a 是方程215360x x -+=的两个根，∴37373,1212,3a a a a ====或，∴44144q q ==或，∴q q ==.题十：67详解：在等差数列中，有a 3＋a 9 = 2a 6，a 4＋a 10 = 2a 7，∴a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10 = 3a 63a 7 = a 6a 7.∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴(a 1＋2d )2 = a 1(a 1＋8d )，∴a 1 = d ，∴a 6 = 6a 1，a 7 = 7a 1， ∴所求的值为 67.题十一：这个数列的第1项与第2项分别是316和8.详解：设这个等比数列的首项是a 1，公比是q ，则213112(1)18(2)a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(2)÷(1)得q =23，代入(1)得a 1 =316，∴a n = a 1·q n －1=1)23(316-⨯n ， ∴=⨯==2331612q a a 8.题十二：A详解：根据等比数列的定义：()12121222223412122221222a a a a a a a a a q a q q a a q +++===+++.题十三：21()nn n+ 详解：解法1：设插入的n 个数为12,,,n x x x L ，且公比为q ，则111n n q n++=， ∴1(1)n q n n +=+，1,1,2,,kk x q k n n==L ，则(1)2122212111111()n n nn n n n n n n T x x x q q q qq n n n n n n+++++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅===L L L ； 解法2：设插入的n 个数为12,,,n x x x L ，1,110+==+n x nx n ， 011211n n n n x x x x x x n+-+====L ，设12n n T x x x =⋅⋅⋅L ，则212111()()()()nnn n n n T x x x x x x n-+==L ，∴21()n n n T n +=.题十四：B详解：方法一：∵31232a a a a =，34565a a a a =，37898a a a a =，…，328293029a a a a =，∴321a a a 654a a a 987a a a …302928a a a =33025829()2a a a a =L ，∴10258292a a a a =L ， ∴10101020369302582925829()()()()()222a a a a a q a q a q a q a a a a q ===⋅=L L L ，方法二：由321a a a ...30a =2111q a q a a ⋅⋅ (29)1qa =301+2++291a q ⋅⋅⋅⋅=30291530122=⋅⨯a 知，1029510122=⋅⨯a ，∴369a a a …30a =815121q a q a q a ⋅⋅…291q a =102+5+8++291a q⋅⋅⋅⋅= 3151012⨯⋅a=2010102529510122222=⋅=⋅⋅⨯⨯a .综上可知，选B.。