高二数学下册课时同步测试题11

高二数学同步测试（7）—曲线方程和圆
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则下列说法正确的有
（）A．方程F(x，y)=0的曲线是C
B．曲线C的方程是F(x，y)=0
C．不在曲线C上的点的坐标不是方程F (x，y)=0的解
D．曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解
2．方程x+y=0所表示的图形是
（）
O x y
A O x
y
B
O x
y
C
O x
y
D
3．到点A（-1，0）和点B（1，0）的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程是
（ ）
A ．x 2+y 2=1
B ． x 2+y 2=1 (x ≠±1)
C ．x 2+y 2=1 (x ≠0)
D ．y =21x
4．若直线y =kx +2和曲线2x 2+3y 2=6有两个公共点，则k 的值是
（ ）
A ．k =±3
6 B ． k ≠±3
6 C ．-36<k <36
D ．k >
36或k <-3
6
5．在圆(x -2)2+(y +3)2=2上与点（0，-5）距离最大的点的坐标是 A ．(5，1)
B ．（4，1）
C ．（2+2，2-3）
D ．（3，-2）
6．方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是
（ ）
A ．a <-2
B ．-3
2
<a <0
C ．-2<a <0
D ．-2<a <3
2
7．过点M （3，2）作⊙O ：x 2+y 2+4x -2y +4=0的切线方程是
（ ）
A ．y =2
B ．5x -12y +9=0
C ．12x -5y -26=0
D ．y =2或5x -12y +9=0
8．圆x 2+y 2-4x +4y +6=0截直线x -y -5=0所得的弦长为
（ ）
A ． 6
B ．
2
2
5 C ．1
D ．5
9．已知一个圆的方程为 ⎩⎨⎧==θ
θ
cos 2sin 2y x (θ为参数)，则该圆和直线
x -y +2=0的交点的个数
是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．无数个
10．两圆x 2+y 2-2x =0与x 2+y 2+4y =0的位置关系是
（ ）
A ．相离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．曲线y =|x |与圆 x 2+y 2=4所围成的最小区域的面积是 ．
12．设圆x 2+y 2-4x -5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 ．
13．圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程是 ．
14．集合A={(x ，y ) |x 2+y 2=4}，B={(x ，y )|( x -3)2+(y -4)2=r 2}，其中r>0，
若
A ∩B
中有且仅有一个元素，则
r 的值
是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分） 15．已知点A (0，2)和圆C ：5
36
)4()6(22=
-+-y x ，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过的路程．（12分）
16．如图，已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．（12分）
17．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线0
x上,且被直线y=x
3=
-y
截得的弦长为7
2，求圆C的方程．（12分）
18．已知实数y x ,满足方程xy u y x ==+++求,1)1()1(22的最大值与最小
值． （12分）
19．已知θ,0≠a 为参数，圆C ：03sin 4cos 4222=+--+a ay ax y x θθ （1）指出圆C 的圆心和半径；（2）求出圆心C 的轨迹方程． （14
分）
20．已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
5，求该圆的方程．（14分）
③圆心到直线l：x-2y=0的距离为
5
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．π12．x + y -4=0 13．(x -1)2+( y -1)2=114．3或7
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[解析]：设反射光线与圆相切于D点．点A关于x轴的对称点的坐标为A１(０，－２)，则光从A点到切点所走的路程为｜Ａ１Ｄ｜．
Ｒｔ△Ａ１ＣD中，
5
936536)42()6(222
2121⨯=-
--+-=-=CD C A D A
∴｜Ａ１Ｄ｜＝5
518．
即光线从A 点到切点所经过的路程是5
518． 16．（12分）
[解析]：如图，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P={M| |MN|=
2|MQ|}．
因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2
=|MO|2
-|ON|2
=|MO|2
-1．
设点M 的坐标为（x ，y ），
则
2222)2(21y x y x +-=-+
整理得7)4(22=+-y x
它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为
7
17．（12分）
[解析]：设圆心坐标为（3m ，m ）,因为圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m|，
所以圆心到直线y =x 的距离为
||22
|
2|m m = 由半径、弦心距、半径的关系得12792
2
±=∴+=m m m
∴所求圆的方程为3)1()3(,3)1()3(2222=+++=-+-y x y x
18．（12分）
[解析]：设⎩⎨
⎧+-=+-=θ
θsin 1cos 1y x ，
则)1)(sin 1(cos --==θθxy u =1)cos (sin cos sin ++-θθθθ 设t =+θθ
cos sin （22≤≤-t ），则2
)
1(2
-==t xy u ，
所以，0,1min ==u t
时当 2
223,2max +==u t 时当．
19．（14分）
[解析]：（1）将圆C 方程配方得：222)sin 2()cos 2(a a y a x =-+-θθ 所以圆心C 的坐标为（)sin 2,cos 2θθa a ），半径为|a |
（2）设22
020004sin 2cos 22
2
a y x ②
a y ①a x ②
①=+−−→−⎩⎨
⎧==+θ
θ 所以圆心C 的轨迹方程为222
4a y x =+
20．（14分）
[解析]：（法一）设圆P 的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a |．由题意可知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，2|b|=r 2，得r 2
=2b 2
，
又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2
=a 2
+1，得2b 2
- a 2
=1．
又因为P （a ，b ）到直线x -2y =0的距离为5
5，得d=5
55
2=
-b a ，即有12±=-b a
综前述得⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ，⎩⎨⎧-=-=-1
21222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a ，⎩⎨⎧==11b a ，于是r 2= 2b 2
=2
所求圆的方程是2)1()1(22=+++y x ，或2)1()1(22=-+-y x （法二）设圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，
令x =0，得022222=-++-r a b by y ，
所以2y y 4)y y (|y -y |222122121=-=-+=
a r ，得122
+=a r
再令y =0，可得022222=-++-r b a ax x ，
所以222122121x x 4)x x (|x -x |b r -=-+=
，得r b r 2222=-，
即222b r =，从而有2b 2
- a 2
=1．
又因为P （a ，b ）到直线x -2y =0的距离为5
5，得d=5
55
2=
-b
a ，即有12±=-
b a
综前述得⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ，⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨
⎧-=-=11b a ，⎩⎨⎧==1
1b a ，于是r 2= 2b 2=2
所求圆的方程是2)1()1(22=+++y x ，或2)1()1(22=-+-y x。