平行四边形培优专题训练1

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数学数学平行四边形的专项培优练习题(及解析

数学数学平行四边形的专项培优练习题(及解析一、选择题1．如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为2a-（a、b为正整数），则+a b的值为（）A．10B．11C．12D．132．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为()A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.45．如图，点P在长方形OABC的边OA上，连接BP，过点P作BP的垂线，交射线OC于点Q，在点P从点A出发沿AO方向运动到点O的过程中，设AP=x，OQ=y，则下列说法正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．y 随x 的增大而减小C ．随x 的增大，y 先增大后减小D ．随x 的增大，y 先减小后增大6．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A ．233B ．334C ．536D ．38．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1+S3=S2+S4D．S1·S4=S2·S3 9．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．13．如图，菱形ABCD的BC边在x轴上，顶点C坐标为(3,0)，顶点D坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．14．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．22．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图223．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.24．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．25．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．26．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．27．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ．（1）求证：△ACN ≌△CBM ；（2）∠CPN = °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．29．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）30．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

数学数学平行四边形的专项培优练习题(含答案

数学数学平行四边形的专项培优练习题(含答案一、解答题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形．2．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．3．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．4．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．5．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．6．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．7．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．8．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图29．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系．10．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．2．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2 【分析】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得，推出BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=62-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=3266+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．3．（1）P （103，2）；（2）（52，2）或（﹣52，2）【分析】（1）根据已知条件得到C （5，3），设直线OC 的解析式为y ＝kx ，求得直线OC 的解析式为y＝35x，设P（m，35m），根据S△POB＝13S矩形OBCD，列方程即可得到结论；（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．【详解】（1）如图：∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，∴3＝5k，∴k＝35，∴直线OC的解析式为y＝35 x，∵点P在矩形的对角线OC上，∴设P（m，35 m），∵S△POB＝13S矩形OBCD，∴12⨯5×35m＝13⨯3×5，∴m＝103，∴P（103，2）；（2）∵S△POB＝13S矩形OBCD，∴设点P的纵坐标为h，∴12h×5＝133⨯⨯5，∴h＝2，∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，作B 关于直线y ＝2的对称点E ，则点E 的坐标为（5，4），连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，设直线OE 的解析式为y ＝nx ，∴4＝5n ，∴n ＝45， ∴直线OE 的解析式为y ＝45x ，当y ＝2时，x ＝52， ∴P （52，2），同理，点P 在直线y ＝﹣2上，P （52，﹣2）， ∴点P 的坐标为（52，2）或（﹣52，2）．【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P 在位置是解题的关键．4．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132===BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．【详解】解：（1）在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∴∠BAD+∠DAC=60°在菱形ADEF 中AD=AF∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°∴∠CAF=∠DAB又∵AC=AB ，AF=AD∴△ACF ≌△ABD∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°故答案为：120°②∵BC=BD+CD ，BD=CF∴BD=CF+CD故答案为：BC=CD+CF（2）不成立理由：∵ABC ∆是等边三角形∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =又∵60DAF ∠=∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠∴FAC DAB ∠=∠∵四边形ADEF 是菱形∴AD AF =∴≅△△ADB AFC∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=∵BC CD BD =-∴BC CD CF =-（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是∵60BAC DAF ∠=∠=∴BAD CAF ∠=∠又∵AB AC =，AD AF =∴≅△△ADB AFC ∴16683CF BD BC CD ==+=+⨯=∴如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322BH HC BC ===⨯= ∴325HD HC CD =+=+=∵22236927AH AB BH =-=-= ∴222725213AD AH DH ++=∴132221321326322AFD ADEF S S ∆==⨯⨯=菱形【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．5．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=. ∴232AB AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（1）见解析；（2；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长；（3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH 的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ，∵EF 垂直平分BD ，∴BE=DE ，BF=DF ，∵∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，∴∠EBD=∠BDF ，∠EDB=∠DBF ，∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，且BE=DE ，∴四边形BEDF 是菱形；（2）过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．7．（1332）；（2）存在，点D的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=3221【分析】（1）过点B作BD⊥y轴于D，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=1322OB =∴2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32） 332）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 30）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 32）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03322 10222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=2232OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM －∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=32在Rt △OBM 中，2=；综上：OM=32或2．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．8．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．9．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =；（3）222EG AG CE =+. 【分析】（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，OB OD =，EDO FBO ∴∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， DOE BOF ∴∆≅∆，EO OF ∴=，OB OD =，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥，OB OD =，EB ED ∴=，∴四边形EBFD 是菱形．②BE 平分ABD ∠，ABE EBD ∴∠=∠，EB ED =，EBD EDB ∴∠=∠，2ABD ADB ∴∠=∠，90ABD ADB ∠+∠=︒，30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，60EBF ∴∠=︒．（2）结论：3IH FH =．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，EB BF ED ∴==，//DE BF ，JDH FGH ∴∠=∠，在DHJ ∆和GHF ∆中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， DHJ GHF ∴∆≅∆，DJ FG ∴=，JH HF =，EJ BG EM BI ∴===，BE IM BF ∴==，60MEJ B ∠=∠=︒，MEJ ∴∆是等边三角形，MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒在BIF ∆和MJI ∆中，BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BIF MJI ∴∆≅∆，IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，IH JF ∴⊥，120BFI BIF ∠+∠=︒，120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，60JIF ∴∠=︒，JIF ∴∆是等边三角形，在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，30FIH ∴∠=︒，3IH FH ∴=．（3）结论：222EG AG CE =+．理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，90FAD DEF ∠+∠=︒，AFED ∴四点共圆，45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，45ADF EDC ∴∠+∠=︒，ADF CDM ∠=∠，45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，在DEM ∆和DEG ∆中，DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEG DEM ∴∆≅∆，GE EM ∴=，45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，90ECM ∴∠=︒222EC CM EM ∴+=，EG EM =，AG CM =，222GE AG CE ∴=+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．10．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案. BC CN BN CE BE【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP是矩形，∴DF=HP，∴FM= DF=HP，∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC≌△FMK，∴CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，∴∠FCG=∠CFG，∴FG=CG，∵CF⊥EF，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=FE，∴FG=CG=GE，∠CGT=2α，∵FG是BC的中垂线，∴BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN∥BG，∴四边形HGBN是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+ ∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析) (1)

