高二文科立体几何复习讲义

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高二文科立体几何复习讲义

高二文科立体几何复习讲义一、基础知识梳理：1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

新高二数学总复习(4)--立体几何知识要点讲义

新高二数学总复习（4）—必修二立体几何知识要点归纳讲义第一章空间几何体一、柱、锥、台、球的结构特征（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.(2) 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.二，空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系'''x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径）2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ ④球体的体积343V R π= 考题精炼1、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（） A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（）A． B ． C ． D ．3．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．π12 B ．π24 C ．π36 D ．π48222r rl Sππ+= 656 54【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 35．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（） A ．1:2:3 B ．1:4:9 C ．2:3:4 D ．1:8:276、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A ππ221+B ππ441+C ππ21+D ππ241+7、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A 3：2B 2：1C 4：3D 5：38、已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（） A 220 B π225 C π50 D π2009、已知正方体外接球的体积是π332，则正方体的棱长为（） A 22 B332 C 324 D 33410.【2012高考新课标文8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 11【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π12．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16162+C ．48D ．16322+第二章、空间点、线、面、的位置关系一、基本公理1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据）经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线图1正视图俯视图侧视图55635563 侧(左)视图俯视图 4 4正(主)视图2A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线二、空间直线与平面平行的判定及其性质【知识点总结】空间中的平行问题 1．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC 2．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒ 3．平面与平面平行1,面面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A = ，//a β，////b βαβ⇒（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

