第4课时 因式分解
北师大版数学八年级下册4.因式分解-提取公因式课件
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
14.3因式分解(共4课时)
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练____(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式： a ba b a2 b2
完全平方公式：aaa
bbb222
a aa
2
2 2
2ab 22aabb
bbb222
计 算
x 2x 2 __x_2___4__
： 5 a2 _a_2__1_0_a__2_5_
m 7 m 7 __m_2___14_m___4_9_
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2 (1+x2)(1–x2)
① x2 + 4 ② – 4x2 + y2 ③ x4 – 1 ④ x2 – x6 ⑤ 6x3 – 54xy2 ⑥ (x+p)2 – (x–q)2
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
第4课 因式分解
第4课因式分解〖知识点〗因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用写出结果．(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么考查题型：1．下列因式分解中，正确的是（）(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（）(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（）(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;7．把下列因式因式分解：(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y28．在实数范围内因式分解：(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2考点训练：1. 分解下列因式：(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2解题指导：1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（）（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于03．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（）（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－14．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是；5．分解下列因式：(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4＊4。
人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《整式的乘法(第4课时)》示范教学课件
整式的乘法第4课时
1．积的乘方的运算法则：
(ab)n＝anbn（n为正整数）．
即积的乘方，等于把积的每一个因式__________，再把所得的幂______．
(abc)n＝anbncn（n为正整数）．
因数的个数大于等于 3 时：
分别乘方
相乘
2．积的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方的逆运算：
anbn＝(ab)n（n为正整数）．
3．运用积的乘方的运算法则进行计算时，注意__________都要乘方，尤其是不要漏掉_____________的乘方．
4．anbn＝(ab)n（n为正整数）中的“a”和“b”可以代表一个________，也可以代表一个________．
5．逆用积的乘方公式anbn＝(ab)n时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过__________将其转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算．
解：（1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc) ＝(－8ab2)·(a2b2)·(3abc) ＝(－8×1×3)·(a·a2·a)·(b2·b2·b)·c ＝－24a4b5c；
解：（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2 ＝－4x6·x2＋9x8 ＝－4x8＋9x8 ＝5x8．
1．式子是乘积的形式，可以使用乘法运算律；
观察上式可得：
所以(3×105)×(5×102)
乘法交换律乘法结合律
＝(3×5)×(102×105)
＝15×107
＝1.5×108．
地球与太阳的距离约是
1.5×108 km．
(3×105)×(5×102)＝1.5×108．
ac5·bc2具有以下特点：1．式子是乘积的形式，可以使用乘法运算律；2．式子含有同底数幂，可以使用同底数幂的乘法法则．
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课复习(第4课时整式的除法)
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4；
(4)原式=-8a3·9a2 =[(-8)×9](a3·a2)=-72a5
小试牛刀
2、下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）3a3 ·2a2=6a6 (
×)
(2) 2x2 ·3x2=6x4 (
)
(3)3x2 ·4x2=12x2 ( × )
m8 m8
2.计算：
=
m0
= 1______
≠2
3.若（a-2）0=1,则a ________
单项式与单项式相除的法则
∵
4a 2 x 3 3ab 2 12a 3 b 2 x 3
∴ 12a b x 3ab
3
2
3
2
这相当于
12a b x 3ab
＝
12a 3 b 2 x 3 3ab 2
=abc5+2
(同底数幂的乘法）
=abc7.
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
合作探究
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
温馨提示：（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
除
以这个单项式，再 把所得的商 相加 .
温馨提示：把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单
项式问题来解决.
例8 计算：
2
（3）12a 6a 3a 3a
3
3a
12a
6a 2
解：原式=
第4课时__因式分解学案__基训题目