人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习1．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AD的中点，延长CE交BA的延长线上于点F，CE＝EF．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若CE⊥AD，连接AC、DF，请直接写出图中和线段CD相等的所有线段．4．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．6．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．7．四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝BC，AD＝CD，分别过点C、D作CE ∥BD．DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）如图1．求证：四边形ODEC是矩形；（2）如图2．连接OE，AD∥BC时．在不添加任何辅助线及字母的情况下．请直接写出图中所有的平行四边形．8．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．9．如图，在▱ABCD中，AB＝AD，DE平分∠ADC，AF⊥BC于点F交DE于G点，延长BC至H使CH＝BF，连接DH．（1）证明：四边形AFHD是矩形；（2）当AE＝AF时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明．12．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．13．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有与AE相等的线段（除AE外）．14．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，求DM的长．16．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？参考答案一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AM∥CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN∴四边形CMAN是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）；∴DE＝BF＝8，∵FN＝6，∴．2．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．3．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴DE＝AE，在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（SAS），∴∠D＝∠EDF，∴CD∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中和线段CD相等的所有线段为AC、AF、DF、AB，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD，∴AB＝CD，四边形ABCD是菱形，∴AC＝AF＝DF＝CD，∴AC＝AF＝DF＝CD＝AB．4．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A＝∠D＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．5．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．7．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴∠COD＝90°，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形ODEC是矩形；（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD垂直平分AC，∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，∵AD∥BC，∴∠BCO＝∠DAO，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE∥BD．DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形，∴DE＝CO，∴DE＝AO，∴四边形AOED是平行四边形，∴AD＝OE，AD∥OE，∴BC＝OE，BC∥OE，∴四边形OECB是平行四边形，综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．8．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．9．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CH＝BF，∴FH＝BC，∴AD＝FH，∴四边形AFHD是平形四边形，∵AF⊥BC，∴∠AFH＝90°，∴平行四边形AFHD是矩形；（2）猜想：AB＝BF+AG，证明：如图，延长BF到M，使HM＝AG，连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵DE平分∠ADC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AD，∵AE＝AF，∴AF＝AD，四边形AFHD是正方形，∴AD＝DH，∠GAD＝∠DHM＝90°，在△DAG和△DHM中，∴△DAG≌△DHM（SAS），∴∠2＝∠3＝∠HDM，∠AGD＝∠M，∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠HDG＝∠2+∠CDH＝∠MDH+∠CDH，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝CH+HM，∵BC＝AD＝FH，∴BC﹣CF＝FH﹣CF，∴BF＝CH，∵AB＝CD，HM＝AG，∴AB＝BF+AG．10．【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．11．【解答】证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；（2）∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴在Rt△ABC中，，∴12．【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．13．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDF＝36°，∵AF＝EF，∴∠F AE＝∠FEA＝72°，∵∠AEF＝∠EBA+∠EAB，∴∠EBA＝∠EAB＝36°，∴EA＝EB，同理可证CF＝DF，∵AE＝CF，∴与AE相等的线段有BE、CF、DF．14．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵P A＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．15．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．16．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．。

人教版八年级下学期期末复习：《平行四边形》培优训练(附答案)