著名机构高二数学文科秋季班讲义第1讲立体几何初步.删解析

当前形势立体几何在近五年北京卷（文）考查19－24分高考要求内容要求层次具体要求A B C柱、锥、台、球及其简单组合体√认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．三视图，斜二测法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第4题5分第16题14分第5题5分第16题14分第5题5分第17题14分第7题5分第16题14分第8题5分第10题5分第17题14分新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级空间向量与立体几何立体几何6级立体几何初步立体几何7级立体几何之平行问题1第1讲·尖子-目标·教师版2第1讲·尖子-目标·教师版<教师备案> 暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（）A ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C ．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D ．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【解析】 D2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比暑期知识回顾空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγL ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）．棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱； S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高；棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高） 11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S SS S ''=+台体．（S S '，为底面面积）旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高；圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高；圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高；球球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概念；球的表面积及体积公式：24πS R =球，34π3V R =球；大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．为（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【解析】D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】A4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A．1:2:3B．1:7:19C．3:4:5D．1:8:27【解析】B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E 、F，则线段EF的长为_______．【解析】2236．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球___S正方体．【解析】7．一个长方体的全面积是220cm，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为______．【解析】4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．11πB．20πC．27πD．32π【解析】B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积1．多面体的表面积和体积公式名称侧面积S侧全面积S全体积V1.1空间几何体的表面积及体积知识点睛3第1讲·尖子-目标·教师版4第1讲·尖子-目标·教师版棱柱棱柱直截面周长l ⨯2S S +侧底S h ⋅底直棱柱 chS h ⋅底棱锥棱锥各侧面面积之和S S +侧底 13S h ⋅底正棱锥 12ch ' 棱台棱台各侧面面积之和S S S ++侧上底下底 ()13h S S S S ++⋅上底下底上底下底正棱台 ()12c c h ''+ 表中S 表示面积，c '、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h '表示斜高，l 表示侧棱长．<教师备案>多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．2．旋转体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧全面积S 全体积V圆柱2πrl()2πr l r +2πr h （即2πr l ）圆锥πrl ()πr l r + 21π3r h 圆台 ()12πr r l + ()()221212ππr r l r r +++ ()2211221π3h r rr r ++球 24πR34π3R 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，1r 、2r 分别表示圆台的上、下底面半径，R 表示球的半径．<教师备案>圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥P ABCDEF -的底面是边长为2的正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，且3PA =，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（）A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【解析】 ⑴ 63122+，215；⑵ A ；【例1】 ⑴若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）经典精讲5第1讲·尖子-目标·教师版A ．26B ．23C ．33D ．23⑵如图，点E 、F 分别在单位正方体1111ABCD A B C D -的1AA 、1B C 上，则三棱锥1D EDF -的体积为________．⑶已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S 、2S 、3S 满足的等量关系是__________⑷已知平行四边形两邻边的长a 和b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A ．b aB ．a bC ．3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭【追问】三角形三条边长分别为a b c ，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A ．::a b cB ．222::a b cC ．333::a b cD ．111::a b c【解析】 ⑴ B ；⑵ 16；⑶ 12323S S S +=；⑷ A 【追问】D ．考点2：几何体的表面积体积综合<教师备案>求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．【解析】 23；经典精讲FED 1C 1B 1A 1D CB A6第1讲·尖子-目标·教师版【例2】 ⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是cm ．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111AC BC AC B C ，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．C 1B 1A 1CB ABA CB 1C 1A 1图① 图② 图③【解析】 ⑴ 4；⑵ 32a ；尖子班学案1【拓2】有一个圆锥形容器正放，它的高为h ，圆锥内水面的高度为1h ，113h h =，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h ．【解析】 3219h h =．目标班学案1【拓3】如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A 面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm ；若将直三棱柱的B 面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米．【解析】 32；7第1讲·尖子-目标·教师版【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入V 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．PP图2图1【解析】 B 、D ；1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．<教师备案>组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】 ⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于．1.2组合体经典精讲8第1讲·尖子-目标·教师版⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12r r ，（12r r <）．【解析】 ⑴ 14π；⑵ 它的内切球的表面积为24π14π⋅=，外接球的表面积为()24π312π=，与各棱相切的球的表面积为()24π28π=．【点评】正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等． ⑶ 12Rr =，22r R =．尖子班学案2【拓2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【解析】 9π；目标班学案2【拓3】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】 43π；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】 ⑴如果正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，则四面体的体积为_______． ⑵如果正四面体ABCD 的内切球的体积为43π，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为43π，求四面体的体积．经典精讲9第1讲·尖子-目标·教师版⑴83； ⑵ 72；【追问】83【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a 时，求它的内切球半径r 与外接圆半径R ．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O ．法一：如图3，将正四面体ABCD 置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径， 22632R ==，故6R =．正四面体的体积34π43π33R R =⇒33321122432V ⎫⎫=-⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而正四面体的高h 满足：2313263h h =⇒=．利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体ABCD 分割成以球心O 为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥，它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r ，故164r h ==．故外接球可以利用R r h +=知，34R h =．法二：如图1，1O 为底面BCD △的中心，13DO =，高22116h AO a DO ==-，O 一定在1AO 上，∴AO DO R ==，16OO r h R R ==-=-， ∴在1Rt OO D △中，22211OD OO O D =+，即222613R R a ⎫=-+⎪⎪⎝⎭，解得6R =，666r =．法三：如图2，1O 为底面BCD △的中心，则O 一定在1AO 上，AE 为球的大圆直径．故AE ⊥1O D ，AD ⊥DE ，设AD a =，则12333O D =，图2BC DO O 1图3DCBA图1O 1O DC BA10 第1讲·尖子-目标·教师版故16AO a =，11622O E R AO R a =-=-．由平面射影定理知，2111O D AO O E =⋅，即26623a a R a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R a =，666r a a a =-=．综上，我们知当正四面体ABCD 的棱长为a ，它的高为6a ，体积为32a ，外接球半径为6a ，内切球半径为6a ．考点5：空间几何体的直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 2．画法：斜二测画法和正等测画法： ⑴斜二测画法规则：Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） ②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） ③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<教师备案>正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图．斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45︒或135︒角，长度为原长的一半”．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程．1.3空间几何体的直观图与三视图经典精讲知识点睛11第1讲·尖子-目标·教师版【例5】 ⑴正三角形ABO △的边长为a ，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是__________．⑵如下右图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．BA yxOx 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】 ⑴26a ； ⑵ 周长为8，面积为22．考点6：空间几何体的三视图<教师备案>研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何．在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论．法国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．样构成的图形叫做空间图形的三视图．<教师备案>三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．三视图的排列规则．．．．．．．．是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；知识点睛12 第1讲·尖子-目标·教师版三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．提高班学案3【铺1】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则该几何体的体积为 3m ．332221【解析】 4【例6】 ⑴一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（） A ．372 B ．360 C ．292 D ．280⑵一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A ．63B ．8C ．83D ．12 ⑶某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8π3B ．3πC ．10π3 D ．6π俯视图侧(左)视图正(主)视图62262286211俯视图左视图正视图232422俯视图侧视图正视图第⑴题第⑵题第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ A ⑶ B ；经典精讲俯视图俯2222213第1讲·尖子-目标·教师版尖子班学案3【拓2】一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2π23+ B ．4π23+C ．232π3+D ．234π3+【解析】 C目标班学案3【拓3】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（）A ．48122+B ．48242+C ．36122+D ．36242+ 【解析】 A【例7】 ⑴一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．2B ．92C ．3D ．94俯视图侧视图正视图111111⑵某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（）A ．22B ．23C ．4D ．25【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；363443666将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．326+B．262+C．264+D．4326+【解析】C四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高426O H=．设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC-（如图），球心4O在其高DE上，且442611O E O H=+=+．下面求4O D．设M为球4O与平面BCD的切点，则M在BCD△中线DF上，41O M=，4DMO DEF△∽△．∴4431O D DFO M EF==．∴43O D=．∴44264DE O D O E=+=+．选C．【演练1】设A表示平行六面体，B表示直平行六面体，C表示长方体，D表示正四棱柱，E表示正方体，则A，B，C，D，E的关系是（）A．A B C D E⊂⊂⊂⊂B．A B D C E⊂⊂⊂⊂C．E D C B A⊂⊂⊂⊂D．E C D B A⊂⊂⊂⊂【解析】C；【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）实战演练HO3O2O1O4OO4ABDE FM14 第1讲·尖子-目标·教师版15第1讲·尖子-目标·教师版A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】Ｃ．【演练3】半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为．【解析】 3a ；【演练4】圆台上下底面面积之比为1:9，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比12:V V =_____．（其中12V V <）【解析】 7:19；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ．【解析】422+；【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴ 求该几何体的体积V ； ⑵ 求该几何体的侧面积S ．【解析】 ⑴ 64V =； ⑵ 40242S =+．四面体ABCD 的对边长分别相等，AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，求这个四面体外接球的直径．大千世界6816 第1讲·尖子-目标·教师版【解析】同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体．如图所示，作长方体AEBF GCHD -，使得AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径d ．设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b z x c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得：22222222a b c d x y z ++=++=，∴2222a b c d ++HG FED CB A。

