结构力学第二章 1
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结构力学(I)-02-1 结构静力分析篇4(桁架)@@9
4m
15kN 4m
15kN 4m
15kN
F
FNGF
15kN
ME = 0 MF = 0
FNGF = -20 kN FNGE = 25 kN
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16 / 53
第二章 静定结构受力分析
有些杆件利用其特殊位置可方便计算
L形结点 结点平面汇交力系中，
除某一杆件外，其它所
结点 单杆
有待求内力的杆件均共 线时，则此杆件称为该 结点的结点单杆。
FN1
FN2 FN
Fy=0 f(FN2 , FN )=0 Fx=0 g(FN2 , FN )=0
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FAy
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第二章 静定结构受力分析
FP
FP
E b
3
FP
1 2 4
FP D
FP
FP
FP
C
弦杆 斜杆
F F
M
y
x
C
0
0
0
f ( FN 2 , FN ) 0
FN1
FN 2
y
FN 2 FN 0
竖杆
利用对称性取结点D 先求斜杆b，再利用结点E
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F F
0 0
FN 4
FN 3
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y
第二章 静定结构受力分析
练习求FN1、 FN2 、 FN3
FP
1
FP
2h
对称轴?
3
2
4a
为了使计算简捷应注意： 1）选择一个合适的出发点； 2）选择一个合适的隔离体； 3）选择一个合适的平衡方程。
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02结构力学1-几何组成分析
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例3：计算图示体系的计算自由度 2 1 解法一
9根杆,9个刚片
有几个单铰？
3 3
3根单链杆
2 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 铰结链杆体系：完全由两端 铰结的杆件所组成的体系
y 两个刚片一共6个自由 度 加两个单链杆之后：整 个体系有4个自由度 减少2个自由度
x
1单铰=2个单链杆
y
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 实铰 x
两个单链杆
y
y
虚铰 x
x
§2-1 基本概念
三. 约束（联系）
既不平行又不相交于一点 的三个单链杆=一个固定支 座
三个单链杆=一个固定支座？
§2-2 静定结构的组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点。
二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用三根 两个刚片用一 不全平行也不交 个铰和一根不通 于同一点的链杆 过此铰的链杆相 相联，组成无多 联，组成无多余 余联系的几何不 联系的几何不变 变体系。
体系。
§2-2 静定结构的组成规则
x
1单铰=2个约束
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 y
复铰
三个刚片一共9个自由 度 加铰之后：整个体系有 5个自由度 减少4个自由度 x
复铰 等于多少个 单铰？
1连接N个刚片的复铰 =N-1个单铰
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置
船舶结构力学第二章 (1)
逐次积分后，得：
x EIυ ′′′ = ∫ 0 qdx + A = N
x x EIυ ′′ = ∫ 0 ∫ 0 qdx 2 + Ax + B = M
1 x x x Ax 2 Bx 3 υ′ = ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 qdx + + +C =θ 2 EI EI EI
1 υ= EI
∫∫∫∫
0 0 0
x
M 0 x 2 N 0 x3 1 x x x x υ = υ0 + θ 0 x + + + ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 qdx 4 2 EI 6 EI EI
1、没有载荷作用时
N0 x3 M 0 x 2 v= + + θ 0 x + v0 6EI 2EI
M 0、N 0、θ 0、v0
初始弯曲参数。
平面弯曲假设
载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面 曲线
小变形条件
• 由变形关系
o
dθ
ρ
x
ε=
y
ρ
• 小变形（小挠度）
dx
y
ε dx
y (a)
d 2v = 2 ρ dx 1
• 坐标系统，符号
d 2v 几何方程： ε = − y 2 dx
基本公式：
（1）、几何关系： （2）、物理关系： （3）、平衡关系：
（2）、刚性固定端（刚性固定在刚性支座上）
特点：它阻止梁端发生挠度和转动。 边界条件为：
v=0 θ = 0（或v′ = 0)
"' v " = 0、v = m AEIv（ 自由支持在弹性支座上）