八年级下学期期末复习：《平行四边形》培优训练一．选择题1．在▱ABCD中，已知AB＝6，AD为▱ABCD的周长的，则AD＝（）A．4 B．6 C．8 D．102．在平行四边形ABCD中，AE与DE交于点E，若AE平分∠BAD，AE⊥DE，则（）A．∠ADE＝30°B．∠ADE＝45°C．∠ADC＝2∠ADE D．∠ADC＝3∠ADE 3．下列说法中能判定四边形是矩形的是（）A．有两个角为直角的四边形B．对角线互相平分的四边形C．对角线相等的四边形D．四个角都相等的四边形4．如图，菱形ABCD的面积为96，正方形AECF的面积为72，则菱形的边长为（）A．10 B．12 C．8 D．165．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26°B．38°C．42°D．52°6．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2 B．4 C．5 D．67．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C． cm D．2cm8．将正方形ABCD与正方形BEFG如图摆放，点G恰好落在线段AE上．已知AB＝，AG＝1，连接CE，则CE长为（）A．B．C．D．3.59．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2 B．3 C．3或5 D．4或510．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB＝AE，过点A 作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE＝OG；②EH＝BE；③AH＝2﹣2；④AG•AF＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．12．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．13．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为．14．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF ＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝9，直线MN平分平行四边形ABCD的面积，分别交边AD、BC于点M、N，若△BMN是以MN为腰的等腰三角形，则BN ＝．16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE 交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为．17．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是．18．如图，将边长为13的菱形ABCD沿AD方向平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为点G，GD的延长线交EF于点H，已知BD＝24，则GH＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD与于点M，过点D 作DN⊥AB于点N，在DB的延长线上取一点P，PM＝DN，若∠BDC＝70°，则∠PAB的度数为．20．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P 在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝．三．解答题21．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，DC ＝BF ，以BF 为边在△ABC 外作等边三角形BEF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形．（2）△ABC 的边长是6，当点D 是BC 三等分点时，直接写出平行四边形CDEF 的面积．22．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP ⊥OA ，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD ＝时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，△AOD 的面积为S 2，求S 1﹣S 2的最值．23．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD 长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．24．问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．25．老师布置了一个作业，如下：已知：如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O求证：四边形AECF是菱形．某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；（2）请你给出本题的正确证明过程．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，AD＝AE且∠BAC＝∠DAE．（1）若ED平分∠AEC，求证：CE∥AD；（2）若∠BAC＝90°，且D在BC中点时，试判断四边形A DCE的形状，并说明你的理由．27．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．（1）如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；（2）如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+FC．28．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∵AD＝（AB+BC+CD+AD），∴AD＝（2AD+12），解得：AD＝8，∴BC＝8；故选：C．2．解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∵AE⊥DE，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAE+∠EDC＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠ADE＝∠EDC，即∠ADC＝2∠ADE，故选：C．3．解：A、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B、对角线互相平分的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形，故错误；D、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D．4．解：连接EF、BE、DF．∵四边形AECF是正方形，∴∠AEC＝90°，∠AEF＝45°．又△ABE≌△CBE（SSS），∴∠AEB＝∠CEB＝（360°﹣90°）÷2＝135°．∴∠AEB+∠AEF＝180°，∴B、E、F三点共线．同理可证D、F、E三点共线，∴BD过点E、F．∵AC2＝72，∴AC＝12．又AC•BD＝96，∴BD＝16．则菱形的边长为＝10．故选：A．5．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故选：D．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝，∴FG＝AF，∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AG＝AE＝6，∴FG＝AG＝2．故选：A．7．解：∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝×8＝4cm，BO＝OD，∴AO＝BO＝4cm，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝AO＝4cm，故选：B．8．解：如图1所示，分别过点A、C作EB的垂线，交EB的延长线于点K、M，过点B作BH垂直AE，交AE于点H，设BH＝GH＝a，则有a2+（1+a）2＝（）2，解得a＝1，∴BG＝，AE＝3，∴AK＝EK＝，BK＝，∵∠AKB＝∠M＝90°，∠MBC＝∠BAK，BC＝AB，∴△ABK≌△BCM（AAS），∴CM＝，EM＝，∴CE＝故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．10．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴∠AOG＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠FGB＝90°，∴∠OBE+∠BGF＝90°，∠FAO+∠AGO＝90°，∵∠AGO＝∠BGF，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AGO≌△BEO（ASA），∴OE＝OG．②∵EH⊥AF，AF⊥BE，∴EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠EAM＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN＝DM，∵AD＝BC，∴AM＝EM＝BN，∵∠NBE+∠BEN＝∠BEN+∠HEM＝90°，∴∠NBE＝∠HEM，∴△BNE≌△EMH（ASA），∴EH＝BE，故②正确；③如图2，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∴EC＝AC﹣AE＝2﹣2，∵AC＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠AEH，由②知：EH＝BE，∴△BCE≌△EAH（SAS），∴AH＝CE＝2﹣2；故③正确；④Rt△AME中，AE＝2，∠EAM＝45°，∴AM＝BN＝，∵∠NBE＝∠BAF，∠AFB＝∠ENB＝90°，∴△ABF∽△BEN，∴，∴AF•BE＝AF•AG＝AB•BN＝2，故④正确；本题正确的有：①②③④，4个，故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵点D、E、F是三边的中点，∴DE＝AC，DF＝AB，EF＝BC，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝AC+AB+BC＝（AC+AB+BC）＝（3+4+5）＝6，故答案为：6．12．解：连接EG、FG，∵CE，BF分别是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∵G是BC的中点，∴EG＝FG＝BC＝5，∵D是EF的中点，∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，由勾股定理得，DG＝＝4，故答案为：4．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴AC＝＝10，∵DE⊥AC，∴∠CFE＝90°，∵∠DCF＝∠ACD，∴△CDF∽△CAD，∴＝，∴CF＝＝＝3.6，∵∠ECF＝∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∴CE＝＝4.5；故答案为：4.5．14．解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF ＝S△A FM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，故答案为：①②④．