高二立体几何数学讲义3.doc

1高二立体几何数学讲义（三）一、平面与平面平行1、两个平面平行的判定定理：_____________________________________________________________2、两个平面平行的性质定理：_____________________________________________________________3、公垂线、公垂线段：_____________________________________________________________4、两个平行平面之间的距离：_____________________________________________________________巩固练习1．下列说法正确的有________⑴ 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 ⑵ 平行于同一平面的两条直线平行⑶ 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 ⑷ 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行2．已知直线a 、b ，平面α、β, 且a // b ，a //α，α//β，则直线b 与平面β的位置关系为 . 3．已知a 、b 、c 是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ； ⑵ a ∥γ，b ∥γ⇒a ∥b ； ⑶ c ∥α，c ∥β⇒α∥β； ⑷ γ∥α，β∥α⇒α∥β； ⑸ a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α； ⑹ a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α. 其中正确的说法依次是 .4．已知平面α∥β，a α⊂，有下列说法：① a 与β内的所有直线平行；② a 与β内无数条直线平行；③ a 与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 .5．设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则SC =_ . 6．如右图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .7．已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD .8．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2,侧棱13A A =，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点.（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求平面AMN 与平面EFDB 的距离. .9．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC .10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD ._F_E_ E_C_D_B_A_ B _1_ A _1 _ D _1_ C _12二、平面与平面垂直 1、二面角2、两个平面垂直的判定定理：_____________________________________________________________3、两个平面垂直的性质定理：_____________________________________________________________巩固练习1．下面四个说法：① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直. 其中正确的说法有______个.2．E 是正方形ABCD 的AB 边中点，将△ADE 与△BCE 沿DE 、CE 向上折起，使得A 、B 重合为点P ，那么二面角D —PE —C 的大小为 .3．空间四边形ABCD 中，AB =BC ，CD =DA ，E 是AC 的中点，则平面BDE 与平面ABC 的位置关系是 . 4．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .5．P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是P 在平面α内的射影. 若P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 是△ABC 的__________心；若P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC 的_______心；若P A ,PB ,PC 两两垂直，则O 是△ABC 的_______心.6．如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥ 平面BGD .7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．8．如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱1B B 的中点. 求证：（1）EF ⊥平面11BB D D ；（2）平面1EFB ⊥平面11D C M .9．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC . （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中. 求证：（1）B 1D ⊥平面A 1C 1B ；（2）B 1D 与平面A 1C 1B 的交点设为O ，则点O 是△A 1C 1B 的垂心.A 1。

