中考数学 坐标系里的几何图形
中考重点坐标系与形的关系
中考重点坐标系与形的关系中考重点：坐标系与形的关系坐标系与形的关系在中考数学考试中是一个重要的考点。
坐标系是指由两条数轴组成的平面，用来描述和定位平面上的点。
形是指几何图形，如点、线、面等。
本文将从不同形状的角度来探讨坐标系与形的关系。
1. 点和坐标系的关系在初中数学中，我们学过平面直角坐标系。
直角坐标系由水平的x 轴和竖直的y轴组成，这两条轴相交于原点O。
点的坐标表示了它和原点之间的位置关系。
点的坐标通常用有序数对(x, y)表示，其中x是点在x轴上的位置，y是点在y轴上的位置。
在坐标系中，我们可以准确地定位一个点的位置。
例如，点A的坐标是(2, 3)，表示它在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3。
点和坐标系是一一对应的关系。
2. 线段和坐标系的关系在坐标系中，线段由两个点确定。
我们可以通过计算两个点的坐标来求出线段的长度。
例如，若线段AB的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度可以通过计算两点间的距离来得到。
距离公式是√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
3. 图形和坐标系的关系不同的图形可以通过坐标系来表示和判断。
例如，矩形可以由四个顶点的坐标确定。
若矩形ABCD的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2,y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)，则我们可以通过比较四个角的度数和对边的长度来判断一个图形是否是矩形。
同样地，我们可以利用坐标系来表示和判断其它图形，如正方形、三角形等。
4. 点与图形的位置关系在坐标系中，我们可以利用点的坐标来判断它是否在某个图形的内部、边界上或外部。
例如，在直角坐标系中，一个点P(x, y)如果满足某个线性不等式的条件，那么这个点就在不等式所表示的半平面内。
这样，我们就可以判断一个点是否在某个图形内部。
5. 平移和坐标系的关系平移是指在坐标系中将图形沿着指定的方向进行移动。
平移不改变图形的大小和形状，只改变了图形的位置。
中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒， 即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD “AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=∠α，BPC ∴∠ADP ∴∽△△，△AD ⋅BC）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =，4DF ∴=，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC ∴5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴= 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5=，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<，036<<，△3DE =+或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒在DCB和△3）解：过△四边形ACEF是矩形，△90ACE∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM∠+∠=∠+∠=︒，顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB ＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，OE ME MONF OF33ON33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．20由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）直角三角形ABC中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO ，AB=5m，）可证得CDB∆当D在AB的下方时，过D作DE△y轴于E，交BC于F,，在ABC中，MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI 之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM △四边形AGFC是矩形，△△GAC=90°又AH△BC△△AHC=90° △△5+△CAH=△4+△CAH=90°△△5=△4△△BDE=△AHB=90°△△2+△BAH=△1+△BAH=90°△△2=△1又GM∥AE△△3=△2△△3=△1△△ABC△△GMA【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角，ABC 是等腰直角三角形，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，由（1）可知：BCN CAM△≌△，△2CM BN==，1CN AM==，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，BCN BFH∽△，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．5即可证明∽AMF BGM ，即可求出△AB DC ∥，AB BC ⊥△90B C ∠=∠=︒ △90AOD ∠=︒△90AOB DOC +=︒∠∠在AOB 和△Rt AOB 中，Rt AOD △中，12AD OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠△∽AMF BGM △AM BG 45︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =本题考查了全等三角形的判定和性质、x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ， ∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=， 180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．415NF OF NO△△ADC=90°，△△ADC+△PDC=180°，△A 、D 、P 共线，90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN△DM，垂足为M，交△CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则△FMN和△NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知△MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若△OBA+△OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF△ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
中考数学教学指导：如何求“坐标几何类”问题中点的坐标