15．解：如图，过点C作CE⊥AD于E，过点N作NF⊥AD于F，过点B作BG⊥AD，与DA的延长线交于点G．∵直线MN平分平行四边形ABCD的面积，∴AM＝CN，设AM＝CN＝x，则EF＝x，BN＝9﹣x∵∠ABC＝45°，AB＝4，∴GB＝GA＝4，DE＝4，∴MF＝5﹣2x，在Rt△BGM中，BM2＝42+（4+x）2，在Rt△NFM中，MN2＝42+（5﹣2x）2，∵△BMN是以MN为腰的等腰三角形，∴①当MN＝MB时，易证Rt△MFN≌Rt△MGB（HL），MF＝MG，即5﹣2x＝x+4，解得x＝，即CN＝，∴BN＝BC﹣CN＝9﹣＝②当MN＝BN时，MN2＝BN2，∴42+（5﹣2x ）2＝（9﹣x ）2，解得x 1＝4，x 2＝﹣（不符合题意，舍去），MN 2＝42+（5﹣2x ）2＝16+（5﹣2×4）2＝25，∴MN ＝5，∴BN ＝5故答案为或5．16．解：如图所示：过点E 作EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，分别交BC 、AB 于M 、N 两点，且EF 与BC 相交于点H ．∵EF ⊥CE ，∠ABC ＝90°，∠ABC +∠HBF ＝180°，∴∠CEH ＝∠FBH ＝90°，又∵∠EHC ＝∠BHF ，∴△ECH ∽△BFH （AA ），∴∠ECH ＝∠BFH ，∵EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，四边形ABCD 是正方形，∴四边形ENBM 是正方形，∴EM ＝EN ，∠EMC ＝∠ENF ＝90°，在△EMC 和△ENF 中∴△EMC ≌△ENF （AAS ）∴CM ＝FN ，∵EM ∥DC ，∴△BEM ∽△BDC ，∴．又∵DE＝4BE，∴＝，同理可得：，设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，∵AF＝8，AF＝AN+FN，∴8a＝8解得：a＝1，∴AB＝5．故答案为：5．17．解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，则∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，∴∠2＝∠BEA，∴∠1＝∠BEA＝30°，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，而AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；∴BF⊥AE，AG＝EG，∵四边形ABEF的周长为16，∴AF＝BF＝AB＝4，在Rt△ABG中，∠1＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，∴AE＝2AG＝4，∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×4×4＝8；故答案为：8．18．解：连接DE，连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝B D＝12，AC⊥BD，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝CD＝DF＝CE＝13，AD∥CE，∴OA＝＝＝5，∠GAD＝∠F，四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2OA＝10，在△ADG和△FDH中，，∴△ADG≌△FDH（ASA），∴DG＝DH，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，∴DE＝DG＝DH，∴GH＝2DE＝20，故答案为：20．19．解：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴∠AMB＝∠DNB＝90°，在△ABM与△DBN中，∴△ABM≌△DBN（AAS），∴AM＝DN，∵PM＝DN，∴△AMP是等腰直角三角形，∴∠MAP＝∠APM＝45°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝70°，∴∠PAB＝∠ABD﹣∠P＝25°，故答案为：25°20．解：过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，如图所示：则FM＝AD，AM＝DF，∠FME＝∠MFD＝90°，∵DG⊥EF，∴∠MFE＝∠CDG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，∴FM＝DC，在△MFE和△CDG中，，∴△MFE≌△CDG（ASA），∴ME＝CG＝5，∴AM＝DF＝10，∵CG＝PG＝5，∴CP＝10，∴AM＝CP，∴BM＝BP，∴△BPM是等腰直角三角形，∴∠BMP＝45°，∴∠PMF＝45°，∵∠PEF＝45°＝∠PMF，∴E、M、P、F四点共圆，∴∠EPF＝∠FME＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠BPE+∠CPF＝90°，∴∠BEP＝∠CPF，在△BPE和△CFP中，，∴△BPE≌△CFP（AAS），∴BE＝CP＝10，∴AB＝AE+BE＝15，∴BP＝5，在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP＝＝＝5；故答案为：5．三．解答题（共8小题）21．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）解：过E作EH⊥BC交CB的延长线于H，∵△ABC和△BEF是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠EBH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴EH＝BE＝BF＝CD，∵点D是BC三等分点，∴当CD＝BC＝2时，平行四边形CDEF的面积＝2×＝2，当CD＝BC＝4时，平行四边形CDEF的面积＝4×2＝8，综上所述，平行四边形CDEF的面积为2或8．22．解：（1）OA＝OP，理由是：如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH，∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°，∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH，∴△AGO≌△PHO（ASA），∴OA＝OP；（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD＝90°，∵∠ODQ＝45°，∴△ODQ是等腰直角三角形，∵OD＝，∴OQ＝DQ＝1，∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴AO＝OC＝OP，∵OH⊥PC，∴PH＝CH＝OQ＝1，∴PC＝2；（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，由（2）知：△AOD≌△COD，∴S△AOD ＝S△COD，∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．23．证明：（1）∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形（2）过点A作AG⊥CE于G∵四边形ACDB是菱形∴AB＝AC，AB∥CD∴∠FAB＝∠FCE＝60°∴∠E＝∠FBA＝30°∴CE＝2CF AB＝2AF∵CE＝12∴CF＝6，CA＝4在Rt△ACG中，可得AG＝，∴菱形ACDB的面积＝CD▪AG＝4×＝24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）解：BF＝2GH；理由如下：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°，在Rt△BFG中，GH是边BF的中线，∴BF＝2GH；问题拓展：解：∵tan ∠ABE ＝＝＝，tan ∠DAF ＝＝＝，∴∠ABE ＝∠DAF ， ∵∠DAF +∠BAG ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABE +∠BAG ＝90°，∴∠AGB ＝90°，∴∠BGF ＝90°，在Rt △BFG 中，GH 是边BF 的中线，∴BF ＝2GH ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，BC ＝AD ＝6，CD ＝AB ＝4，∴CF ＝CD ﹣DF ＝1，∴BF ＝＝＝，∴GH ＝BF ＝；故答案为：． 25．解：（1）能；该同学错在AC 和EF 并不是互相平分的，EF 垂直平分AC ，但未证明AC 垂直平分EF ，需要通过证明得出；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠FAC ＝∠ECA ．∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ．∵在△AOF 与△COE 中，∴△AOF ≌△COE （ASA ）．∴EO ＝FO ．∴AC 垂直平分EF ．∴EF 与AC 互相垂直平分．∴四边形AECF是菱形．26．解：（1）证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．又∵ED平分∠AEC，∴∠DEC＝∠AED．∴∠ADE＝∠DEC．∴CE∥AD；（2）四边形ADCE是正方形，理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°．又∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠DAE＝180°．∴AE∥CD．又∵∠BAC＝90°且D是BC的中点，∴AD＝CD．∴AE＝AD．∴AE＝CD∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是正方形．27．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝4，∵4AF＝3AC＝12，∴AF＝3，∴CF＝AC﹣AF＝，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝2，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝2++3＝2+4；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG＝CF，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AF H＝90°，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．28．解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∵CH＝2∴DH＝CD＝2∵CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBA∴∴＝∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DO H＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴BE＝AE＝2在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2∴（2）2+102＝BM2∴BM＝4∴BC＝2（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE。