2021年高考文科数学总复习(第八章第1节)立体几何讲义

第1节简单几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知识梳理1.简单几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12. 3.三视图 (1)三视图的名称几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置. [微点提醒]1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.(4)球的三视图均相同，而圆锥的主视图和左视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修2P6B2改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案 C3.(必修2P8讲解引申改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为()A.1 2B.22 C.23 D.24解析设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为b2sin 45°＝24b的平行四边形，所以S直观S矩形＝24abab＝24.故选D.答案 D4.(2019·合肥一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A.圆锥B.三棱椎C.三棱柱D.三棱台答案 C5.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.答案 A6.(2018·衡水月考)如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(写出视图名称).解析观察几何体的结构特征，不难发现其下层长为两个小长方体的长，宽为两个小长方体的宽，高为两个小长方体的高.所以主视图应为①，左视图为②，俯视图为③.答案主视图左视图俯视图考点一简单几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.答案(1)A(2)②③④规律方法 1.关于简单几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种简单几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.答案 C考点二简单几何体的三视图多维探究角度1由简单几何体的直观图判断三视图【例2－1】(2018·黄山一模)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析截去两个三棱锥后的几何体的左视图可以看见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在左视图中为虚线，所以左视图为选项B中的图形.答案 B角度2由三视图判断几何体【例2－2】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B.2 5C.3D.2解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.答案(1)B(2)B规律方法 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据主视图或左视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】(1)(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019·上饶模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的主视图与左视图的面积之和为()A.1B.2C.3D.4解析(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.∴三棱锥P－BCD的主视图与左视图分别为△P′AD与△P″CD，因此所求面积S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.答案(1)C(2)B考点三简单几何体的直观图【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2解析如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.答案 D规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形.【训练3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2＋ 2B.1＋22 C.2＋22 D.1＋ 2解析恢复后的原图形为一直角梯形，所以S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.答案 A[思维升华]1.画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.(2)摆放规则：左视图在主视图的右侧，俯视图在主视图的正下方.(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想. [易错防范]1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.简单几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列说法中，正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C 正确.故选C.答案 C2.某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形.答案 A3.(2019·延安模拟)某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析因为主视图和左视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥.故选A.答案 A4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B5.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确. 答案 D6.(2018·肇庆二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为()A.41B.34C.5D.3 2解析由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD.其中P A⊥底面ABCD，四棱锥P－ABCD的底面是边长为3的正方形，高P A＝4. 连接AC，易知最长的棱为PC，且PC＝P A2＋AC2＝42＋32＋32＝34.故选B.答案 B7.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.答案 A8.(2019·长沙月考)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()A.8B.4C.4 3D.4 2解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，S△BCD＝12×42×2＝42，故选D.答案 D二、填空题9.(2018·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________.解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.答案2 210.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________.解析由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为 2.答案 211.(2018·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其主视图和左视图是全等的等腰三角形，则主视图的周长为________.解析由题意知，主视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC 的中点，连接AO，易得AO＝2，又P A＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其主视图的周长为2＋2 2.答案2＋2 212.(2018·南昌NCS项目联考)已知圆台和正三棱锥的组合体的主视图和俯视图如图所示，图中小方格是单位正方形，那么组合体的左视图的面积为________.解析由题意可得左视图如图所示，上面是一个三角形，其底为1＋12＝32，高为2，三角形的面积S 1＝12×32×2＝32；下面是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，梯形的面积S 2＝12×(2＋4)×2＝6，所以组合体的左视图的面积S ＝S 1＋S 2＝32＋6＝152.答案152能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A.8B.7C.6D.5解析画出直观图，共六块.答案 C14.(2019·泉州二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是( )A.圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分解析根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.答案 D15.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).解析空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③.答案①②③16.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______.解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.故该四棱柱的体积V＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝3 2.答案3 2。