第4课时 因式分解学案 基训题目1、把一个多项式化成 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .2、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ).A 、2222)1(xy y x x xy -=-；B 、)3)(3(92-+=-x x x ；C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-；D 、c b a x c bx ax ++=++)(.3、把代数式xy 2－9x 分解因式，结果正确的是( )A 、)9(2-y x ；B 、2)3(+y x ；C 、)3)(3(-+y y x ；D 、)9)(9(-+y y x .4、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏因式分解不彻底的一题是( )A 、x 3－x ＝x (x 2－1)；B 、x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y ) ；D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) . 5、 y x x 225-的公因式为 ； 24x x -= ．6、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +--. 7、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是( )A 、2242b ab a +- ；B 、4142+-m m ； C 、269y y +- ； D 、222y xy x --.8、分解因式：=-32a ab ．x 2－2x ＋1 = ． 9、下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )A 、4x 2＋1B 、4x 2－4x －1C 、x 2＋xy ＋y 2D 、x 2－4x ＋4 10、因式分解：x x 2172- = ． =-92x ．11、因式分解：1-+-b a ab = ．=++442x x ．12、因式分解：=--542x x ．13、若正方形的面积是 )0,0(6922>>++y x y xy x ，则它的边长是 14、若分解因式))(3(152n x x mx x ++=-+ 则m 的值为( )A 、－5B 、5C 、－2D 、215、已知46==+xy y x ，，则22xy y x +的值为_____________16、分解因式：x 2 － 4x ＋ 3 = ．17、分解因式：x 2 － 2x y －32y = ．18、下列分解因式正确的是( )A 、)1(222--=--m n n n nm nB 、)32(322---=-+-a ab b b ab abC 、2)()()(y x y x y y x x -=---D 、2)1(22--=--a a a a19、322236129xy y x y x -+的公因式为 . 20、分解因式：x xy 2-= .21、把多项式bx by ay ax -+-5102分解因式为 .22、把多项式m mn n m 552--+分解因式为 .23、把bc ac ab a -+-2分解因式．24、am ＋ an ＋ bm ＋ bn 可以分解为 .2011.3.22。
17.2一元二次方程求根公式(第4课时)(2种题型基础练+提升练)(解析版)
17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。
初三数学第一轮复习 第4课时《因式分解》
初三第一轮复习任务单今天的努力是为了明天的成绩。
加油了，认真做。
_____月_____日复习第4课时《因式分解》班级___学号___姓名________ __月__日【复习检测】：1．多项式－3x2y3z+9x3y3z－6x4y z2的公因式是．2．因式分解：3ab2+a2b= ；x2－16= ；a2+4a+4=____________．3．下列式子变形是因式分解的是()A．x2－5x+6=x(x－5)+6 B．x2－5x+6=(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)=x2－5x+6 D．x2－5x+6=(x+2)(x+3)4．下列各因式分解正确的是()。
A．－x2+(－2)2=(x－2)(x+2) B．x2+2x－1=(x－1) C．4x2－4x+1=(2x－1)2D．x2－4x=x(x+2)(x－2)5．若m2－n2=6且m－n=3，则m+n=_______。
6．若a+b─2=0，则12(a2+b2)+ab=______。
【例题讲解】：例1．把下列各式分解因式：(1)m3－4m；(2)3x3－6x2y+3xy2；(3)(a+b)2+2(a+b)+1；(4)5x2+17x-12；(5) (x+2)(x－6)+16．例2．已知：x=3+1，y=3－1，求22222x xy yx y-+-的值．例3．阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2)x2－y2－2y－1=x2－(y2+2y+1)=x2－(y+1)2=(x+y+1)(x－y－1)试用上述方法分解因式①a2+2ab+ac+bc+b2．②a3+a2－a－1．例4．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．【课堂检测】：1．下列各式中与2mn－m2－n2相等的是( )。
2015年广西中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共24张PPT)
1 4
1 － 2
4 4 ．若 xm － yn ＝ (x＋ y2)(x － y2)(x2 ＋ y4) ，则 m ＝ ________ ，n
＝________ ． 8
第4课时
因式分解
5．在多项式m2＋n2，－a2－b2，x4＋4y2，－4s2＋9t4中，可
第4课时
因式分解
变式题1
[2014·陇南] 分解因式：2a2－4a＋2＝
________ 2(a－1)2．
变式题2 分解因式：3x6－3x2＝_____________________ ． 3x2(x2＋1)(x＋1)(x－1)
第4课时
因式分解
┃聚焦广西中考┃ 1．[2014·玉林] 下面的多项式在实数范围内能因式分解的 是( D ) A．x2 ＋y B．x2 －y D．x2－2x＋1
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
3．下列因式分解正确的是( C )
A．x2－y2＝(x－y)2 B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy－x＝x(y－1)
D．2x＋y＝2(x＋y)
第4课时
因式分解
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是
( D )
A．x2 －1 B．x(x－2)＋(2－x) D．x2＋2x＋1
第4课时
因式分解
┃考向互动探究┃
类型题展
► 例1 类型之一 提公因式法
分解因式：x2－3x＝________．
[答案] x(x－3)
[考点] 提取公因式． [分析] 公因式是x，直接提取x即可．
第4课时 因式分解
►
例2
类型之二
12-5 (选学)第4课时 十字相乘法(课件)华东师大版八年级数学上册
9．把下列多项式分解因式：
(1)y2－20y＋99； 解：原式＝(x－9)(x－11)． (2)x2y2－7xy－44； 解：原式＝(xy－11)(xy＋4)． (3)(x＋y)2－5(x＋y) －36； 解：原式＝(x＋y－9)(x＋y＋4)． (4)(a＋b)2－2(a＋b)y －8y2. 解：原式＝(a＋b－4y)(a＋b＋2y)．
第12章 整式的乘除
12．5 因式分解 (*选学)第4课时 十字相乘法
知识点 十字相乘法分解因式 1．十字相乘法：对于二次三项式 x2＋px＋ab，如果 p＝a＋b，用十字表示
为
得到因式分解：x2＋px＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
2．对于二次三项式 mnx2＋px＋ab，如果 p＝mb＋na，用十字表示为 得到因式分解：mnx2＋px＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．
考点 1 二次项系数为 1 的二次三项式因式分解 例 1 把下列多项式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)x2－5x＋6； (3)x2＋x－2； (4)x2－2xy－15y2. 【答案】解：(1)原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)原式＝(x－2)(x－3)． (3)原式＝(x＋2)(x－1)． (4)原式＝(x－5y)(x＋3y)．
思维拓展 13．分解因式：3xy＋y2＋3x－4y－5. (提示：将式子中的 x 看作常数) 解：原式＝y2＋(3x－4)y＋(3x－5) ＝(y＋3x－5)(y＋1)．
11．若 x2＋px＋6 可以分解因式，那么整数 p 的取值是7、－7、5、－5 ．
12．分解因式： (1)(x－7)(x－8)－6； 解：原式＝x2－15x＋56－6 ＝x2－15x＋50 ＝(x－5)(x－10)．
(2)x2(x2＋5)－6； 解：原式＝x4＋5x2－6 ＝(x2＋6)(x2－1) ＝(x2＋6)(x＋1)(x－1)． (3)(a2－2a)(a2－2a－2)－3. 解：原式＝(a2－2a)2－2(a2－2a) －3 ＝(a2－2a－3)(a2－2a＋1) ＝(a－3)(a＋1)(a－1)2.