人教【数学】培优平行四边形辅导专题训练

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=， ∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△ABF≌△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF ．∵BF ∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED ．在△ABF 与△DAE 中，AFB AED ADE BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△DAE （AAS ）．∴BF=AE ．∵AF=AE+EF ，∴AF=BF+EF ．点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．4．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．①求证：四边形BFDE 是菱形；②直接写出∠EBF 的度数；(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH 3；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE ＝∠EBD ，∵EB ＝ED ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴∠ABD ＝2∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB ＝90°，∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH ＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DHJ ≌△GHF ，∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，∴BE ＝IM ＝BF ，∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，∴△MEJ 是等边三角形，∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，∴∠JIF ＝60°，∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，∴∠FIH ＝30°，∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°，∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，∴∠ADF +∠EDC ＝45°，∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DEG ≌△DEM ，∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，∴∠ECM ＝90°∴EC 2+CM 2＝EM 2，∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积．【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC =32．【解析】【分析】（1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=12AB ，BE=12AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE =∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33，∴S平行四边形BCFD=3×33=93，S△ACF=12×3×33=93，S平行四边形ADBC=2732．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析； (3)2．【解析】【分析】（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】(1)AE＝CG，AE⊥GC；证明：延长GC交AE于点H，在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AHG＝180°﹣(∠1+∠3)＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥GC．(2)答：成立；证明：延长AE和GC相交于点H，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，∴∠1＝∠2＝90°﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90°，∠4+∠7＝180°﹣∠DCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠6+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴∠CEH+∠7＝90°，∴∠EHC＝90°，∴AE⊥GC．(3)如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG5∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S△DCG＝12•CD•NG＝12•DG•CM，∴2×25，∴CM＝GH45，∴MG＝CH22CG CM355，∴FH ＝FG ﹣FG ＝5， ∴CF ＝22FH CH +＝22535()()55+＝2．故答案为2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图①，在矩形ABCD 中，点P 从AB 边的中点E 出发，沿着E B C --速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C 后停止运动，点Q 是AD 上的点，10AQ =，设PAQ ∆的面积为y ，点p 运动的时间为t 秒，y 与t 的函数关系如图②所示.(1)图①中AB = ，BC = ，图②中m = .(2)当t =1秒时，试判断以PQ 为直径的圆是否与BC 边相切?请说明理由:(3)点p 在运动过程中，将矩形沿PQ 所在直线折叠，则t 为何值时，折叠后顶点A 的对应点A '落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切，证明见解析；（3）t=12、5、173. 【解析】【分析】（1）由题意得出AB=2BE ，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P 在E 处，m=△AEQ 的面积=12AQ×AE=20即可；（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出34PQ 为直径的圆的圆心为O'，作O'N ⊥BC 于N ，延长NO'交AD 于M ，则MN=AB=8，O'M ∥AB ，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出O'M=12AP=3，求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：①当点P 在AB 边上，A'落在BC 边上时，作QF ⊥BC 于F ，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA ，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出22AQ QF '-，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt △A'BP 中，BP=4-2t ，PA'=AP=8-（4-2t ）=4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，A'Q=AQ=10，在Rt△DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理求出DA'=6，得出A'C=CD-DA'=2，在Rt△ABP和Rt△A'PC中，BP=2t-4，CP=BC-BP=22-2t，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，∴AB=2BE，由图象得：t=2时，BE=2×2=4，∴AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，∴BC=22-4=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×10×4=20；故答案为8，18，20；（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：当t=1时，PE=2，∴AP=AE+PE=4+2=6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴PQ=2222106234AQ AP+=+=，设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，∵O'为PQ的中点，∴O''M是△APQ的中位线，∴O'M=12AP=3，∴O'N=MN-O'M=534∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图2所示：则QF=AB=8，BF=AQ=10，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，∴A'F=22AQ QF'-=6，∴A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，解得：t=12；②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，如图3所示：由折叠的性质得：A'P=AP，∴∠APQ'=∠A'PQ，∵AD∥BC，∴∠AQP=∠A'PQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理得：22108-，又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；③当点P在BC边上，A'落在CD边上时，连接AP、A'P，如图4所示：由折叠的性质得：A'P=AP ，A'Q=AQ=10，在Rt △DQA'中，DQ=AD-AQ=8，由勾股定理得：DA'=22108-=6，∴A'C=CD-DA'=2，在Rt △ABP 和Rt △A'PC 中，BP=2t-4，CP=BC-BP=18-（2t-4）=22-2t ，由勾股定理得：AP 2=82+（2t-4）2，A'P 2=22+（22-2t ）2，∴82+（2t-4）2=22+（22-2t ）2，解得：t=173；综上所述，t 为12或5或173时，折叠后顶点A 的对应点A′落在矩形的一边上．【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.9．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；（2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝1OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626=-，-）×21262∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333+；（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．10．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD =S △BCD ．应用：如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE=BF ，AF 与BE 交于点O ．（1）求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；（2）连接OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积．探究：在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，点D 在线段AB 上，连接CD ，△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到△A′CD ，若△A′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．考点：四边形综合题．。