高中数学必修二《第八章立体几何初步》复习教案及练习

《第八章立体几何初步》复习教案8.1 基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征【基础知识拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．( )(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．( )(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．答案(1)B (2)4 (3)4 (4)8 6 12【核心素养形成】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1 下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．[解析] 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案] ①②④⑤【解题技巧】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2 如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[解] (1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.[条件探究] 若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【解题技巧】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3 如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【解题技巧】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【课堂达标训练】1．下列说法中，正确的是( )A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答案 D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．下列三种叙述，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是( )答案 C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是13 cm.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征【基础知识拓展】1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．空间几何体的轴截面(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体．(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面．(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球．( )(2)用平面去截圆锥、圆柱和圆台，得到的截面都是圆．( )(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)圆锥的母线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．无数条(2)图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．(3)图②的组合体是由________和________构成．(4)图③中的几何体有________个面．答案(1)D (2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3【核心素养形成】题型一旋转体的概念例1 下列命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断．(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台．故4个均不正确．[答案] A[条件探究] 若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解①以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；②以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；③以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；④以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥．【解题技巧】平面图形旋转形成的几何体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．【跟踪训练】一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥．如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个圆锥．题型二简单组合体的结构特征例2 描述下图几何体的结构特征．[解] 图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体．图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体．图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体．图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体．【解题技巧】简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析．【跟踪训练】观察下列几何体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的．解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的．图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型三旋转体的计算问题例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A ＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又腰长AB＝12 cm，所以圆台的高为AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，所以l＝20(cm)．故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.【解题技巧】旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用．解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题．(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．【跟踪训练】圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，设上底面的面积为S 1，半径为r 1，则S 1＝πr 21＝1，下底面的面积为S 2，半径为r 2，则S 2＝πr 22＝49，截面的面积为S ＝S 1＋S 22＝25，半径为r 3，则S ＝πr 23.由三角形相似得⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.题型四圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4 如图所示，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形．【解题技巧】求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法．【跟踪训练】国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为22米，如图所示．为了美观需要，在底面圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示．这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为22米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120°，所以MM1＝33米，即彩绸最短要33米.【课堂达标训练】1．下列几何体中不是旋转体的是( )答案 D解析正方体不可能是旋转体．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A．球体B．圆柱C．圆台D．两个共底面的圆锥的组合体答案 D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥．故选D.3．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④答案 D解析根据旋转体的概念知①④正确．4．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．5．圆台的两底面圆的半径分别为2 cm,5 cm，母线长是310 cm，求其轴截面的面积．解如图，在轴截面内过点A作AB⊥O1A1，垂足为B.由已知OA＝2，O1A1＝5，AA1＝310，∴A1B＝3.∴AB＝AA21－A1B2＝90－9＝9.∴S轴截面＝12(2OA＋2O1A1)·AB＝12×(4＋10)×9＝63(cm2)．故圆台轴截面的面积为63 cm2.8.2 立体图形的直观图【基础知识拓展】1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．两者之间关系为：S 直S 原＝24.2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )(3)若两条直线垂直，在直观图中对应的直线也互相垂直．( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的( )(2)在已知图形中平行于x轴的线段AB＝6 cm，则在直观图中线段A′B′＝______cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD＝4 cm，则在直观图中线段C′D′＝______cm.(3)在空间几何体中，平行于z轴的线段AB＝10 cm，则在直观图中对应的线段A′B′＝________cm.(4)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.答案(1)C (2)6 2 (3)10 (4)45°或135°【核心素养形成】题型一平面图形的直观图画法例1 画水平放置的正五边形的直观图．[解] (1)建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝12OA，O′F′＝12OF.过F′作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD，C′F′＝F′D′.(3)在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝12GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝12HE.连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的直观图．【解题技巧】画平面图形直观图的技巧(1)要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．【跟踪训练】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．题型二空间几何体的直观图画法例2 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] 画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.【解题技巧】画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．【跟踪训练】已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.题型三直观图还原平面图形例 3 (1)如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；(2)在(1)中若|C′A′|＝2，B′D′∥y′轴且|B′D′|＝1.5，求原平面图形△ABC的面积．[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.②在题图中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．(2)∵B′D′∥y′，∴BD⊥AC.又|B′D′|＝1.5且|A′C′|＝2，∴|BD|＝3，|AC|＝2.∴S△ABC＝12·|BD|·|AC|＝3.[结论探究] 若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积S′为多少？解设原图形的高为h，则直观图的高为24h.又平行于x轴的线段长度不变，∴S′＝24 S.【解题技巧】直观图还原平面图形的策略还原的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为斜二测直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．【跟踪训练】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )A．14 B．10 2 C．28 D．14 2答案 C解析∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝12×(2＋5)×8＝28.题型四直观图与原图间的计算问题例4 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2[解析] 如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.[答案] D【解题技巧】1.利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．(2)画图时要紧紧把握一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x轴成45°或135°；二测——两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原长度的一半2．若一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝24S原．【跟踪训练】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．答案菱形解析如图，在四边形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【课堂达标训练】1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案 C解析∠x′O′y′也可以是135°.2．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ACC．BC D．AD答案 B解析由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④答案D解析根据平面图形直观图的斜二测画法知③④可能是△ABC的直观图．4．如图，一个三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，则原△AOB的面积是________．答案 2解析由题意得O′B′＝B′A′＝1，∴O′A′＝2，且∠B′O′A′＝45°，∴△AOB是以∠O为直角的三角形，且OB＝1，OA＝22，∴S△AOB ＝12OB·OA＝12×1×22＝ 2.5．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．解(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示．(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示．(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示．(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．。

