第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质(2)

第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。

特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n 阶行列式定义和性质一、 二、三阶行列式定义的引出1. 二阶行列式例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122112121121122122111221221,.b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==--取 2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，得 .,2211DD x DD x ==定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。

2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=1112112121212a b D a b b a a b ==-2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++称为三阶行列式。

3阶行列式由23个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有6!3=项，且正负项的各数相同。

其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。

应用：解三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记D =,333231232221131211a a a a a a a a a 1D =,333232322213121a a b a a b a a b2D =,333312322113111a b a a b a a b a 3D =,332312222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：.,,332211DD x D Dx D D x ===例3. 计算三阶行列式601504321- 解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=例4 ( 解三元线性方程组.013222321321321⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x解 由于方程组的系数行列式=D 111312121---- =)1(11-⨯⨯)1()3()2(-⨯-⨯-+121⨯⨯+11)1(⨯⨯--1)3(1⨯-⨯-)1(2)2(-⨯⨯--5-=,0≠1D =11311122----,5-=2D =11312121----,10-=3D =011112221---,5-= 故所求方程组的解为:,111==D D x ,222==DDx .133==D D x再看三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ =112233233212213323311321322231()()().a a a a a a a a a a a a a a a ---+- =222321232122111213323331333132a a a a a a a a a a a a a a a -+二、n 阶行列式的定义1. n 阶行列式的定义 定义3由2n 个数),,2,1,(n j i a ij =排成n 行n 列的式子， 称nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=为n 阶行列式。

注意：n 阶行列式|D |是一个算式（多项式）。

当1=n 时，|D |1111a a ==；当2≥n 时，∑==+++==nj j jn n n A aA a A a A a D D 1111112121111其中，j jj M A 111)1(+-=nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i nj j j a a a a a a a a a a a a a a a a M1,1,1,11,11,11,1,1,1,1,21,21,2211+-+++-+++-+-=并称j M 1为元素j a 1的余子式，j A 1为元素j a 1的代数余子式；其中, 求和式中共有!n 项．2.几个特殊行列式上三角行列式，下三角行列式和对角行列式nn nn a a a a a a D222112111=, 11,22111,1112n n nn a a a a a a D--=nna a a D000022113=.例5 计算nnnn a a a a a a D222112111=解：利用数学归纳法可以证明。

=1D nn a a a 2211结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．例6 证明******=--12,11,21000000n n n n n a a a a D =2)1()1(--n n 11,21n n n a a a -证明：利用行列式的定义111112,31,211)1()1(000)1(---+--+-=-=***-=n n n n n n n nnn D aD a a a a D反复利用行列式的定义，可得12,11,2112)2()1(21,2211111)1()1()1()1(n n n n n n n n n n n n n n n a a a a D a a D a D --+++-+--------=--=-= =2)1()1(--n n 11,21n n n a a a -结论：以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号2)1()1(--n n ．特例：nn λλλλλλ2121=，nn n nλλλλλλ212)1(21)1(--=3. 全排列和逆序数定义4把n 个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这n 不同数的一个全排列(简称排列).显然，由n ,,2,1 组成的n 12是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称自然排列。

标准排列：对n 个不同的自然数从小到大构成的排列．注：n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．例如, 自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？（3！=6） ；自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种；那么互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列？有!n 种．定义5在一个全排列中，如果某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有（存在）1个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列n j j j 21的逆序数记为)(21n j j j τ.注意：逆序是对元素来说的，而逆序数是对一排列来说的。

算法：固定),3,2( =i , 当i j <时,满足i j p p >的“j p ”的个数记作i t （称为i p 的逆序）, 那么)(21n p p p τn t t ++= 2.例 求排列8372451的逆序数, 1562231172=+++++=++=t t τ． 定义6对一排列来说，逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.4.排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部排列两两配对，使每两个配成对的排列在这个对换下互变.定理 1对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 相邻对换：n i i n i i p p p p p p p p 1111++→ 一般对换：n i j n j i p p p p p p p p 11→)(j i <推论 在全部!n 各排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2/!n 个.5. n 阶行列式的另一定义在行列式的定义中，虽然每一项是n 个元素的乘积，但是由于这n 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n 个元素(譬如in i i a a a ,,,21 )来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有2112221122211211a a a a a a a a -=, (1)312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，每一项都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，每一项都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成321321j j j a a a , (3)其中321j j j 是1，2，3的一个排列.可以看出，当321j j j 是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当321j j j 是奇排列时带有负号.定义7n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a212222111211 (4)等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n nj j j a a a 2121 (5)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当n j j j 21是偶排列时，(5)带有正号，当n j j j 21是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成∑-=nn n j j j nj j j j j j nnn n n na a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(τ, (6)这里∑nj j j 21表示对所有排列求和.为了计算n 阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，n 阶行列式是由!n 项组成的.三、 n 阶行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n 阶行列式一共有!n 项，计算它就需做个乘法.当n 较大时，!n 是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.性质1 行列互换，行列式不变.即111211121121222122221212||n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a ===T D证明：（略）设nn n na a a a D1111=, nnn n a a a a D1111Τ=则称||TD 是D 的转置，即D D =Τ．证 令),,2,1,(n j i a b ji ij ==, 则nnn b b b b D1n111Τ=nn np p p p p p b bb212121)()1(∑-=τ )(21n p p p ττ=Da a an p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如下三角形的行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=性质2 行列式nnnj n in ij i n j a a a a a a a a a D111111||=对任意一行按下式展开，其值不变。