数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析

数学数学平行四边形的专项培优练习题(附解析一、解答题1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．3．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系． 4．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．5．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②6．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝13PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．7．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．8．已知正方形ABCD与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。

人教版八年级数学下册 18.1 平行四边形培优训练(含答案)

人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°3. 如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( ) A . 3 cm B . 4 cm C . 5 cm D . 8 cm4. 如图，ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BDD ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍5. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．156. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF7.已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形8.（2020·临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则（）A.122SS S +>B.122SS S +<C.212SS S += D.21S S +的大小与P 点位置有关二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．10.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.11. 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB的长度为cm ．OD CBA12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________．13. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ．若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则平行四边形ABCD 的周长等于．O EDCB A14. 如图，在ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．15. 如图，在▱ABCD中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．ABC16. 如图，一个平行四边形被分成面积为1S 、2S 、3S 、4S 四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时．① 14S S 与23S S 的大小关系为．② 已知点C 与点A 、B 不重合时，图中共有个平行四边形，S 4S 3S 2S 1(3)DCBA三、解答题（本大题共4道小题） 17. （2020·重庆B 卷）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，交对角线BD 于点E ，F ．（1）若∠BCF =60°，求∠ABC 的度数；（2）求证：BE =DF ．18. 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBA19. （2020·泰安）（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ﹦∠EAD﹦90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判断四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ﹦CD ．求证：①EB ﹦DC ，②∠EBG ﹦∠BFC ．GFABCDEABCDE20. 如图，AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.3. 【答案】B【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.4. 【答案】B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，A B=2，AD=4，∴EH=12AD=2，HG=1122CD=AB=1，∴EH≠HG，故选项A 错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=1122AD BC FG==，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴214AEFOABS EFS AB⎛⎫==⎪⎝⎭，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．5. 【答案】C6. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C．根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选B．7. 【答案】B8. 【答案】C【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.二、填空题（本大题共8道小题） 9. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．10. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 是平行四边形.11. 【答案】19【解析】如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==．12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FBA＝∠C ＝40°，∵FD ⊥AD ，∴∠ADF ＝90°，∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠ADF ＝90°，∴∠BEF ＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE ＝12AD ，OE ＝12CD ．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋CD ＝8．∴平行四边形ABCD 的周长＝16．故答案为16．14. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ，∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ，∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°；故答案为：21°．15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.16. 【答案】①1423S S S S =；②9三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】（1）解： ∵CF 平分∠BCD ，∴∠BCD =2∠BCF .∵∠BCF =60°，∴∠BCD =2×60°=120°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°. ∴∠ABC =180°-120°=60°.（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠DCB .∴∠ABE =∠CDF .∵AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，∴∠BAE =12∠BAD =12∠DCB =∠DCF .在△ABE 和△CDF 中，∵∠ABE =∠CDF ，AB =CD ，∠BAE =∠DCF ， ∴△ABE ≌△CDF . ∴BE =DF .18. 【答案】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．QDPCBA19. 【答案】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵△EAD 为等腰三角形且∠EAD ﹦90°， ∴∠E ﹦45°．∵B 是DE 的中点， ∴AB ⊥DE ． ∴∠BAE ﹦45°．∵△ABC 为等腰三角形且∠BAC ﹦90°， ∴∠CBA ﹦45°． ∴∠BAE ﹦∠CBA ． ∴BC ∥EA ．又∵AB ⊥DE ，∴∠EBA ﹦∠BAC ﹦90°． ∴BE ∥AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴AE ﹦AD ，AB ﹦AC ． ∵∠EAD ﹦∠BAC ﹦90°，∴∠EAD ＋∠DAB ﹦∠BAC ＋∠DAB ．即∠EAB ﹦∠DAC ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴EB ﹦DC ．②延长FG 至点H ，使GH ﹦FG ． ∵G 是EC 中点，∴EG ﹦CG ．又∠EGH ﹦∠FGC ， ∴△EHG ≌△CFG ，∴∠BFC ﹦∠H ，CF ﹦EH ．又∵CF ﹦CD ， ∴BE ﹦CF ． ∴BE ﹦EH ．∴∠EBG ﹦∠H ． ∴∠EBG ﹦∠BFC ．AB CDEEDCBA FGH20. 【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足．显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =．已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅，则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+ ()AO AN NQ =+ AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．图（1）图（2）。