"' （ 刚性固定在弹性支座上） v' = 0、v = m AEIv
x EIυ ′′′ = ∫ 0 qdx + A = N
x x EIυ ′′ = ∫ 0 ∫ 0 qdx 2 + Ax + B = M
1 x x x Ax 2 Bx 3 υ′ = ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 qdx + + +C =θ 2 EI EI EI
1 υ= EI
∫∫∫∫
0 0 0
x
M 0 x 2 N 0 x3 1 x x x x υ = υ0 + θ 0 x + + + ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 qdx 4 2 EI 6 EI EI
1、没有载荷作用时
N0 x3 M 0 x 2 v= + + θ 0 x + v0 6EI 2EI
M 0、N 0、θ 0、v0
初始弯曲参数。
平面弯曲假设
载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面 曲线
小变形条件
• 由变形关系
o
dθ
ρ
x
ε=
y
ρ
• 小变形（小挠度）
dx
y
ε dx
y (a)
d 2v = 2 ρ dx 1
• 坐标系统，符号
d 2v 几何方程： ε = − y 2 dx
基本公式：
（1）、几何关系： （2）、物理关系： （3）、平衡关系：
（2）、刚性固定端（刚性固定在刚性支座上）
特点：它阻止梁端发生挠度和转动。 边界条件为：
v=0 θ = 0（或v′ = 0)
"' v " = 0、v = m AEIv（ 自由支持在弹性支座上）
"' （ 刚性固定在弹性支座上） v' = 0、v = m AEIv
结构力学 -01,02
(a) (b)
图 2-14
图2-15
§2-3 无多余约束的几何丌变体系的组成觃则
两刚片以既丌互相平行，也丌汇交的 3个链杆相联，形成 无多余约束的几何丌变体系(图2-16 a)。 这种觃则实际上是 2刚片 (a) 觃则(Ⅰ)的变相。如图2-16(a) 1 2 A 所示，当把杆1、2的交点规为 3 虚铰，该体系即成为两刚片以 1铰、1杆相联的几何丌变体系。 (b) 另外，若联结两刚片的 3 个链杆汇交亍一点(图2-16 b)， o 2 此时系统将能绕交点 O(瞬心) 1 发生微量相对转劢，从而成为 瞬变体系。 图2-16 这也可用以下实例说明。
三. 几何瞬变体系不常变体系： 下面，我们来分析图2-2(a)所示体系，由亍该体 系中三铰共线，假如在 A点加一力P如图(b),由亍该力 没有其它竖向力来平衡，则 A 点将产生竖向位秱，这 说明原体系是一个几何可变体系，但只要 A 点有一微 量位秱δ,三铰就丌再共线，此时力P就可由两个斜杆的 竖向拉力来平衡，如图 2-3(b)，从而使该体系成为几 何丌变体系。
§2-4 体系几何组成分析丼例
例2-8 作图2-26(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 图中ABCDEF 是在杆ABCD上依次增加二杆结点 E、 F 形成的刚片，再由对称关系可知该体系是三刚片用三个丌共 线的铰 (1，2)、(1，3)、(2，3)联结成的几何丌变体系(图b)。 例2-9 作图2-27(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 该体系 左侧几何丌变(3刚 片以丌共线的 3铰 相联)(图b)，可看 作是地球的一部分， 然后再用一铰和一 图2-26 个丌通过该铰的链 杆不弯杆 BD 相联 （图c)，因此，整 个体系几何丌变。
§2-4 体系几何组成分析丼例
例2-4 作图2-22(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 该体系无二杆结点可拆，也无明显的大刚片，但仔 细分析后可以发现，如图(b)将杆 1、2、3规为刚片时，这是 一个 3刚片用 3个虚铰 (1,2)、(2,3)、(1,3) 相联的几何丌变体系。 例2-5 图2-23(a) [解] 该体系左、 右对称，为一杆(CDEF) 图2-22 加两个二杆结点(A、B) 形成的大刚片，然后再 左 右 用一杆一铰相联(图b)， 因而是几何丌变体系。 但应注意的是， C点丌 图2-23 是二杆结点(图c) 。
图 2-14
图2-15
§2-3 无多余约束的几何丌变体系的组成觃则
两刚片以既丌互相平行，也丌汇交的 3个链杆相联，形成 无多余约束的几何丌变体系(图2-16 a)。 这种觃则实际上是 2刚片 (a) 觃则(Ⅰ)的变相。如图2-16(a) 1 2 A 所示，当把杆1、2的交点规为 3 虚铰，该体系即成为两刚片以 1铰、1杆相联的几何丌变体系。 (b) 另外，若联结两刚片的 3 个链杆汇交亍一点(图2-16 b)， o 2 此时系统将能绕交点 O(瞬心) 1 发生微量相对转劢，从而成为 瞬变体系。 图2-16 这也可用以下实例说明。
三. 几何瞬变体系不常变体系： 下面，我们来分析图2-2(a)所示体系，由亍该体 系中三铰共线，假如在 A点加一力P如图(b),由亍该力 没有其它竖向力来平衡，则 A 点将产生竖向位秱，这 说明原体系是一个几何可变体系，但只要 A 点有一微 量位秱δ,三铰就丌再共线，此时力P就可由两个斜杆的 竖向拉力来平衡，如图 2-3(b)，从而使该体系成为几 何丌变体系。
§2-4 体系几何组成分析丼例