如何求“坐标几何类”问题中点的坐标纵观近几年来全国各地的中考数学试题，不难发现有一个明显的特点，就是将几何图形放入坐标系的背景中，结合函数图象，设计相关问题，我们不妨称之为“坐标几何类”问题.此类问题综合性强，可以较为全面的考察学生运用知识解决问题的能力.解决此类问题时，点的坐标无疑起着重要作用.本文通过对典型问题的分析，帮助同学们掌握方法，提高解决此类问题的能力.一、基本思路方法l 、代数法求点的坐标例1 如图1所示，已知一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .求点A 和点B 的坐标.图l 解析 函数图象上的点所具备的最大特点是其坐标使函数解析式成立，两函数图象的交点的坐标同时使两函数解析式成立.故求两函数图象的交点坐标，实际上就是将两函数解析式联立，组成方程组，方程组的解就是交点的坐标，这种求点的坐标的方法，我们就称为代数法.本例中的点A 是一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =图象的交点，两函数解析式均已知，故联立得 7y x =-+,解得 3x =, 43y x =. 4y =. 所以点A 的坐标为(3,4). 点B 是直线与x 轴的交点，故令0y =，则70x -+=，解得7x =,所以点B 的坐标为(7,0).2、几何法求点的坐标例2 如图2所示，直线:l y=x轴、y轴分别相交于点A、B, AOB∆与ACB∆关于直线l对称，求C的坐标.图2解析平面直角坐标系中的点，如果已知其坐标，则相应的可以得到三条线段的长度.如已知点(,)P x y，即知道点P到x轴的距离(P到x轴的垂线段的长)是y;点P到y轴的距离(P到y轴的垂线段的长)是x;点P到原点的距离(线段OP的长).反之，如果求出P到x轴和y轴的距离，则可以转化为点的坐标，这就是几何法求点的坐标.本例中，要求出点C的坐标，可过点C作CD x⊥轴于点D，只要求出线段OD的长，就知道点C的横坐标，求出线段CD的长，就知道点C的纵坐标.由图2可知，OD OA AD=+，故只要求出OD和AD.由于点A和B是直线:l y x=与x轴、y轴的交点，可以得到(1,0),,3)A B，所以，1,OA OB==由tanOBBAOOA∠==60BAO∠=︒.AOB∆与ACB∆关于直线l对称，60,60,1BAC DAC AC∠=︒∠=︒=, 直角ACD∆中，解得0.5,AD CD==,所以 1.5OD=.由于点C位于第一象限，所以点C的坐标为：2C.二、试题解析试题如图3，在平面直角坐标系中，直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)3y ax x c a=-+≠经过,,A B C三点.(1)求过,,A B C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P，使ABP∆为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标;若不存在，请说明理由;(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF∆的周长最小，若存在，求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.图3解(l)直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C,(1,0),(0,A C∴-. 点,A C都在抛物线上，∴3a c=++, ∴3a=, c=. c=∴抛物线的解析式为:233y x x =-∴顶点(1,3F -; (2)存在12(0,(2,P P ;(3)如图4，延长BC 到点B '，使B C BC '=.连结B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点，过点B '作B H AB '⊥于点H .图4 B点在抛物线2y x x =(3,0)B ∴. 在Rt BOC ∆中，tan OBC ∠=30,OBC BC ∴∠=︒=在Rt BB H '∆中，12B H BB ''==6BH H '==, 3,(3,OH B '∴=∴--.设直线B F '的解析式为y kx b =+, 则有3k b -=+，解得 6k =, 62y x ∴=-3k b -=+. 2b =-.由 y = 解得 37=, 3(,77M ∴-.62y x =-. 7=-.在直线AC 上存在点M ，使得MBF ∆的周长最小，此时3(,7M . 点评 本题第(3)问中，点B '的坐标采用几何法求解，点M 的坐标采用代数法求解,可见，我们在解答问题时，要根据已知条件，灵活选择适当的方法，才能达到快速简捷的目的.。
中考数学复习指导：利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题
利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题我们知道几何图形中的等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形等，都有其独特的几何性质，在直角坐标系中，这些性质都可以用代数形式表示出来，从而可利用坐标法解决某些确定图形顶点位置的问题．一、计算距离，找等腰三角形顶点例1 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋m与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D，抛物线对称轴交x轴于点E．问：直线DE右侧的抛物线上是否存在点P，使△PCD 为等腰三角形？分析易求得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．由配方，得抛物线顶点为D(1，4)．当点P在直线DE右侧的抛物线上时，PC≠CD．若PD＝CD．则点P与点C关于直线DE对称，点P1坐标为(2，3)；若PC＝PD，设点P为(x，－x2＋2x＋3)．由PC2＝PD2，得x2＋3x＋1＝0．代入抛物线解析式求得点P2坐标为(，)．二、逆用勾股定理，找直角三角形的顶点例2如图2，直角坐标系中，已知点A(－1，0)，P(1，4)，如果点Q为x轴上一点，△APQ是直角三角形，求点Q的坐标．分析∠PAQ≠90°，而∠APQ、∠AQP都可能是直角．若∠APQ1＝90°，则PQ12＋AP2＝AQ12．设点Q2为(x，0)，则AQ1＝．PQ12＝(x－1)2＋16．又∴AP2＝22＋42＝20，∴(x－1)2＋16＋20＝(x＋1)2．∴x＝9，则点Q1坐标为(9，0)；若∠AQ2P＝90°，则点Q2坐标为(1，0)．三、利用对称性，求平行四边形的顶点例3 如图3，在直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径画圆，点P在⊙O上，且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x,y轴分别交于点A,B，P为AB中点．问：在⊙O 上是否存在点Q，使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点Q的坐标．分析作PC⊥OA，垂足为C，连结OP．则OP＝AP＝BP＝2．且∠AOP＝∠OAP＝45°．∴OC＝PC＝，点P坐标为(，)．如果OP是对角线，则作OQ1∥AP，交⊙O于点Q1，连结PQ1(图3(1))．由OQ1＝2，可知OQ1 AP．∴四边形Q1OAP是平行四边形．这时PQ1⊥OB，则点Q1与点P关于y轴对称，坐标为Q1(－，)；如果OA是对角线，则作OQ2 PA，交⊙O于点Q2，连结AQ2(图3(2))．由OQ2＝2，可知OQ2 PA．∴四边OQ2AP是平行四边形．这时∠AOP＝∠OAP＝∠AOQ2，因此点Q2与点P关于x轴对称，坐标为Q2(，－)．四、借助平移，分析图形特征求顶点例4 如图4，直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A(4，0)、C(0，－2)，直线y＝－x交边BC于点D．(1)二次函数图象经过点A,D,O，求它的解析式；(2)在这个二次函数图象上是否存在点M，使以O,D,A,M为顶点的四边形为梯形？分析(1)点D坐标为(3，－2)．所求的二次函数为；(2)如果DO为底边，则平移直线DO，使其经过点A，得直线AM1的解析式为：y＝代入二次函数，解出x1＝4(舍去)，x2＝－1．∴点M1坐标为(－1，)．这时，AD与M1O不平行，四边形ODAM1为梯形；如果AO为底边，则平移直线AO，使其经过点D，得直线DM2为：y＝－2(即直线BC)．同理求出点M2坐标为(1，－2)；如果AD为底边，则平移直线AD，使其经过点O，得直线OM3为y＝2x．同理求出点M3坐标为(7，14)．(图略．)。