平行四边形培优

平行四边形性质培优一：角的题型。

1、在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（）A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：1：1D．2：3：3：22．▱ABCD中，∠B＝5∠A，则∠C的度数为3．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠B的度数是4．在▱ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠C的度数为5．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为二：周长题型。

1．如图，平行四边形ABCD的周长为8，△AOB的周长比△BOC的周长多2，求：AB边的长。

2．在▱ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若▱ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为3、如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为4．如图，EF过▱ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若▱ABCD的周长为10，OE＝1，线则四边形EFCD的周长为5、如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=45∘,且AE+AF=32求平行四边形ABCD的周长。

6、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为12，△FCB的周长为22，则FC的长为_________.三:面积题型。

1、如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，E，F分别是边CD，BC的中点，图中与△BCE面积相等的三角形（不包括△BCE）共有_______个.2,如图，E是□ABCD中AB边上的任意一点，连接CE、DE，DE与对角线AC 相交于点F，则下列结论中不正确的是（）A.S△ADE=S△BCEB.S△ACD=S△ABCB..S△CDE=S△ABC D.S△CDE=S△ADE+S△BCE3、如图,四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形,其中C.F两点分别在EF、GH上。

人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优专题练习(含答案解析)

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷1(解析版)

浙教版2022-2023学年八下数学第四章平行四边形培优测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．4B．8C．10D．12【答案】B【解析】设这个多边形的边数是n，则有（n﹣2）×180°＝360°×3，解得n＝8．故答案为：B．2．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（）cm．A．3B．7C．3或7D．2或3【答案】C【解析】①当直线c在直线a、b外时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5+2=7(cm)；②直线c在直线a、b之间时，∵a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，∴a与c间的距离为5−2=3(cm)；综上，a与c间的距离为3cm或7cm，故答案为：C．3．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形D．是中心对称图形，也是轴对称图形【答案】D【解析】将图④展开铺平后的图形如图所示：该图形是中心对称图形，也是轴对称图形.故答案为：D.4．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC，OA=OC B．OB=OD，∠ABD=∠CDBC．AD∥BC，AB=CD D．AB∥CD，∠ABC=∠ADC【答案】C【解析】A项，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，又∵∠AOD=∠BOC，AO=CO，∴∠AOD∠∠COB，∴AD=BC，∴结合AD∥BC有四边形ABCD是平行四边形；B．∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD又∵∠AOB=∠DOC，BO=DO，∴∠AOB∠∠COD，∴AB=CD，∴结合AB∥CD有四边形ABCD是平行四边形；C．等腰梯形ABCD满足AD∥BC，AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形，故C项不能判定四边形ABCD是平行四边形；D．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，又∵∠ABC=∠ADC，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠CDB=∠ADB，∴AD∥BC，∴结合AB∥CD有四边形ABCD是平行四边形；故答案为：C．5．用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（）A．a，b，c没有一个为0B．a，b，c只有一个为0C．a，b，c至多一个为0D．a，b，c三个都为0【答案】A【解析】根据反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0；故答案为：A.6．如图，四边形ABCD中．AC∠BC，AD//BC，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵AC∠BC，∴∠ACB=90°，∵BC=6，AC=8．∴AB =√62+82=10， ∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD=10，连接BF 并延长交AD 于G ，∵AD ∥BC ，∴∠GAC=∠BCA ， ∵F 是AC 的中点， ∴AF=CF ，在∠AFG 和∠CFB 中，{∠AFG =∠CFB∠GAC =∠BCA AF =CF，∴∠AFG∠∠CFB （AAS ）， ∴BF=FG ，AG=BC=6， ∴DG=10-6=4， ∵E 是BD 的中点， ∴EF= 12DG=2．故答案为：A ．7．如图，在▱ABCD 中，BE∠CD ，BF∠AD ，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（）A ．3√2−1B ．3√2+1C ．3√2−2D ．3√2+2【答案】A【解析】由题意，如图：在▱ABCD 中，有AD =BC ，AD//BC ，∠A =∠C ， ∵BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，∠EBF =45∘， ∴∠BFD =∠BED =90∘，∴∠D =360∘−45∘−90∘−90∘=135∘，∴∠A =∠C =45∘，∴∠ABF 和∠BCE 是等腰直角三角形， ∴BE=CE=3，AF=BF ，∴BC =√BE 2+CE 2=√32+32=3√2， ∴AD =3√2，∴AF=BF=AD −DF =3√2−1，故答案为：A ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC 和∠BCD 的角平分线分别交AD 于点E 和F ，若BE ＝6，则CF ＝（）A ．