向量的减法、数乘运算及其几何意义
向量的加减乘除运算
向量的加减乘除运算向量是数学中的重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在进行向量运算时，我们常常需要进行加减乘除的操作。
本文将详细介绍向量的加减乘除运算及其相关概念。
一、向量的表示方式向量可以用不同的表示方式进行表达，最常见的有坐标表示和向量表示方法。
1. 坐标表示：在二维直角坐标系中，向量可以表示为(x,y)，分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(x,y,z)，分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量表示：向量可以用箭头进行表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的方向代表向量的方向。
二、向量的加法运算向量的加法运算是指将两个向量合并为一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A和向量B，它们的加法运算表示为：A + B = C，C为结果向量。
向量的加法运算可以使用坐标相加的方法或三角形法则进行计算。
三、向量的减法运算向量的减法运算是指从一个向量中减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量A和向量B，它们的减法运算表示为：A - B = D，D为结果向量。
向量的减法运算可以使用将被减向量取相反数，然后进行加法运算的方式进行计算。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算是指将向量的每个分量与一个数相乘。
数乘可以改变向量的长度和方向。
设有向量A和一个实数k，向量的数乘运算表示为：k * A = E，E为结果向量。
在坐标表示中，向量的数乘可以直接将向量的每个分量与数k相乘。
在向量表示中，向量的数乘可以通过改变箭头的长度来表示。
五、向量的除法运算向量的除法运算并没有一个直接的定义和运算规则。
在向量运算中，我们通常使用乘法的逆运算来代替除法运算。
设有向量A和一个非零实数k，向量的除法运算可以用乘法的逆运算表示为：A / k = (1/k) * A。
六、向量的加减乘除综合运算在实际问题中，我们往往需要对向量进行多种运算的组合。
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量的数乘运算及其几何意义
3. 证明两直线平行的问题
课后思考
ED A
B
F
C
课后思考
D
EC
M
A
B
课后思考
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
结 论：
练习P90第4题
1. 有关向量共线问题
例 1.
例 2.
E
C
A
B
D
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
uuur uuur uuur r
AB BC(BC 0)
A、B、C三点共线 .
2. 证明三点共线的问题 例 3.
ar
r b
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
例1：计算：
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量的运算法则
向量的运算法则向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机等各个领域。
在实际应用中，我们常常需要对向量进行各种运算，而向量的运算法则则是我们进行这些运算的基础。
本文将介绍向量的基本运算法则，包括向量的加法、减法、数乘等。
1. 向量的加法设有两个向量a和b，表示为a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)。
则这两个向量的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)即将两个向量对应分量相加，得到一个新的向量。
这个操作遵循向量加法的法则，不仅可以对二维向量进行加法，也可以对三维向量进行加法，甚至可以拓展到更高维度的向量。
2. 向量的减法与向量的加法类似，向量的减法也是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，则它们的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量的减法在几何意义上可以理解为将向量b沿着负方向平移后，再进行向量的加法操作。
3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的操作。
设有一个向量a 和一个标量k，则向量a与标量k的乘积定义为：ka = (ka1, ka2, ka3)即将向量a的每个分量都乘以标量k，得到一个新的向量。
向量的数乘操作可以用来改变向量的大小和方向，是向量运算中一个非常重要的操作。
4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积，是向量运算中一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的数量积定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，还可以计算向量在某一方向上的投影长度，具有很多实际应用价值。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积，是向量运算中另一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的向量积定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
向量的运算与几何意义解析
向量的运算与几何意义解析向量是数学中重要的概念，它可以用来表示方向和大小。
在实际应用中，我们经常需要对向量进行运算，并通过运算来解析向量的几何意义。
本文将探讨向量的四则运算（加法、减法、数量乘法和点乘）以及各种运算在几何上的意义。
1. 向量的加法（Vector Addition）向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A = A + A。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A放在向量A的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图1：向量的加法示意图通过向量的加法，我们可以将多个向量连接起来，从而形成更长的向量。
2. 向量的减法（Vector Subtraction）向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A = A - A。
在几何上，这个运算可以理解为从向量A的尾部指向向量A 的尾部，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图2：向量的减法示意图通过向量的减法，我们可以计算出两点之间的距离，或者确定一个向量相对于另一个向量的位置关系。
3. 向量的数量乘法（Scalar Multiplication）向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。
具体而言，给定一个向量A和一个标量A，它们的数量乘法可以表示为：A = AA。
在几何上，这个运算可以理解为将向量A的大小进行缩放或扩大A倍，从而得到一个新的向量A，如下图所示：图3：向量的数量乘法示意图通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的大小，同时保持其方向不变。
4. 向量的点乘（Dot Product）向量的点乘是指将两个向量进行运算得到一个标量。
具体而言，给定两个向量A和A，它们的点乘可以表示为：A = A·A。
计算方法是将两个向量对应位置的元素相乘，然后将相乘的结果相加。
在几何上，点乘的结果是两个向量之间的夹角的余弦值乘以向量的模长乘积，如下图所示：图4：向量的点乘示意图通过向量的点乘，我们可以计算出两个向量之间的夹角，以及一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备 尺规、多媒体等 课堂模式 学案导学 一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。
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类比实数减法，向量a b 如何理解？
2.向量减法的定义
a b a (b)
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反 向量. 已知a、b ，根据向量减法的定义作出a b
b a
a b的作图方法:
b a
B
b
O
a b
作业
教材P91 习题2.2
B 组4
A组9、10、11、12、13
b a
作法 :
d
c
A
B
D
C
a
b
O
d
c
1.在平面上任取点O , 作OA a , OB b, OC c , OD d . 2.作 BA, DC , 则BA a b, DC c d为所求.