中考数学回归教材重难点07 几何最值问题(解析版)
回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。
在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。
通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
中考数学-几何图形的动态问题(含答案)
中考数学-几何图形的动态问题（含答案）一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④2.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s 的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN 所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD 与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（）A. B. C. D.4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 25.如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. B.C. D.二、填空题6.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x= ________时，△APE的面积等于5 ．7.如图，在矩形中，点同时从点出发，分别在，上运动，若点的运动速度是每秒2个单位长度，且是点运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以为对称轴作的对称图形．点恰好在上的时间为________秒．在整个运动过程中，与矩形重叠部分面积的最大值为________．8.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为________9.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）10.如图，周长为a的圆上有且仅有一点A在数轴上，点A所表示的数为1，若该圆沿着数轴向右滚动两周后点A对应的点为B，此时，A、B两点之间恰好有三个表示正整数的点（不包括点A、B），则该圆的周长a的取值范围为________三、综合题11.如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．12.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AG∶BE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2 ，则BC=________．13.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．问：（1）P，Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?（2）P，Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10 cm?16.有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= ．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA 与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F 运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=________度；（2）如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．17.如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．18.如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF 为等腰三角形时，求AP的长．19.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．20.如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C 点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？答案解析部分一、单选题1.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④【答案】C【考点】分段函数，圆的认识，几何图形的动态问题，动点问题的函数图像【解析】【解答】当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为①③.故答案为：C．【分析】由题意知PB的最短距离为0，最长距离是圆的直径；而点P从A点沿顺时针旋转和逆时针旋转后与点B的距离有区别，当点P从A点沿顺时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度增大到直径的长，然后渐次较小至点B为0，再从点B运动到点A，则弦BP的长度y由0增大到AB的长；当点P从A点沿逆时针旋转时，弦BP的长度y的变化是：从AB的长度减小到0，再由0增大到直径的长，最后由直径的长减小到AB的长。
2021中考数学专题复习(二)：几何图形动点问题
【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝ 120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外 接圆 O，则点F在劣弧AB上运动．连接OC、OB，OC交 劣弧AB 于点F′ ， 当点F与点F′重合时，CF的长度最 小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，3∴OB＝2 3
例5题解图
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使 得四边形PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ 的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上， 因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
BC＝ AB2
小值为6
.