6B ．8C ．10D ．13 【答案】B【解析】如图，设BE 与FC 的交点为H ，过点A 作AM∠FC ，交BE 与点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∠BC ，AB∠CD ， ∴∠ABC+∠DCB=180°，∵BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ， ∴∠ABE ＝∠EBC ，∠BCF ＝∠DCF ， ∴∠CBE+∠BCF ＝90°， ∴∠BHC ＝90°， ∵AM∠CF ，∴∠AOE ＝∠BHC ＝90°， ∵AD∠BC ，∴∠AEB ＝∠EBC ＝∠ABE ， ∴AB ＝AE ＝5，又∵∠AOE ＝90°， ∴BO ＝OE ＝3，∴AO =√AE 2−EO 2=√52−32=4，在∠ABO 和∠MBO 中，{∠ABO =∠CBO BO =BO∠AOB =∠MOB =90°， ∴∠ABO∠∠MBO （ASA ）， ∴AO ＝OM ＝4， ∴AM ＝8，∵AD∠BC ，AM∠CF ，∴四边形AMCF 是平行四边形， ∴CF ＝AM ＝8. 故答案为：B.9．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论：①四边形BEFG 是平行四边形；②BE∠AC ；③EG=FG ；④EA 平分∠GEF 。

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平行四边形培优专题训练1
知识初步回顾：
一.平行四边形的性质
1．(200湖南怀化)如图6，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则
．
2．(2008福建龙岩)□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= _________. 3．（2009东营）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
4.（2008赤峰）如图，已知平分，，，则．
5．（2008山东潍坊）在平
行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和
C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC
和DA的三等分点,已知四边形A4 B2 C4 D2的面积为1,则平行四
边形ABCD面积为（）
A.2
B.
C.
D.15
6.平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

（5分）
7.（平行四边形）（2008 青海西宁）如图，已知：平行四边形ABCD中，的平分线
交边于，的平分线交于，交于．求证：．
二.平行四边形的判定
★1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形
如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.
★3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形
如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE =
21AB ，CF =2
1
CD ，试证明AECF 为平行四边形.
★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形
(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形.
★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形
（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．
综合提升：
一．填空题：
1.在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则
这个四边形的周长是。

2.A,B,C,D 在同一个平面内，从①CD AB //② AB=CD ③AD BC //④BC=AD 这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有_____种
3.以不共线的三点A 、B 、C 为顶点的平行四边形共有个。

4.一个四边形的边长依次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2
=2ac +2bd ，这个四边形是。

5. □ABCD 的对角线交于点O ，S △AOB =2cm 2
，则S □ABCD =__________.
6. □ABCD 的周长为60cm ，对角线交于点O ，△BOC 的周长比△AOB 的周长小8cm ，则AB =______cm ，
BC =_______cm .
7. □ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，AB =6，BD =m ，那么m 的取值范围是________.
8.如图，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，DE
∥AC ，若△ABC 周长为8，则PD +PE +PF = 。

二．解答题：
1.如图，在□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，EF 过点O 分别交AB 、CD 于E 、F ，AO 、CO 的中点分别为G 、H ，求证：四边形GEHF 是平行四边形。

2.如图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，①求证：AECF 也是平行四边形；②连接BD ，分别交CE 、AF 于G 、H ，求证：BG =DH ；③连接CH 、AG ，则AGCH 也是平行四边形吗？
A B C
D
E F
G
H
5.□ABCD 中，E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，求CF 的长.
F
E
D C
B A
P F E
D
C B A A B C
D E F O H
G
6．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
7．（平行四边形）（2008佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.
8．（2006•巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A
向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
9．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED 的大小。

解答：解：取DE中点O，连接AO，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，
∴∠DAE=90°，∴OA=DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，
∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOD=50°，∴∠AED+∠EAO+∠AOD=180°，∴∠AED=65°．故选B．。