高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证 明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法 的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思 考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
高二数学直接证明与间接证明2(1)
CO DO
EO FO
AO BO
AE BF（已知）
EOC FOD（对顶角相等）
EOC FOD EC FD
证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 EOC FOD 为此只需证明 CO DO EOC FOD EO FO 为了证明 CO DO 只需 ACO BDO 为了证明 EO FO
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-2
2.2《直接证明与间接证明》
教学目标
• ①了解直接证明的两种基本方法：分析法 和综合法；了解分析法与综合法的思考过 程与特点. • ②了解间接证明的一种基本方法——反证 法；了解反证法的思考过程与特点.
直接证明
直接证明（问题情境）
如图，四边形ABCD是平行四边形
不同
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件
结论
分析法
结论
已知条件
直接证明（例题）
例1 如图，已知AB，CD交于点O，ACO BDO， AE BF，求证：CE DF.
直接证明
证 （综合法） 因为
ACO BDO
所以 因为 所以 又因为 所以 所以
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本题条件 已知定义 本题结论 已知公理 已知定理
直接证明（学生活动）
思考：在《数学 （必修）》中，我们如 5 何证明 ab 基本不等式 ab (a 0, b 0) ? 2 证法1 对于正数a,b, 有
（ a
b） 0
2
a b 2 ab 0 a b 2 ab ab 2 ab
作业：35页习题2-1. 1题
人教A版选修1-2 2.2.1 综合法和分析法教案
2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）. 2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.。
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计
人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计背景在高中数学中，直接证明和间接证明是一项重要的内容。
在初学阶段，学生可能会对这两种证明方式感到困惑，并将其视为难以理解的概念。
因此，在高中选修1课程中，适当地引入这些概念，有助于提升学生的证明能力，加深对数学的理解。
教学目标•了解直接证明和间接证明的含义和定义。
•掌握直接证明和间接证明的基本结构和方法。
•能够运用直接证明和间接证明的方法证明一些简单的数学命题。
教学内容直接证明•手动沙盘演示•直接证明的定义和特点•直接证明的基本步骤•示例讲解：证明“两角相等则对边相等”间接证明•手动沙盘演示•间接证明的定义和特点•间接证明的基本步骤•示例讲解：证明“正整数的平方不是偶数”教学实施本教学设计中，我们主要采用了手动沙盘演示的方法，来帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的过程以及步骤。
直接证明•首先，我们在黑板上画一个三角形，并画出对边。
•然后，我们在沙盘上放置一个形状类似的三角形。
•接下来，我们让学生沿着直接证明的基本步骤，依次证明两个三角形的相等性，即可从直接证明中得到结论。
•在讲解示例时，我们还可以让学生自己尝试证明一些简单的数学命题，如“同弧度圆周角相等”等。
间接证明•在沙盘上摆放一些正整数的平方以及偶数。
•接下来，我们让学生依照间接证明的基本步骤，用矛盾法来证明正整数的平方不是偶数。
•我们还可以鼓励学生们自己构造出一些有关平方数的证明问题，让他们自行尝试间接证明的方法。
教学效果通过本教学设计，我们得到了良好的教学效果。
不仅可以帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的定义和特点，而且可以在沙盘演示的过程中，使学生更好地了解证明的基本步骤，提升学生的证明能力。
同时，让学生自行构造有关数学证明的问题，也可以激发学生的思考能力，培养其数学兴趣。
高中数学 数学归纳法2教案 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学教案
§2.3 数学归纳法(2)[学情分析]：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n〔n取无限多个值〕有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。
[教学目标]：〔1〕知识与技能：理解“归纳法〞和“数学归纳法〞的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法〞证明与正整数有关的数学命题。
〔2〕过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
〔3〕情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
[教学重点]：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
[教学难点]：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
[教学过程设计]：[练习与测试]：1． 使用数学归纳法证明22()nn n N <∈，假设不等式成立，那么n 的取值X 围是〔 〕 A. 2n ≥ B. 3n ≥ C. 4n ≥ D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。
2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ 〞，要证明第一步时，左边的式子= 。
答案：1213413121=++。
3．当*N n ∈时，求证：3()2nn >。
证明：〔1〕当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。
〔2〕假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2kk >那么当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合〔1〕〔2〕原不等式对于任意*N n ∈均成立。
2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
湖北省巴东一中数学选修2-2教案 2.2直接证明与间接证明1(理)
2.2.1 直接证明与间接证明(1)【学情分析】前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。
数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。
这是数学区别于其他学科的显著特点。
本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。
本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。
【教学目标】（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。
【教学难点】根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。
【教学过程设计】证：ABC ，B ，C 成等ABC 的内角 3B π=【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。
2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。
证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。
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所以 AB // CD，BC // DA ，
故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4． 因为 AC＝CA， 所以 △ABC≌△CDA， 故 AB＝CD，BC＝DA． 思考 以上证明方法有什么特点？ 上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直 接证明．
二、新课
1．定义．
直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．
2．直接证明的一般形式．
本题条件
已知定义 已知公理
L
本题结论
已知定理
思考：在《数学 5（必修）》中，我们如何证明基本不等式 ab ≤ a＋b 2
(a＞0，＞b 0) ？
证法 1 对于正数 a，b，有 （（ a－≥b＋2 －≥0 ＋a≥≥b 2 ab 0 a b
要证： ab ≤ a＋b ， 2
2 ab a＋b 2
只要证： 2 ab ≤＋a b ，
ab ，
只要证： 0 ≤－a ＋2 ab b ，
只要证： 0 ≤－( a b)2 ，
因为最后一个不等式成立，故结论成立．
上述两种证法有什么异同？
相同：都是直接证明．
不同 ：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步
ab
2．若│a│＜1，│b│＜1，求证： a＋b ＜1 ． 1＋ab
3．△ABC 三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°． 四、回顾小结 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述． 通常以分析法寻ห้องสมุดไป่ตู้思路，再用综合法有条理地表述解题过程． 五、作业 课本 P87 第 1，2，3，4 题．
CO＝DO 为此只需证明 EOC＝FOD ，
EO＝FO 为了证明 CO＝DO， 只需 △ACO≌△BDO， 为了证明 EO＝FO， 只需证明 AO＝BO（因为已知 AE＝BF ）， 也只需 △ACO≌△BDO（已知）， 因为 ∠EOC 与∠FOD 是对顶角，所以它们相等， 从而 △EOC≌△FOD 成立，因此命题成立． 三、练习 1．若 a＞0，b＞0，求证： a＋＋ b ≥ 1 2 2 ．
求证：CE＝DF．
证法一：（综合法） 因为 △ACO≌△BDO， 所以 CO＝DO， AO＝BO， 因为 AE＝BF（已知）， 所以 EO＝FO， 所以 ∠EOC＝∠FOD（对顶角相等）， 所以 △EOC≌△FOD， 所以 EC＝FD． 证法二：（分析法） 证 （分析法）要证明 CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD
下推，直到推出要证明的结论为止．
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使
结论成立的条件和已知条件吻合为止．
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 L L 结论
分析法
结论 L L 已知条件
例 1 如图，已知 AB， CD 交于点 O， △ACO≌△BDO，AE＝BF，
教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综
合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综
合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用．
教学过程： 一、预习 1．问题 如图，四边形 ABCD 是平行四边形． 求证：AB＝CD，BC＝DA． 证明 连接AC，