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∴(m－n)2－2m＋2n＝(m－n)2－2(m－n)
＝1＋2＝3.
故选A.
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1．[2010·益阳]若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n ＝___2___．
【解析】 ∵m2－n2＝6， ∴(m＋n)(m－n)＝6. 又∵m－n＝3， ∴m＋n＝6÷3＝2，填2.
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第4课时 因式分解
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1．一个多项式所有的各项都含有的公共的因式，叫做这个 多项式各项的公因式．公因式应满足：系数是各项系数 的最大公约数，字母取各项相同的字母且相同字母的最 低次数．
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易错警示
“因式分解”病毒防护 [2013·南昌]下列因式分解正确的是 A．x2－xy＋x＝x(x－y) B．a3－2a2b＋ab2＝a(a－b)2 C．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3 D．ax2－9＝a(x＋3)(x－3) 【错解】 A或C或D
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类型之三 因式分解的开放创新题 [2010·龙岩]给出三个单项式：a2，b2，2ab.
(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式 分解；
(2)当a＝2 014，b＝2 013时，求代数式a2＋b2－2ab的 值．
【解析】 用乘法公式或提公因式法进行分解． 解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)； b2－a2＝(b＋a)(b－a)； a2－2ab＝a(a－2b)；
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2．[2013·泰州]若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值 是__1__．
【解析】 ∵m＝2n＋1，即m－2n＝1， ∴原式＝(m－2n)2＝1.故答案为1. 【点悟】 两数的和，差，平方和，平方差，积都与 乘法公式有联系，此类问题要先因式分解，通过整体代入 法进行求值．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为 止．
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1．[2013·温州]因式分解：m2－5m＝__m_(_m__－__5_) _． 2．[2013·邵阳]因式分解：x2－9y2＝__(_x_＋__3_y_)_(x_－__3_y_)__． 3．[2013·长沙]因式分解：x2＋2x＋1＝___(_x_＋__1_)_2 __． 4．[2013·菏泽]分解因式：3a2－12ab＋12b2＝__3_(_a_－__2_b_)2__．
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【错因】 A．错在提公因式时括号里少了“＋1”项； C.等式右边是和的形式，不是积的形式；D.第二项没有公 因式a，不能提取公因式a.
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【点悟】 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因 式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次 提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完 全平方公式及其特点．
2．因式分解的一般步骤：若有公因式，先__提__公__因__式___； 若无公因式，则考虑__平__方__差__公__式___或完全平方公式分 解，直到不能分解为止．
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1．[2012·丽水]分解因式：x2－2x＝___x_(_x_－__2_)__． 2．[2013·江西]分解因式x2－4＝__(_x_＋__2_)_(_x_－__2_) __． 3．[2013·苏州]因式分解：a2＋2a＋1＝___(_a_＋__1_)2__． 4．[2013·莱芜]分解因式：2m3－8m＝__2_m__(m__＋__2_)_(m__－__2_)__． 5．[2013·安顺]分解因式：2a3－8a2＋8a＝___2_a_(_a_－__2_)2___． 6．[2013·郴州]已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2＝___1_2__．
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归类探究
类型之一 因式分解 [2013·恩施]把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是 (C)
A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y) C．y(x－y)2 D．y(x＋y)2 【解析】 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行 二次分解．x2y－2y2x＋y3＝y(x2－2yx＋y2)＝y(x－y)2. 故选C.
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类型之二 因式分解的应用
[2013·威海]若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋
2n的值是
(A )
A．3
B．2
C．1
D．－1
【解析】 所求式子后两项提取－2变形后，将m－n
的值代入计算．∵m－n＝－1，
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在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出 两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进 行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)； 或(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2； 或(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)； 或(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．
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2ab－a2＝a(2b－a)； b2－2ab＝b(b－2a)； 2ab－b2＝b(2a－b)． (2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 把a＝2 014，b＝2 013代入，得 a2＋b2－2ab＝(2 014－2 013)2＝1. 【点悟】 求多项式的值之类的问题，不宜先直接代 入数值计算，要先运用因式分解或其他方法化简，再代入 数值计算就方便多了．