例2-8 作图2-26(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 图中ABCDEF 是在杆ABCD上依次增加二杆结点 E、 F 形成的刚片，再由对称关系可知该体系是三刚片用三个丌共 线的铰 (1，2)、(1，3)、(2，3)联结成的几何丌变体系(图b)。 例2-9 作图2-27(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 该体系 左侧几何丌变(3刚 片以丌共线的 3铰 相联)(图b)，可看 作是地球的一部分， 然后再用一铰和一 图2-26 个丌通过该铰的链 杆不弯杆 BD 相联 （图c)，因此，整 个体系几何丌变。
§2-4 体系几何组成分析丼例
例2-4 作图2-22(a)所示体系的几何组成分析。 [解] 该体系无二杆结点可拆，也无明显的大刚片，但仔 细分析后可以发现，如图(b)将杆 1、2、3规为刚片时，这是 一个 3刚片用 3个虚铰 (1,2)、(2,3)、(1,3) 相联的几何丌变体系。 例2-5 图2-23(a) [解] 该体系左、 右对称，为一杆(CDEF) 图2-22 加两个二杆结点(A、B) 形成的大刚片，然后再 左 右 用一杆一铰相联(图b)， 因而是几何丌变体系。 但应注意的是， C点丌 图2-23 是二杆结点(图c) 。
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第二章杆件结构的几何组成分析
结构力学第二章杆件结构的几 何组成分析
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
A
A
B
B C
结构必须是几何不变体系。
二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
y xA y x
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-3 确定图示体系是否为几何不变体系。
1
2
3
无多余约束的 几何不变体系
几何可变体系
有多余约束的 几何不变体系
例2-4 确定图示体系是否为几何不变体系。
A
Ⅰ
B
C
Ⅱ
例2-6 确定图示体系是否为几何不变体系。
Ⅰ Ⅱ
例2-7 确定图示体系是否为几何不变体系。
C
C
A
B
A
B
练习：
讨论：三杆平行或三杆交于一点
常变体系
练习
A
瞬变体系
A
瞬变体系 常变体系
三. 二元体规则 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个
新结点的装置.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 例2-8 确定图示体系是否为几何不变体系。
根据计算自由度能否判
思考：支座是不是约束？刚结点是不是约束？
刚片 几何形状不能变化的平面物体
本章假定:所有构件均为刚。 构成无多余约束的几何不变体系. 无多余约束的几何不变体系为静定结构
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
A
A
B
B C
结构必须是几何不变体系。
二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
y xA y x
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-3 确定图示体系是否为几何不变体系。
1
2
3
无多余约束的 几何不变体系
几何可变体系
有多余约束的 几何不变体系
例2-4 确定图示体系是否为几何不变体系。
A
Ⅰ
B
C
Ⅱ
例2-6 确定图示体系是否为几何不变体系。
Ⅰ Ⅱ
例2-7 确定图示体系是否为几何不变体系。
C
C
A
B
A
B
练习：
讨论：三杆平行或三杆交于一点
常变体系
练习
A
瞬变体系
A
瞬变体系 常变体系
三. 二元体规则 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个
新结点的装置.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 例2-8 确定图示体系是否为几何不变体系。
根据计算自由度能否判
思考：支座是不是约束？刚结点是不是约束？
刚片 几何形状不能变化的平面物体
本章假定:所有构件均为刚。 构成无多余约束的几何不变体系. 无多余约束的几何不变体系为静定结构
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
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1.具有必要的约束数量。 2.约束布置方式合理。
§2 几个常用术语
1. 刚片(rigid plate)——平面刚体。
形状可任意替换
2.平面体系的自由度
(degree of freedom of planar system) 自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目
或体系运动时可独立改变的几何参数数目
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何 不变体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 F 于同一点的链杆 相联，组成无多 E 余联系的几何不 变体系。
虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
普通的铰称为实铰, 虚铰和实铰的约束效 用是相同的, 在组成分析中,常把它们等同 看待!