AC
2
＝5，S△ABC＝12
AB·AC＝1 BC·AP，解得AP＝12
2
5
，∴PM的最
5
例题解图
二、利用“将军饮马”求线段最值
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点) 类型1 异侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB 交直线l 于点P，点P即为所求．
MP′＝
13 2
.∴PM－PO的最大值为
13 2
.
例3题解图
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最 大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
第七讲坐标系中的几何问题(包含答案)
中考数学重难点专题讲座第七讲 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。
但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。
所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。
此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。
作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。
此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。
第一部分 真题精讲【例1】2010，石景山，一模已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x 轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。
在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。
第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。
第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。
由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 8 页坐标系里的几何图形一、坐标系里的基本几何图形例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为︒60，那么C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。
例2 如图，在平面直角坐标系中，以点)3,0(M 为圆心，以32长为半径作⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E 。
（1）求出CP 所在直线的解析式； （2）连结AC ，求ACP ∆的面积。
例3 如图（1），在平面直角坐标系中，ABC Rt ∆的斜边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上，,43tan =∠ABC 点P 在线段OC 上，且PC PO ,的长)(PC PO <是方程027122=+-x x 的两根。
（1）求P 点的坐标； （2）求AP 的长；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的 四边形是梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请 说明理由。
（1）二、坐标系里的图形引入动点例1 如图（1），直角坐标系中，已知点4,2(A ），0,5(B ），动点P 从点B 出发沿BO 向终点O 运动，动点Q 从xO A B C M N E 60°xO CPAM BE xyOA BCy第 2 页 共 8 页点A 出发沿AB 向终点B 运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs 。
（1）求Q 点的坐标；（用含x 的代数式表示） （2）当x 为何值时，APQ ∆是一个以AP 为腰的等腰三角形？（1）例2 如图（1），在直角坐标系里，已知点0,3(A ），1,0(B ），以线段AB 为一直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中︒=∠90BAC ，点a P ,1(）为坐标系中的一个动点。
（1）求ABC ∆的面积ABC S ∆；（1）（2）证明不论a 取任何实数，BOP ∆的面积是一个常数； （3）要使得，ABC S ∆ABP S ∆=，求实数a 的值。
例3 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。
动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连结OD ，过点D 作OD DE ⊥，交边AB 于点E ，连结OE 。
记CD 的长为t 。
xyOABCP第 3 页 共 8 页（1）当31=t 时，求直线DE 的函数表达式。
（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。
（3）当22DE OD +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。
三、坐标系里的图形变换例1 如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A 在第二象限内，点B ，点C 在x 的负半轴上，4,30=︒=∠OA CAO 。
（1）求C 点的坐标； （2）如图（2），将ACB ∆绕点C 按顺时针方向旋转30°到''CB A ∆的位置，其中C A '交直线OA 于点E ，''B A 分别交直线 OA ，CA 于点G F ,，则除AOC C B A ∆≅∆''外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）。
（3）在（2）的基础上，将''CB A ∆绕点C 按顺时针方向继续旋转，当COE ∆的面积为43时，求直线CE 的函数表达式。
（1）（2）例2 一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，4,5==OC OA 。
（1）如图（1），将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上点D 处，求点D 的坐标；（2）在（1）中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P 和点B 都在抛物线c bx x y ++=2上，求c b ,的值；x yO A BCDExyO11ABC xyO11A'BC 'A F GE第 4 页 共 8 页（3）若将纸片沿直线l 对折，点B 落在y 轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ， 若点Q 在（2）的抛物线上，求l 的解析式。