高二文科数学春季讲义第14讲立体几何教师版

第14讲立体几何14.1空间几何体知识点睛1．构成几何体的基本元素：点、线、面．⑴点不考虑大小；⑵线不考虑粗细；一条直线把平面分成两个部分．⑶面不考虑厚薄；一个平面将空间分成两个部分．2．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，其余的各面都在这个平面的同一侧．截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）．3412径，R表示球的半径．5．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法：446．三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．考点：空间几何体的体积与表面积【例1】⑴若将一个棱长为a的正方体，切成八个全等的小正方体，则表面积增加了______ ．⑵已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S等于_____．⑶等体积的球和正方体，表面积的大小关系是S球____S正方体(填<，>或=)．⑷已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，，则这个圆锥的表面积为______．【解析】⑴26a⑵200π⑶<⑷12π尖子班学案1【拓1】⑴如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于_____ ；⑵半径为a的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为______．⑶一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______；【解析】⑴30︒⑵⑶3:1:2考点：三视图【例2】⑴下列四个几何体中，各几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）①正方体②圆锥③三棱台④半球A．①②B．②③C．②④D．①③⑵一个几何体的俯视图是半径为2的圆，主视图和左视图都是一个宽为4，长为5的矩形，则该几何体的体积为______.⑶已知某个几何体的三视图如下左图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是_______⑷如下右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为________．经典精讲4546俯视图侧视图正视图正视图侧视图俯视图【解析】 ⑴ C⑵ 20π⑶ 34cm 3⑷ 33π目标班学案1【拓2】一个几何体的三视图如图，请画出它的直观图，并求该几何体的体积．【解析】直观图如图，803V =1．平面的三个公理：⑴ 公理一：A l ∈，B l ∈，A α∈，B α∈，l α⇒⊂ ⑵ 公理二：A B C ，，三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A α∈，B α∈，C α∈． ⑶ 公理三：A a αβαβ∈⇒=，A a ∈． 2．直线与平面的位置关系：⑴ 直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂；⑵ 直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=； ⑶ 直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作l α∥． 3．直线与平面平行判定：l α⊄，m α⊂，l m l ∥∥α⇒．性质：l ∥α，l β⊂，m l m ∥αβ=⇒．知识点睛14.2空间中的平行垂直422正视图侧视图俯视图44244PE DCB A474．面面平行判定：l α⊂，m α⊂，l m A =，l β∥，m β∥αβ⇒∥．性质：αβ∥，m γα=，n γβ=，m n ⇒∥． 5．直线与平面垂直定义：l O a =，m α∀⊂，l m ⊥l α⇒⊥．判定：m α⊂，n α⊂，m n O =，l m ^，l n ^l α⇒⊥．推论：m n ∥，m a ^n α⇒⊥．性质：m a ^，n a ^⇒m n ∥． 6．面面垂直：判定：l a ^，l β⊂αβ⇒⊥．性质：a b ^，l a b =，m α⊂，m l ^m β⇒⊥考点：平行垂直的判定【例3】 ⑴ 已知a ，b 表示两个不同的平面，m 为平面a 内的一条直线，则“m b ^”是“a b ^”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑵ 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1ABE ⑶ 给定下面四个命题，其中为真命题的是________．①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．【解析】 ⑴ A⑵ C ⑶ ②④【例4】 ⑴ 已知直线l ^平面a ，直线m ∥平面b ，下列命题中正确的是（）A ．l m αβ⊥⇒⊥B ．l m αβ⊥⇒∥C ．l m αβ⊥⇒∥D ．l m αβ⇒⊥∥ ⑵ 已知两条互不重合的直线m n ，，两个不同的平面αβ，，下列命题中正确的是（） A ．若m a ∥，n b ∥，且m n ∥，则a b ∥ B ．若m a ^，n b ∥，且m n ^，则a b ^ C ．若m a ^，n b ∥，且m n ∥，则a b ∥ D ．若m a ^，n b ^，且m n ^，则a b ^⑶ 设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：经典精讲A 1B 1C 1ABE C48①若αγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，则m β∥，n β∥，则αβ∥； ③若αβ∥，l α⊂，则l β∥；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，l γ∥，则m n ∥．其中真命题是________【解析】 ⑴ D⑵ D ⑶ ③④尖子班学案2【铺1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，E 是1DD 的中点．⑴ 求证：1BD ∥平面ACE ； ⑵ 求证：平面ACE ⊥平面11B BDD ．【解析】 ⑴ 记AC BD ，交于点O ，连接EO ，则O 为BD 中点，又E 为1DD 中点，则1EO BD ∥， 1BD ⊄平面ACE ，所以1BD ∥平面ACE ． ⑵ 因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，1BD DD D =所以AC ⊥平面11BB D D ，又AC ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面11B BDD ．【例5】如图，已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，E ，F 分别是PB 和AC的中点，求证：⑴EF ∥平面PAD ；⑵EF AB ⊥【解析】 ⑴ 连接BD ，∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点．∴F 在BD 上且平分BD ．又E 为PB 中点．∴EF PD ∥，又PD ⊂平面PAD ．