自主探究（二）向量数乘运算及其几何意义
已知非零向量a (1)作出a a a和(a ) (a ) (a ).
A a 思考：（ 1 ）对于上图AB表示的意义是什么?
O
a
b
(2)若a // b , 则应怎样作a b ?
b a
a
b
O （ 1） A
同向
B
a
b
（ 2） B
反向
a b
a b
O
A
例 1.已知向量a, b, c, d , 求作向量a b, c d.
a
OC OA AB BC
aaa
=3a
O
N
aA aB a C -a -a -a M Q P
( a ) ( a ) ( a )
=3(-a) =-3a
PN PQ QM MN
(2)向量3a、 3a与a的方向和长度有何关系？
(3)向量a与a的方向和长度有何关系？
a 结论： (1) (a ) ___ 0 (2)a (a) (a) a _____
(3)如果 b 互为相反向量，那么 a、 b 0 . a ____, b ____, a b ____
a
规定：零向量的相反向量仍为零向量
高中数学
必修4
第二章
平面向量
作课教师：杨翠娜
复习回顾
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a + b.
b a
o
a+b a a
O
a+b
b
B
A
b 三角形法则
B
A
平行四边形法则
C
学习目标
1、掌握向量减法运算，并理解其几何意义； 2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义； 3、掌握向量共线基本定理及其应用.
b
3b 2b
B
A
b
O
故A, B, C三点共线.
a
例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M , 且 AB a , AD b , 你能用a , b 表示 AC、 DB、 MA和MB D C 吗？
解 : AC a b ,
DB a b
5.向量共线定理
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.即：
b // a a 0
b a
(1) a为什么要是非零向量， 若a 0,上述定理成立吗 ? (2)b可以是 0 吗？
例3.如图，已知任意两个非 零向量a、b , 试作OA a b , OB a 2b , OC a 3b .你能判断A、B、C三点之间 的位置关系吗？为什么 ？
a
A
即a b OA OB BA
在平面内任取一点O， 作OA a , OB b , 则BA a b
“共起点，连终点，指向被减向量”
a b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量，这就是向量减法的几何意义.
b
B
解:
a
C
依图猜想:A、B、C三点共线
AB OB OA a 2b - (a b) b AC OC OA a 3b - (a b) 2b AC 2 AB
自主探究（一）向量减法运算及其几何意义
如何定义向量的减法？如何理解向量的减法及 其几何意义? 我们知道,在实数运算中，减去一个数等于加上 这个数的相反数。类比相反数，我们在学习向 量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？
自主探究（一）向量减法运算及其几何意义
1.相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的 相反向量，记作 a
3.向量数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量, 这种运算 叫做向量的数乘，记作a , 它的长度和方向规定如下 :
（1） | a || || a |; （2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0时， a 0.
4.向量数乘的运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;
(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b . 特别地，（ a ) ( )a ( )a (a b ) a b.
思考：
对于向量a (a 0)、b ,以及实数 ; (1)如果b a , 那么,向量a与b 是否共线？
共线
（2）如果a与b 共线，那么是否有，使得b a ? 若向量a与b共线，a 0, 且向量b 的长度是a的 长度的（ 0)倍，即有 b a , 当a与b 同方向时，有b a; 当a与b 反方向时，有b a
1 1 1 MA AC a b 2 2 2 1 1 1 MB DB a b 2 2 2
b
A
M
a
B
课堂小结
1、向量的减法及数乘运算及其几何意义
2、向量共线定理
b a
(a 0)
向量 a 与 b 共线
定理的应用：证明点共线、平行问题
例2.计算下列各式
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) (3a 2b c )
a 5b 2c