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均
保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
几何可变体系
( geometrically unstable system )
机构
在一般荷载作用下，几何形状及位置将发 生改变的体系。（不考虑材料的变形）
几何不变体系
几何可变体系
结构组成分析 ——判定体系是否几何可变，对于结
W=0,但
布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。
W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=2 ×6-12=0
W<0,体系 是否一定
几何不变呢？
例4：计算 图示体系的 自由度
上部 具有多 余联系
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
计算自由度
？= 体系真实 的自由度 W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0
注意:独立坐标指广义坐标，其可以是直角坐
标也可以是其他任何可独立变化的几何参数。
例如: a.一个点在空间有3个自由度； b.一个刚体在空间有6个自由度； c.一个点在平面有2个自由度； d.一个刚体在平面有3个自由度。
平面内一点
x
n=2
y
平面刚体——刚片
B
x
n=3
A
y
3. 约束 (constraint)
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
支座链杆
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1G
有 几
个
3
2
刚
片
有几个单铰？
？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
例2：计算图示体系的自由度
1
2 按刚片计算
9根杆,9个刚片
3
3
有几个单铰？
2
1
3根单链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
2有几个源自单3铰？1
讨论
2
3 1
体系W
等于多少？ 可变吗？
W=0,体系 是否一定
几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
约束--指限制杆件或体系运动的装置。或者说是减 少自由度的装置。分为外部约束和内部约束。
一根
链杆
相当
n=3
一个 约束
平面刚体——n刚=2片
单铰：指联结两个刚片的铰。
x α
y
铰
β
单铰联后
n=4
每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度
1个单铰 = 2个约束
两刚片用两链杆连接
C
B
n=4
x A
第二章 平面体系几何构造分析
Construction Analysis of Structures
基本假定：不考虑材料的变形
§1 几个基本概念
几何构造分析
按照机械运动和几何学的原理对体 系发生运动的可能性进行分析，称 为几何构造分析。
几何不变体系
( geometrically stable system )
构，区分静定和超静定的组成。
注意：一般结构都应该是几何不变体系，
而不能采用几何可变体系。
几何组成分析的目的
1.在实际工程中，结构要承受一定的荷载，必须 采用几何不变体系，因此，在实际工程中避免 出现几何可变体系。
2.了解体系中各个部分之间的相互关系，从而改 善和提高结构的受力性能。
组成几何不变体系的条件
去体系中的必要约束数。
2. 体系的计算自由度数
体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的 约束数。
计算自由度等于刚片总自由度数 减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b) m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系
复单链链杆杆
2n-3个
连接n个铰的
复链杆 等于多少个 单链杆？
每个自由刚片有 多少个
自由度呢？
n=3
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度
呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=1
每个单刚结点 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=3
4. 体系的计算自由度
1. 体系的自由度数 等于其各组成部分互不联结时总的自由度数减
缺少联系 几何可变
W=3W×=28-×(26×-1110=+13)=1
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求
的最少约束数目。 W<0，体系具有多余约束,但不一定几何不变。
W> 0 W< 0
体系几何可变 体系几何不变
§3 几何不变体系的组成规则
二刚片规则：
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
例如三铰拱
大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰
因为除去图中任 意一根杆，体系 都将有一个自由 度，所以图中所 有的杆都是必要 的约束。
除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的约束。
下部正方形中任 意一根杆，除去都 不增加自由度，都 可看作多余的约束。
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
y
两相交链杆构成一虚铰
复铰：指联结两个以上刚片的铰。
复铰 等于多少个
单铰？
1个连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
刚接--是指将2个或2个以上的刚片联接成一个 刚片。
单刚: 连接2个刚片的刚结点。 复刚: 连接2个以上刚片的刚结点。
A
A
B
单复刚刚结结点点
n-1个
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
§2 几个常用术语
1. 刚片(rigid plate)——平面刚体。
形状可任意替换
2.平面体系的自由度
(degree of freedom of planar system) 自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目
或体系运动时可独立改变的几何参数数目
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何 不变体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 F 于同一点的链杆 相联，组成无多 E 余联系的几何不 变体系。
虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
普通的铰称为实铰, 虚铰和实铰的约束效 用是相同的, 在组成分析中,常把它们等同 看待!