∴EF ∥平面PAD ． ⑵ 取AB 中点I ，连接EI FI ，，则EI PA FI BC ∥，∥ 又PA ⊥平面ABCD ，所以EI ⊥平面ABCD ，因此EI AB ⊥．在Rt ABC △中，有FI AB ⊥，于是AB ⊥平面EIF ，于是AB EF ⊥．目标班学案2【拓2】如图所示，在斜三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC △是等腰三角形，AB AC =，侧面11BB C C ⊥底面ABC ． ⑴ 若D 是BC 的中点，求证：1AD CC ⊥；⑵ 过侧面11BB C C 的对角线1BC 的平面交侧棱于M ，若1AM MA =，求证：截面1MBC ⊥侧面11BB C C ．【解析】 ⑴ ∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥．∵底面ABC ⊥侧面11BB C C ，交线为BC ，∴由面面垂直的性质定理，可知AD ⊥侧面11BB C C ．又∵1CC ⊂侧面11BB C C ，∴1AD CC ⊥．⑵ 如图延长11B A 与BM 的延长线交于N （在侧面11AA B B 中），连结1C N ．∵1AM MA =，∴111NA A B =．又∵1111A B A C =（由棱柱定义知111ABC A B C △≌△），A 1C 1B 1D 1D BC AE F P A D CE E CD A PF IE B CDAP FDMA 1B 1C 1ABCNCBAC 1B 1A 1MD OE A CBD D 1B 1C 1A 149∴11111AC A N A B ==．∵在11B C N ∆中，由平面几何定理，知1190NC B ∠=︒，即111NC B C ⊥ 又∵侧面11BB C C ⊥底面111A B C ，交线为11B C ， ∴1NC ⊥侧面11BB C C又∵1NC ⊂面1BNC ，∴截面1C NB ⊥侧面11BB C C ， ∴截面1MBC ⊥侧面11BB C C【备选】如图：O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面ADC '．【解析】因为B H D O ''⊥，所以只需再证明B H '垂直于面AD C '上的另外一条直线即可．因为AC BD AC BB '⊥⊥，，所以AC ⊥平面BDD B ''，又B H '⊂面BDD B ''，因此AC B H '⊥．于是B H '垂直于相交直线AC D O '，所在的平面AD C '．尖子班学案3【铺1】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ． ⑴ 求证：AP ⊥平面BDE ；⑵ 求证：平面BDE ⊥平面BDF ； ⑶ 若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 ⑴ ∵AB BC =，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥又PC ⊥底面ABC ，∴PC BD ⊥∵PC AC C =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD AP ⊥．又DE AP ⊥，∴AP ⊥平面BDE ． ⑵ ∵D F ，为AC PC ，的中点，∴DF AP ∥．结合⑴可知DF ⊥平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面BDF ． ⑶ 1:2．【例6】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点，点N 是1AA 的中点， ⑴ 求证：MN ∥平面1ACD ； ⑵ 过N C D ，，三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体，求所截成的两个几何体的体积比．【解析】 ⑴ 取AD 边中点E ，连接NE ，ME ，则E M C D ∥，由于N 为1AA 中点，则1NE A D ∥，所以平面NME ∥平面1ACD ，而MN ⊂平面NME ，所以MN ∥平面1ACD ． ⑵ 1:3．MN A C BDD 1B 1C 1A 1PABCDEFOH D'C'B'A'B ACDEA 1C 1B1D 1DBCA N M50目标班学案3【拓2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥,E 、G 、F 分别为MB 、PB PC 、的中点，且2AD PD M A ==． ⑴ 求证：平面EFG ⊥平面PDC ;⑵ 求三棱锥P M AB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. 【解析】 ⑴ 由已知MA ⊥平面ABCD ，PD MA ∥，所以PD ⊥平面ABCD ．又BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥因为四边形ABCD 为正方形，所以BC DC ⊥．又PD DC D =，因此BC ⊥平面PDC ．在PBC △中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF BC ∥，因此GF ⊥平面PDC ．又GF ⊂平面PDC ，所以平面EFG ⊥平面PDC ． ⑵ :1:4P MAB P ABCD V V --=．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱12AA =，底面ABCD 是菱形，2AB =，60ABC ∠=︒，P 为侧棱1BB 上的动点． ⑴ 求证：1D P AC ⊥；⑵ 当P 恰为棱1B B 的中点时，求四面体1CPD A 的体积．【解析】 ⑴ 连结BD ，则AC BD ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1AC D D ⊥，∴AC ⊥平面11BB D D ， ∵1D P ⊂平面11BB D D ， ∴1D P AC ⊥．⑵ 设BD AC O =，连1D O PO ，， ∵11D A D C =，∴1D O AC ⊥，同理PO AC ⊥，又∵1D O PO O =，∴AC ⊥平面1POD ． ∵2AB =，60ABC ∠=︒， ∴1AO CO ==，BO DO ==∴1D O ==2PO ．在11Rt PB D △中，1D P ==，在1D OP△中，1cos D OP ∠==． A 1C 1B 1D 1DBCA POPA CBD D 1B 1C 1A 1P MG FED CB A51∴1sin D OP ∠=∴1122D OP S =△，∴111123CPD A C D OP A D OP V V V --=+==四面体三棱锥三棱锥（2010“华约”自主招生）在四棱锥V ABCD -中，11B D ，分别为侧棱VB VD ，的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为（）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:3【解析】 C如图，在四棱锥V ABCD -中，设底面对角线交于点O ，依题意有11B D BD ∥，1112B D BD =，则11B D O △中11B D 边上的高为VBD △中BD 边上高的一半，即1114B D O VBD S S =△△，从而111111111444AB D C A OB D C OB D A BDV C BDV V ABCD V V V V V V -----=+=+=．大千世界O D 1B 1V D CB A。