练习题1、如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于B A ,两点，AC 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点D ，连结BC ，已知点M 的坐标为3,0(），直线CD 的函数解析式为353+-=x y 。
（1）求点D 的坐标和BC 的长； （2）求点C 的坐标和⊙M 的半径；（3）CD 是⊙M 的切线吗？请说明理由。
2、在平面直角坐标系中，A 点坐标为（0，4），C 点坐标为（10，0）。
（1）如图（1），若直线,//OC AB AB 上有一动点P ，当P 点的坐标为 时，有PC PO =；xyOABCDE Pxy O B A CMD x y A B CO xyO A BC第 5 页 共 8 页（1） （2）（2）如图（2）若直线AB 与OC 不平行，在过点A 的直线4+-=x y 上是否存在点P ，使︒=∠90OPC ，若有这样的点P ，求出它的坐标；若没有，请简要说明理由；（3）若点P 在直线4+=kx y 上移动时，只存在一个点P 使︒=∠90OPC ，求出此时4+=kx y 中的k 的值是多少？3、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，︒=∠==60,4,7,//COA AB OA OA BC ，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O ，点A 重合，连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D 。
（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动到什么位置时，OCP ∆为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动到什么位置时，使得OAB CPD ∠=∠，且85=AB BD 时，求这时点P 的坐标；4、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为（4，0），（4，3），动点N M ,分别从B O ,同时出发，以每秒1个单位的速度运动。
其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作OA MP ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒。
（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）；（2）试求NPC ∆面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x（3）当x 为何值时，NPC ∆是一个等腰三角形？简要说明理由。
xyOAB C D P x第 6 页 共 8 页5、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6），点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒。
（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ ∆与AOB ∆相似？并求出此时 点P 与点Q 的坐标；（3）当t 为何值时，APQ ∆的面积为524个平方单位？6、如图，在平面直角坐标系中，点 A 在x 轴的负半轴上，ABO ∆是直角三角形，︒=∠90ABO ，点B 的 坐标为（2,1-），将ABO ∆绕原点O 顺时针旋转90°得到O B A ∆。
（1）在旋转过程中，点B 的所经过的路径长是多少？ （2）分别求出点11,B A 的坐标； （3）连结1BB 交O A 1于点M ，求MOMA 1的值。
xOBA PQ xyOAB M 1B1A（-1，2）第 7 页 共 8 页7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OEFG 的顶点E 的坐标为（4，0），顶点G 的坐标为（0，2），将矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，OM 与GF 交于点A 。
（1）判断OGA ∆和OMN ∆是否相似，并说明理由； （2）求过点A 的反比例函数解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF 于点B ，求直线AB 的解析式。
8、如图（1），矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在的直线的函数关系式为8,43==AD x y 。
矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发作匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14秒。
（1）求矩形ABCD 的周长； （2）如图（2），图形运动到第5秒时，求点P 的坐标。
（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 经过的路线是一条线段，请求线段所在直线的函数解析式。
（4）当点P 在线段AB 或BC 上运动时，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，则矩形PEOF 是否能与矩形ABCD 相似（或位似）？若能，求出t 的值；若不能，说明理由。
（1） （2）x yO EF G M NPA B xyO A （P ）（D ） B C xy OADBCP第 8 页 共 8 页9、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，4=OC ，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M 。
现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。
（1）求点G 的坐标；（2）求折痕EF 所在直线的解析式；（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
10、如图（1），在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO 的顶点O 在原点，点A 的坐标为（0,2-），点B 的坐标为（0，2），点C 在第一象限。
（1）直接写出点C 的坐标；（2）将平行四边形ABCO 绕点O 逆时针旋转，使OC 落在y 轴的正半轴上，如图（2），得平行四边形DEFG （点D 与点O 重合）。
FG 与边AB ，x 轴分别交于点Q ，点P 。
设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为0S ，求0S 的值； （2）（1）xy O A N B CM E G F xyO-2 A CB 2 xyO P ACBEF（D ）Q。