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均
保持不变的体系。（不考虑材料的变形）
几何可变体系
( geometrically unstable system )
机构
在一般荷载作用下，几何形状及位置将发 生改变的体系。（不考虑材料的变形）
几何不变体系
几何可变体系
结构组成分析 ——判定体系是否几何可变，对于结
W=0,但
布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。
W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=2 ×6-12=0
W<0,体系 是否一定
几何不变呢？
例4：计算 图示体系的 自由度
上部 具有多 余联系
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
计算自由度
？= 体系真实 的自由度 W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0
注意:独立坐标指广义坐标，其可以是直角坐
标也可以是其他任何可独立变化的几何参数。
例如: a.一个点在空间有3个自由度； b.一个刚体在空间有6个自由度； c.一个点在平面有2个自由度； d.一个刚体在平面有3个自由度。
平面内一点
x
n=2
y
平面刚体——刚片
B
x
n=3
A
y
3. 约束 (constraint)
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
支座链杆
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1G
有 几
个
3
2
刚
片
有几个单铰？
？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
例2：计算图示体系的自由度
1
2 按刚片计算
9根杆,9个刚片
3
3
有几个单铰？
2
1
3根单链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
2有几个源自单3铰？1
讨论
2
3 1
体系W
等于多少？ 可变吗？
W=0,体系 是否一定
几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
约束--指限制杆件或体系运动的装置。或者说是减 少自由度的装置。分为外部约束和内部约束。
一根
链杆
相当
n=3
一个 约束
平面刚体——n刚=2片
单铰：指联结两个刚片的铰。
x α
y
铰
β
单铰联后
n=4
每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度
1个单铰 = 2个约束
两刚片用两链杆连接
C
B
n=4
x A
第二章 平面体系几何构造分析
Construction Analysis of Structures
基本假定：不考虑材料的变形
§1 几个基本概念
几何构造分析
按照机械运动和几何学的原理对体 系发生运动的可能性进行分析，称 为几何构造分析。
几何不变体系
( geometrically stable system )
构，区分静定和超静定的组成。
注意：一般结构都应该是几何不变体系，
而不能采用几何可变体系。
几何组成分析的目的
1.在实际工程中，结构要承受一定的荷载，必须 采用几何不变体系，因此，在实际工程中避免 出现几何可变体系。
2.了解体系中各个部分之间的相互关系，从而改 善和提高结构的受力性能。
组成几何不变体系的条件
去体系中的必要约束数。
2. 体系的计算自由度数
体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的 约束数。
计算自由度等于刚片总自由度数 减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b) m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系
复单链链杆杆
2n-3个
连接n个铰的
复链杆 等于多少个 单链杆？
每个自由刚片有 多少个
自由度呢？
n=3
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度
呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=1
每个单刚结点 能使体系减少
多少个 自由度呢？
s=3
4. 体系的计算自由度
1. 体系的自由度数 等于其各组成部分互不联结时总的自由度数减
缺少联系 几何可变
W=3W×=28-×(26×-1110=+13)=1
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求
的最少约束数目。 W<0，体系具有多余约束,但不一定几何不变。
W> 0 W< 0
体系几何可变 体系几何不变
§3 几何不变体系的组成规则
二刚片规则：
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
例如三铰拱
大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰
因为除去图中任 意一根杆，体系 都将有一个自由 度，所以图中所 有的杆都是必要 的约束。
除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的约束。
下部正方形中任 意一根杆，除去都 不增加自由度，都 可看作多余的约束。
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
y
两相交链杆构成一虚铰
复铰：指联结两个以上刚片的铰。
复铰 等于多少个
单铰？
1个连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
刚接--是指将2个或2个以上的刚片联接成一个 刚片。
单刚: 连接2个刚片的刚结点。 复刚: 连接2个以上刚片的刚结点。
A
A
B
单复刚刚结结点点
n-1个
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？