《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何

一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。

棱柱1。

1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1。

2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1。

4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。

1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。

(完整版)高二立体几何数学讲义2.doc

1高二立体几何数学讲义（二）一、直线与平面平行的判定与性质1、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是___________2、已知a αβ=I ，m βγ=I ，b γα=I ，且m α//，求证：a b //．3、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．4、如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．（1）求证：直线MN //平面PBC ；（2）求线段MN 的长．5、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC ．6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：平面11BB D D ．7、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN //平面PAD ．AB C END MPCDABMP1A1B 1D 1C F E A BC D APDMNBC一、直线与平面垂直的判定与性质1、填空。

(1)过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直；(2)过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。

2、如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

3、如图：AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则BC和PC_____________。

4、如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE ⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC。

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分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 231π=圆锥''1()3V S S S S h =++台 ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ 4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B 、证明作出的角即为所求角C 、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a ⊂α a ∩α＝A a ∥α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β相交——有一条公共直线。

α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行⇒线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行⇒线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角二、强化练习：1．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）. A. 1B.12 C. 13D.162．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )（第3题）A. 2(2042)cm +B. 221cmC. 2(2442)cm +D. 224cm3．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（） A. 4B. 32C. 22D. 3左视图主视图俯视图2 俯视图主视图左视图 2 1 2 （第2题第1题_ B _1_ A _1 _ B_ A_ B _1 _ A _1 _ B _ A 正视图俯视图23正视图图1侧视图图22 24.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112 B.5 C.4 D. 925.【2012高考全国文8】已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）16.设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V7. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=， EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（）A ．29B ．5C ．6D ．2158.（广东文）．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．29.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为10.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．11.【2012高考山东文13】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.12.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积 3m .。

高二文科立体几何复习讲义